Ejercicios de álgebra Vol. III

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1 Ejercicios de álgebra Vol. III

2 Ejercicios de álgebra. Vol. III Enrique Izquierdo Guallar ISBN: Depósito legal: A Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: C/ Decano, San Vicente (Alicante) ecu@ecu.fm Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma. Telf.: C/ Cottolengo, San Vicente (Alicante) gamma@gamma.fm Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

3 Prólogo Analizados todos estos temas, en forma de preguntas de test, en el Volumen I: Álgebra, expongo estos conocimientos (ampliados en el tema de Diagonalización de endomorfismos), en este nuevo Volumen III, constituido por una extensa colección de ejercicios. He intentado, en este nuevo volumen, volver a repasar los conceptos más importantes de estos temas, con una Colección de Ejercicios Resueltos y Propuestos con soluciones, indicando los métodos más eficaces para resolver las preguntas planteadas. Son conceptos fundamentales, parecidos a los propuestos en exámenes en distintas carreras técnicas y de ingenierías y he querido resolver, con los procedimientos mas adecuados en cada caso (a veces más de un método), los problemas que normalmente se plantean. El volumen consta de una extensa colección de ejercicios con las preguntas más frecuentes, ampliado con una serie de ejercicios propuestos con soluciones, para que el alumnado trabaje por su cuenta, y pueda ver si ha asimilado los conceptos necesarios en los distintos temas expuestos. Espero que esta Colección de Ejercicios facilite al alumnado la completa asimilación y comprensión de estos conceptos y le permita resolver cualquier ejercicio correspondiente a los temas aquí analizados. He evitado, en algunas ocasiones, los procedimientos formales, explicando de una forma más sencilla y comprensible, según mi opinión, el concepto correspondiente. El autor 3

4 ÍNDICE Tema 1.- Matrices - Determinantes - Cambios de base...7 Tema 2.- Subespacios vectoriales...53 Tema 3.- Aplicaciones lineales...77 Tema 4.- Sistemas de ecuaciones lineales Tema 5.- Diagonalización de endomorfismos...159

5 Tema 1.- Matrices-Determinantes-Cambios de base -Matrices -Determinantes -Cambios de base MATRICES Dadas las matrices: A = B = 0-1 3, hallar, si es posible, A B y B A Para que se puedan multiplicar dos matrices A mxn y B pxq, debe verificarse que n = p, y el resultado es una matriz C mxq En este ejercicio: A 2x3 B 3x3 sí es posible, pero B 3x3 A 2x3 no se puede realizar A B = = Dadas las matrices: A = B = y C =, hallar A+(B-C) t B C = = (B C) t = A+(B C) t = + =

6 Matrices - Determinantes - Cambios de base Dadas las matrices: A = y B =, hallar A t 2B t A t = B t = B t = -2 6 A t 2B t = = Dada la matriz A = 0-1 4, hallar la forma de las matrices que conmutan con A, es decir, que se cumple que A B = B A Dada una matriz, no cualquier matriz conmuta con ella; pero existen matrices que sí cumplen la propiedad conmutativa del producto Impongamos que A B=B A a b c a b c d e f = d e f g h i g h i a+d+3g 2b+e+3h 2c+f+3i 2a + c a - b 3a+4b+c -d+4g -e+4h -f+4i = 2d+ f d - e 3d+4e+f a+g b+h c+i 2g+ i g - h 3g+4h+i 2a+d+3g = 2a+c d+3g = c -d+4g =2d+f -3d+4g=f a+g = 2g+I a - g = i 2b+e+3h = a - b 3b+e+3h =a e = a - 3d/4-3g+3d/2 = a - 3g+3d/4 -e+4h = d - e d=4h h=d/4 b+h = g - h b=g - 2h=g - 2d/4 =g - d/2 2c+f+3i = 3a+4b+c -f+4i =3d+4c+f con los valores anteriores, se cumplen las tres. c+i= 3g+4h+i 8

7 Por lo tanto, las matrices B que conmutan con A, tienen la forma: a g - d/2 3g + d B = d a - 3g+3d/4 4g - 3d a,d,g R g d/4 a - g Ejercicios de álgebra. Vol. III 5.- Descomponer una matriz cuadrada A, en una suma de una matriz B 1 simétrica y otra matriz B 2 antisimétrica Como caso particular, descomponer de esa forma la matriz A = Si a una matriz cuadrada, se le suma su traspuesta, resulta siempre una matriz simétrica. Ejemplo: Sea A = A t = A+A t = Simétrica -Si a una matriz cuadrada se le resta su traspuesta, resulta una matriz antisimétrica. Ejemplo: A= A t = A - A t = Antisimétrica Entonces, cualquier matriz cuadarada A admite la descomposición: A = 1/2(A+A t )+1/2 (A - A t ), donde el primer sumando es una matriz simétrica y el segundo es una matriz antisimétrica En particular: A = A t =

8 Matrices - Determinantes - Cambios de base /2 1/2(A+A t ) = 1/ = 1/ = / /2 1/2(A - A t ) = 1/ = 1/ = /2-1 0 Entonces: / / = / / Hallar el rango de la matriz A = Solución rg A = rg = (2.ª f - 1.ª 2, 3.ª f - 1.ª 4, 4.ª f - 1.ª 5) = rg = (3.ª f - 2.ª, 4.ª f - 2.ª 2) = rg =

9 Ejercicios de álgebra. Vol. III Calcular, según los valores de a, el rango de la matriz M = a rg M = rg = (3.ª f - 1.ª 2) = rg = (3.ª f - 2.ª 3) = a 0 3 2a a a - 15 = 0 a = 15/2 Si a = 15/2 rg A =2 Si a 15/2 rg A = Dada la matriz A =, hallar su inversa por definición 0 3 Por definición, se denomina inversa de una matriz A, y se representa por A -1, a una matriz que cumple: A A -1 = A -1 A = I, siendo I la matriz Identidad de igual orden que A. Para que A -1 exista, debe ser cuadrada y su determinante distinto de cero. Sea A -1 = a b c d 2 1 a b 1 0 2a+c 2b+d 1 0 A A -1 = = = 0 3 c d 0 1 3c 3d 0 1 Igualando los elementos: 2a + c = 1 3c = 0 c = 0, a = 1/2 1/2 1/3 2b + d = 0 A -1 = 3d = 1 d = 1/3, b = -1/6 0-1/6 11

10 Matrices - Determinantes - Cambios de base Dada la matriz M = 0 1 1, hallar M -1 por definición a b c a-3g b-3h c-3i d e f = d+g e+h f+i = g h i a+2d b+2e c+2f a-3g = 1 d+g=0 g = -d, a = -2d -2d+3d = 1 d = 1, g = -1, a = -2 a+2d=0 b-3h= e+h=1 b=3h, e= -b/2= -3h/2 3h/2+h=1 -h/2=1 h= -2, b= -6, e = 3 A -1 = b+2e= c-3i=0 f+i=0 i= -f, c=1-2f 1-2f+3f=0 f= -1, i=1, c=3 c+2f= Resolver la ecuación matricial AX = B, siendo A = y B= ª forma: A 2x2 X mxn =B 2x2 m=n=2 X es una matriz 2 x 2 X = a b c d 1 3 a b 2-1 a+3c b+3d 2-1 a+3c = 2 a = = = c = 0 X= 0 1 c d 0 3 c d 0 3 b+3d = -1 b = d= 3 12

11 Ejercicios de álgebra. Vol. III 2.ª forma: AX=B A -1 AX=A -1 B I X = A -1 B X=A -1 B Calculemos A -1 : 1 3 a b 1 0 a+3c=1 1-3 = c=0 a = 1,b = -3,c = 0,d = 1 A -1 = 0 1 c d 0 1 b+3d=0 0 1 d= X = A -1 B = = Dadas las matrices A = y B=, resolver la ecuación matricial: AX+XB = B Como la matriz X no ocupa la misma posición en ambos sumandos, no se puede despejar para hallarla por medio de la matriz inversa. a b 1 3 a b a b Sea X = + = c d 0-1 c d c d a+3c b+3d 2b a+4b a+3c+2b 5b+a+3d 0 1 = + = -c -d 2d c+4d 2d-c c+3d 2 4 a+3c+2b=0 5b+a+3d=1 2c-d=2 c+3d=4 Resolviendo el sistema: a= -143/49, b=19/21, c=10/7, d=6/7-143/49 19/21 X = 10/7 6/7 13

12 Matrices - Determinantes - Cambios de base 12.-Dadas las matrices A = y B = 2 4, hallar: rg A, rg B, rg A B rg A = rg = 2 rg B = rg 2 4 = rg 0 10 = rg 0 10 = rg A B = rg 2 4 = rg = Calcular las matrices inversas de: A = y B = por medio del método de Gauss La inversa por el método de Gauss (2º método para calcular la inversa de una matríz) consiste en colocar la matriz y a su derecha, la matriz identidad del mismo orden. Con operaciones elementales, en filas, se pasa la matriz identidad a la izquierda y la matriz que queda a la derecha es la inversa. A = (2.ª f 3-1.ª f 2) = = (1.ª f 5+2.ª f) = = /10 2/10 1/5 1/5 = (1.ª : 10, 2.ª : 5) = A -1 = 0 1 3/5-2/5 3/5-2/5 B = (2.ª+1.ª, 3.ª-1ª) = = (3.ª 2-2.ª 3) =

13 Ejercicios de álgebra. Vol. III = (1.ª 17+3.ª 3, 2.ª 17+3.ª 7) = = [2.ª:54, 3.ª: (-17)] = = /54-34/54-10/ /17 3/17 1/ B -1 = -34/27-17/27-5/27 5/17 3/17 1/ Dadas las matrices A = y B = 3 1, comprobar que (AB) t = B t A t A B = -3 1 = (A B) t = (A B) t = B t A A t = 1 4 B t = B t A t = 1 4 = Calcular la inversa de la matriz A = Por definición y por Gauss Por definición: a b c a+d+2g b+e+2h c+f+2i d e f = d+3g e+3h f+3i = g h i a-d b-e c-f

14 Matrices - Determinantes - Cambios de base a+d+2g = 1 b+e+2h=0 c+f+2i=0 a= 3/4 b= -1/2 c=1/4 d+3g=0 e+3h = 1 f+3i=0 Resolviendo d= 3/4 e= -1/2 f= -3/4 a-d= 0 b-e=0 c-f=1 g= -1/4 h= 1/2 i= 1/4 Por Gauss: 3/4-1/2 1/4 A -1 = 3/4-1/2-3/4-1/4 1/2 1/ = (3.ª f-1.ª f) = = (3.ª+2.ª 2) = = = (1.ª 2-3.ª, 2.ª 4-3.ª 3) = = (1.ª 2-2.ª) = = (1.ª 4, 2.ª : 4, 3.ª : 4) /4-1/2 1/4 3/4-1/2 1/4 = /4-1/2-3/4 B -1 = 3/4-1/2-3/ /4 1/2 1/4-1/4 1/2 1/4 2 1 A B = 16.- Dado el sistema de matrices: 0 3, hallar A 2 -B 2 A + B = Debido a que las matrices no tienen, en general, la propiedad conmutativa, A 2 -B 2 (A+B)(A-B). Hallemos primero las matrices A y B: /2 1/2 Sumando ambas ecuaciones, 2A = + = A = /2-1/2 Restando ambas ecuaciones, 2B = - = B =

15 Ejercicios de álgebra. Vol. III 1/2 1/2 1/2 1/2 5/4 7/4-3/2-1/2-3/2-1/2 5/4 3/4 A 2 = = B 2 = = /4 7/4 5/4 3/4 0 1 A 2 -B 2 = - = Dadas las matrices A =, B = y C =, resolver la ecuación matricial AX+B t = 2C AX+B t =2C AX= 2C-B t X = A -1 (2C-B t ) t C = 2 = B t = = 2C-B t = - = a b 2a + c 2b+d 1 0 2a+c =1 3a+2c=0 a=2,c= -3 A A -1 = I = 3 2 c d 3a + 2c 3b+2d 0 1 2b+d =0 3b+2d=1 b = -1, d= A -1 = X= A -1 (2C-B t ) = = Otra forma, AX+Bt=2C A 2x2 X mxp = M 2x2 m=2,p=2 X 2x2 2 1 a b -1 0 t 0 3 2a+c 2b+d = + = 3 2 c d a+2c 3b+2d

16 Matrices - Determinantes - Cambios de base 2a+c 2b+d a+c = 1, 3a+2c=2 a=0, c=1 = - = 3a+2c 3b+2d b+d = 4, 3b+2d=0 b=8, d= -12 X = Dada la matriz A = , hallar las matrices B que conmutan con la matriz dada a b c Sean las matrices que conmutan con A de la forma B = d e f g h i a b c a b c Entonces, d e f = d e f g h i g h i a+d 2b+d 2c+f 2a-b a+2b 3b-2c -a+2d+3g -b+2e+3h -c+2f+3i = 2e-d d+2e 3e-2f -2g -2h -2i 2g-h g+2h 3h-2i 2a-d = 2a-b 2b+e = a+2b 2c+f = 3b-2c -a+2d+3g=2d-e e=a a 0 c -b+2e+3h=d+2e Resolviendo los sistemas: f= -4c B = 0 a -4c -c+2f+3i=3e-2f b=d=g=h=0 0 0 (3a+17c)/3 i=(3a+17c)/3-2g=2g-h -2h=g+2h -2i=3h-2i - 18

17 Ejercicios de álgebra. Vol. III Hallar la matriz X, que verifique: AX+C=BX, siendo A= B = C = AX+C=BX AX-BX =C (A-B) X = C Como (A-B) es una matriz 2x3, no se puede pasar como inversa al otro miembro y despejar así la matriz X, de la forma X= (A-B) -1 C a b Sea X 3x2 = c d A-B = - = e f a b c-e d-f 1 3 c-e = 1 (A-B)X = = = d-f = c d 3a-4c-4d 3b-4d-4f 2-1 3a-4c-4e = 2 3b-4d-4f = -1 a=(8c-d)/3 d= (3b-13)/8 e=c-1 f=(3b-37)/8 (8c-2)/3 b X = c (3b-13)/8 b,c R c-1 (3b-37)/ Resolver la ecuación matricial XA+BX = C, siendo A= B = y C = Como la matriz X no ocupa la misma posición en ambos sumandos, no se puede despejar. a b a b a b 1-2 Sea X= + = c d c d c d

18 Matrices - Determinantes - Cambios de base a+2b 3b + a+c b+d = 1-2 a+2b+a+c =1 c+2d 3d -a+2c -b+2d 0 3 3b+b+d = -2 Resolviendo, a=23/21, b = -13/21 3c+2d-a=0 c=1/21 d= 10/21 5d-b = 3 X= 23/21-13/21 1/21 10/ Hallar el rango de la matriz A = 1 2-5, según los valores de m m rg = rg = (3.ªf-1.ªf 2) = rg = [3.ª-2.ª(1-2m)] = m 1 2 m m 2+5m = rg Si m = 1/11, rg A = m Si m 1/11, rg A = Hallar la inversa de la matriz A = 0 1 3, por definición de inversa y por Gauss Por definición de inversa: a b c a+d-g b+e-h c+f-i d e f = d+3h e+3h f+3i = g h I a+2g b+2h c+2i a+d-g=1 d+3g=0 a+2g=0 20