2.4 ECUACIONES DE EIGENVALORES (2.4_AL_T_062, Revisión: )

Transcripción

1 .4 ECUACIONES DE EIGENVALORES (.4_AL 06, Revisión: ) Consideremos la multiplicación de una matriz por un vector, i.e.: y = Ax ; en D esto es y x = y x A transforma x y, esto es, un punto en D a otro punto en D ( equivalentemente, podemos verlo como un mapeo de R en R ). x A y Eemplo. Si x=, y = 0 A (,) (,0) Si en vez de puntos consideramos radio-vectores podemos representar la transformación como: A De acuerdo a las operaciones básicas entre vectores, podemos ver que el vector x gira y se alarga: el giro está dado por tan - (½), mientras que la magnitud es ahora y = x. Podemos decir entonces que una matriz de nxn toma un radio-vector en R n y lo transforma en otro vector de R n que está girado y alargado. Consideremos ahora el caso: 0

2 x= y = Ax = Nótese que el vector no gira, sólo se hace veces más largo. El problema de eigenvalores y eigenvectores (valores propios y vectores propios) consiste en encontrar los vectores que no giran bao una transformación (i.e., multiplicación por una matriz). El eigenvalor nos da el cambio de longitud (nótese que si el eigenvalor es negativo se puede pensar en un giro de π radianes o en una inversión). y = Ax= λx, x 0 (0 0, pues A 0= 0) Buscamos entonces x tal que Ax= λx= λix, o equivalentemente:( A λi) x = 0 (*) Para resolver esto, notamos que si ( A λ I) existe x= ( A λi) 0= 0, i.e., obtenemos la solución trivial al problema. Por lo tanto, para que ( A λi no exista A λi = 0. ) Eemplo. λ A=, A λ = =0 λ Del determinante obtenemos el polinomio característico: λ = 4 4λ+ λ = λ 4λ+ = λ λ = 0 λ =, son los eigenvalores (o valores propios). Para encontrar el eigenvector asociado a λ utilizamos (*) x 0 x 0 Para λ = : = = x 0 x 0 α x = x x =, i.e., cualquier escalar α satisface esta condición. α Es conveniente construir eigenvectores cuya longitud sea, i.e., normalizar los eigenvectores: x = α + α = α = α =, para λ =, e = 0

3 x x 0 Similarmente, para λ = : = = x = x x x 0 eigenvector e = (Nótese que también es eigenvector) Con los eigenvectores normalizados podemos construir la matriz modal si los acomodamos por columnas, esto es: 0 Q = Λ = 0 Eigenvector Eigenvector para λ = para λ = Gráficamente podemos representar esto como: A = no gira y se hace veces más largo vectores en esta línea no girarán y mantienen su longitud.4. EOREMAS SOBRE OPERADORES AUOADJUNOS. I Si un operador L es auto-adunto, entonces: a) los eigenvalores λ i son reales b) los eigenvectores e i correspondientes a distintos eigenvalores son ortogonales. Demostración. Consideremos un par de eigenvalores λ y sus correspondientes eigenvectores e. De acuerdo al problema general de eigenvalores Le = λ e ; utilizando el producto interno podemos establecer que: 0

4 ( e, Le) = ( e, λe) = λ ( e, e ) ( Le, e) = ( λe, e) = λ( e, e ) Dado que L es auto-adunto, podemos tomar la diferencia entre ambos productos internos para establecer que: Puesto que ( ) * ( Le, e) = ( e, Le) = ( e, Le) 0 = ( λ λ )( e, e ) e 0, e, e 0 λ = λ, y los eigenvalores son reales. Consideremos ahora el producto interno ( ei, e ), y eigenvalores λi, λ, ( λi λ) Lei = λ i e i. ( L, ) = ( λi, ) = λi( ei e ei e ei, e ) ( ei, Le) = ( ei, λe) = λ (, ) ei e = λ ei, e Utilizando el carácter auto-adunto del operador: (eigenvalores reales) ( Lei, e) ( ei, Le) = 0 0 = ( λi λ)( ei, e ) Si λ λ e, e = 0 e es ortogonal a e. i i i, II Para cualquier operador L auto-adunto en un espacio con dimensiones finitas, se pueden encontrar eigenvectores ortogonales para un eigenvalor con multiplicidad. No importa si los eigenvalores son distintos o no, de cualquier manera los eigenvectores son ortogonales. III Los eigenvectores de cualquier operador auto-adunto L en un espacio con dimensiones finitas forman base. Construir eigenvectores construir una base para el espacio con dimensiones finitas. Nota: Un caso particular importante es el sistema de Sturm-Liouville en el espacio de funciones dim =. 04

5 .4. MÁS EJEMPLOS Y DEFINICIONES. Eemplo. Se puede demostrar mediante el problema general de eigenvalores que si: a b A =, λ, = a± b b a Eemplo 4. Consideremos ahora Ax = λx, con 0 0 A = 0 0 Nótese que A está separada por bloques; para este tipo de matrices podemos reconocer la forma de los eigenvectores y eigenvalores. En particular, en este caso podemos esperar que uno de los eigenvectores sea λ=. Los bloques pueden visualizarse de la siguiente manera: 0 0 A = 0, λ =, con eigenvector asociado Para verificar esto podemos utilizar la metodología usual: Ecuación característica: λ 0 0 A λi = 0= 0 λ 0 λ λ λ = λ λ λ = λ λ =0 λ = 0, λ =, λ = valores repetidos. Eigenvectores: Para λ =0: x 0 x = 0 x = 0 ( A λi) x = x = 0 x + x = 0 x = x 0 0x 0 05

6 0 0 0 x x= α, e = = α =. α α xx α 0 0 x 0 Para λ = : 0 x = 0 x + x = 0, x 0 x 0 β = x x = γ γ Nótese que se pueden encontrar eigenvectores ortogonales y además ambos son ortogonales a e. Podemos tomar: 0 e = 0, e = 0 Por lo tanto, para 0 0 A = tenemos λ = 0, e =, o bien 0 ; 0 λ =, e = 0, y finalmente λ =, e = 0. En este eemplo puede verse la utilidad de reconocer o agrupar bloques dentro de una matriz para obtener los eigenvalores. El bloque de un solo elemento da automáticamente el eigenvalor (en este caso ) y en este caso en particular, es fácil reconocer la forma que debe tener el eigenvector asociado. El bloque de x es una matriz simétrica, y de acuerdo al eemplo, los eigenvalores son 0 y. 06

7 Los eigenvalores de un matriz nos dan información sobre el determinante. En particular, en el eemplo 4 encontramos que λ = 0. Esto implica que A - no existe dado que A =λλλ = 0. Para matrices de x, la ecuación característica puede escribirse como: λ λ + λ =, I I I 0 en donde I, I, I son los invariantes de la matriz, dados por: a a (( A) A ) I tr( A ) traza = a+ a + a a a a a I tr tr = a a + a a + a a A = a a a I a a a a a a Si I =0 se puede ver que λ I λ I λ λ( λ I λ I ) los eigenvalores es cero. + = + =, lo que implica que uno de 0 Definiciones para operadores matriciales. De acuerdo al problema de Eigenvalores Ax = λx, donde A es el operador matricial, se establece que una matriz es: positivamente definida si x. Ax> 0 x 0 positivamente definida si λ > 0 i =,,... positivamente semi-definida si x. Ax 0 x 0 positivamente semi-difinida si λi 0 negativamente definida si xax < 0 x 0 negativamente definida si λ i < 0 i =,,.. negativamente semi-definida si xax 0 x 0 negativamente semi-definida si λ 0 i =,,... En el eemplo anterior 4, A es positivamente semi-definida. i i Eemplo 5. Del eemplo anterior podemos ver que para A = obtenemos: 07

8 λ = 0, = e λ =, e = Con este resultado y agrupando por bloques podemos obtener también: 0 A = 0 0 tenemos bloques 0 bloque x (, ) λ =, e = bloque x λ = 0, e =, Los eigenvectores son entonces: 0 λ = 0, e =0 ; λ =, e = ; 0 λ =, e =0 Similarmente, si A = obtenemos: λ = 0, e = ; λ 0, ; λ, ; λ4, 4 = e = = e = = = e Los bloques pueden también encontrarse intercalados; por eemplo, si: 08

9 A =, tenemos bloques intercalados de DIAGONALIZACIÓN DE UNA MARIZ, POENCIAS, INVERSAS, EXPONENCIALES, EC. Considerando operadores matriciales auto-aduntos, i.e.: A* = A, el problema de eigenvalores tiene la forma: Ae = λe λ, λ.., λ n con eigenvectores e,e,...e n De acuerdo a los teoremas vistos anteriormente, los λ s son reales y los eigenvectores son ortogonales, o inclusive, pueden hacerse ortonormales, i.e.: e e, e = e,e = δ i i i i Además, los eigenvectores { e,e,...,en} forman base para R n. Analicemos ahora la matriz modal y la matriz diagonal de eigenvalores asociada, ambas definidas por: ( ( n )) λ λ λ n Q e e e Λ Se puede ver que la matriz modal es una matriz ortogonal, i.e., Q = Q pues: e e QQ= e... e e e n ( ( n )) Algunas propiedades útiles de una matriz ortogonal: () El determinante es ± e e e e e en 0 0 e e e e e en 0 0 = = n n n n 0 0 e e e e e e QQ= I, QQ= Q =, Q= ±. () No cambia la longitud de vectores. Supongamos que y = Qx, y = y, y = xqqx = xx = x 09

10 Con esto vemos entonces que la matriz modal Q sólo gira vectores. La matriz modal se puede utilizar para escribir en forma canónica la matriz A. Consideremos el caso general: Pre-multiplicando por Q obtenemos: e e Q AQ = ( A) (( e)...( en) ) = Ae... Aen e n e n e λ 0 0 = ( ( λe)...( λnen) ) = 0 λ 0 Λ 0 λ e n n ( ) QQ AQ = QΛ AQ = QΛ Post-multiplicando por Q : AQQ = QΛQ A= QΛQ, y también: QAQ = Λ Expresar la matriz A en términos del producto de la matriz modal, la matriz diagonal de eigenvalores y la matriz modal transpuesta es útil para realizar varias operaciones matriciales de interés. Observemos que: Ae = λe, A e = A( Ae) = λae = λ e En general: n n Ae= λ e. Nótese también que Ae = ( QΛQ ) e = QΛ = Qλ = λe 0 0 Si expresamos la matriz en términos de la matriz modal y la matriz diagonal de eigenvalores:, ( )( A= QΛQ A = QΛQ QΛQ ) = QΛ Q A = QΛ Q m m 0

11 Donde: Λ m m λ 0 0 m 0 λ 0 = m 0 0 λ n Algunos casos particulares interesantes: 0 0 λ 0 0 λ = = =, = A QΛQ Q Λ Q QΛ Q Λ Si: A QΛ Q con Λ λ λ λ n 0 0 λ n Nótese que A A = QΛ QQΛ Q = QΛ Q = QΛQ = A En general, esta descomposición de la matriz A permite realizar cualquier operación matricial manipulando únicamente la matriz diagonal de eigenvalores. Supongamos, por eemplo, que queremos evaluar A A. Utilizando la descomposición se obtiene: λ λ 0 A A= QΛ Q QΛQ = Q Λ Λ Q = Q Q 0 λn λ n ( ) De igual forma, podemos evaluar la matriz exponencial: Utilizando la descomposición matricial: A! e A I+ A Λ Λ e A = = QIQ QΛQ Q Q QI Λ Q

12 λ e 0 0 λ A Λ Λ 0 e 0 e e, e = Q Q 0 λn 0 0 e.4.4 APLICACIONES. a) Consideremos Ax = c, A =. Para resolver este problema podemos: ) Despear x = A c (i.e., utilizar álgebra matricial). ) Utilizar una eigen-expansión. Sabemos que Ae = λe, y por la forma de la matriz obtenemos: λ =, e =, λ =, e = + Nótese que la matriz es auto-adunta y, por lo tanto, los eigenvectores son base ortonormal (ON) para el espacio vectorial. Esto implica que podemos expresar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Consideremos, por eemplo: (, ) (, ) c= c e e + c e e, x= αe+ βe Si encontramos los coeficientes α y β del vector x podremos encontrar la solución del problema. Expresando todo en términos de los eigenvectores obtenemos: Ax = A αe + βe = αae + βae = αλe + βλ e ( ce, ) ( ce, ) α = β = λ λ c = = = + = = c e c e Por lo tanto: α = 0, β = x = = Supongamos que, (, ) 0, (, ) b) Consideremos el caso Ax = Λ x + c, donde Λ es un escalar dado.

13 Podemos hacer de nuevo una eigen-expansión: (, ),, c = c e e x = α e Ax = A α e = α Ae = α λ e El sistema es entonces: αλe Λ αe c, e e = 0 α ( λ Λ) (, ) = 0, con,,..., n [ ] ce e e e e LI α λ Λ ce, e+ α λ Λ ce, e e n = 0 Puesto que los vectores base son LI, cada uno de los coeficientes tiene que ser cero. Si Λ λ, =,,..., entonces: λ, e α λ Λ Si Λ= [ ] ( ce, ) α =, x= α λ Λ [ ] ce, ) 0 ( ce, ) 0 e ce, e e = 0, ce, e = 0 En este caso, si ( el sistema no tiene solución; si solución para cualquier valor de, i.e.: n (, ) n ce = λ x= e + e Λ =, se puede añadir a la c) Consideremos un sistema masa-resorte en serie como se muestra en la figura. El obetivo de estos problemas es generalmente encontrar los desplazamientos de las masas. Nótese que el resorte que une a las dos masas (m) dará como resultado un acoplamiento entre los dos desplazamientos x y x, i.e., el modelo matemático de este sistema será un sistema de ecuaciones acopladas. m m x x El comportamiento del sistema está descrito por: mx = x x x = mx x x x

14 Consideremos el caso = m= ; las ecuaciones son ahora: x + x x = 0 x + x x = 0 Podemos expresar esto en forma matricial: x x x+ Ax= 0, x=, x=, con x x A = Nótese que el operador A es auto-adunto y los eigenvalores y eigenvectores son: λ =, e =, λ, e = = Utilicemos la matriz modal para realizar un cambio de coordenadas. Consideremos específicamente el cambio: x= Qx, Q = x= Qx Qx + AQx = 0 Pre-multiplicando por la matriz modal transpuesta: QQx + QAQx = 0, pero QQ= I, QAQ= Λ. El sistema se reduce entonces a x + Λx = 0. Esto puede expresarse equivalentemente como: x + x = 0, x + x = 0 Las soluciones son, respectivamente: ( φ ) ( φ ) x = A sen t+, x = A sen t+ Regresando a las coordenadas originales obtenemos: 4

15 x A sen t+ φ = Qx = x Asen ( t+ φ) x sen ( t + φ ) ( φ ) sen ( t + φ ) ( φ ) c c = + x sen t + sen t + El uso de la matriz modal desacopla el sistema de ecuaciones y la solución queda expresada en términos de una combinación lineal de los modos normales, o equivalentemente, en términos de las frecuencias naturales de oscilación del sistema. 5