COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS. Libro de Ejercicios de Matemáticas Empresariales II

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1 COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS Libro de Ejercicios de Matemáticas Empresariales II Manuel León Navarro

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3 Capítulo 1 Ejercicios lección 1 1. Sea el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 M 2x2 = a b c d con a,b,c y d R 2. Sea la operación suma de matrices definida de la siguiente forma: Dadas dos matrices A 1 = a 1 b 1 c 1 d 1 ya 2 = a 2 b 2 c 2 d 2 Se define la suma de matrices como otra matriz S 2x2 que cumple que S = a 1 + a 2 b 1 + b 2 c 1 + c 2 d 1 + d 2 3. Sea la operación producto de un escalar por una matriz cuadrada definida de la forma siguiente: Dada una matriz A = a b c d 3

4 y dado un escalar α R, se define el producto de dicho escalar con la matriz como otra matriz P 2x2 que cumple que P = α a α b α c α d 4. Comprobar que el conjunto de matrices cuadradas de orden 2 junto con la operación suma sobre el conjunto de los numeros reales forman un espacio vectorial. 4

5 Capítulo 2 Ejercicios lección 2 1. Dado el conjunto de vectores de R 3, v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (1, 1, 1), v 3 = (0, 0, 1), v 4 = (2, 1, 3) se pide: a) Una combinación lineal de dichos vectores. b) Comprobar si dichos vectores forman un sistema generador de R 3 (razonando la respuesta) c) Comprobar si dichos vectores forman una base de R 3 (razonando la respuesta) d) Proponga una base de R 3 e) Suponga que el vector ā = (1, 1, 1) viene referido a la base anterior. Encuentre las coordenadas de dicho vector respecto de la base B 2 = {(1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 2)} 2. Sea el espacio vectorial V = {a + bx 2 + cx 4 /a, b, c ϵ R}. Y sea S un conjunto de elementos de V donde S = {3, 3x 4 x 2, 6x 4 2x 2 3}. Se pide Es S un sistema generador? Es una base?. 3. Dados los conjuntos de vectores B u = {ū 1, ū 2, ū 3 }, donde ū 1 = (1, 0, 1), ū 2 = (1, 1, 0) y ū 3 = (0, 1, 1) y B v = { v 1, v 2, v 3 }, donde v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (1, 2, 1) y v 3 = (1, 1, 1), además del vector x = (2, 1, 3), se pide: 5

6 a) Determinar si B u y B v representan sendas bases de R 3 b) Supuesto que el vector x dado venga expresado en la base B u, hallar su expresión en la base B v. 6

7 Capítulo 3 Ejercicios lección 3 1. Calcule el determinante siguiente: 3 a a a a a 3 a a a a a 3 a a a a a 3 a a a a a 3 2. Calcule el rango de la matriz siguiente:

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9 Capítulo 4 Ejercicios lección 4 1. Discuta y resuelva el sistema de ecuaciones siguiente: x 1 + 2x 2 x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 2x 3 = 4 3x 1 + 6x 2 3x 3 = 6 2. Comprobar si los conjuntos de vectores B 1 y B 2 de R 3 forman un sistema generador, una base o ambas, utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius. a) B 1 = (x 1, x 2, x 3 ) con x 1 = (0, 0, 1), x 2 = (2, 2, 5), x 3 = (3, 1, 2), b) B 1 = (y 1, y 2, y 3, y 4 ) con y 1 = (1, 0, 1), y 2 = (1, 0, 0), y 3 = (0, 0, 1), y 4 = (1, 1, 1) 3. Si el vector a = (0, 0, 1) viene referido a la base B 1, encontrar las coordenadas de dicho vector referidas a la base B 3 utilizando la inversa de una matriz. (B 3 = (z 1, z 2, z 3 ) con z 1 = (1, 0, 1), x 2 = (0, 1, 1), z 3 = (1, 1, 1) 9

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11 Capítulo 5 Ejercicios lección 5 1. Sea la aplicación siguiente: f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1, x 2 + x 3 ) se pide: a) Comprobar si dicha aplicación es lineal b) Encuentre el núcleo y la imagen de dicha aplicación y obtenga una base de cada subespacio. c) Suponiendo que dicha aplicación viene referida a las bases canónicas de R 3 y R 2, encuentre la expresión de dicha aplicación referida a las bases B 1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 2, 0)} y B 2 = {(1, 1), (0, 1)}(Razone su respuesta) 2. Sea la aplicación siguiente: f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1, x 2 + x 3, x 1 x 3 ) Se pide: a) Determine si esta aplicación es inyectiva, suprayectiva y/o biyectiva. b) Recordando que esta aplicación está referida a la base canónica, encuentre la expresión de dicha aplicación referida a la base B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 1, 0)} 11

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13 Capítulo 6 Ejercicios lección 6 Sea la aplicación siguiente: f(x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 + 3x 3, x 2, x 1 2x 3 ) se pide: 1. Calcule los autovalores de la matriz que representa dicha aplicación lineal. 2. Calcule los autoespacios asociados a los autovalores anteriores 3. Razone si la matriz que representa dicha aplicación lineal es diagonalizable. 4. En caso afirmativo explique el proceso para encontrar dicha matriz diagonal. 13

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15 Capítulo 7 Ejercicios lección 7 1. Sea la forma cuadrática definida de R 3 R: Q(x) = x x x x 1 x 2 + 2x 1 x 3 2x 2 x 3 Se pide: a) Encuentre la expresión matricial de la forma cuadrática y razone si la matriz que la representa es diagonalizable. b) Estudie su signo utilizando los menores principales. c) Sea y = (1, 1, 0). Sin hallar el valor de Q(y) puede saber cual sera su signo?. 2. Sea la forma cuadrática definida de R 3 R: Q(x) = 2x 1 x 2 Se pide: a) Encuentre la expresión matricial de la forma cuadrática y razone si la matriz que la representa es diagonalizable. b) Estudie su signo utilizando los autovalores. c) Sea y = (1, 1, 0). Sin hallar el valor de Q(y) puede saber cual sera su signo?. 15

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17 Capítulo 8 Ejercicios lección 8 1. Diga que tipo de funciones son las siguientes y halle el dominio: a) f(x) = 1 x 3 b) f(x, y) = y x y 2 2. Calcule los limites direccionales de la función f(x, y) = x y límite dicha función en el origen? Razone su respuesta. en el origen. Tiene 3. Calcule los limites iterados de la función f(x, y) = x y x+y límite dicha función en el origen? Razone su respuesta. en el origen. Tiene 4. Existe alguna forma de garantizar que la función anterior tiene limite en el origen? En caso afirmativo diga qué método y calcule el límite 5. Estudie la continuidad en el origen de las funciones de los apartados 2 y 3. 17

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19 Capítulo 9 Ejercicios lección 9 1. Sea la función: f(x 1, x 2 ) = x 2 1 x 3 2 a) Calcule la derivada de dicha función en el punto (1,1) según el vector (2,1). b) Encuentre, aplicando la definición, las derivadas parciales de dicha función en el punto (1,-1). c) Encuentre, aplicando también la definición, las funciones derivadas parciales. d) Calcule, a través de las reglas de derivación, el vector gradiente. 2. Sea la función siguiente: f(x, y) = (x 2 e y, sen x ln y, x 2 y) Diga que tipo de función es la anterior. Como se llama la matriz de derivadas parciales primeras de dicha función?. Calcule dicha matriz. 3. Diga como se llama y calcule la matriz de derivadas parciales segundas del siguiente campo escalar: f(x, y, z) = x 2 e y + ln z 19

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21 Capítulo 10 Ejercicios lección Estudie la diferenciabilidad de la función f(x, y, z) = x sen(y z 2 ). Compruebe que dicha función cumple el teorema de Schwarz 2. Calcular el diferencial de la función h = (g f) siendo: f(u, v) = u 3 v 3 + u + 1 y g(x, y) = (u, v) = (x 2 + y 2, e x+y 1) 3. Calcule la dirección de máximo crecimiento en la función f(x, y) = x/y en el punto (1,1). Cual es el valor de dicho crecimiento?. 4. Halle el polinomio de Taylor de segundo grado en el entorno del punto (0,0) de la función siguiente: f(x, y) = e 2x 3y 5. Estudie la homogeneidad de la función f(x, y) = xy y compruebe que dicha función cumple el teorema de Euler. 21

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23 Capítulo 11 Ejercicios lección Calcular los extremos relativos de la función siguiente: f(x, y) = x 3 + x 2 6xy + 3x + 6y 7 2. Una empresa produce dos bienes, X e Y. El precio de mercado del bien X es 2 y el precio de mercado del bien Y es 3. Si los costes de la empresa son C(X, Y ) = X 2 +2XY. Cuanto debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo? 3. Un alumno debe elegir entre estudiar matemáticas o estudiar Estadística. Si M es el número de horas que dedica a matemáticas y E el número de horas que dedica a estadística, y la nota final sigue la función f(m, E) = M 2 E, encuentre la cantidad de horas que debe dedicar a cada asignatura para maximizar la nota, suponiendo que el número de horas máximo que puede dedicar a estudiar por las tardes es 6. 23

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