Forma canónica de Jordan. Ejemplos 2 2 y 3 3

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1 Forma canónica de Jordan. Ejemplos 2 2 y 3 3 GAL2 IMERL 26 de agosto de 2010

2 forma canónica de Jordan forma canónica de Jordan repaso (forma canónica de Jordan)

3 forma canónica de Jordan forma canónica de Jordan repaso (forma canónica de Jordan) T : V V t.l. con dim V = n

4 forma canónica de Jordan forma canónica de Jordan repaso (forma canónica de Jordan) T : V V t.l. con dim V = n supongamos que χ T (λ) = (λ 1 λ) n 1... (λ k λ) n k

5 forma canónica de Jordan forma canónica de Jordan repaso (forma canónica de Jordan) T : V V t.l. con dim V = n supongamos que χ T (λ) = (λ 1 λ) n 1... (λ k λ) n k existe B base de V tal que

6 forma canónica de Jordan forma canónica de Jordan repaso (forma canónica de Jordan) T : V V t.l. con dim V = n supongamos que χ T (λ) = (λ 1 λ) n 1... (λ k λ) n k existe B base de V tal que B(T ) B = J(λ 1 ) J(λ 2 )... J(λ k )

7 forma canónica de Jordan forma canónica de Jordan repaso (forma canónica de Jordan) T : V V t.l. con dim V = n supongamos que χ T (λ) = (λ 1 λ) n 1... (λ k λ) n k existe B base de V tal que B(T ) B = J(λ 1 ) J(λ 2 )... donde J(λ i ) M n (K) bloque de Jordan J(λ k )

8 bloque de Jordan bloque de Jordan repaso (bloque de Jordan)

9 bloque de Jordan bloque de Jordan repaso (bloque de Jordan) un bloque de Jordan de vap λ es

10 bloque de Jordan bloque de Jordan repaso (bloque de Jordan) un bloque de Jordan de vap λ es J(λ) = sj k1 (λ) sj k2 (λ)... sj kp (λ)

11 bloque de Jordan bloque de Jordan repaso (bloque de Jordan) un bloque de Jordan de vap λ es J(λ) = sj k1 (λ) sj k2 (λ)... sj kp (λ) con k 1 k 2 k p

12 sub-bloque de Jordan repaso (sub-bloque de Jordan) sub-bloque de Jordan asociado al vap λ de tamaño k:

13 sub-bloque de Jordan repaso (sub-bloque de Jordan) sub-bloque de Jordan asociado al vap λ de tamaño k: λ λ λ 0. sj k (λ) = λ λ M k (λ)

14 raíces reales distintas ejemplo 1 raíces reales distintas A = ( )

15 raíces reales distintas ejemplo 1 raíces reales distintas A = ( ) χ A (λ) = λ 2 5λ + 6 =

16 raíces reales distintas ejemplo 1 raíces reales distintas A = ( ) χ A (λ) = λ 2 5λ + 6 = (λ 2)(λ 3)

17 raíces reales distintas ejemplo 1 raíces reales distintas A = ( ) χ A (λ) = λ 2 5λ + 6 = (λ 2)(λ 3) vap 2, 3

18 raíces reales distintas ejemplo 1 raíces reales distintas A = ( ) χ A (λ) = λ 2 5λ + 6 = (λ 2)(λ 3) vap 2, 3 J = ( )

19 raíces reales distintas ejemplo 1 base de Jordan para buscar base de Jordan, en este caso alcanza con encontrar los vep

20 raíces reales distintas ejemplo 1 base de Jordan para buscar base de Jordan, en este caso alcanza con encontrar los vep vep asociado a 2 (1, 1)

21 raíces reales distintas ejemplo 1 base de Jordan para buscar base de Jordan, en este caso alcanza con encontrar los vep vep asociado a 2 (1, 1) vep asociado a 3 (2, 3)

22 raíces reales distintas ejemplo 1 base de Jordan para buscar base de Jordan, en este caso alcanza con encontrar los vep vep asociado a 2 (1, 1) vep asociado a 3 (2, 3) matriz cambio de base ( ) 1 2 P = 1 3

23 raíces reales distintas ejemplo 1 base de Jordan para buscar base de Jordan, en este caso alcanza con encontrar los vep vep asociado a 2 (1, 1) vep asociado a 3 (2, 3) matriz cambio de base ( ) 1 2 P = 1 3 tenemos AP = PJ

24 raíz característica doble ejemplos 2 y 3 raíz doble supongamos que A tiene polinomio característico

25 raíz característica doble ejemplos 2 y 3 raíz doble supongamos que A tiene polinomio característico χ A (λ) = (λ 0 λ) 2

26 raíz característica doble ejemplos 2 y 3 raíz doble supongamos que A tiene polinomio característico χ A (λ) = (λ 0 λ) 2 hay 2 opciones:

27 raíz característica doble ejemplos 2 y 3 raíz doble supongamos que A tiene polinomio característico χ A (λ) = (λ 0 λ) 2 hay 2 opciones: 1 A diagonalizable

28 raíz característica doble ejemplos 2 y 3 raíz doble supongamos que A tiene polinomio característico χ A (λ) = (λ 0 λ) 2 hay 2 opciones: 1 A diagonalizable 2 A no diagonalizable

29 raíz característica doble ejemplo 2 raíz doble - A diagonalizable proposición A M 2 (K) tal que

30 raíz característica doble ejemplo 2 raíz doble - A diagonalizable proposición A M 2 (K) tal que χ A (λ) = (λ 0 λ) 2 y

31 raíz característica doble ejemplo 2 raíz doble - A diagonalizable proposición A M 2 (K) tal que χ A (λ) = (λ 0 λ) 2 y A diagonalizable

32 raíz característica doble ejemplo 2 raíz doble - A diagonalizable proposición A M 2 (K) tal que χ A (λ) = (λ 0 λ) 2 y A diagonalizable ( ) λ0 0 A = 0 λ 0

33 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable

34 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable AP = PJ con J = λ 0 I

35 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable AP = PJ con J = λ 0 I A = PJP 1

36 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable AP = PJ con J = λ 0 I A = PJP 1 = λ 0 PP 1

37 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable AP = PJ con J = λ 0 I A = PJP 1 = λ 0 PP 1 = λ 0 I

38 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable AP = PJ con J = λ 0 I A = PJP 1 = λ 0 PP 1 = λ 0 I A diagonal (no sólo diagonalizable)

39 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable AP = PJ con J = λ 0 I A = PJP 1 = λ 0 PP 1 = λ 0 I A diagonal (no sólo diagonalizable)

40 raíz característica doble ejemplo 3 raíz doble - A no diagonalizable A = ( )

41 raíz característica doble ejemplo 3 raíz doble - A no diagonalizable A = ( χ A (λ) = (1 λ)(3 λ) + 1 = (2 λ) 2 )

42 raíz característica doble ejemplo 3 raíz doble - A no diagonalizable A = ( χ A (λ) = (1 λ)(3 λ) + 1 = (2 λ) 2 como A no es diagonal, y tiene raíz doble, ya sabemos que no es diagonalizable )

43 raíz característica doble ejemplo 3 raíz doble - A no diagonalizable A = ( χ A (λ) = (1 λ)(3 λ) + 1 = (2 λ) 2 como A no es diagonal, y tiene raíz doble, ya sabemos que no es diagonalizable J = ( ) )

44 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan

45 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan AP = PJ

46 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan AP = PJ A(v 1, v 2 ) = (v 1, v 2 ) ( )

47 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan AP = PJ A(v 1, v 2 ) = (v 1, v 2 ) ( (Av 1, Av 2 ) = (2v 1 + v 2, 2v 2 ) )

48 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan AP = PJ A(v 1, v 2 ) = (v 1, v 2 ) ( (Av 1, Av 2 ) = (2v 1 + v 2, 2v 2 ) ) { Av1 = 2v 1 + v 2 Av 2 = v 2

49 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan AP = PJ A(v 1, v 2 ) = (v 1, v 2 ) ( (Av 1, Av 2 ) = (2v 1 + v 2, 2v 2 ) ) { Av1 = 2v 1 + v 2 Av 2 = v 2 (A 2I)v 2 = 0

50 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan AP = PJ A(v 1, v 2 ) = (v 1, v 2 ) ( (Av 1, Av 2 ) = (2v 1 + v 2, 2v 2 ) ) { Av1 = 2v 1 + v 2 (A 2I)v 1 = v 2 Av 2 = v 2 (A 2I)v 2 = 0

51 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan ( ) (A 2I ) = 1 1 0

52 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan ( ) (A 2I ) = v 2 = ( 1, 1)

53 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan ( ) (A 2I v 2 ) = v 2 = ( 1, 1)

54 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan ( ) (A 2I v 2 ) = v 2 = ( 1, 1) v 1 = (1, 0)

55 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan ( ) (A 2I v 2 ) = v 2 = ( 1, 1) v 1 = (1, 0) ( ) 1 1 A = 0 1 ( ) ( )

56 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan ( ) (A 2I v 2 ) = v 2 = ( 1, 1) v 1 = (1, 0) ( ) 1 1 A = 0 1 o sea AP = PJ ( ) ( )

57 raíces características distintas ejemplo 4 las 3 raíces son distintas A =

58 raíces características distintas ejemplo 4 las 3 raíces son distintas calculamos χ A (λ) A =

59 raíces características distintas ejemplo 4 las 3 raíces son distintas A = calculamos χ A (λ) = (3 λ)(1 λ)(2 λ)

60 raíces características distintas ejemplo 4 las 3 raíces son distintas A = calculamos χ A (λ) = (3 λ)(1 λ)(2 λ) J =

61 raíces características distintas ejemplo 4 las 3 raíces son distintas A = calculamos χ A (λ) = (3 λ)(1 λ)(2 λ) J = alcanza con encontrar los vep asociados a 1, 2, 3

62 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 1

63 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 1 (A I 0) =

64 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 1 (A I 0) = v 1 = (0, 1, 0) vep asociado a

65 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 2 (A 2I 0) = v 1 = (0, 1, 0) vep asociado a

66 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 2 (A 2I 0) = v 1 = (0, 1, 0) vep asociado a 1 v 2 = (0, 0, 1) vep asociado a

67 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 3 (A I 0) = v 1 = (0, 1, 0) vep asociado a 1 v 2 = (0, 0, 1) vep asociado a

68 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 3 (A I 0) = v 1 = (0, 1, 0) vep asociado a 1 v 2 = (0, 0, 1) vep asociado a v 3 = (1, 1, 0) vep asociado a 3

69 raíces características distintas ejemplo 4 conclusión

70 raíces características distintas ejemplo 4 conclusión tenemos entonces AP = PJ donde

71 raíces características distintas ejemplo 4 conclusión tenemos entonces AP = PJ donde P =

72 raíces características distintas ejemplo 4 conclusión tenemos entonces AP = PJ donde es decir: P = =

73 raíces características distintas ejemplo 4 conclusión tenemos entonces AP = PJ donde es decir: verificarlo P = =

74 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble

75 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble si χ A = (λ 1 λ)(λ 2 λ) 2

76 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble si χ A = (λ 1 λ)(λ 2 λ) 2 hay 2 posibilidades:

77 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble si χ A = (λ 1 λ)(λ 2 λ) 2 hay 2 posibilidades: 1 dim ker(a λ 2 I) = 2

78 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble si χ A = (λ 1 λ)(λ 2 λ) 2 hay 2 posibilidades: 1 dim ker(a λ 2 I) = 2 A diagonalizable λ J = 0 λ λ 2

79 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble si χ A = (λ 1 λ)(λ 2 λ) 2 hay 2 posibilidades: 1 dim ker(a λ 2 I) = 2 A diagonalizable λ J = 0 λ λ 2 2 dim ker(a λ 2 I) = 1

80 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble si χ A = (λ 1 λ)(λ 2 λ) 2 hay 2 posibilidades: 1 dim ker(a λ 2 I) = 2 A diagonalizable λ J = 0 λ λ 2 2 dim ker(a λ 2 I) = 1 A no diagonalizable J = λ λ λ 2

81 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable A =

82 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable A = χ A (λ) = (1 λ)(1 + λ)

83 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable A = χ A (λ) = (1 λ)(1 + λ) 2 calculamos dim ker(a + I)

84 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable buscamos J: (A + I 0) =

85 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable buscamos J: dim ker(a + I) = 2 (A + I 0) =

86 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable buscamos J: (A + I 0) = dim ker(a + I) = J =

87 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable buscamos J: (A + I 0) = dim ker(a + I) = J = vep asociados a 1: v 2 = ( 1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1)

88 dos raíces características iguales ejemplo 5 una raíz doble - A diagonalizable buscamos vep asociado a 1:

89 dos raíces características iguales ejemplo 5 una raíz doble - A diagonalizable buscamos vep asociado a 1: (A I 0) =

90 dos raíces características iguales ejemplo 5 una raíz doble - A diagonalizable buscamos vep asociado a 1: (A I 0) = vep asociado a 1: v 1 = (1, 0, 2)

91 dos raíces características iguales ejemplo 5 una raíz doble - A diagonalizable buscamos vep asociado a 1: (A I 0) = vep asociado a 1: v 1 = (1, 0, 2) vep asociados a 1: v 2 = ( 1, 1, 0) y v 3 = (0, 0, 1)

92 dos raíces características iguales ejemplo 5 una raíz doble - A diagonalizable buscamos vep asociado a 1: (A I 0) = vep asociado a 1: v 1 = (1, 0, 2) vep asociados a 1: v 2 = ( 1, 1, 0) y v 3 = (0, 0, 1) P =

93 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable A =

94 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable A = χ A (λ) = (2 λ) 2 (7 λ)

95 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable A = χ A (λ) = (2 λ) 2 (7 λ) para ver cómo es J hay que calcular dim ker(a 2I)

96 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos J, para eso planteamos:

97 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos J, para eso planteamos: (A 2I 0) =

98 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos J, para eso planteamos: (A 2I 0) = dim ker(a 2I) =

99 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos J, para eso planteamos: (A 2I 0) = dim ker(a 2I) = ya que estamos, vep asociado a 2: w = (1, 0, 0)

100 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos J, para eso planteamos: (A 2I 0) = dim ker(a 2I) = ya que estamos, vep asociado a 2: w = (1, 0, 0) J =

101 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos que AP = PJ

102 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos que AP = PJ es decir A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 )

103 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos que AP = PJ es decir A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (2v 1 + v 2, v 2, 7v 3 )

104 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos que AP = PJ es decir A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (2v 1 + v 2, v 2, 7v 3 ) v 2 vep asociado a 2 v 2 = (1, 0, 0)

105 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos que AP = PJ es decir A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (2v 1 + v 2, v 2, 7v 3 ) v 2 vep asociado a 2 v 2 = (1, 0, 0) (A 2I)v 1 = v

106 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos que AP = PJ es decir A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (2v 1 + v 2, v 2, 7v 3 ) v 2 vep asociado a 2 v 2 = (1, 0, 0) (A 2I)v 1 = v 2 v 3 vep asociado a

107 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 1 :

108 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 1 : (A 2I v 2 ) =

109 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 1 : v 1 = (0, 0, 1) (A 2I v 2 ) =

110 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 1 : v 1 = (0, 0, 1) v 2 = (1, 0, 0) (A 2I v 2 ) =

111 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 3 : v 1 = (0, 0, 1) v 2 = (1, 0, 0) (A 7I 0) =

112 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 3 : v 1 = (0, 0, 1) v 2 = (1, 0, 0) v 3 = (1, 1, 1) (A 7I 0) =

113 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 3 : v 1 = (0, 0, 1) v 2 = (1, 0, 0) (A 7I 0) = v 3 = (1, 1, 1) P =

114 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3

115 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones:

116 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3

117 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3 A diagonal

118 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3 A diagonal (ejercicio)

119 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3 A diagonal (ejercicio) 2 dim ker(a λ 0 ) = 2

120 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3 A diagonal (ejercicio) λ dim ker(a λ 0 ) = 2 J = 0 λ 0 0 (ejemplo 7) 0 1 λ 0

121 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3 A diagonal (ejercicio) λ dim ker(a λ 0 ) = 2 J = 0 λ 0 0 (ejemplo 7) 0 1 λ 0 3 dim ker(a λ 0 ) = 2

122 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3 A diagonal (ejercicio) λ dim ker(a λ 0 ) = 2 J = 0 λ 0 0 (ejemplo 7) 0 1 λ 0 λ dim ker(a λ 0 ) = 2 J = 1 λ 0 0 (ejemplo 8) 0 1 λ 0

123 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques A =

124 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques A = buscamos vap χ A (λ) = (3 λ)(4 λ)(2 λ) + (3 λ)

125 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques A = buscamos vap χ A (λ) = (3 λ)(4 λ)(2 λ) + (3 λ) = (3 λ)[(4 λ)(2 λ) + 1]

126 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques A = buscamos vap χ A (λ) = (3 λ)(4 λ)(2 λ) + (3 λ) = (3 λ)[(4 λ)(2 λ) + 1] = (3 λ) 3

127 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques A = buscamos vap χ A (λ) = (3 λ)(4 λ)(2 λ) + (3 λ) = (3 λ)[(4 λ)(2 λ) + 1] = (3 λ) 3 calculamos m.g.(3) = dim ker(a 3I)

128 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques A = buscamos vap χ A (λ) = (3 λ)(4 λ)(2 λ) + (3 λ) = (3 λ)[(4 λ)(2 λ) + 1] = (3 λ) 3 calculamos m.g.(3) = dim ker(a 3I) = # sub-bloques

129 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques planteamos (A 3I 0) =

130 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques planteamos (A 3I 0) = y = z, x cualquiera

131 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques planteamos (A 3I 0) = y = z, x cualquiera hay 2 bloques

132 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques planteamos (A 3I 0) = y = z, x cualquiera hay 2 bloques de paso v = (1, 0, 0) y w = (0, 1, 1) vep asociados 3

133 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ

134 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 )

135 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 )

136 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 ) v 1 y v 3 vep asoc a 3

137 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 ) v 1 y v 3 vep asoc a 3 v 1 = (1, 0, 0) y v 3 = (0, 1, 1)

138 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 ) v 1 y v 3 vep asoc a 3 v 1 = (1, 0, 0) y v 3 = (0, 1, 1) (A 3I)v 2 = v 3

139 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 ) v 1 y v 3 vep asoc a 3 v 1 = (1, 0, 0) y v 3 = (0, 1, 1) (A 3I)v 2 = v (A 3I v 3 ) =

140 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 ) v 1 y v 3 vep asoc a 3 v 1 = (1, 0, 0) y v 3 = (0, 1, 1) (A 3I)v 2 = v (A 3I v 3 ) = v 2 = (0, 1, 0)

141 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 ) v 1 y v 3 vep asoc a 3 v 1 = (1, 0, 0) y v 3 = (0, 1, 1) (A 3I)v 2 = v (A 3I v 3 ) = v 2 = (0, 1, 0) P =

142 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A =

143 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A = χ A (λ) = (2 λ) (2 λ)

144 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A = χ A (λ) = (2 λ) (2 λ) = (2 λ)(13 7λ + λ 2 ) + 1

145 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A = χ A (λ) = (2 λ) (2 λ) = (2 λ)(13 7λ + λ 2 ) + 1 = 27 27λ + 9λ 2 λ 3

146 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A = χ A (λ) = (2 λ) (2 λ) = (2 λ)(13 7λ + λ 2 ) + 1 = 27 27λ + 9λ 2 λ 3 = (3 λ) 3

147 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A = χ A (λ) = (2 λ) (2 λ) = (2 λ)(13 7λ + λ 2 ) + 1 = 27 27λ + 9λ 2 λ 3 = (3 λ) 3 calculamos m.g.(3) = dim ker(a 3I) = # de sub-bloques

148 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple- 1 sub-bloque planteamos (A 3I 0) =

149 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple- 1 sub-bloque planteamos (A 3I 0) = y = z, x = 0, (dim S 3 = 1)

150 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple- 1 sub-bloque planteamos (A 3I 0) = y = z, x = 0, (dim S 3 = 1) J =

151 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple- 1 sub-bloque planteamos (A 3I 0) = y = z, x = 0, (dim S 3 = 1) J = de paso vep asociado a 3: w = (0, 1, 1)

152 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 )

153 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2

154 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3

155 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0

156 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 v 3 = (0, 1, 1) (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0

157 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0 v 3 = (0, 1, 1) (A 3I v 3 ) =

158 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0 v 3 = (0, 1, 1) v 2 = ( 1, 1, 0) (A 3I v 3 ) =

159 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0 v 3 = (0, 1, 1) v 2 = ( 1, 1, 0) (A 3I v 2 ) =

160 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0 v 3 = (0, 1, 1) v 2 = ( 1, 1, 0) v 1 = (1, 0, 0) (A 3I v 2 ) =

161 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A = (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0 v 3 = (0, 1, 1) v 2 = ( 1, 1, 0) v 1 = (1, 0, 0) (A 3I v 2 ) =

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