Forma canónica de Jordan. Ejemplos 2 2 y 3 3
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- Ángela Giménez Montes
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1 Forma canónica de Jordan. Ejemplos 2 2 y 3 3 GAL2 IMERL 26 de agosto de 2010
2 forma canónica de Jordan forma canónica de Jordan repaso (forma canónica de Jordan)
3 forma canónica de Jordan forma canónica de Jordan repaso (forma canónica de Jordan) T : V V t.l. con dim V = n
4 forma canónica de Jordan forma canónica de Jordan repaso (forma canónica de Jordan) T : V V t.l. con dim V = n supongamos que χ T (λ) = (λ 1 λ) n 1... (λ k λ) n k
5 forma canónica de Jordan forma canónica de Jordan repaso (forma canónica de Jordan) T : V V t.l. con dim V = n supongamos que χ T (λ) = (λ 1 λ) n 1... (λ k λ) n k existe B base de V tal que
6 forma canónica de Jordan forma canónica de Jordan repaso (forma canónica de Jordan) T : V V t.l. con dim V = n supongamos que χ T (λ) = (λ 1 λ) n 1... (λ k λ) n k existe B base de V tal que B(T ) B = J(λ 1 ) J(λ 2 )... J(λ k )
7 forma canónica de Jordan forma canónica de Jordan repaso (forma canónica de Jordan) T : V V t.l. con dim V = n supongamos que χ T (λ) = (λ 1 λ) n 1... (λ k λ) n k existe B base de V tal que B(T ) B = J(λ 1 ) J(λ 2 )... donde J(λ i ) M n (K) bloque de Jordan J(λ k )
8 bloque de Jordan bloque de Jordan repaso (bloque de Jordan)
9 bloque de Jordan bloque de Jordan repaso (bloque de Jordan) un bloque de Jordan de vap λ es
10 bloque de Jordan bloque de Jordan repaso (bloque de Jordan) un bloque de Jordan de vap λ es J(λ) = sj k1 (λ) sj k2 (λ)... sj kp (λ)
11 bloque de Jordan bloque de Jordan repaso (bloque de Jordan) un bloque de Jordan de vap λ es J(λ) = sj k1 (λ) sj k2 (λ)... sj kp (λ) con k 1 k 2 k p
12 sub-bloque de Jordan repaso (sub-bloque de Jordan) sub-bloque de Jordan asociado al vap λ de tamaño k:
13 sub-bloque de Jordan repaso (sub-bloque de Jordan) sub-bloque de Jordan asociado al vap λ de tamaño k: λ λ λ 0. sj k (λ) = λ λ M k (λ)
14 raíces reales distintas ejemplo 1 raíces reales distintas A = ( )
15 raíces reales distintas ejemplo 1 raíces reales distintas A = ( ) χ A (λ) = λ 2 5λ + 6 =
16 raíces reales distintas ejemplo 1 raíces reales distintas A = ( ) χ A (λ) = λ 2 5λ + 6 = (λ 2)(λ 3)
17 raíces reales distintas ejemplo 1 raíces reales distintas A = ( ) χ A (λ) = λ 2 5λ + 6 = (λ 2)(λ 3) vap 2, 3
18 raíces reales distintas ejemplo 1 raíces reales distintas A = ( ) χ A (λ) = λ 2 5λ + 6 = (λ 2)(λ 3) vap 2, 3 J = ( )
19 raíces reales distintas ejemplo 1 base de Jordan para buscar base de Jordan, en este caso alcanza con encontrar los vep
20 raíces reales distintas ejemplo 1 base de Jordan para buscar base de Jordan, en este caso alcanza con encontrar los vep vep asociado a 2 (1, 1)
21 raíces reales distintas ejemplo 1 base de Jordan para buscar base de Jordan, en este caso alcanza con encontrar los vep vep asociado a 2 (1, 1) vep asociado a 3 (2, 3)
22 raíces reales distintas ejemplo 1 base de Jordan para buscar base de Jordan, en este caso alcanza con encontrar los vep vep asociado a 2 (1, 1) vep asociado a 3 (2, 3) matriz cambio de base ( ) 1 2 P = 1 3
23 raíces reales distintas ejemplo 1 base de Jordan para buscar base de Jordan, en este caso alcanza con encontrar los vep vep asociado a 2 (1, 1) vep asociado a 3 (2, 3) matriz cambio de base ( ) 1 2 P = 1 3 tenemos AP = PJ
24 raíz característica doble ejemplos 2 y 3 raíz doble supongamos que A tiene polinomio característico
25 raíz característica doble ejemplos 2 y 3 raíz doble supongamos que A tiene polinomio característico χ A (λ) = (λ 0 λ) 2
26 raíz característica doble ejemplos 2 y 3 raíz doble supongamos que A tiene polinomio característico χ A (λ) = (λ 0 λ) 2 hay 2 opciones:
27 raíz característica doble ejemplos 2 y 3 raíz doble supongamos que A tiene polinomio característico χ A (λ) = (λ 0 λ) 2 hay 2 opciones: 1 A diagonalizable
28 raíz característica doble ejemplos 2 y 3 raíz doble supongamos que A tiene polinomio característico χ A (λ) = (λ 0 λ) 2 hay 2 opciones: 1 A diagonalizable 2 A no diagonalizable
29 raíz característica doble ejemplo 2 raíz doble - A diagonalizable proposición A M 2 (K) tal que
30 raíz característica doble ejemplo 2 raíz doble - A diagonalizable proposición A M 2 (K) tal que χ A (λ) = (λ 0 λ) 2 y
31 raíz característica doble ejemplo 2 raíz doble - A diagonalizable proposición A M 2 (K) tal que χ A (λ) = (λ 0 λ) 2 y A diagonalizable
32 raíz característica doble ejemplo 2 raíz doble - A diagonalizable proposición A M 2 (K) tal que χ A (λ) = (λ 0 λ) 2 y A diagonalizable ( ) λ0 0 A = 0 λ 0
33 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable
34 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable AP = PJ con J = λ 0 I
35 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable AP = PJ con J = λ 0 I A = PJP 1
36 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable AP = PJ con J = λ 0 I A = PJP 1 = λ 0 PP 1
37 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable AP = PJ con J = λ 0 I A = PJP 1 = λ 0 PP 1 = λ 0 I
38 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable AP = PJ con J = λ 0 I A = PJP 1 = λ 0 PP 1 = λ 0 I A diagonal (no sólo diagonalizable)
39 raíz característica doble ejemplo 2 demostración λ 0 raíz doble, A diagonalizable AP = PJ con J = λ 0 I A = PJP 1 = λ 0 PP 1 = λ 0 I A diagonal (no sólo diagonalizable)
40 raíz característica doble ejemplo 3 raíz doble - A no diagonalizable A = ( )
41 raíz característica doble ejemplo 3 raíz doble - A no diagonalizable A = ( χ A (λ) = (1 λ)(3 λ) + 1 = (2 λ) 2 )
42 raíz característica doble ejemplo 3 raíz doble - A no diagonalizable A = ( χ A (λ) = (1 λ)(3 λ) + 1 = (2 λ) 2 como A no es diagonal, y tiene raíz doble, ya sabemos que no es diagonalizable )
43 raíz característica doble ejemplo 3 raíz doble - A no diagonalizable A = ( χ A (λ) = (1 λ)(3 λ) + 1 = (2 λ) 2 como A no es diagonal, y tiene raíz doble, ya sabemos que no es diagonalizable J = ( ) )
44 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan
45 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan AP = PJ
46 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan AP = PJ A(v 1, v 2 ) = (v 1, v 2 ) ( )
47 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan AP = PJ A(v 1, v 2 ) = (v 1, v 2 ) ( (Av 1, Av 2 ) = (2v 1 + v 2, 2v 2 ) )
48 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan AP = PJ A(v 1, v 2 ) = (v 1, v 2 ) ( (Av 1, Av 2 ) = (2v 1 + v 2, 2v 2 ) ) { Av1 = 2v 1 + v 2 Av 2 = v 2
49 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan AP = PJ A(v 1, v 2 ) = (v 1, v 2 ) ( (Av 1, Av 2 ) = (2v 1 + v 2, 2v 2 ) ) { Av1 = 2v 1 + v 2 Av 2 = v 2 (A 2I)v 2 = 0
50 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan AP = PJ A(v 1, v 2 ) = (v 1, v 2 ) ( (Av 1, Av 2 ) = (2v 1 + v 2, 2v 2 ) ) { Av1 = 2v 1 + v 2 (A 2I)v 1 = v 2 Av 2 = v 2 (A 2I)v 2 = 0
51 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan ( ) (A 2I ) = 1 1 0
52 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan ( ) (A 2I ) = v 2 = ( 1, 1)
53 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan ( ) (A 2I v 2 ) = v 2 = ( 1, 1)
54 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan ( ) (A 2I v 2 ) = v 2 = ( 1, 1) v 1 = (1, 0)
55 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan ( ) (A 2I v 2 ) = v 2 = ( 1, 1) v 1 = (1, 0) ( ) 1 1 A = 0 1 ( ) ( )
56 raíz característica doble ejemplo 3 A no diag - buscando base de Jordan ( ) (A 2I v 2 ) = v 2 = ( 1, 1) v 1 = (1, 0) ( ) 1 1 A = 0 1 o sea AP = PJ ( ) ( )
57 raíces características distintas ejemplo 4 las 3 raíces son distintas A =
58 raíces características distintas ejemplo 4 las 3 raíces son distintas calculamos χ A (λ) A =
59 raíces características distintas ejemplo 4 las 3 raíces son distintas A = calculamos χ A (λ) = (3 λ)(1 λ)(2 λ)
60 raíces características distintas ejemplo 4 las 3 raíces son distintas A = calculamos χ A (λ) = (3 λ)(1 λ)(2 λ) J =
61 raíces características distintas ejemplo 4 las 3 raíces son distintas A = calculamos χ A (λ) = (3 λ)(1 λ)(2 λ) J = alcanza con encontrar los vep asociados a 1, 2, 3
62 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 1
63 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 1 (A I 0) =
64 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 1 (A I 0) = v 1 = (0, 1, 0) vep asociado a
65 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 2 (A 2I 0) = v 1 = (0, 1, 0) vep asociado a
66 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 2 (A 2I 0) = v 1 = (0, 1, 0) vep asociado a 1 v 2 = (0, 0, 1) vep asociado a
67 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 3 (A I 0) = v 1 = (0, 1, 0) vep asociado a 1 v 2 = (0, 0, 1) vep asociado a
68 raíces características distintas ejemplo 4 buscando la base de Jordan vep asociado a 3 (A I 0) = v 1 = (0, 1, 0) vep asociado a 1 v 2 = (0, 0, 1) vep asociado a v 3 = (1, 1, 0) vep asociado a 3
69 raíces características distintas ejemplo 4 conclusión
70 raíces características distintas ejemplo 4 conclusión tenemos entonces AP = PJ donde
71 raíces características distintas ejemplo 4 conclusión tenemos entonces AP = PJ donde P =
72 raíces características distintas ejemplo 4 conclusión tenemos entonces AP = PJ donde es decir: P = =
73 raíces características distintas ejemplo 4 conclusión tenemos entonces AP = PJ donde es decir: verificarlo P = =
74 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble
75 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble si χ A = (λ 1 λ)(λ 2 λ) 2
76 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble si χ A = (λ 1 λ)(λ 2 λ) 2 hay 2 posibilidades:
77 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble si χ A = (λ 1 λ)(λ 2 λ) 2 hay 2 posibilidades: 1 dim ker(a λ 2 I) = 2
78 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble si χ A = (λ 1 λ)(λ 2 λ) 2 hay 2 posibilidades: 1 dim ker(a λ 2 I) = 2 A diagonalizable λ J = 0 λ λ 2
79 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble si χ A = (λ 1 λ)(λ 2 λ) 2 hay 2 posibilidades: 1 dim ker(a λ 2 I) = 2 A diagonalizable λ J = 0 λ λ 2 2 dim ker(a λ 2 I) = 1
80 dos raíces características iguales ejemplos 5 y 6 una raíz doble si χ A = (λ 1 λ)(λ 2 λ) 2 hay 2 posibilidades: 1 dim ker(a λ 2 I) = 2 A diagonalizable λ J = 0 λ λ 2 2 dim ker(a λ 2 I) = 1 A no diagonalizable J = λ λ λ 2
81 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable A =
82 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable A = χ A (λ) = (1 λ)(1 + λ)
83 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable A = χ A (λ) = (1 λ)(1 + λ) 2 calculamos dim ker(a + I)
84 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable buscamos J: (A + I 0) =
85 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable buscamos J: dim ker(a + I) = 2 (A + I 0) =
86 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable buscamos J: (A + I 0) = dim ker(a + I) = J =
87 dos raíces características iguales ejemplo 5 raíz doble - A diagonalizable buscamos J: (A + I 0) = dim ker(a + I) = J = vep asociados a 1: v 2 = ( 1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1)
88 dos raíces características iguales ejemplo 5 una raíz doble - A diagonalizable buscamos vep asociado a 1:
89 dos raíces características iguales ejemplo 5 una raíz doble - A diagonalizable buscamos vep asociado a 1: (A I 0) =
90 dos raíces características iguales ejemplo 5 una raíz doble - A diagonalizable buscamos vep asociado a 1: (A I 0) = vep asociado a 1: v 1 = (1, 0, 2)
91 dos raíces características iguales ejemplo 5 una raíz doble - A diagonalizable buscamos vep asociado a 1: (A I 0) = vep asociado a 1: v 1 = (1, 0, 2) vep asociados a 1: v 2 = ( 1, 1, 0) y v 3 = (0, 0, 1)
92 dos raíces características iguales ejemplo 5 una raíz doble - A diagonalizable buscamos vep asociado a 1: (A I 0) = vep asociado a 1: v 1 = (1, 0, 2) vep asociados a 1: v 2 = ( 1, 1, 0) y v 3 = (0, 0, 1) P =
93 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable A =
94 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable A = χ A (λ) = (2 λ) 2 (7 λ)
95 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable A = χ A (λ) = (2 λ) 2 (7 λ) para ver cómo es J hay que calcular dim ker(a 2I)
96 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos J, para eso planteamos:
97 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos J, para eso planteamos: (A 2I 0) =
98 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos J, para eso planteamos: (A 2I 0) = dim ker(a 2I) =
99 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos J, para eso planteamos: (A 2I 0) = dim ker(a 2I) = ya que estamos, vep asociado a 2: w = (1, 0, 0)
100 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos J, para eso planteamos: (A 2I 0) = dim ker(a 2I) = ya que estamos, vep asociado a 2: w = (1, 0, 0) J =
101 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos que AP = PJ
102 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos que AP = PJ es decir A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 )
103 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos que AP = PJ es decir A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (2v 1 + v 2, v 2, 7v 3 )
104 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos que AP = PJ es decir A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (2v 1 + v 2, v 2, 7v 3 ) v 2 vep asociado a 2 v 2 = (1, 0, 0)
105 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos que AP = PJ es decir A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (2v 1 + v 2, v 2, 7v 3 ) v 2 vep asociado a 2 v 2 = (1, 0, 0) (A 2I)v 1 = v
106 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos que AP = PJ es decir A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (2v 1 + v 2, v 2, 7v 3 ) v 2 vep asociado a 2 v 2 = (1, 0, 0) (A 2I)v 1 = v 2 v 3 vep asociado a
107 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 1 :
108 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 1 : (A 2I v 2 ) =
109 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 1 : v 1 = (0, 0, 1) (A 2I v 2 ) =
110 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 1 : v 1 = (0, 0, 1) v 2 = (1, 0, 0) (A 2I v 2 ) =
111 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 3 : v 1 = (0, 0, 1) v 2 = (1, 0, 0) (A 7I 0) =
112 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 3 : v 1 = (0, 0, 1) v 2 = (1, 0, 0) v 3 = (1, 1, 1) (A 7I 0) =
113 dos raíces características iguales ejemplo 6 raíz doble - A no diagonalizable buscamos v 3 : v 1 = (0, 0, 1) v 2 = (1, 0, 0) (A 7I 0) = v 3 = (1, 1, 1) P =
114 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3
115 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones:
116 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3
117 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3 A diagonal
118 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3 A diagonal (ejercicio)
119 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3 A diagonal (ejercicio) 2 dim ker(a λ 0 ) = 2
120 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3 A diagonal (ejercicio) λ dim ker(a λ 0 ) = 2 J = 0 λ 0 0 (ejemplo 7) 0 1 λ 0
121 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3 A diagonal (ejercicio) λ dim ker(a λ 0 ) = 2 J = 0 λ 0 0 (ejemplo 7) 0 1 λ 0 3 dim ker(a λ 0 ) = 2
122 raíz característica triple ejemplos 7 y 8 raíz triple supongamos χ A (λ) = (λ 0 λ) 3 tenemos 3 opciones: 1 dim ker(a λ 0 ) = 3 A diagonal (ejercicio) λ dim ker(a λ 0 ) = 2 J = 0 λ 0 0 (ejemplo 7) 0 1 λ 0 λ dim ker(a λ 0 ) = 2 J = 1 λ 0 0 (ejemplo 8) 0 1 λ 0
123 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques A =
124 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques A = buscamos vap χ A (λ) = (3 λ)(4 λ)(2 λ) + (3 λ)
125 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques A = buscamos vap χ A (λ) = (3 λ)(4 λ)(2 λ) + (3 λ) = (3 λ)[(4 λ)(2 λ) + 1]
126 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques A = buscamos vap χ A (λ) = (3 λ)(4 λ)(2 λ) + (3 λ) = (3 λ)[(4 λ)(2 λ) + 1] = (3 λ) 3
127 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques A = buscamos vap χ A (λ) = (3 λ)(4 λ)(2 λ) + (3 λ) = (3 λ)[(4 λ)(2 λ) + 1] = (3 λ) 3 calculamos m.g.(3) = dim ker(a 3I)
128 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques A = buscamos vap χ A (λ) = (3 λ)(4 λ)(2 λ) + (3 λ) = (3 λ)[(4 λ)(2 λ) + 1] = (3 λ) 3 calculamos m.g.(3) = dim ker(a 3I) = # sub-bloques
129 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques planteamos (A 3I 0) =
130 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques planteamos (A 3I 0) = y = z, x cualquiera
131 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques planteamos (A 3I 0) = y = z, x cualquiera hay 2 bloques
132 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques planteamos (A 3I 0) = y = z, x cualquiera hay 2 bloques de paso v = (1, 0, 0) y w = (0, 1, 1) vep asociados 3
133 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ
134 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 )
135 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 )
136 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 ) v 1 y v 3 vep asoc a 3
137 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 ) v 1 y v 3 vep asoc a 3 v 1 = (1, 0, 0) y v 3 = (0, 1, 1)
138 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 ) v 1 y v 3 vep asoc a 3 v 1 = (1, 0, 0) y v 3 = (0, 1, 1) (A 3I)v 2 = v 3
139 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 ) v 1 y v 3 vep asoc a 3 v 1 = (1, 0, 0) y v 3 = (0, 1, 1) (A 3I)v 2 = v (A 3I v 3 ) =
140 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ A(v 1, v 2, v 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 ) v 1 y v 3 vep asoc a 3 v 1 = (1, 0, 0) y v 3 = (0, 1, 1) (A 3I)v 2 = v (A 3I v 3 ) = v 2 = (0, 1, 0)
141 raíz característica triple ejemplo 7 raíz triple - 2 sub-bloques como siempre planteamos AP = PJ (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (3v 1, 3v 2 + v 3, 3v 3 ) v 1 y v 3 vep asoc a 3 v 1 = (1, 0, 0) y v 3 = (0, 1, 1) (A 3I)v 2 = v (A 3I v 3 ) = v 2 = (0, 1, 0) P =
142 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A =
143 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A = χ A (λ) = (2 λ) (2 λ)
144 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A = χ A (λ) = (2 λ) (2 λ) = (2 λ)(13 7λ + λ 2 ) + 1
145 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A = χ A (λ) = (2 λ) (2 λ) = (2 λ)(13 7λ + λ 2 ) + 1 = 27 27λ + 9λ 2 λ 3
146 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A = χ A (λ) = (2 λ) (2 λ) = (2 λ)(13 7λ + λ 2 ) + 1 = 27 27λ + 9λ 2 λ 3 = (3 λ) 3
147 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A = χ A (λ) = (2 λ) (2 λ) = (2 λ)(13 7λ + λ 2 ) + 1 = 27 27λ + 9λ 2 λ 3 = (3 λ) 3 calculamos m.g.(3) = dim ker(a 3I) = # de sub-bloques
148 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple- 1 sub-bloque planteamos (A 3I 0) =
149 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple- 1 sub-bloque planteamos (A 3I 0) = y = z, x = 0, (dim S 3 = 1)
150 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple- 1 sub-bloque planteamos (A 3I 0) = y = z, x = 0, (dim S 3 = 1) J =
151 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple- 1 sub-bloque planteamos (A 3I 0) = y = z, x = 0, (dim S 3 = 1) J = de paso vep asociado a 3: w = (0, 1, 1)
152 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 )
153 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2
154 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3
155 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0
156 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 v 3 = (0, 1, 1) (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0
157 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0 v 3 = (0, 1, 1) (A 3I v 3 ) =
158 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0 v 3 = (0, 1, 1) v 2 = ( 1, 1, 0) (A 3I v 3 ) =
159 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0 v 3 = (0, 1, 1) v 2 = ( 1, 1, 0) (A 3I v 2 ) =
160 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque (Av 1, Av 2, Av 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0 v 3 = (0, 1, 1) v 2 = ( 1, 1, 0) v 1 = (1, 0, 0) (A 3I v 2 ) =
161 raíz característica triple ejemplo 8 raíz triple - 1 sub-bloque A = (A 3I)v 1 = v 2 (A 3I)v 2 = v 3 (A 3I)v 3 = 0 v 3 = (0, 1, 1) v 2 = ( 1, 1, 0) v 1 = (1, 0, 0) (A 3I v 2 ) =
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