Tema 21: Distribución muestral de un estadístico

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1 Análss de Datos I Esquema del Tema 21 Tema 21: Dstrbucón muestral de un estadístco 1. INTRODUCCIÓN 2. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA 3. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN Bblografía * : Tema 15 (pág ) Ejerccos recomendados: 1, 2 y 5. Tema 16 (recoger en reprografía o bajar de la págna) Ejerccos recomendados: 2, 3, 4, 6 y 7. * Véase tambén el tema 1 del lbro Análss de Datos en Pscología II de Pardo y San Martín (1999; pág ) Carmen Xménez 1

2 Análss de Datos I Esquema del Tema INTRODUCCIÓN La estadístca nferencal trata sobre las nferencas con respecto a poblacones (sus parámetros, µ y σ 2 ) a partr de la nformacón contenda en las muestras (los estadístcos, X y S 2 ). Para poder llevar a cabo esas nferencas es necesaro conocer la relacón que se establece entre estadístcos y parámetros. El concepto que permte poner en relacón ambas cosas es La dstrbucón muestral de un estadístco. Ejemplo: Tenemos una poblacón con los sguentes N 3 elementos: X {1, 2 y 3}. Donde µ 2 σ 2 0,67. Se extraen muestras de n 2 elementos: Con reposcón, tenemos 9 posbles muestras: (1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); y (3, 3). Sn reposcón, tenemos 6 posbles muestras: (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 3); (3, 1); y (3, 2). En cada una de las muestras pueden calcularse los correspondentes estadístcos descrptvos: Por ejemplo, con reposcón: Las medas serían: 1; 1,5; 2; 1,5; 2; 2,5; 2; 2,5; y 3, respectvamente. Las varanzas serían: 0; 0,25; 1; 0,25; 0; 0,25; 1; 0,25; y 0, respectvamente. Por tanto, los estadístcos descrptvos son varables aleatoras que pueden adoptar dferentes valores y que tenen su propa dstrbucón de probabldad. En el ejemplo vemos que X puede tomar 5 posbles valores y que la probabldad que corresponde a cada uno de ellos (f ( X ), su dstrbucón) es: X 1 1,5 2 2,5 3 Total: f ( X ) 1/ 9 2/ 9 3/ 9 2/ 9 1/ 9 1 Donde E( X ) Σ X f ( X ) (1)(1/ 9) + (1,5)(2/ 9) + + (3)(1/ 9) 2 σ 2 ( X ) Σ [ X 2 f ( X )] [ E( X )] 2 [(1 2 )(1/ 9) + + (3 2 )(1/ 9)] ,33 No es necesaro construr la dstrbucón de un estadístco (p.e. de X ) en todos los casos ya que cada estadístco tene su propa dstrbucón muestral conocda. En este tema nos ocuparemos de la dstrbucón muestral de la meda: X y de la proporcón: P. Carmen Xménez 2

3 Análss de Datos I Esquema del Tema DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA I. S la varable de partda es normal: X N (µ, σ) 1. Valor esperado: E( X) µ 2. Varanza: 2 2 σ σ (X) n 3. Modelo de dstrbucón: X N( µ, ). n Para obtener valores en tablas hay que convertr las puntuacones X en típcas. Es decr: σ z X µ N (0,1) σ / n EJEMPLO (resuelto) El CI de los alumnos de un centro especal de se dstrbuye normalmente con meda 80 y desvacón típca 10. S extraemos una muestra aleatora smple de 25 alumnos: a) S se extrae un sujeto al azar, Cuál es la probabldad de que obtenga como mínmo una puntuacón en CI de 75? b) Cuál es la probabldad de que su meda artmétca sea mayor de 75? c) Cuál es la probabldad de que su meda artmétca sea como máxmo 83? d) Qué valor debería tomar la meda artmétca para que la probabldad de obtenerlo en esa muestra sea como máxmo 0,85? X X N(80,10) N(80, 2) a) P (X 75) P (z X µ ) P (z σ ) P (z -0,50) 0, b) P ( X 75) P (z X µ ) P (z σ / n /5 ) P (z -2,50) 0,9938 c) P ( X 83) P (z X µ ) P (z σ / n /5 ) P (z 1,50) 0,9332 d) P ( X X ) 0,85. z 0,85 1,04. 1,04 X 80 10/5 X 82,08 Carmen Xménez 3

4 Análss de Datos I Esquema del Tema 21 II. S la varable de partda no es normal Cuando la varable X con meda µ y desvacón típca σ 2, no sgue un modelo de dstrbucón conocdo, la dstrbucón muestral de X se parece más a la de la dstrbucón normal a medda que crece el tamaño de las muestras sobre las que se calcula. Teorema del Límte Central, Independentemente de cómo sea la dstrbucón de X, la dstrbucón muestral de X tende a la normal cuando el tamaño de las muestras tende a nfnto. Medante este teorema podemos calcular probabldades asocadas a los valores de las medas cuando se desconoce la forma de la dstrbucón muestral de partda, sempre y cuando las muestras sean lo sufcentemente grandes. Algunos autores plantean que el parecdo con la dstrbucón normal empeza a ocurrr desde tamaños muestrales de 30 observacones. El valor de n afecta al error típco de la meda, σ (X) S X N(50, 20) Con n 1 4 σ ( X) 20/ 4 10 Con n 2 25 σ ( X) 20/ 25 5 Con n σ ( X) 20/ EJERCICIO La varable X se dstrbuye normalmente con meda 50 y desvacón típca 12. S extraemos una muestra aleatora smple de 16 alumnos: 1) S se extrae un sujeto al azar, Cuál es la probabldad de que obtenga al menos una puntuacón de 45? 2) Cuál es la probabldad de que su meda artmétca sea menor de 58? 3) Cuál es la probabldad de que su meda artmétca sea como mínmo 45? 4) Qué valores debería tomar la meda artmétca para que exsta una probabldad de 0,38 de encontrar valores entre ellos? 5) Qué tamaño tendría que tener la muestra para que la probabldad de encontrar medas superores a 52 fuese 0,2578? Solucón 1) 0,6628 2) 0,9962 3) 0,9525 4) X 48,50 y X 51,50 5) n 15 sujetos Carmen Xménez 4

5 Análss de Datos I Esquema del Tema DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN S tenemos n observacones (X 1, X 2,..., X n ) dcotómcas y defnmos: X : Número de acertos con probabldad π Entonces: X B (x, n, π) EJEMPLO: E(X) n π σ (X) n π (1 π ) Dstrbucón del número de acertos en un test de 5 ítems con π 0,50 X f(x ) 0,031 0,156 0,312 0,312 0,156 0,031 Donde: E(X) (5) (0,50) 2,5 σ (X) 2,5 (0,50) 1,12 S ahora defnmos la varable X P Proporcón de acertos con probabldad π n El estadístco proporcón (P) se dstrbuye medante el modelo Bnomal: B (x, n, π). Donde: E(P) π σ (P) π (1 π )/n Error típco de la proporcón Las probabldades asocadas al estadístco P pueden obtenerse medante la tabla de la Bnomal con parámetros n y π. En el ejemplo: Dstrbucón de la propocón de acertos en un test de 5 ítems con π 0,50 X P 0 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 f(x ) 0,031 0,156 0,312 0,312 0,156 0,031 Donde: E(P) 0,50 σ (P) 0,50 (0,50)/5 0,2236 Por tanto: 1) Probabldad de que se acerten el 40% de los ítems: P(P 0,40) P(X 2) 0,312 2) Probabldad de que se acerten como máxmo el 60% de los ítems: P(P 0,60) P(X 3) 0,811 Carmen Xménez 5

6 Análss de Datos I Esquema del Tema 21 EJEMPLO (resuelto) Un pscólogo clínco afrma que con su terapa para tratar el medo a volar en avón se recupera el 80% de los pacentes. S selecconamos al azar 16 pacentes que han acuddo a su consulta durante los últmos 3 meses por este tema, cuál es la probabldad de que al menos el 75% se hayan recuperado y puedan tomar avones? X: Nº de pacentes recuperados... X B (x, n 16, π 0,80) P: Proporcón de pacentes recuperados... P B (x, n 16, π 0,80) El 75% son 12 sujetos P(P 0,75) P(X 12) 1 F(11) 1 ( , , , , ,120) 0,798 (según tablas de la bnomal) Aproxmacón a la normal S n es sufcentemente grande 0,20 π 0,80 Entonces la probabldad de P se puede aproxmar medante el modelo normal Con X: Número de acertos Vmos que... X N(nπ, n π ( 1 π ) ) X nπ En puntuacones típcas: z N (0,1) nπ (1 π ) Con correccón por contnudad: ± 0,5) E(X) σ (X) Ahora tenemos P: Proporcón de acertos Entonces P N(π, π (1 π )/ n ) P En puntuacones típcas: z π N (0,1) (1 )/ n EJERCICIOS Con correccón por contnudad: π Carmen Xménez 6 z z ( π X ( P ± 0,5/ n ) E(P) σ (P) 1). Un partdo polítco cree que el 60% del electorado está a favor de su programa. Como su líder encuentra que esta predccón es demasado optmsta decde hacer un sondeo con una muestra de 90 personas. Cuál será la probabldad de que como máxmo 60 personas estén a favor de su partdo? 2). Dsponemos de los datos del I.N.E. (Insttuto Naconal de Estadístca) sobre el aumento del empleo durante el año 98, el cual se encuentra en un 45%. S tomamos una muestra aleatora de 200 cudadanos. Cuál es la probabldad de que más del 50% tenga empleo? Solucones: 1). 0,9192 2). 0,0869 (con correccón por contnudad).