La función proposicional no es una proposición, por lo tanto, no se puede decir nada acerca de su valor de verdad.

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1 UNIDAD 1 LOGICA MATEMATICA 1.3 Cuantificadores Logica de predicados Esta lógica nos permite hacer afirmaciones con respecto a relaciones entre objetos o sus propiedades que satisfacen elementos de un determinado universo. Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos, tales relaciones o propiedades, se denominan predicados, los objetos se conocen como argumentos o términos del predicado. Anteriormente analizamos cuando las expresiones pueden ser aceptadas como proposiciones en base a una serie de características que se deben cumplir, y dejemos en claro que es posible encontrarnos expresiones que a pesar de que aseveran algo no pueden ser establecidas como verdaderas o falsas, expresiones que involucran variables tales como: x > 3 x = y + 3 Son expresiones que encontradas frecuentemente en declaraciones matemáticas y programas computacionales, pero como los valores de sus variables no son especificados, no podemos catalogarlas como verdaderas o falsas. De igual forma debemos tener en claro que una proposición atómica se compone de sujeto y predicado, tal y como nos enseñaron en la primaria, por lo tanto al decir x > 3 nos encontramos en un caso de ambigüedad ya que x puede ser cualquier valor y por lo tanto no conocemos al sujeto del que se habla en la expresión. A pesar de lo anterior el hecho es que para x > 3 la expresión tiene 2 partes: 1. La variable x es el sujeto de la expresión. 2. El operador >3 es el predicado (propiedad que el sujeto de la expresión puede tener). Por tal motivo a este tipo de expresiones se les llama cuasi-proposiciones cumplen con las partes de una proposición pero sin llegar a serlo por no estar claramente definidas. Función proposicional Una función proposicional es una expresión que contiene una o más de una variable que al ser sustituidas por elementos del universo (U) dan origen a una proposición. La función proposicional no es una proposición, por lo tanto, no se puede decir nada acerca de su valor de verdad. Para las expresiones del tipo x > 3 el valor verdadero o falso está determinado por los valores de la variable, en este ejemplo x, por lo tanto se dice que el valor del predicado está en función de la variable. Una función proposicional se simboliza mediante letras mayúsculas P, Q, R, S, etc. Para P(x) = x > 3 P(4) = verdadero P(2) = falso La expresión P(x) es el valor de la función proposicional P en x. Una vez que un valor le es asignado a la variable x, la expresión P(x) se convierte en una proposición y tiene su valor de verdad. Aurelio López Ovando LOGICA MATEMATICA Unidad 1 1

2 En general una expresión puede involucrar n variables x1, x2,... xn, puede ser denotado por P(x1, x2,... xn). Una expresión de la forma P(x1, x2,... xn) es el valor de la función proposicional P en la n-tupla (x1, x2,... xn) y P es también llamado un predicado. P(x)= x = y + 3 P(x,y) La función proposicional P(4,6) es falsa. Cuasi-proposición Es un enunciado, una oración declarativa, o una expresión simbólica que debe ejemplificarse o cuantificarse para que sea una proposición. Cuantificarse se refiere a decir a cuántos individuos que integran el universo es aplicable, y ejemplificar, se refiere a enunciar el sujeto de la expresión. Se cuantifica una cuasi-proposición para categorizar cualidades y generalizar o particularizarla, de tal manera que hablamos de unos elementos que cumplen una cierta característica. Tenemos la expresión P(x)= Los x son seres vivos, que nacen, crecen, se reproducen y mueren Donde: x Son Hombres (Del universo humanos). Ejemplificamos Ahora generalizamos (cuantificamos) y no puede quedar: Todos los hombres son seres vivos que nacen, crecen, se reproducen y mueren. Algunos hombres son seres vivos que naces, crecen, se reproducen y mueren. Cuantificadores A través de la cuantificación también se pueden crear proposiciones desde una función proposicional, este procedimiento para convertir un predicado en una proposición recibe el nombre de generalización, puesto que es un modo de hablar "en general", sin especificar el nombre propio de nuestro sujeto lógico, de las muchas formas que puede revestir el procedimiento de generalización, dos son especialmente útiles: cuantificador universal y cuantificador existencial. Cuantificación universal Es la proposición que es verdadera para todos los valores de x en el universo de discurso. Se denota con el símbolo x y se lee Para todo x, o bien otra forma de leer esta expresión es: Para cada x, aunque otras formas de interpretarlo es mediante las palabras "ningún", "ninguno", "nada", "nadie" las cuales denotan negación y que también podrían simbolizarse con un cuantificador existencial. Ejemplos: 1. Formalizar la expresión: Los estudiantes de mecatrónica ha estudiado programación como una cuantificación universal. Sea P(x) = x ha estudiado programación. Aurelio López Ovando LOGICA MATEMATICA Unidad 1 2

3 Entonces se puede expresar como: estudiado programación. xp(x) que se lee Todos los alumnos del ITESCAM han Otra respuesta (que de hecho es la más correcta) que podemos plantear es: Sean: P(x)= x ha estudiado programación Q(X)= x es estudiante de mecatrónica x(q(x) P(x)) la cual podemos leer Para cada alumno del ITESCAM, si es estudiante de mecatrónica entonces ha estudiado programación. 2. Expresar todos los gatos tienen cola en cálculo de predicados. Sean G(x) = x es un gato. C(x) = x tiene cola. Donde x = Animales carnívoros x( G(x) C(x) ) Nota: El símbolo significa Entonces o En conclusión Cuantificador Existencial La cuantificación existencial de P(x) Es la proposición en que existe un elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad. Se denota con el símbolo x y se lee de las siguientes maneras: hay un x tal que...), hay al menos un x tal que o para algún x. Ejemplos: 1. Formalizar la expresión: Algunos estudiantes de mecatrónica han estudiado programación como una cuantificación existencial. Sea P(x) = x ha estudiado programación. Entonces se puede expresar como: xp(x) que se lee Existen algunos alumnos del ITESCAM que han estudiado programación. 2. Expresar Algunos gatos no tienen cola en cálculo de predicados. Sean C(x) = x es un gato que no tiene cola. Donde x = Animales carnívoros x(c(x) ) Negación de los cuantificadores La negación del cuantificador universal es equivalente a la afirmación de cuantificador existencial, respecto de la proposición negada; y viceversa. Tanto las proposiciones universales como las existenciales posee su negativa respectiva, y se simboliza negando la segunda proposición (el consecuente en el caso del condicional). 1. Formalizar la expresión No todos son alumnos". Aurelio López Ovando LOGICA MATEMATICA Unidad 1 3

4 Sea P(x)= x es alumno Donde x= personas del universo ITESCAM. x(px). Si lo miramos desde otra perspectiva podemos afirmar que No todas las personas del ITESCAM son alumnos es equivalente a afirmar que Existe al menos una persona del ITESCAM que no es alumno la cual expresaríamos de la siguiente manera: x P( x) Es decir que x(px) Ξ x P( x) 2. Formalizar la expresión "Ninguno es alumno". Sea P(x)= x es alumno. Donde x= personas del universo ITESCAM. x P(x) Que al igual que el caso anterior, podemos verlo desde otra perspectiva y afirmar que Todos las personas del ITESCAM no son alumnos expresándola de la siguiente manera: x( P(x)). Es decir que: x P(x) Ξ x( P(x)) Proposiciones que contienen cuantificadores En la lógica de predicados, las proposiciones utilizan un conjunto de símbolos que aparecerán en distintas formalizaciones siguiendo reglas sintácticas de construcción. De esta manera podemos hacer combinaciones de variables, conectivos, cuantificadores, etc Dada la expresión Cada estudiante del ITESCAM tiene una computadora o tiene al menos un amigo que tiene una computadora, formalizarla utilizando cuantificadores. Donde: C(x) es x tiene una computadora. F(y) es y son amigos que tienen una computadora del universo estudiantes del ITESCAM. x(c(x) y(f(y)) Aurelio López Ovando LOGICA MATEMATICA Unidad 1 4

5 Ejercicios 3 1. Escriba V si es verdadero o F si es falso cada uno de los enunciados: a) a) Los predicados también sirven para asignar una cualidad abstracta a sus términos. ( ) b) b) La negación del cuantificador existencial e equivalente a la afirmación del universal. ( ) c) c) Las funciones proposicionales siempre son verdaderas. ( ) d) d) Se considera al silogismo como una forma de razonamiento inductivo. ( ) e) e) De dos premisas negativas, en el silogismo, la conclusión es afirmativa. ( ) f) f) No se puede concluir si ambas premisas del silogismo son particulares. ( ) g) g) Los postulados tienen concepto más amplio que los axiomas. ( ) h) h) Un teorema tiene forma de condicional o bicondicional. ( ) 2. Simbolizar las siguientes expresiones e indicar si son funciones proposicionales o proposiciones: a) Fulano es muy generoso. b) x es par y 6 también. c) x e y son impares. d) 2 es un número par y primo. 3. Convertir cada una de las cuasi-proposiciones en proposiciones, utilizando cuantificadores, decir si son verdaderas o falsas: a) x es un senador Colombiano b) x es un estudiante de la universidad Gran Colombia c) y es un buen libro d) x es un número mayor o igual a Utilizar los cuantificadores para simbolizar las siguientes proposiciones: a) Para cada x, x tiene un nombre. b) Existen climas absolutamente fríos y donde no se puede vivir. c) Para cada y, y pertenece a un conjunto de países. d) Nadie es eterno en el mundo e) Ningún limón es dulce f) Ningún gato es canino g) Todos los caballos son cuadrúpedos. h) Existen hombres sabios. i) No existen jóvenes perezosos. 5. Formalizar las cuasi proposiciones como proposiciones, representar su negación simbólica, y para cada caso escribirlas en lenguaje verbal. a) Para Todos los x se cumple que si se puede escuchar, se puede cantar y tocar. b) No es cierto para algunos x que, si les gusta cantar y les gusta bailar, se quedan sentados en las fiestas. c) Todos los y, o no son arrogantes o son congéniales. d) No existen M tales que, son amigables y les gusta pelear. e) Para todo x, si le quitan un órgano vital, entonces vive una vida normal o sufre toda la vida. f) Para algunos y, no se van a vivir al polo norte, a menos que su promedio de vida disminuya. g) No se cumple en ningún caso que los x, no sean mamíferos, ni sean cuadrúpedos. h) No existen x que a la vez sean vegetarianos y, no se alimentan de: soya o cereales. Aurelio López Ovando LOGICA MATEMATICA Unidad 1 5