Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

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1 MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en un intervalo A.4. Funciones polinómicas A.5. Otros tipos de funciones A.6. Composición de funciones A.7. Función inversa: B. Ejercicios resueltos B.1. Estudia el dominio de cada una de las siguientes funciones: B.. Halla la inversa de cada una de las siguientes funciones B.. Halla la variación y la tasa de variación media de cada una de las siguientes funciones B.4. Estudia la simetría de cada una de las siguientes funciones B.5. Representa cada una de las siguientes funciones A. Introducción teórica A.1. Definición de función Una función es una relación entre dos variables numéricas, e y, de forma que a cada valor de le corresponde un solo valor de y. La variable se llama variable independiente. La variable y se llama variable dependiente A.. Dominio y recorrido de una función, f() Se llama dominio de una función f() a todos los valores de para los que f() eiste. El dominio se denota como Dom(f) Se llama recorrido o imagen de una función f() a todos los valores que puede tomar f(). La imagen se denota como Im(f) 1/16

2 Funciones. Ejercicios resueltos A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en un intervalo Una función f() es creciente en un intervalo (a,b) cuando para dos puntos cualquiera 1 y pertenecientes a (a,b) tales que 1< se cumple: f( 1) < f( ) Una función f() es decreciente en un intervalo (a,b) cuando para dos puntos cualquiera 1 y pertenecientes a (a,b) tales que 1< se cumple: f( 1) > f( ) A.4. Funciones polinómicas a) Función polinómica de grado uno: es de la forma y=a+b Para representarlas se siguen los siguiente pasos: Hacemos una tabla de valores. A partir de ella etraemos dos puntos. Representamos los puntos en un plano cartesiano. b) Función polinómica de grado dos: es de la forma y= a +b+c Para representarlas se siguen los siguiente pasos: Obtención de los puntos de corte con el eje : Se obtienen a partir de la condición y=0. En ese caso: /16

3 Funciones. Ejercicios resueltos b± b 4ac = + + = = a = a b c 0 1 Obtención de las coordenadas del vértice: Están dadas por b b + 4ac = ; y=. a 4a Orientación de la parábola: Si a>0, entonces la parábola es cóncava hacia arriba, mientras que si a<0 la parábola es cóncava hacia abajo. Obtención del punto de corte con el eje y: Está dado por la condición =0. En ese caso, y= a + b+ c y= c A.5. Otros tipos de funciones a) Funciones eponenciales: son de la forma y = a. b) Funciones de proporcionalidad inversa: son de la forma c) Funciones radicales: y= a ± + b a y = + b d) Funciones logarítmicas: y= log a, con a> 0 A.6. Composición de funciones Sean dos funciones f() y g(). La composición de f con g se define como ( f g)( ) = f g( ) A.7. Función inversa: 1 Sea la función f( ). La inversa de f( ) se define como f ( ). Para hallar la inversa hay que dar una serie de pasos: a) Estudiamos si f es inyectiva, es decir si la función f toma valores distintos para puntos distintos: /16

4 Funciones. Ejercicios resueltos f( ) = f( ) = 1 1 b) En la ecuación y= f( ) despejamos la variable. c) Finalmente intercambiamos la variable por la y para obtener 1 f ( ). B. Ejercicios resueltos B.1. Estudia el dominio de cada una de las siguientes funciones: 1. 1 f() = + El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de para los que f() eiste. Esta función no tiene sentido cuando el denominador es cero. Dicho de otro modo, la función eiste para todos los valores de para los que el denominador es distinto de cero. En notación matemática: Dom(f) = R /+ 0 Dom(f) = R /, en donde el símbolo / significa tal que. f() = 4 El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de para los que f() eiste. Esta función eiste para los valores de que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. En notación matemática: = R Dom(f) / 4 0, en donde el símbolo / significa tal que. Tenemos que resolver la inecuación 4 0. Resolvemos la ecuación correspondiente: 4= 0 =± Llevamos las raíces sobre la recta de los números reales: 4/16

5 Funciones. Ejercicios resueltos Ahora estudiamos el comportamiento de que determinan las dos raíces: 4 0 en las tres zonas Zona 1: Tomamos un cualquiera de R comprendido entre y, incluido éste, o lo que es lo mismo en notación matemática: elegimos un (, ]. Así, para = tenemos que 4 0 ( ) , lo cual es cierto. Entonces en este intervalo tenemos una solución. Zona : Tomamos un (,), por ejemplo el cero. Así, para =0 tenemos que , lo cual no es cierto. Entonces en este intervalo no hay solución. Zona : Tomamos un [, ), por ejemplo =. Así, , lo cual si es cierto. Ello quiere decir que el intervalo estudiado es una solución de la inecuación. Conclusión final: Dom(f) = / 4 0 Dom(f) = / y y gráficamente: R R, Dom(f) Dom(f). f() = + + El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de para los que f() eiste. Esta función no tiene sentido cuando el denominador es cero o cuando el radicando es menor que cero. 5/16

6 Funciones. Ejercicios resueltos Así: Dom(f) = R / + 0 La solución de + 0 viene dada por (, ] [ 1, ) Entonces, Dom(f) = R / + 0 Dom(f ) = R /(, ] [ 1, ) 4. f() = El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de para los que f() eiste. Esta función no tiene sentido en los siguientes casos: a) El radicando que aparece en el numerador es negativo. b) El denominador es cero. Es decir: Dom(f) = R / , tal que: 0 (,] Conclusión: Dom(f) = R /(, 9 ) ( 9, 1 ) ( 1, ) B.. Halla la inversa de cada una de las siguientes funciones 5. f() = 5 Primero comprobamos que la función es inyectiva: f( ) = f( ) 5 = 5 =. Así que es inyectiva, por lo que tendrá inversa. 6/16

7 Funciones. Ejercicios resueltos Escribimos la función como y= 5 y cambiamos por y: = 5y Ahora despejamos y: + = 5y y= 5 1 Por último, hacemos el cambio y f ( ) : f 1 ( ) = f( ) = Primero comprobamos que la función es inyectiva: f( ) = f( ) = =. Así que es inyectiva, por lo que tendrá inversa. Escribimos la función como = y Ahora despejamos y: = y y= + 1 Por último, hacemos el cambio y f ( ) : 1 f ( ) = + y= y cambiamos por y: + 7. f( ) = 1 Primero comprobamos que la función es inyectiva: 1+ + f( ) = f( ) = = que tendrá inversa Así que es inyectiva, por lo Escribimos la función como + y= y cambiamos por y: 1 7/16

8 Funciones. Ejercicios resueltos y+ = y 1 Ahora despejamos y: y = + y= + y 1 1 Por último, hacemos el cambio y f ( ) : f 1 ( ) = + 8. f( ) = 4 Primero comprobamos que la función es inyectiva: f( ) = f( ) 4= 4 =. Así que es inyectiva, por lo que tendrá inversa. Escribimos la función como y= 4 y cambiamos por y: = y 4 Ahora despejamos y: = = + y 4 y 4 1 Por último, hacemos el cambio y f ( ) : 1 f ( ) = + 4 B.. Halla la variación y la tasa de variación media de cada una de las siguientes funciones 9. f() = 5 en el intervalo [,0] a) La variación viene dada por : f( b) f( a) = f( 0) f( ) = 5 0 ( 5( ) ) = 19 f( b) f( a) b) La tasa de variación media viene dada por = = b a 8/16

9 Funciones. Ejercicios resueltos 10. f( ) = en el intervalo [ 1,] a) La variación viene dada por ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a = f f 1= 0 = 4 b) La tasa de variación media viene dada por: f( b) f( a) 4 4 = = b a ( 1) f( ) = en el intervalo [ 0, 4 ] 1 a) La variación viene dada por : f( b) f( a) = f( 4) f( 0) = = f( b) f( a) 5 b) La tasa de variación media viene dada por = = b a 4 1. f( ) = 4 en el intervalo [ 4, 5 ] a) La variación viene dada por: f( b) f( a) = f( 5) f( 4) = = 1 f( b) f( a) 1 b) La tasa de variación media viene dada por = = 1 b a 1 B.4. Estudia la simetría de cada una de las siguientes funciones 1. f( ) = + 4 La simetría de una función puede ser: b) Par o simétrica respecto al eje OY, cuando se cumple que f( ) = f( ) 9/16

10 Funciones. Ejercicios resueltos c) Impar o simétrica respecto al origen, cuando se cumple que f( ) = f( ) d) No tener simetría, si no se dan ninguno de los dos casos anteriores. Estudio de la simetría par: f( ) = f( ) + = ( ) + ( ) + = +. Conclusión: La simetría es par. No hace falta seguir con el estudio, ya que las funciones no pueden tener dos tipos de simetría. 14. f( ) = Estudio de la simetría par: f( ) = f( ) = ( ) ( ) +. Conclusión: La simetría no es par. Estudio de la simetría impar: f( ) = f( ) + = ( ) ( ) + = +. Conclusión: La simetría es impar f( ) = 1 Estudio de la simetría par: f( ) = f( ) 1 = ( ) 1 1, luego la simetría 1 no es par. Estudio de la simetría impar: f( ) = f( ) =, luego la 1 ( ) simetría no es impar. conclusión final: La función no tiene simetría. 10/16

11 Funciones. Ejercicios resueltos B.5. Representa cada una de las siguientes funciones 16. y= La función dada se trata de una linea recta, ya que es de la forma y = m+n, en dónde m es la pendiente. En nuestro caso, m= y n=0. Como n=0 ello quiere decir que la recta cortará al eje y en y=0. Hacemos una tabla de valores para y= y= 1 ( 1)= A( 1, ) 1 1= B(1,) Ahora representamos los dos puntos sobre el plano cartesiano: B(1,) A( 1, ) 17. y= La función y= se puede escribir también así: esta otra forma: y= 0,67 y=, o si lo prefieres de Ahora, como siempre en estos casos, construimos una tabla de valores para obtener dos puntos (para dibujar una línea recta no hacen falta más puntos): 11/16

12 Funciones. Ejercicios resueltos y= 0 0 A( 0,0) B(, ) Por último, representamos los dos puntos en un plano cartesiano y por ellos trazamos la línea recta que buscamos: 18. y= + La función dada es una línea recta, ya que es de la forma y = m+n, en dónde m es la pendiente. En nuestro caso, m= y n=1. Como n=1 ello quiere decir que la recta cortará al eje y en y=1. Hacemos una tabla de valores para y= +1 y= +1 1 ( 1)+1= A( 1,) 1 1+1= 1 B(1, 1) 1/16

13 Funciones. Ejercicios resueltos Ahora representamos los dos puntos sobre el plano cartesiano: A( 1,) B(1, 1) 19. Representa la siguiente función definida a trozos. Estudia también la continuidad, el crecimiento, decrecimiento y los máimos y mínimos de cada una de ellas., - < 0 f() =, 0< < -, < El domino de f() tiene tres zonas, para una de las cuales corresponde un trazado distinto: Para la primera zona, - < 0, construimos una tabla de valores con el fin de obtener dos puntos. No necesitamos más puntos, ya que en el presente tramo la función es una línea recta, f1( ) = 0 0 = A(0, ) = 5 B(, 5) 1/16

14 Funciones. Ejercicios resueltos Para la segunda zona, 0< <, el valor de la función es constante, f( ) = Para la tercera zona, <, construimos una tabla de valores con el fin de obtener dos puntos. No necesitamos más puntos ya que este tercer tramo se trata de otra recta, f( ) = D(, ) 5 5 E(5, 5) Sólo nos queda representar los puntos obtenidos: 0. Representa la siguiente función cuadrática: y= 5+ 6 Los puntos de corte con el eje : Se obtienen a partir de la condición y=0. En ese caso: ( 5) ± ( 5) ± 1 = 5+ 6= 0 = = = = Las coordenadas del vértice: b b + 4ac Están dadas por = ; y=. Sustituyendo los valores de a 4a a y b en estas epresiones obtenemos: 14/16

15 Funciones. Ejercicios resueltos ( 5) ( 5) = ; y= = ; y=, que vamos a 5 1 epresar como V, 4 Orientación de la parábola: Como a>0, entonces la parábola es cóncava hacia arriba. El punto de corte con el eje y: Está dado por la condición =0. En nuestro caso, cuando =0 se tiene que y=6. Representación gráfica: plano cartesiano los puntos que hemos conseguido y unirlos. a>0 V 1. 4 y= + Para representar esta parábola hay que dar los siguientes pasos: a) Paso uno: 4 Tenemos que saber dibujar f( ) =, que es una función de proporcionalidad inversa cuya forma es la que sigue: 15/16

16 Funciones. Ejercicios resueltos b) Paso dos: 4 y= +, es la anterior función pero desplazada unidades verticales positivas: 4 f( ) = + unidades 16/16

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