2. Determine el área del triángulo cuyos vértices son los extremos de los vectores u, v y w u = (1,0,-2) v = (-1,1,0) w = (2,-1,1)

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1 2011 ÁLGEBRA II (L. S. I. P. I.) Guíía de Trabajjos Prácttiicos Nºº 4 Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO Prroducctto Veeccttorriiall.. Reecctta.. Pllano 1. Calcule el área del paralelogramo de lados: a) (-2, 0,-2) y (3, 1,-1) b) 2i + j y 5i 2 j + 2k 2. Determine el área del triángulo cuyos vértices son los extremos de los vectores u, v y w u = (1,0,-2) v = (-1,1,0) w = (2,-1,1) 3. Calcule el volumen del paralelepípedo de aristas: 2i 4j + 2k, i j y j + k 4. Halle un vector unitario que resulte ortogonal a los vectores u = (1, 1,-3) v = (0,2, 4) 5. Dados P = (1, 0), Q = (0, -3) y A = (1, 2) a) Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana de la recta que contiene a P y tiene como vector dirección a A. b) Halle las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana de la recta que contiene a P y Q 6. Dados P = (3, 2, -5), Q = (2, 1, -2) y A = (3, -2,1) a) Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta que contiene a Q y tiene como vector dirección a 2A. b) Halle las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta que contiene a P y Q. c) Determine 2 puntos distintos de P y Q que pertenezcan a la recta del ítem b). 7. Dadas las ecuaciones cartesianas de la recta R: x + 3y 2z = 1 de R 3, determine su vector dirección. 2x 3y + z = 0 8. Dados los siguientes pares de rectas, determine su posición relativa y si se cortan, halle el punto de intersección: a) (x, y) = (2, 1) + t (1,1) y (x, y) = (1, 0) + s (-5, -5) b) x + 2y = 1 y 2x y = 2 c) (x, y, z) = (-1, 2, 1) + t (4, 3, 0) y (x, y, z) = (0, 1, 0) + s (1, 3, 2) 9. Determine k de modo que las siguientes rectas resulten ser ortogonales: x - 5 = 2t x - y - z = -2 -y + 2 = t 2x - y + kz = 2 z - 7 = t 10. Dados P = (1, 2, 3), Q = (-1, -2, -3), R = (0, 1, -1) y N = (2, 1, -1). a) Determine la ecuación cartesiana del plano que contiene a P y es ortogonal a N e indique aproximadamente la posición del plano.

2 b) Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos P, Q y R. Dibuje el plano. 11. Halle la ecuación cartesiana del plano: a) paralelo al plano XY y situado a 3 unidades por debajo de él. b) ortogonal al eje OZ en el punto (0,0,6). c) que contiene al punto (2,-3,4) y es ortogonal a la recta que une dicho punto con (4,4,-1). d) que contiene al punto (3,-2,4) y es ortogonal a la recta x 1 y z 1 = = e) ortogonal al segmento de recta determinado por (-3,2,4) y (5,4,-2) en su punto medio. f) que contiene al punto (-1,2,4) y es paralelo al plano 2x 3y 5z + 6 = Determine la intersección de la recta L y el plano P L : (x,y,z) = (1,1,1) + t(2,-1,3) P : 2x+3y-z=7 13. Encuentre la intersección de la recta R : 2x 3y = 0 con cada uno de los planos de coordenadas. x y + z = Halle la intersección del siguiente plano 5x 4y + 2z 1 = 0 con los planos de coordenadas 15. Halle dos planos cuya intersección sea la recta de ecuación: (x, y, z) (1, 0, 3 ) = t (1, 2, 0) 2 F.C.E. y T. UNSE

3 2011 ÁLGEBRA II (L. S. I. P. I.) Guíía Compllementtariia Nºº 4 Prroductto Vecttorri ial.. Rectta.. Plano EJERCICIOS RESUELTOS 1. Pruebe las siguientes propiedades del producto vectorial. a) u, v R 3 {O v } : u x v u y u x v v b) u x v 2 = u 2 v 2 - (u.v) 2 c) u x v = u v sen α, α es el ángulo entre u y v d) u x v = (v x u) e) u x (v + w) = (u x v) + (u x w) f) u x (av) =(au) x v = a(u x v) g) u x v = O v {u, v} es linealmente dependiente h) i x i = j x j = k x k = O v i x j = k k x j = i k x i = j i) u x v representa el área del paralelogramo de lados u y v. j) u.(v x w) es el volumen del paralelepípedo de aristas u, v y w. Se demostrarán solo algunas propiedades, las restantes quedan para el alumno. d) u x v = (v x u) Sean u = (a 1,a 2,a 3 ) y v = (b 1,b 2,b 3 ) vectores de R 3, por definición de producto vectorial: 3 F.C.E. y T. UNSE

4 u x v = ( a 2 b 3 - a 3 b 2, a 3 b 1 - a 1 b 3, a 1 b 2 - a 2 b 1 ) (a) por otra parte: (v x u) = ( b 2 a 3 b 3 a 2, b 3 a 1 b 1 a 3, b 1 a 2 b 2 a 1 ) = ( b 2 a 3 + b 3 a 2, b 3 a 1 + b 1 a 3, b 1 a 2 + b 2 a 1 ) (b) se observa que los segundos miembros de las expresiones (a) y (b) son iguales por la conmutatividad de la suma y el producto en R, por lo que los primeros miembros son iguales. e) Se debe probar que u x (v + w) = u x v + u x w Sean u y v como en el anterior y w = (c 1, c 2, c 3 ) u x (v + w) = (a 1, a 2, a 3 ) x (b 1 + c 1, b 2 + c 2, b 3 + c 3 )= = ( a 2 (b 3 +c 3 ) a 3 (b 2 +c 2 ), a 3 (b 1 +c 1 ) a 1 (b 3 +c 3 ), a 1 (b 2 +c 2 ) a 2 (b 1 +c 1 )) = =(a 2 b 3 + a 2 c 3 a 3 b 2 a 3 c 2, a 3 b 1 + a 3 c 1 a 1 b 3 a 1 c 3, a 1 b 2 + a 1 c 2 a 2 b 1 a 2 c 1 ) Agrupando términos se tiene que: u x (v + w) = ( a 2 b 3 a 3 b 2 + a 2 c 3 a 3 c 2, a 3 b 1 a 1 b 3 + a 3 c 1 a 1 c 3, a 1 b 2 a 2 b 1 + a 1 c 2 a 2 c 1 ) = = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ) + (a 2 c 3 a 3 c 2, a 3 c 1 a 1 c 3, a 1 c 2 a 2 c 1 )= = (u x v) + (u x w) h) i, j, k son los versores fundamentales de R 3, esto es: i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1) Entonces: i x i = (1,0,0) x (1,0,0) = ( , , ) = (0,0,0) Análogamente para j x j y k x k i x j = (1,0,0) x (0,1,0)=( , , ) = (0, 0, 1) = k Análogamente para k x j y k x i j) Se debe probar que u.(vxw) es el volumen del paralelepípedo de aristas u, v y w Q u v x w β α h O w P v 4 F.C.E. y T. UNSE

5 El volumen de un paralelepípedo está dado por: V = área de la base. altura Observando la figura se tiene que la base es el paralelogramo de lados v y w, cuya área es según la propiedad anterior v x w (a) Además la altura h, del paralelepípedo es: h = u cosα (b) en el triángulo rectángulo OPQ de la figura. Luego reemplazando (a) y (b) en la fórmula del volumen se tiene: V = v x w u cosα Por otra parte si se observa la figura α = β por ser ángulos alternos internos entre paralelas y β es el ángulo formado por los vectores u y v x w, de modo que la expresión anterior queda: V = v x w u cos β ahora bien, el segundo miembro de esta igualdad es el producto interior de los vectores u y v x w (por ), por lo tanto: V = u. (v x w) se toma valor absoluto ya que el volumen es un número positivo. Referencia ( ) si β es el ángulo entre los vectores x e y entonces x..y cosβ = x y x. y = x y cosβ 2. Dados u = (a 1, a 2, a 3 ) y v = (b 1, b 2, b 3 ) dos vectores cualesquiera de R 3, se hará un acuerdo notacional : a u x v puede considerarse formalmente expresado por el desarrollo del determinante: i j k u x v = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 De modo que desarrollando el determinante dado por la primera fila, se tiene: i j k a 1 a 2 a 3 = (a 2 b 3 a 3 b 2 )i (a 1 b 3 a 3 b 1 )j + (a 1 b 2 a 2 b 1 )k = = (a 2 b 3 a 3 b 2 )i + (a 3 b 1 a 1 b 3 )j + (a 1 b 2 a 2 b 1 )k = b 1 b 2 b 3 5 F.C.E. y T. UNSE

6 (1) = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ) = u x v Referencia: (1) si (x 1,x 2,x 3 ) es un vector de R 3, este se puede descomponer según los versores fundamentales como: (x 1,x 2,x 3 ) = x 1 i + x 2 j + x 3 k Usando lo dicho anteriormente y para u = (5,-2,4) y v = (-1,0,2) Resuelva uxv i j k u x v = = (-4+0)i + (-4-10)j + (-2)k = (-4,-14,-2) luego: u x v = (-4,-14,-2) = (-4) 2 + (-14) 2 + (-2) 2 = = 216 = = = = Calcule el área del paralelogramo de aristas: u = i j + 5k y v = 2i + 4j 8k Teniendo en cuenta la propiedad i) de producto vectorial el área está dada por u x v. Ahora bien u = i j + 5k = (1, -1, 5) y v = 2i + 4j 8k = (2, 4, 8) Entonces según el ejercicio anterior: i j k u x v = = (8-20)i + (10-8)j + (4+2)k = -12i + 2j + 6k = (-12,2,6) y área = u x v = (-12,2,6) = (-12) = = Muestre que si u = (a 1, a 2, a 3 ), v = (b 1, b 2, b 3 ) y w = (c 1, c 2, c 3 ), entonces: a 1 a 2 a 3 u.(vxw) = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 6 F.C.E. y T. UNSE

7 Resolviendo el p.i. u.(v x w) = (a 1, a 2, a 3 ). (b 2 c 3 b 3 c 2, b 3 c 1 b 1 c 3, b 1 c 2 b 2 c 1 ) = = a 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c 1 b 1 c 3 ) + a 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ) (a) el último miembro de (a) no es otra cosa que el desarrollo por la primera fila del determinante arriba mencionado. 5. Calcule el volumen del paralelepípedo de aristas: u = i j, v = 3i + 2k y w = 7j + 3k Recordando la propiedad j) de producto vectorial, el volumen del paralelepípedo de aristas u, v y w está dado por: V = u.(v x w) y teniendo en cuenta el ejercicio anterior el volumen será el valor absoluto del determinante de la matriz cuya 1,2 y 3 filas son respectivamente las componentes de u, v y w. Luego, resolviendo el determinante, se tiene: u. (v x w) = = 1(0 + 14) + 1(0 9) + 0( ) = y V = u. (v x w) = 5 = 5 6. Encuentre un vector unitario perpendicular a los vectores u = (2,-6,3) y v = (4,3,-1) Teniendo en cuenta la propiedad a) del producto vectorial, se tiene que siempre que se multipliquen vectorialmente dos vectores se obtiene un vector ortogonal a ambos, luego para encontrar un vector ortogonal a u y v se calcula el vector u x v i j k u x v = = (6-9)i + (12 + 2)j + (6 +24)k = -3i + 14j + 30k Llámese w al vector encontrado. Se sabe que w es ortogonal a u y v pero se pide además que el vector sea unitario y como el versor de w tiene la misma dirección que w y norma 1, entonces el versor de w es el vector buscado. Entonces: 7 F.C.E. y T. UNSE

8 1 1 1 w = (-3i+14j+30k) = (-3i+14j+30k)= w (-3) = (-3i+14j+30k) = i + j + k Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta que contiene a P y es paralela al vector A. Siendo P = (-3, 2, -1) y A = i + 5j 4k La ecuación vectorial de la recta es: X P = t A De acuerdo a esto: (x, y, z) ( 3,2, 1) = t (1,5, 4) Ec. vectorial Restando en el primer miembro y multiplicando en el segundo: (x + 3, y 2, z + 1) = (t, 5t, 4t) e igualando: x + 3 = t x + 3 = t y 2 y 2 = 5t o bien: = t Ec. Paramétricas z + 1 = 4t 5 z + 1 = t 4 y como en las ecuaciones anteriores los segundos miembros son iguales, los primeros miembros también lo son, entonces: y 2 z + 1 x + 3 = = Ec. Cartesianas Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana de la recta determinada por los puntos P = (1, 3) y Q = (-1, 2) La ecuación vectorial de la recta que contiene a los puntos P y Q es: Entonces: (x, y) (1,3) = t [(1, 3) ( 1, 2) ] (x 1, y 3 ) = t (2, 1) Ec Vectorial Operando e igualando: X P = t(p Q) 8 F.C.E. y T. UNSE

9 x 1 x 1 = 2t = t o bien 2 y 3 = t y 3 = t x 1 y la Ec. cartesiana es: = y 3 2 Ec. Paramétricas 9. Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta R, cuyas ecuaciones cartesianas se dan a continuación: R: x 3y + z = 2 2x + y + 3z = 1 Como puede observarse, las ecuaciones cartesianas de la recta R forman un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas. Por otra parte en cada una de las ecuaciones paramétricas solo figura una de estas variables, por lo que en primer lugar, se debe tratar de expresar a dos de las variables en términos de una sola (Por ejemplo: x e y en función de z) y para ello se aplica el método de Gauss-Jordan a la matriz ampliada del sistema Aplicando Gauss-Jordan queda: Por lo que el sistema equivalente al dado es: x 2z = 1 y z = 1 que puede escribirse como: x + 1 = 2z y + 1 = z Como se puede observar x e y quedaron expresadas en función de z que varía en todos los reales, es decir que z cumple el papel del parámetro "t". Por lo tanto haciendo z = t, se tiene: x + 1 = 2t y + 1 = t que son las ecuaciones paramétricas de R. z = t 9 F.C.E. y T. UNSE

10 10. Investigue si las siguientes rectas son paralelas a la recta de ecuación R : (x, y, z) (2,3,0) = t (2,-1,1) i) R 1 : (x, y, z) = (1,5,1) + t (1,-1/2,1/2) x 4 y 3 z ii) R 2 : = = Recordando la definición: Las rectas X P = t A y X Q = t B son paralelas sii A B El vector de dirección de la recta dada es: A = (2,-1,1) i) La recta R 1 tiene como vector dirección a B = (1,-1/2,1/2) Para que A B debe ser posible encontrar un α R {0} tal que B = αa es decir: (1, -1/2, 1/2) = α(2,-1,1) o lo que es lo mismo: (1, -1/2, 1/2) = (2α, -α, α) e igualando queda: 2α = 1 α = 1/2 α = 1/2 de esto se deduce que existe α=1/2 que cumple dicha condición, luego A // B y por lo tanto las rectas son paralelas. ii) Las componentes del vector de dirección de R 2 están dadas por los denominadores que aparecen en las ecuaciones cartesianas. Esto se ve claramente al hacer el proceso inverso, es decir, partiendo de las ecuaciones cartesianas para llegar a la ecuación vectorial. En efecto, las ecuaciones x 4 y 3 z = = se pueden expresar como: x 4 = t 4 x 4 = 4t y 3 = t para t R o lo que es lo mismo y 3 = 3t 3 z z = 2t = t 2 que son las ec. paramétricas de la recta, por lo tanto el vector de dirección de esta recta es B = (4, 3, 1) 10 F.C.E. y T. UNSE

11 Luego resta ver si existe α R {0} / B = αa, por lo que: operando e igualando: (4,3,1) = α (2,-1,1) 2α = 4 Este sistema es incompatible puesto que no existe ningún α que satisfaga -α = 3 las tres ecuaciones, por lo tanto B no es paralelo a A con lo que se concluye que las α = 1 rectas no son paralelas. 11. Indique si las siguientes rectas son ortogonales a la recta de ecuación: L: ( x, y, z) (1,5, 2) = t (1,0, 2) i) L 1 : ( x + 2, y 1, z) = t(6,5,3) x 5 = t ii) L 2 : y + 3 = 2t z = 3t Recordando la definición: Las rectas X P = t A y X Q = t B son ortogonales sii A B i) La recta L tiene vector dirección A = (1, 0, -2) y la recta L 1 tiene vector dirección B = (6, 5, 3) y en virtud de la definición para que L y L 1 sean ortogonales, deben ser ortogonales A y B, es decir su producto interior debe ser igual a cero. Entonces: A. B = (1,0, 2). (6,5,3) = = 0 y por lo dicho anteriormente L L 1 ii) El vector dirección de L 2 es C = (1, 2, 3), entonces: A. C = (1,0, 2). (1, 2,3) = = 5 Se puede ver que el producto interior de A y C es distinto de cero por lo cual A y C no son ortogonales lo que implica que L y L 2 tampoco lo son. 12. Sea L 1 la recta que contiene a los puntos (1,0,1) y (2,1,2), sea L 2 la recta que contiene al origen y es paralela a (1,0,1). Determine la recta que contiene al punto (2,0,-3) y es ortogonal a L 1 y L 2. Las ecuaciones vectoriales de las rectas dadas son: L 1 : (x, y, z) (1,0,1) = t [(2,1,2) (1,0,1)] que es lo mismo que (x, y, z) (1,0,1) = t (1,1,1) 11 F.C.E. y T. UNSE

12 L 2 : (x, y, z) = t (1,0,1) Ahora bien se desea encontrar una recta ortogonal a L 1 y L 2, lo que significa que su vector dirección, que se llamará C, debe ser ortogonal a los vectores de dirección de L 1 y L 2 a los que se llamará A y B respectivamente. i j k Es decir: C = A x B = = i k = (1, 0, 1) Luego la recta ortogonal a L 1 y L 2 y que contiene al punto (2, 0, 3) tiene por ecuación vectorial: (x, y, z) (2, 0, -3) = t (1,0, 1) 13. Sean las rectas: R 1 = { X/ X P = t A } y R 2 = { X/ X Q = t B } Se dice que β es el ángulo entre R 1 y R 2 si β es el ángulo entre los vectores A y B y se hablará de ángulo entre dos rectas aún en el caso en que no se intersecten. Determine el ángulo entre las rectas R 1 y R 2 y entre R 2 y R 3 del ejercicio 11. El ángulo entre R 1 y R 2 es el ángulo entre los vectores A = (1, 0, 2) y B = (6, 5, 3) luego: (1,0,-2). (6,5,3) cos β = = = 0 (1,0,-2) (6,5,3) A B por lo tanto β = 90 y coincide con el resultado obtenido en el ejercicio 10, es decir, R 1 y R 2 son ortogonales. El ángulo entre R 1 y R 3 es el ángulo entre los vectores A = (1, 0, -2) y C = (1, 2, -3) Entonces (1,0,-2).(1,2,-3) cos α = = = = (1,0,-2) (1,2,-3) (-3) con lo que α = arcocos F.C.E. y T. UNSE

13 14. Sea la recta R = {X/ X P = t A} Se llaman ángulos directores de la recta R a los ángulos directores de A y cosenos directores de R, a los cosenos directores de A Determine los ángulos entre la recta que contiene a los puntos P = (1,0,1) y Q = (0,1,0) y los ejes de coordenadas. Los ángulos entre una recta y los ejes de coordenadas son sus ángulos directores. El vector de dirección de la recta dada es A = P Q = (1,0,1) (0,1,0) = (1,-1,1) Luego sus cosenos directores son: cos α1 = = = α1 (1,0,1) π cos α 2 = = α 2 = cos α3 = = α3 2 2 π = 4 π = Determine la ecuación vectorial y cartesiana del plano que contiene al punto P = (2,5,1) y es ortogonal a A = (-3,1,1) Respuesta La ecuación vectorial del plano que contiene al punto P y es ortogonal al vector A, es: (X P). A = 0 Reemplazando los valores de P y A se tiene: [(x,y,z) (2,5,1)]. (-3,1,1) = 0 es decir: (x 2, y 5, z 1). (-3,1,1) = 0 y resolviendo el p.i. queda: -3(x 2 ) + 1(y 5) + 1(z 1) = 0 o sea 3x y 5 + z 1 = 0 y agrupando términos: 3x + y + z = 0 es la ecuación cartesiana del plano. 13 F.C.E. y T. UNSE

14 16. Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos P = (2,0,0), Q = (0,3,0) y R = (0,0,2) La ecuación vectorial del plano que contiene a tres puntos es: (X P). [(Q P) x (R P )] = 0 ( ) Ahora bien para este caso es: X P = (x, y, z) (2,0,0) = (x 2, y, z) Q P = (0,3,0) (2,0,0) = (-2,3,0) R P = (0,0,2) (2,0,0) = (-2,0,2) Además: (Q P) x (R P) = ( 2,3,0) x ( 2,0,2) = = 6i + 4 j + 6k = (6,4,6) luego reemplazando en ( ) los valores obtenidos: (x 2, y, z). (6,4,6) = 0 y resolviendo el producto interior se tiene: 6(x 2) + 4y + 6z = 0 i 2 distribuyendo y acomodando términos se llega a la ec. vectorial del plano 6x + 4y + 6z 12 = Escriba la ecuación vectorial del plano de R 3 cuya ecuación cartesiana es 2x + 3y = 2 La expresión 2x + 3y = 2 se puede escribir como: 2x 2 + 3y = 0 que es equivalente a: 2(x 1) + 3(y 0 ) + 0(z 0 ) = 0 Se observa que el primer miembro de la última igualdad es el producto interior de los vectores (2, 3, 0) y (x 1, y 0, z 0 ), por lo tanto: (x 1, y 0, z 0 ). (2, 3, 0) = 0 o bien [(x, y, z) (1,0,0)]. (2, 3, 0) = 0 es la ec. Vectorial del plano que contiene al punto (1,0,0) y es ortogonal al vector (2,3,0) y cuya ecuación cartesiana es la dada. j 0 k 2 14 F.C.E. y T. UNSE

15 Nota: Obsérvese que las componentes de la normal al plano son respectivamente los coeficientes de x,y, z en la ecuación cartesiana. 18. Determine cuales de los siguientes pares de planos son paralelos y cuales son ortogonales. i) P 1 : 2x y + z = 0 P 2 : 2x + 2z + 2 = 0 ii) P 1 : x y + 3z = 0 P 2 : 2x 2y + 6z 1 = 0 iii) P 1 : x + 2y z + 2 = 0 P 2 : x + y + 3z + 8 = 0 Recordar que dos planos son paralelos sii sus normales lo son y son ortogonales sii sus normales son ortogonales. i) P 1 tiene por normal al vector A = (2,-1,1) y la normal al plano P 2 es B = (2,0,2) Para determinar si P 1 es paralelo a P 2, o lo que es lo mismo si A es paralelo a B debe hallarse, si existe, un α real distinto de cero tal que A = αb, es decir (2,-1,1) = α(2,0,2) por lo que debe existir α tal que: 2α = 2 0α = -1 puede verse claramente que el sistema es incompatible 2α=1 luego no existe α y los planos no resultan paralelos Para saber si son ortogonales basta ver si A. B = 0, luego: (2,-1,1). (2,0,2) = = 6 lo que significa que los planos dados no son ortogonales. ii) Las normales de P 1 y P 2 son respectivamente A = (1, -1, 3) y B = (2, -2, 6) α R-{0} / A = αb? (1, -1, 3) = α(2, -2, 6) Es evidente que α existe y es igual a 1/2 luego A//B por lo que P 1 //P 2 iii) Las normales de P 1 y P 2 son A = (1,2,-1) y B = (1,1,3) α R-{0} / A = αb? (1,2,-1) = α(1,1,3) y se puede ver fácilmente que no existe α que verifique la igualdad por lo cual P 1 y P 2 no son paralelos, pero: 15 F.C.E. y T. UNSE

16 A. B = (1, 2, -1). (1, 1, 3) = = 0 lo que implica que los planos son ortogonales. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sean A = (5, 0, -2), B = (2, 11, -1) y C = (1, 1, -1) Determine: a) A x B b) B x A c) A x C d) A x (B x C) e) A x (B + C) f) (A x B). (A x C) 2. Usando la propiedad (h) encuentre i x (i x j) e (i x i) x j a fin de demostrar que la asociatividad no se verifica para el producto vectorial 3. Sean los vectores u = 2i + j k y v = 3i 2j + 4k a) Utilice el producto vectorial a fin de hallar el seno del ángulo formado por los vectores dados. b) Utilice el producto escalar a fin de hallar el coseno del ángulo entre u y v. c) Verifique con los valores calculados, que sen 2 α+cos 2 α = 1 4. Calcule el área del paralelogramo de lados: a) (0, 0, -1) y (3, 1, -1) b) 2i + j + k y i + 5k c) (1, 3, 7) y (-2, -4, 3) d) (a, 0, 0) y (0, b, c) 5. Calcule el área del paralelogramo cuyos vértices adyacentes son: a) (1, 0, 3), (2, 0, 0), (0, 4, 0) b) (-2, 1, 0), (1, 4, 2), (-3, 1, 5) c) (a, b, 0), (a, 0, b), (0, a, b) 6. Determine el área del triángulo cuyos vértices son los extremos de los vectores u, v y w a) u = (0, 1, 2) v = (1, 1, 0) w = (2,3,-1) b) u = 2i + j k v = i j + 2k w = i 7. Calcule el volumen del paralelepípedo de aristas: a) 3i, 4j y 8k b) (1, 0, 0), (8, 7, 0) y (8, -4, 3) 8. Determine dos vectores unitarios que sean ortogonales a u = i + j + k v = i j k 9. Si u + v + w = O v. Pruebe que u x v + v x w + w x u = 3(u x v) 16 F.C.E. y T. UNSE

17 10. Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta que contiene a P y es paralela a A. Dibuje dichas rectas. a) P = (-1, 1) y A = (1, 0) b) P = (2, 2, 1) y A = 2i j k c) P = (-2, 3, -2) y A = 4 k d) P = (0, 0, 0) y A = (1, 1, 1) 11. Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta que contiene a P y a Q. Dibuje dichas rectas. a) P = (2,0) Q = (1,-1) b) P = (1,2) Q = (-1,3) c) P = (1,0,1) Q = (0,1,0) d) P = (1,0,0) Q = (0,1,1) 12. Sea L la recta que contiene a los puntos (1,-1,4) y (2,4,-2). Cuáles de los siguientes puntos se hallan sobre L? P = (3/2, 3/2, 1) S = (0, -6, 10) Q = (0, -6, 11) T = (3, 5, 7) R = (1, 5, -6) Obtenga dos puntos de L distintos de los dados. 13. Determine el valor de k de modo que el punto (k, -2) pertenezca a la recta de ecuación: a) (x, y) = (-1,2) + t (1,1) b) y = x + 1 c) x 2 = t y = 3t 14. Determine en todas sus formas las ecuaciones de los ejes coordenados OX, OY y OZ. 15. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta cuyas ecuaciones cartesianas se dan a continuación: a) x + 2y + 3z = 2 b) x + y + z + 2 = 0 4x + 5y + 6z = 5 3x y + 2z = 0 c) 3x - 5y - 4z = 6 d) 2x + 3y + 7z + 2 = 0 x - 3y - 2z = 4 3x 5y + 2z = Determine k de modo que las siguientes rectas resulten ser paralelas: x - 5 = 2t x + ky + z = 2 y + 2 = t x y 3z = 2 z 7 = t 17. Pruebe que las rectas: x 2y + 2 = 0 y 7x + 4y 15 = 0 2y + z + 4 = 0 y + 14z + 40 = 0 son ortogonales. 17 F.C.E. y T. UNSE

18 18. Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta: a) que contiene al punto (-2,4,3) y es paralela a la recta de ecuación (x, y, z) = (-1,2,0) + t(1,2,0) b) que contiene al punto (2,-1,3) y es paralela al eje OX. c) que contiene al punto (2,-1,3) y es paralela al eje OY. d) que contiene al punto (2,-1,3) y es paralela al eje OZ. e) que contiene al punto (3,-1,4) y es ortogonal a la recta cuyas ecuaciones cartesianas son: x 1 = y / 2 = z + 1 f) contiene al punto (1,-2,2) y cuyos ángulos directores son 60, 120 y La ecuación cartesiana de una recta en R 2 es una ecuación lineal con dos incógnitas. Realice un esquema que represente gráficamente a: a) un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas compatible determinado. b) un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas compatible indeterminado. c) un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas incompatible. d) un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas incompatible. e) un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas compatible determinado. 20. Observe atentamente las siguientes situaciones de tres rectas en el plano. Proponga un sistema que se adapte a cada una de las situaciones. 21. Halle el punto de intersección de las rectas de ecuaciones: x + 2y = 0 x y = 3 Proponga un sistema en el que aparezcan ecuaciones de rectas paralelas a las anteriores pero cuyo punto de intersección sea (3,-2) 22. En el triángulo de vértices A =(-5,6), B =(-1,-4) y C =(3,2) Halle: a) las ecuaciones de sus medianas y el punto de intersección de las mismas. b) las ecuaciones de las alturas y el punto de intersección de las mismas. c) las ecuaciones de las mediatrices y el punto de intersección de las mismas. d) pruebe que los puntos de intersección de las medianas, las alturas y las mediatrices están alineados. 23. Determine la ecuación cartesiana del plano que contiene a P y es ortogonal a A e indique aproximadamente la posición del plano. 18 F.C.E. y T. UNSE

19 a) P = (-2,2,6) A = (-1,1,0) b) P = (-2,0,1) A = (0,2,0) 24. Escriba la ecuación vectorial de los siguientes planos: a) 3(x 5) 2 (y 4) + 4(z 2) = 0 b) 3x 4z = 2 c) x 2y + z = Determine la ecuación del plano que contiene a los siguientes puntos: P = (1, 0, 3) Q = (-2, -4, 5) R = (2, -1, 13) 26. Determine cuales de los siguientes pares de planos son ortogonales o paralelos. a) P 1 : 2x y + z = 0 P 2 : 2y + 2z + 2 = 0 b) P 1 : x y + 3z = 0 P 2 : 2x 2y + 6z 1 = 0 c) P 1 : x + 2y z + 2 = 0 P 2 : x y + 3z + 8 = Determine en cada caso, si el plano y la recta son ortogonales o paralelos. a) (x 1, y + 2, z 2). (1, -2, 0) = 0 x + 3 y 5 = = z b) [(x, y, z) (2,3,-1)]. (2,-1,3) = 0 (x, y, z) (5,2,0) = t (-4,2,-6) c) x + y 3z = 0 x 1 y z = = Determine la medida del ángulo que forman los planos P 1 : 2x y + z = 7 y P 2 : x + y + 2z 11 =0 29. Halle la ecuación cartesiana del plano a) paralelo al plano XY y situado a 3 unidades por debajo de él b) ortogonal al eje OZ en el punto (0,0,6). c) que contiene al punto (3,-2,4) y es ortogonal a la recta x 1 = y = 2(z 1)/3. d) ortogonal al segmento de recta determinado por (-3,2,4) y (5, 4, -2) en su punto medio. e) que contiene al punto (2,-3,4) y es ortogonal a la recta que une dicho punto con (4,4,-1). f)que contiene al punto (-1,2,4) y es paralelo al plano 2x 3y 5z + 6 = Considere los planos de R 3 cuyas ecuaciones cartesianas se dan a continuación: P 1 : 2x + y 2z 1 = 0 P 2 : x y + 2z = 0 a) Forme un sistema con las ecuaciones dadas y determine su conjunto solución. b) Según lo obtenido en a) indique si estos planos se cortan o son paralelos. 19 F.C.E. y T. UNSE

20 31. Determine las siguientes intersecciones: a) De los planos P 1 : 9x + 12y + 3z 7 = 0 y P 2 : 12x + 16y + 4z 9 = 0 b) De los planos P 1 : x + y + z = 1, P 2 : x y + z = 0 y P 3 : x + y z = 1 c) El plano que pasa por los puntos (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) y el plano cuya ecuación cartesiana es 3x 5y + z = 0 d) Del plano que pasa por el origen con normal (1,1,1) y el plano que pasa por (0,0,2) con normal paralela al eje z. e) De la recta L: (x,y,z) = (3,-2,7) + t(2,-1,3) y el plano P: 2x + 3y z = 7. f) De la recta que pasa por los punto (3,2,3) y (1,0,1) y el plano de ecuación x + y + z = 0. g) De la recta que pasa por el punto (-2,1,3) y es paralela al vector (-1,-1,-1), con cada uno de los planos coordenados. h) Del plano 2x y + 2z 2 = 0 con cada uno de los ejes de coordenadas. 32. Sean P 1 = (1,-1,-1) y P 2 = (-1,1,0) Obtenga: a) las ecuaciones vectorial y cartesiana del plano perpendicular a la recta que contiene a P 1 y P 2, en P 1. b) las ecuaciones vectorial y cartesianas de la recta perpendicular al plano anterior sabiendo que dicha recta contiene al punto P 0 = (0,2,-3) 33. Determine la intersección de la recta L y el plano P, siendo: L: (x, y, z) = (3,-2,7) + t(2,-1,3) y P el plano que contiene a los puntos (2,-1,3), (1,-1,2) y (2,3,-1) 34. Determine la intersección de los siguientes planos: a) 2x + 3y z + 4 = 0 y 4x 6y 2z + 1 = 0 b) x + y + z = 0 y 2x y + 4 = 0 20 F.C.E. y T. UNSE

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