Transformaciones lineales Definición Ejemplos Propiedades

Transcripción

1 Transformaciones lineales Definición Ejemplos Propiedades c Jana Rodriguez Hertz p. 1/1

2 transformaciones lineales Dados V y W e.v. sobre K, c Jana Rodriguez Hertz p. 2/1

3 transformaciones lineales Dados V y W e.v. sobre K, llamamos transformación lineal c Jana Rodriguez Hertz p. 2/1

4 transformaciones lineales Dados V y W e.v. sobre K, llamamos transformación lineal a cualquier función T : V W que verifique c Jana Rodriguez Hertz p. 2/1

5 transformaciones lineales Dados V y W e.v. sobre K, llamamos transformación lineal a cualquier función T : V W que verifique T(v 1 + v 2 ) = T(v 1 ) + T(v 2 ) para todo v 1,v 2 V c Jana Rodriguez Hertz p. 2/1

6 transformaciones lineales Dados V y W e.v. sobre K, llamamos transformación lineal a cualquier función T : V W que verifique T(v 1 + v 2 ) = T(v 1 ) + T(v 2 ) para todo v 1,v 2 V T(λv) = λt(v) para todo v V y λ K c Jana Rodriguez Hertz p. 2/1

7 Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = K n c Jana Rodriguez Hertz p. 3/1

8 Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = K n y W = K m. c Jana Rodriguez Hertz p. 3/1

9 Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = K n y W = K m. Entonces A M m n (K) determina c Jana Rodriguez Hertz p. 3/1

10 Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = K n y W = K m. Entonces A M m n (K) determina A : K n K m c Jana Rodriguez Hertz p. 3/1

11 Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = K n y W = K m. Entonces A M m n (K) determina A : K n K m A.(X + Y ) = A.X + A.Y X,Y K n c Jana Rodriguez Hertz p. 3/1

12 Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = K n y W = K m. Entonces A M m n (K) determina A : K n K m A.(X + Y ) = A.X + A.Y A.(λX) = λa.x X,Y K n X K n y λ K c Jana Rodriguez Hertz p. 3/1

13 Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = K n y W = K m. Entonces A M m n (K) determina A : K n K m A.(X + Y ) = A.X + A.Y A.(λX) = λa.x X,Y K n X K n y λ K A es una transformación lineal c Jana Rodriguez Hertz p. 3/1

14 Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n, c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1

15 Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v 1,...,v n } base de V c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1

16 Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v 1,...,v n } base de V para cada v V teníamos c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1

17 Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v 1,...,v n } base de V para cada v V teníamos coord B (v) = (λ 1,...,λ n ) K n c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1

18 Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v 1,...,v n } base de V para cada v V teníamos si coord B (v) = (λ 1,...,λ n ) K n v = λ 1 v λ n v n c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1

19 Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v 1,...,v n } base de V para cada v V teníamos coord B (v) = (λ 1,...,λ n ) K n si v = λ 1 v λ n v n la transformación es lineal coord B : V K n c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1

20 Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v 1,...,v n } base de V para cada v V teníamos coord B (v) = (λ 1,...,λ n ) K n si v = λ 1 v λ n v n la transformación es lineal coord B : V K n c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1

21 Ejemplo 3 - derivada Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R), c Jana Rodriguez Hertz p. 5/1

22 Ejemplo 3 - derivada Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R), la transformación verifica d : C 1 (R) C 0 (R) f df c Jana Rodriguez Hertz p. 5/1

23 Ejemplo 3 - derivada Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R), la transformación verifica d : C 1 (R) C 0 (R) f df d(f + g)(x) = df(x) + dg(x) c Jana Rodriguez Hertz p. 5/1

24 Ejemplo 3 - derivada Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R), la transformación verifica d : C 1 (R) C 0 (R) f df d(f + g)(x) = df(x) + dg(x) d(λf)(x) = λdf(x) c Jana Rodriguez Hertz p. 5/1

25 Ejemplo 3 - derivada Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R), la transformación verifica d : C 1 (R) C 0 (R) f df d(f + g)(x) = df(x) + dg(x) d(λf)(x) = λdf(x) es lineal c Jana Rodriguez Hertz p. 5/1

26 Ejemplo 4 - integral definida Sean V = C 0 (R) y W = C 1 (R), c Jana Rodriguez Hertz p. 6/1

27 Ejemplo 4 - integral definida Sean V = C 0 (R) y W = C 1 (R), dado a R, la transformación. a : C0 (R) C 1 (R) f x a f(t)dt verifica c Jana Rodriguez Hertz p. 6/1

28 Ejemplo 4 - integral definida Sean V = C 0 (R) y W = C 1 (R), dado a R, la transformación. a : C0 (R) C 1 (R) f x a f(t)dt verifica x a (f + g)(t)dt = x a f(t)dt + x a g(t)dt c Jana Rodriguez Hertz p. 6/1

29 Ejemplo 4 - integral definida Sean V = C 0 (R) y W = C 1 (R), dado a R, la transformación. a : C0 (R) C 1 (R) f x a f(t)dt verifica x a (f + g)(t)dt = x a f(t)dt + x a g(t)dt x a λf(t)dt = λ x a f(t)dt c Jana Rodriguez Hertz p. 6/1

30 Ejemplo 4 - integral definida Sean V = C 0 (R) y W = C 1 (R), dado a R, la transformación. a : C0 (R) C 1 (R) f x a f(t)dt verifica x a (f + g)(t)dt = x a f(t)dt + x a g(t)dt x a λf(t)dt = λ x a f(t)dt es lineal c Jana Rodriguez Hertz p. 6/1

31 Otros ejemplos producto escalar (con un vector fijo) c Jana Rodriguez Hertz p. 7/1

32 Otros ejemplos producto escalar (con un vector fijo) producto vectorial (con un vector fijo) c Jana Rodriguez Hertz p. 7/1

33 Otros ejemplos producto escalar (con un vector fijo) producto vectorial (con un vector fijo) determinante (respecto de una columna) c Jana Rodriguez Hertz p. 7/1

34 Otros ejemplos producto escalar (con un vector fijo) producto vectorial (con un vector fijo) determinante (respecto de una columna) vector proyección sobre un versor c Jana Rodriguez Hertz p. 7/1

35 Proposición Dados V y W e.v. sobre K, la función T : V W es lineal c Jana Rodriguez Hertz p. 8/1

36 Proposición Dados V y W e.v. sobre K, la función T : V W es lineal T(αv 1 + βv 2 ) = αt(v 1 ) + βt(v 2 ) c Jana Rodriguez Hertz p. 8/1

37 Proposición T : V W transformación lineal c Jana Rodriguez Hertz p. 9/1

38 Proposición T : V W transformación lineal T(O V ) = O W c Jana Rodriguez Hertz p. 9/1

39 Demostración T(O V ) c Jana Rodriguez Hertz p. 10/1

40 Demostración T(O V ) = T(0.O V ) c Jana Rodriguez Hertz p. 10/1

41 Demostración T(O V ) = T(0.O V ) = 0.T(O V ) c Jana Rodriguez Hertz p. 10/1

42 Demostración T(O V ) = T(0.O V ) = 0.T(O V ) = O W c Jana Rodriguez Hertz p. 10/1

43 Teorema Una transformación lineal queda completamente determinada por los valores que toma en una base. c Jana Rodriguez Hertz p. 11/1

44 Teorema Una transformación lineal queda completamente determinada por los valores que toma en una base. Es decir, si conocemos T(B) para alguna base B de V c Jana Rodriguez Hertz p. 11/1

45 Teorema Una transformación lineal queda completamente determinada por los valores que toma en una base. Es decir, si conocemos T(B) para alguna base B de V entonces hay una única t.l. T : V W que en B vale T(B) c Jana Rodriguez Hertz p. 11/1

46 demostración - hay una Si B = {v 1,...,v n } c Jana Rodriguez Hertz p. 12/1

47 demostración - hay una Si defino T(v) = B = {v 1,...,v n } c Jana Rodriguez Hertz p. 12/1

48 demostración - hay una Si B = {v 1,...,v n } defino T(v) = T(λ 1 v 1 + +λ n v n ) c Jana Rodriguez Hertz p. 12/1

49 demostración - hay una Si defino B = {v 1,...,v n } T(v) = T(λ 1 v 1 + +λ n v n ) def = λ 1 T(v 1 )+ +λ n T(v n ) c Jana Rodriguez Hertz p. 12/1

50 demostración - hay una Si defino B = {v 1,...,v n } T(v) = T(λ 1 v 1 + +λ n v n ) def = λ 1 T(v 1 )+ +λ n T(v n ) T es lineal (Verificar) c Jana Rodriguez Hertz p. 12/1

51 demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

52 demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T(v) c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

53 demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T(v) = T(λ 1 v λ n v n ) c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

54 demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T(v) = T(λ 1 v λ n v n ) = λ 1 T(v 1 ) + + λ n T(v n ) c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

55 demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T(v) = T(λ 1 v λ n v n ) = λ 1 T(v 1 ) + + λ n T(v n ) = λ 1 S(v 1 ) + + λ n S(v n ) c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

56 demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T(v) = T(λ 1 v λ n v n ) = λ 1 T(v 1 ) + + λ n T(v n ) = λ 1 S(v 1 ) + + λ n S(v n ) = S(λ 1 v λ n v n ) c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

57 demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T(v) = T(λ 1 v λ n v n ) = λ 1 T(v 1 ) + + λ n T(v n ) = λ 1 S(v 1 ) + + λ n S(v n ) = S(λ 1 v λ n v n ) = S(v) c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

58 demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T(v) = T(λ 1 v λ n v n ) = λ 1 T(v 1 ) + + λ n T(v n ) = λ 1 S(v 1 ) + + λ n S(v n ) = S(λ 1 v λ n v n ) = S(v) c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

59 Proposición T : V W transformación lineal biyectiva c Jana Rodriguez Hertz p. 14/1

60 Proposición T : V W transformación lineal biyectiva T lleva bases de V en bases de W c Jana Rodriguez Hertz p. 14/1

61 Proposición T : V W transformación lineal biyectiva T lleva bases de V en bases de W c Jana Rodriguez Hertz p. 14/1