También pueden descomponerse los segmentos en función de los vectores posición lo que da como resultado:

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Rosa Alarcón Mora
hace 7 años
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1 EL ÁLGER GEÉTRI EL ESPI Y TIEP GEETRÍ EL TETRER Volmn l ttrro El volmn n ttrro s l st prt l volmn l prllpípo q lo ontin (vés igr 5.6). El volmn l prllpípo s igl l proto trior trs rists lsqir no prlls. El rslto s positivo o ngtivo sgún s l orintión ls trs sgmntos igl opst l los vtors los js oorns. Pr n ttrro vértis s volmn vin o por: V Tmién pn somponrs los sgmntos n nión los vtors posiión lo q omo rslto: V ins rintro Sn tro vértis l ttrro. S in n min omo l sgmnto q v s n vérti (por jmplo ) l rintro s r opst. En totl h tro mins n pr vérti. Ests tro mins s ortn n n pnto llmo rintro l ttrro omo s mstr ontinión. Por jmplo l intrsión G l min l vérti on l l vérti (igr 6.1) n so q ist (n l spio porín no ortrs) vnrá por ls ions: G α G β ( 1α ) ( 1 β ) Iglno nontrmos: 3 3 α ( 1 α ) β ( 1 β ) 3 3 Figr β 1α α β α β α β omo los tro vértis no son oplnrs s ir son inpnints toos los oiints hn nlrs por tnto l solión s α β 1/ 4 on s sig l ión l rintro:

Pr n ttrro vértis s volmn vin o por: V 1 6 1 6 Tmién pn somponrs los sgmntos n nión los vtors posiión lo q omo rslto: V ins rintro Sn tro vértis l ttrro.

2 RN GNZÁLEZ LVET 88 4 G Est órml s invrint jo prmtión íli los vértis lgo lqir otr prj mins s ortn tmién n l mismo pnto G l rintro. irnntro ntro l sr irnsrit S l ntro l sr irnsrit l ttrro s irnntro (igr 6.). L oniión q mplir s q l istni l irnntro los tro vértis s l mism: srrollmos l primr ión: islno tnmos: on st ión ls nálogs otnis ls otrs oniions llgmos n sistm ions linls: Pr rsolvr n sistm ions linls l orm: srimos plíitmnt ls omponnts los vtors : Figr 6.

L oniión q mplir s q l istni l irnntro los tro vértis s l mism: srrollmos l primr ión: islno tnmos: on st ión ls

3 EL ÁLGER GEÉTRI EL ESPI Y TIEP 89 Por l rgl rmr tnmos: t t t Estos trs rsltos s pn rnir n l igl: 1 sí ps l solión l sistm ions pr l irnntro s: [ ] 1 émosl n prsión simétri jo prmtión íli: [ ] 1 [ ] 1 no s rli n prmtión íli los vértis toos los términos l primr préntsis min signo. Ello s io l mio l orintión l ttrro q mi tmién l signo l volmn on lo l l irnntro q invrint.

íli: [ ] 1 [ ] 1 no s rli n prmtión íli los vértis toos los términos l primr préntsis min

4 90 RN GNZÁLEZ LVET Pnto ong El pnto ong s l intrsión los plnos q psn por l pnto mio rist son prpnilrs l rist opst. omo h sis rists h sis plnos istintos. El pnto s l intrsión trs stos plnos pro los otros trs plnos tmién los ortn n l mismo pnto omo mostrrmos ontinión. Psto q l pnto prtn l plno q ps por l pnto mio l rist s prpnilr l rist mplirá l ión: 0 Psto q l pnto tmién prtn l plno q ps por l pnto mio l rist s prpnilr l rist mplirá l ión: 0 Finlmnt psto q l pnto prtn tmién l trr plno q ps por l pnto mio l rist s prpnilr mplirá l ión: 0 sí ps l pnto intrsión stos trs plnos vin o por l sistm ions: Si smmos n pr ions por jmplo l primr l sgn otnmos: ( ) ( ) 0

Psto q l pnto prtn l plno q ps por l pnto mio l rist s prpnilr l rist mplirá l ión: 0 Psto q l pnto tmién prtn l plno q ps por l pnto mio l rist s prpnilr l rist

5 EL ÁLGER GEÉTRI EL ESPI Y TIEP 91 0 Es ir prtn tmién l plno q ps por s prpnilr. nálogmnt ls sms ls otrs os prjs rinn ions q mstrn q tmién prtn los otros os plnos. sí ps los sis plnos s ortn n n solo pnto l pnto ong. Si islmos l pnto ong n l sistm ions nontrmos: Sgún l rsolión n sistm ions q hmos srrollo nts l solión st sistm s: 1 q s n órml invrint jo prmtión íli los vértis. Rt Elr l ttrro Rormos q l irnntro l pnto ong vinn os por los sistms ions: Smno mos sistms otnmos: 4 4 4

sí ps los sis plnos s ortn n n solo pnto l pnto ong.

6 9 RN GNZÁLEZ LVET on s onl q l rintro G s l pnto mio l irnntro l pnto ong (igr 6.3): G 4 Si n mio rstmos mos sistms nontrmos: Figr 6.3 solión s: 1 El proto gométrio prmit sriir l primr préntsis n n orm más simétri: ( ) ( 4 ) 1 L rt Elr n ttrro s l rt q ontin l rintro G l irnntro l pnto ong. S vtor irtor s s prsión s invrint jo prmtión íli los vértis l ttrro nq prmtión mi los signos préntsis. Inntro El inntro I s l pnto q stá l mism istni ls tro rs l ttrro (igr 6.4). Spongmos por nlogí on l inntro n triánglo q l inntro I n ttrro on vértis vin o por l sigint órml invrint jo prmtión íli los vértis: Figr 6.4 I llmos los vtors q vn los vértis l inntro I:

S vtor irtor s s prsión s invrint jo prmtión íli los vértis l ttrro nq prmtión mi los signos préntsis.

7 EL ÁLGER GEÉTRI EL ESPI Y TIEP 93 I I I Y hor llmos los sigints protos triors: I I I I pr ompror q tivmnt l órml propst pr I mpl l oniión qiistni ls tro rs l ttrro: r I I I I q. Estos oints son jstmnt l rio r l sr insrit n l ttrro s vlor s igl : r 3V S q l nmror s sis vs l volmn V l ttrro l nominor s l ol l sprii S l ttrro l sm ls árs ss rs. Ejriios 6.1 méstrs q los 3 sgmntos q nn los pntos mios ls rists opsts n ttrro s rn n l rintro. 6. mostrr q l rio R l sr irnsrit n ttrro vin o por:

Estos oints son jstmnt l rio r l sr insrit n l ttrro s vlor s igl : r 3V S q l nmror s sis vs l volmn V l ttrro l nominor

8 94 RN GNZÁLEZ LVET R 6.3 méstrs l irmión q l vtor l rt Elr n ttrro s: ( ) ( 4 ) S n ttrro s π n plno q ort ls rists n los pntos N E F rsptivmnt. Si pr irnts posiions π NEF s n prllogrmo mostrr q l ntro st prllogrmo rorr ntons n rt ij. mostrr tmién q l ár máim st prllogrmo s otin no N E F son los pntos mios ls rsptivs rists.

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(a+1)x+ay=3 (a+1)x+(a+1)y+(a+2)z=1 (a 2 +a)x+(a 2-1)y+(a 2-2a-8)z=2a+5. a 1. a+1. a+2 a 2-2a a+5 ~1 0. a=-1 EXTRAORDINARIO DE 4. PROBLEMA A. Estudi l siguint sistm d uions linls dpndint dl prámtro rl y rsuélvlo n los sos n qu s omptil: Aplimos l método d Guss: ~ + + + + + - 3 + --6 - -+3 (+)+y3 (+)+(+)y+(+)z