El alumno elegirá el Ejercicio A o el B, del que sólo hará TRES de los cuatro problemas propuestos. Cada problema se puntuará de 0 a 3,33.

Transcripción

1 ALICANTE / JUNIO 98. LOGSE / MATEMÁTICAS II El lumno elegirá el Ejercicio A o el B, del que sólo hrá TRES de los curo problems propuesos. Cd problem se punurá de,. EJERCICIO A Problem.- Hll el volumen de un prlelepípedo de bses ABCD EFGH sbiendo que A(8,, ), B(, 8, ), C(,, 8) E(8, 8, 8). Obén ls coordends de los resnes vérices. Problem.- Consider l superficie limid por: L semicircunferenci El eje OX. El segmeno que une los vérices (, ) (, ). El segmeno que une los vérices (-, ) (-, ). Hll el volumen de l figur obenid l girr es superficie un vuel lrededor del eje OX. Problem.- Se repren uns inviciones sbiendo que sólo el 4% sisirán l co. Se seleccion l zr invidos. Clculr: ) L probbilidd de que sólo res de esos diez invidos cudn l co. b) L probbilidd de que cudn más de res de los diez. Problem 4.- Resolver el sisem formdo por ls res ecuciones: z ; - ; - z jusificr si iene o no ls misms soluciones que el sisem z ; - Solución : Como puede verse en l figur djun, ls riss del prlelepípedo vienen dds por los vecores: AB(-8, 8, ), BC(, -8, 8), AE(, 8, 8)

2 El volumen es el módulo del produco mio de los res, que vle: V Si O es el origen de coordends, los demás vérices se obiene como sigue: OD OA BC (8,, ) (, -8, 8) (8, -8, 8).D(8, -8, 8). OH OE EH OE BC (8, 8, 8) (, -8, 8) (8,, 6). H(8,, 6). OF OE EF OE AB (8, 8, 8) (-8, 8, ) (, 6, 8). F(, 6, 8). OG OF FG OF BC (, 6, 8) (, -8, 8) (, 8, 6). G(, 8, 6). No: Hemos supueso que los vérices esán ordendos, siendo ls riss AE, BF, CG DH. Si no fuese sí, podrín drse soluciones disins. Solución : El volumen pedido viene ddo por l inegrl V ( - ) d ( - ) d ( - ) d - d Clculo de - d Hciendo cos, qued: d -sen d; rccos(/); sen - cos ; Luego, cos sen - d n Por or pre, cos (-)se d d ( sen ) 4 ( - ) d ( ) ( ) Luego el volumen pedido vle,

3 V ( ) Solución : Se r de un disribución binomil B(,,4), pues P(cudir) p,4, siendo q,6. Con eso, 7 ) P ( X ),4,6, b) P( X > ) P( X ) 7 8 9,4,6,4,6,4,6,6 -, -, -,4 -,6,68. Solución 4: El sisem es z - - z E E E E z - - z z z z cu solución es: 4 z El segundo sisem es z z, que es idénico l primero. (Puede verse que EE-E). Por no, mbos sisems ienen ls misms soluciones.

4 ANDALUCÍA / JUNIO 98. LOGSE / MATEMÁTICAS II OPCIÓN A Ejercicio Hciendo el cmbio de vrible e e, clcul d e e Ejercicio b si < Se sbe que l función f: [, ] R, dd por f ( ) es c si derivble en el inervlo (, ) verific f() f(). Cuáno vlen, b c? Ejercicio Hll el puno Q simérico del puno P(,, ) respeco l rec r, que ps por el puno A(,, ) es prlel l rec s de ecuciones: s z Ejercicio 4 Consider ls mrices: A B. Deermin si A B son inveribles, en su cso, clcul l mriz invers. (, punos).. Resuelve l ecución mricil BA - A AB - X. ( puno). Solución : Si e, se iene d e d; demás, si, ; si, e. Luego: e e e e d d Es inegrl se puede hcer por descomposición en frcciones simples, pues: A B A( ) B( ) ( )( ) ( )( )

5 De donde: A( ) B( ) si - A si - -B Con eso: e d e e d ln(e ) - ln() - ln(e ) ln [ ln( )] e [ ln( ] e ) Solución : Como l función es derivble debe ser coninu, luego, en se cumple: 4b c [] pues: si -, f() 4b si, f() c. Por ser derivble en (, ) debe serlo en, luego f ( - ) f ( ). Como b si < f ( ) / si, se endrá: f ( - ) 4b f ( ). [] Por or pre, f() f(), de donde f() c f() c - Susiuendo en [] [], se iene: 4b - 8b b Solución 4:. Los deerminnes de A B vlen: A -. Luego, A iene invers. B. Luego, B no iene invers

6 L mriz de los djunos de A es: ) ( ij A Luego, ) ( A A A ij / / / / / / / / /. Despejndo: X AB A -BA -

7 ZARAGOZA / JUNIO 98. LOGSE / MATEMÁTICAS II OPCIÓN A A.. Discuir el sisem ( ) z ( ) ( ) z. z según se el vlor del prámero [, punos]. Hllr, si eise, l solución del mismo cundo [ puno]. A.. Hllr el puno simérico del puno A(-,, ) respeco l plno de ecución generl -z [, punos]. A.. Dd l función f definid por:, - f ( ) b. - < 6, Se pide: i) Hllr b pr que l función se coninu en odo rel [, punos]. ii) Anlizr su derivbilidd [ puno] iii) Represención gráfic [ puno]. A.4. Un cmpo de leismo de 4 meros de perímero consise en un recángulo con un semicírculo en cd uno de los dos ldos opuesos. Hllr ls dimensiones del cmpo pr que el áre de l pre recngulr se lo mor posible [, punos]. Solución : Se A l mriz de coeficienes M l mriz mplid. El sisem endrá solución si rngo (A) rngo(m): r(a) r(m). En nuesro cso: A M. Rngo de A: A ( ) ( ).

8 Luego, A si - o. A si ±. Si -, M A, de donde r(a) r(m). Luego el sisem será incompible. Si, M A, con r(a) r(m). El sisem será incompible. Si ±, r(a) r(m). El sisem será compible deermindo. Cundo, el sisem qued: z - - cu solución es, -, z. Solución : Se A el simérico de A respeco de π. Ambos punos A A esrán en l rec r, perpendiculr π por A. Como v (,, -), se deduce que r: z Además d(a, π) d(a, π), como d(a,π) 6 9 ) ( 6, se endrá que d(a,π) λ 9 λ. Por no, A (, 6, -).

9 Solución : i) f() esá definid pr odo R, siendo cd función prcil coninu. En consecuenci h que esudir su coninuidd sólo en - en. En -. Si - -, f(). Con eso, - -b. Si -, f() b - -b. En. Si -, f() b 8 b. Si, f() Por no, 6 8 b., - Luego, b -, siendo f(). - < 6, ii) Derivndo cd rozo, se obiene:, - f (). - <, En -, f (- - ) f (- ) f (-) no eise. En, f ( - ) f ( ) f es derivble en, siendo f (). iii)

10 Puede verse que f iene un máimo en un mínimo en Solución 4: Se l longiud de l pre rec, r el rdio de cd semicírculo. Tendremos: πr 4, de donde - πr, siendo S r l función que se quiere hcer máim. Susiuendo el vlor de, qued S r( - πr) 4r - πr. Pr máimo: S 4-4πr r. Como S -4π, el máimo se d pr el vlor de r hlldo. Ls dimensiones de l pre recngulr serán por r, con r.

11 OVIEDO / JUNIO 98. LOGSE / MATEMÁTICAS II Escoge curo de los seis ejercicios siguienes.. (punución máim, punos) Dd l idenidd mricil X 4 6 i) Cuáles son ls dimensiones de un mriz solución de l idenidd nerior? ii) Clcul su solución. iii) Es únic l solución?. Rzon ls respuess.. (punución máim, punos) z z 6 Ddos los sisems S : S : 8 z i) Hll ls soluciones comunes. ii) Hciendo uso únicmene del número de soluciones obenids en el prdo nerior, puede cd uno de los sisems definir los punos de un plno?. (punución máim, punos) i) Clcul pr qué vlor de l función f ( ) ( ) cos iene un eremo en el puno de bscis. De qué ipo de eremo se r? ii) Pr el vlor de clculdo, deermin los cores de l curv con los ejes los dominios de monooní. 4. (punución máim, punos) Hll el vlor de pr que d 4 Jusificr l respues.. (punución máim, punos) Los punos P(,, ) Q(,, ), son dos vérices coniguos de un recángulo. Un ercer vérice perenece l rec z i) Deermin los vérices de un recángulo que verifique ls condiciones neriores. ii) Qué posición reliv deberí ener l rec r l que coniene l segmeno PQ, pr que l solución fuese únic?. Rzon l respues.

12 6. (punución máim, punos) Se f(). Se consider el lugr geomérico de los punos del plno que son puno medio del segmeno que une dos punos culesquier de l gráfic con bsciss diferencids en dos uniddes. i) Hll l ecución que define dicho lugr geomérico. ii) Idenific l cónic obenid en el prdo nerior. Solución : i) Como sbemos, por lo que respec sus dimensiones, el produco de mrices se compor sí: A mp B pn C mn. En nuesro cso, p, n m, luego X debe ser un mriz. ii) X iii) En ese cso es evidene que l solución es únic. En generl, l ecución mricil XA B iene solución únic cundo eise A - puede hcerse el produco BA -. Solución : i) L solución de S es 8 z 8 Tenemos pues un rec de soluciones, que llmmos r. El sisem S es equivlene { 6 z. Es solución es un plno: el plno : -z6. Ls soluciones comunes son los punos comunes, si los h, enre r r en se iene:. Susiuendo Luego P(, -, -) es l solución común S S. ii) Como se h dicho, l solución de S es un plno, pues iene dos grdos de indeerminción.

13 Solución : Pr eremo, f (). En ese cso, f (). Como f ( ) ( ) sen f ( ) Si, f() cos, f () - sen, f () - cos. Como f () >, se r de un mínimo. ii) Core con eje OY: Si, f(). Puno de core (, ). Core con eje OX: cos (?). Pero como el mínimo de f() vle f(), l función no cor l eje OX, pues cos nunc vle.. Monooní: f () - sen cundo, que es un solución de - sen. Pero, sólo eise es solución? Si, pues g() - sen es un función creciene, que g () - cos > siempre. Por no, - sen sólo puede ser cero un vez. Así pues: Pr <, f () <, luego f() es decreciene. Pr >, f () >, luego f() es creciene. Solución 4: A prir de l gráfic de podemos represenr l de

14 Por no, f ( ),,,, si < - si - si < < si Y l inegrl d d ( ) ( ) d Pr que vlg 4: 4 Solución 6: i) Dos punos culesquier que verificn ls condiciones dds son: P(, ) Q(, () ) El puno medio será ( ) M, Luego, son punos de l form. ii) Se r de un prábol de eje vericl. (, )(, ( ) ).

15 CANARIAS /JUNIO 98. LOGSE / MATEMÁTICAS II Opción A. Se dn ls gráfics de dos funciones: f ( ) e l de sus derivd f (): Se pide disinguir un de l or, jusificndo rzondmene el porqué hllr los inervlos de crecimieno decrecimieno, concvidd, conveidd, sí como hllr los punos donde h máimos, mínimos e infleiones de f(). Hllr mbién el áre del recino limido por l gráfic de f(), el eje OX ls recs de ecuciones respecivs -,.. Dd l función, se pide: ( ) b) Esudir rzondmene su coninuidd. c) Esudir rzondmene sus sínos.. Discue el sisem resuelve según los vlores del prámero : z z z 4. Esudi l posición reliv de ls recs: r s z z En el cso en que se coren, obén el puno de core.

16 Solución : L función f es l de l derech, pues es l únic que ps por el puno (, ), que f ( ) e e ( )e L derivd vle en -. Si < -, f < f es decreciene. Si > -, f > f es creciene. En - h un mínimo: f(-) -e - -,7 f ( ) e e e ( )e, que vle en -. Si < -, f < f es conve ( ). Si > -, f > f es cóncv. En - h infleión. f(-) -e - -,7 Teniendo en cuen que l función es negiv enre -, el áre pedid es: A e d e d L inegrl e d l hremos por pres. Tomndo: u du d e d dv v e Se iene: e d e e d e e ( )e Por no, A e d e d ( ) e ( ) e - e - Solución : L función no esá definid en -; por no, en ese puno no es coninu. Luego, l función es coninu en R - {-}. En - h un síno vericl, hci menos infinio, pues lím - ( ) Tmbién iene un síno oblicu, m n, siendo f ( ) m lím lím ( ) ( ) n lím ( f ( ) m) lím lím ( ) ( )

17 L síno es: -. Solución : Se A l mriz de coeficienes M l mriz mplid. El sisem endrá solución cundo r(a) r(m). M A El deerminne de A, A. Luego si /, r(a) r(m), el sisem será compible deermindo. Si /, como el menor 6 M, se endrá que r(m) mienrs que r (A). En ese cso, el sisem será incompible. Cundo /, plicndo l regl de Crmer, se iene: 9 A 4 A 6 A z Solución 4: Esudindo l dependenci linel de los vecores v r (-, ), v s (-,, ) AB(-, -, ),

18 donde A (,, ) r B (,, ) s, se deermin l posición reliv de mbs rec: si son linelmene independienes, se cruzn; si son linelmene dependienes, esán en el mismo plno. Con eso, como -, los vecores v r, v s AB, son linelmene dependienes. En consecuenci, ls recs r s se corn. En el puno de core se cumple que z r z s, luego r ;, en consecuenci, el puno de core es P (-, 8, ).

19 CANTABRIA /JUNIO 98. LOGSE/ MATEMÁTICAS II Indicciones l lumno. El ejercicio cons de res bloques de preguns. Debe conesrse necesrimene los res bloques, escogiendo un pregun, A o B, de cd uno.. Tods l preguns punún igul. BLOQUE..A. Dd l función f() e ( ), se pide esudir: ) Dominio sínos. b) Crecimieno decrecimieno. Máimos mínimos. c) Concvidd conveidd. d) Dibujr l gráfic de sus sínos..b. ) Obener un función f() que verifique: i) f () ( - )e ii) f() iene un eremo en el eje OX. ) Deerminr si ese eremo es máimo o mínimo. BLOQUE..A. Fulno de Tl quiere hcer un grn fies, e invir sus migos uns orills, sí que v l iend compr un docen de huevos, un bols de ps un boell de ceie. Ddo el éio obenido, decide repeir l fies, vuelve comprr un docen de huevos dos boells de ceie. Cundo lleg cs se cuerd de que no iene ps, vuelve l iend pr comprr un bols de ps decide llevr mbién or docen de huevos. En l primer ocsión se gsó 6 peses; en l segund ocsión se gsó 6 peses; en l úlim peses. Clculr, si es posible, el precio de los huevos, ls ps el ceie.b. Discuir el siguiene sisem de ecuciones en función del prámero. Resolverlo cundo se posible. z z ( ) z BLOQUE..A. Esudir ls posiciones relivs de los plnos z z 6 l rec z r

20 Hllr un puno P de r que esé l mism disnci de..b. Ddo el plno z ) hllr el simérico del puno P(,, ) respeco de z b) hllr l rec siméric de r respeco Solución A: ) Dom(f) R, pues es produco de dos funciones coninus en odo R. Asínos:, hci -, pues lím e ( 4 7 6) (Ese límie puede hcerse por L Hôpil). b) f () e ( ) e ( - 8 7) e ( - - ) e ( - ) ( ) f () si - o. Si < -, f < f decrece. Si -< <, f > f crece. Si >, f > f crece De lo nerior se deduce que f iene un mínimo en. c) f () e ( - - ) e ( - - ) e ( - )( ). f () en -,. Si < -, f < f conve Si - < <, f > f cóncv Si < <, f < f conve Si >, f > f cóncv d) L gráfic de f() se d en l figur djun.

21 Solución B: ) f ( ) ( ) e d e d e c En e d hcemos u e d dv, de donde d du v e. Luego e d e e Por no, f ( ) e e c Como f() iene un eremo en el eje OX, en un puno de l form (, ), se verificrá que f () f(). Luego: f () ( - )e si, f() e - e c c e Por no, f ( ) e e e b) Si <, f () < : f decrece Si >, f () > : f crece. En consecuenci, en se d un mínimo. Solución A: Se, z el precio de los huevos, ps ceie, respecivmene. Se obiene el sisem: z 6 z 6 cu solución es,, z peses. Solución B: Rngo de l mriz de coeficienes, A: A ( - )( - ) Luego, si, el r(a) el sisem será compible deermindo. Si, se iene:

22 M A, siendo r(a) r(m), pues l ª fil es l diferenci de ls dos primers. El sisem será compible indeermindo. Si, enemos: M A 4 4. Como 4 4 M, r(m). Luego el sisem es incompible.. Soluciones: Si, por Crmer, obenemos: z,, Si, el sisem qued: z z, de donde: z / / / 4 / Solución A: L ecución implíci de es 6 z : z 9 Los dos plnos son prlelos, como : v r (,, ) no es perpendiculr l vecor norml de, l rec no es prlel l plno. En consecuenci, l rec cor cd plno en un puno. Un puno P genérico de r es P(,, ). Queremos que d(p, ) d(p, ). Luego: d(p, ) d(p, ). (Hemos cmbido un epresión el signo pr que l iguldd pued ener solución). Operndo, qued -. El puno será, P(-, -, -).

23 De or form. Podrín hllrse los punos de core (P P ) de r con, de r con.el puno P pedido será el puno medio de P P. Esos punos son: P (, -/, -/), P (-, -/, -9/) P(-, -, -). Solución B: ) Se P el simérico de P(, ) respeco de π. Ambos punos, P P, esrán en l rec s, perpendiculr π por P. Como v (, -, ), se iene que s: z Además, d(p, π)d(p, π), como d(a,π) d(p,π) ± ( ), se endrá que ± (-λ) λ λ -4/. Pr λ sle P (,, ), que es el mismo P ddo; por no, no es válid. 4 Pr λ-4/, se obiene P (,, ), que es l solución buscd. (Tmbién se podrí hlr M(/, /, /), obener P medine OP OP PM) b) L rec siméric será l deermind por dos punos siméricos, P Q, de P Q de r. Ver l figur djun. Como P(,, ) es de r, vle el P obenido en el prdo nerior. El puno Q más conveniene es el de core de r con el plno. Lo hllmos: En prmérics, r: z Se susiue en qued, Luego Q(-, -6. -) PQ (,, )

24 De donde l rec pedid es. r : 6 4 z

25 CASTILLA LA MANCHA JUNIO 98 LOGSE MATEMÁTICAS II El lumno deberá desrrollr por escrio dos cuesiones de ls curo propuess. ª CUESTIÓN A Resolver l ecución mricil A X - B A deerminr l mriz X, siendo, A B B Dibujr el recino limido por ls gráfics de, - -. Clculr su áre. ª CUESTIÓN. A Esudir l posición reliv de ls recs. 4 7 : z r ; 4 : z s Hllr l ecución de un plno que coneng mbs recs. B Deerminr ls sínos de 4 ) ( f esudir el crecimieno de l función. ª CUESTIÓN. A Clculr b pr que f() se coninu en > <,,, ) ( b e f Pr los vlores de b obenidos neriormene, esudir l derivbilidd de f() en. Obener el puno de core de l rec el plno. B Hll el ángulo que formn l rec : z r el plno - z -.

26 4ª CUESTIÓN. A Clculr d e I 4) ( B Esudir el rngo de A, según los vlores del prámero R A Rzonr si pr lgún vlor de eise A - (, punos) Solución A: A X - B A X I (A - ) B Se iene: / A ; 4 / ) ( A Luego, X / 4 / 4 Solución A: Se A(-7,, ) un puno de r, B(, -4, ) oro puno de s. Luego, AB(, -, -). Los vecores de dirección de r s son, respecivmene, v r (4, -, ) v s (, -, -). Como 4, los vecores AB, v r v s son linelmene dependienes. En consecuenci, ls recs r s esán en el mismo plno, se corn. El plno que coniene ls dos recs viene ddo por un puno, por ejemplo A, los vecores v r v s ; su ecución será:

27 - 4 7 : z Solución A: L función esá definid en en, siendo f() f(). Pr que se coninu, demás, debe ener límie en esos punos coincidir con su vlor de definición. En : Si -, f(). Si, f(). Luego, ; de donde. En : Si -, f(). Si, f() b/. Luego, b/; de donde b 6. Por no, > <,,, ) ( e f Su derivd es > <,,, ) ( e f Como f ( - ) f ( ), l función no es derivble en. Solución B: Tenemos: r v r (,, ) v r (,, -). Ver figur.

28 r r r r v v Luego, cos( v, vr ) r r v v r r r Por no, el ángulo ( v, v r ), el ángulo (r, ) será. 6. Core rec-plno: Ls ecuciones prmérics de r son: r :. z Susiuendo en l ecución del plno, qued: Luego P(-,, -). Solución 4A: I ( 4) e d e d 4e d L primer inegrl se hce por pres (l segund es inmedi). u ; dv e - d de donde du d; v e Luego e d e e d e e - Por no, I e e 4 e - - c ( )e c Solución 4B: Considermos el menor A ( ) A si o -.

29 Pr, enemos: A, cuo rngo es, pues l column (C) es sum de C C, l C4 es nul. Pr -, enemos: A, como el menor A, el rngo será. En definiiv enemos: Si, r(a). Si, r(a). No eise A -, pues l invers sólo puede eisir pr mrices cudrds.

30 CASTILLA Y LEÓN /JUNIO 98. LOGSE / MATEMÁTICAS II Se proponen dos pruebs, A B. Cd un de ells cons de dos problems, PR- PR-, de curo cuesiones, C-, C-, C- C-4. Cd problem endrá un punución máim de res punos, cd cuesión se punurá, como máimo, con un puno. El lumno deberá escoger un de ls pruebs, A o B, desrrollr ls preguns de l mism. PRUEBA A PROBLEMAS z z PR-. Ddo el sisem z, se pide: esudir su compibilidd z según los vlores del prámero, resolverlo cundo se compible. ( punos). PR-. Se dese consruir un jrdín limido, en dos de sus ldos, por un río que form un codo de º en los oros dos por un vll ABC de, km de longiud (ver figur). Hllr ls dimensiones del jrdín de áre máim. ( punos). CUESTIONES C.. Resolver l ecución mricil AX B, siendo, A, B ( puno) C.. Hllr el volumen del eredro cuos vérices son el puno (,, ) los punos en los que el plno z cor los ejes de coordends. ( puno). C.. Clculr, simplificndo odo lo posible el resuldo, l derivd de ls siguienes funciones: ) f ( ) ln (, punos) b) g( ) e ( ) d (, punos) C.4. Deerminr m, si es posible, pr que el plno de ecución m - (m - ) - (m )z m 4

31 se orogonl l rec de ecución z ( puno). PRUEBA A Solución : El sisem es equivlene z z z, que es homogéneo. Por no será compible: pr A, compible deermindo; pr A, compible indeermindo. Como A si o 7 Pr 7 el sisem es compible deermindo, con solución:,, z. Pr, A iene rngo (C -C - C). El sisem será equivlene z z, cu solución es z Pr 7, 7 7 A mbién iene rngo. El sisem será equivlene z z 7 7, cu solución es z 7 7 Solución : Se dese que el áre del rpecio ABCP se máim. Es superficie es

32 ( PC AB) CB S Sen AB, BC. Pr clculr PC observmos que el ángulo A 4º; por no AP PP CB, de donde PC -. En consecuenci, S ( ) Como (meros), se iene que -. Luego 4 S Derivndo. S - 4 Como S - <, pr ese vlor de se d el máimo. Por no, ls medids deben ser AB 8 CB 4. CUESTIONES Solución C: AX B X A - B De A, se iene A A. Luego X Solución C: El plno z cor los ejes en los punos A(,, ), B(,, ) C(,, ). Si P(,, ), se iene: AP(,, ), BP(, -, ), CP(,, -) El volumen pedido es

33 V Solución C: ) f() ln ( ) - ln ( - ) f ( ) ) Se G() un primiiv de e ( ) d. Por no, G ( ) e ( ) Por el eorem fundmenl del cálculo inegrl: g( ) e ( ) d G ) ( G() - G() G () G () e ( ) Solución C4: Tenemos : m - (m - ) - (m )z m 4 r: z Pr que sen orogonles r, los vecores r v (m, -(m-), -(m)) deben ser prlelos. Luego, v r r (,, -) m ( m ) ( m ) Sisem que no iene solución, pues: de ª ª frcciones se iene, m m m de ª ª frcciones se iene, 4m -m m /7 Por no, no es posible enconrr el vlor de m pedido.

34 CATALUÑA /JUNIO 98. LOGSE / MATEMÁTICAS II OPCIÓN A. Los punos P(-,, 4) Q(,, -) son siméricos respeco un plno. clcul l ecución de ese plno. (Que P Q son siméricos respeco un plno, quiere decir que l rec que deerminn cor perpendiculrmene el plno en el puno R, que es el puno medio de P Q). ( punos).. Consider l función f() p, donde p es un ciero número rel. Escribe (en función de p) l ecución de l rec ngene l gráfic de f() en el puno de bscis. Deermin después p, de mner que l rec ngene nerior pse por el puno (, ). ( punos). z. Consider l rec r de ecuciones. c) De enre los plnos que conienen l rec r, escribe l ecución cresin del que es prlelo l rec s de ecuciones - z. (, punos). d) Hll l proección orogonl de l rec r sobre el plno obenido en el prdo nerior (eso es, l rec inersección del plno p obenido en el prdo nerior con el plno que ps por r es perpendiculr p). (, punos). 4. ) Hll l síno oblicu de l función. (, punos). P( ) b) Consider un función de l form, donde P() Q() son Q( ) polinomios de grdo >. Teniendo presenes los cálculos que hs hecho pr responder l prdo nerior, eplic de mner rzond que l función nombrd puede ener un síno oblicu cundo el grdo de P ecede el de Q en un unidd. (, punos). Solución : El plno buscdo esá deermindo por el vecor PQ, que será norml él, por el puno R. PQ (,, -) - (-, 4) (6,, -6) 4 R (,, ) (,, ).

35 Por no, sus ecución es: Solución : 6( - ) ( - ) (-6)(z - ) - z - L ecución de l rec ngene f() en el puno de bscis es: - f() f ()( - ) Como f () p, se iene: - ( p) ( p)( - ) ( p) -. Pr que pse por el puno (, ): ( p) - p -. Solución : ) L rec r puede drse sí: r z El hz de plnos que coniene r es: - - m( - z ) (m -) - mz Pr que uno de esos plnos se prlelo l rec s, los vecores v r (, m -, -m) v r s (,, ) deben ser orogonles. Luego, r v v r s (, m -, -m) (,, ) m. El plno pedido será: - - Cus ecuciones cresins son: z b) El plno enconrdo coniene l rec r, luego su proección sobre él es ell mism. Solución 4: L ecución de l síno oblicu e, m n, siendo f ( ) m lím lím ( ) n lím ( f ( ) m) lím ( ) lím lím Por no, l síno es: 4 4

36 P( ) b) Ls funciones rcionles, de l form, sólo pueden ener un síno Q( ) oblicu cundo el grdo de P ecede en l de Q, pues sólo enonces el límie f ( ) P( ) lím lím es disino de. Q( )

37 EXTREMADURA / JUNIO 98. LOGSE / MATEMÁTICAS II Cd un de ls dos cuesiones del reperorio elegido punurá punos como máimo cd problem punurá punos como máimo. REPERTORIO A CUESTIONES. Definir el concepo de derivd de un función en un puno. Inerpreción geoméric.. Proponer un ejemplo de un vecor que se orogonl l vecor e r de coordends (, -, ) eng módulo doble que e r. PROBLEMAS. Represenr gráficmene l figur pln limid por l prábol de ecución ( ) l rec. Clculr su áre. 4. Deerminr los vlores de pr los que es incompible el sisem z z z Solución : Teorí. Ver libro de eo. Solución : El módulo de e r vle r e ( ) 6. Se v r (,, z) el vecor buscdo. Debe cumplir: e r v r - z

38 z 6 z 4 Como se nos pide un ejemplo, podemos omr ; enonces, qued: z -z z 4 (-z) z 4 z Por no, el vecor v r (-,, ). Solución : L curv dd es un prábol con vérice en el puno V (-, ). Su represención gráfic es: El áre pedid es: A (( ) ) d ( ) 4 Or posibilidd: Despejndo en l función dd, se iene: ± Eso es: e, que corresponden los rozos de prábol por encim por debjo de l rec, respecivmene. Con eso, ( ) A (( ( )) d d / / 4

39 Solución 4: Se A l mriz de coeficienes M l mriz mplid. El sisem endrá solución cundo r(a) r(m), en cso conrrio, será incompible. M A El deerminne de A, ) ( A Con eso, si, r(a) r(m), el sisem será compible deermindo. Si, se iene: M. Tomndo M ; luego, r(m), el sisem será incompible. Si, / / / M, omndo / / M -/, se iene que r(m). Luego, el sisem será mbién incompible. Así pues, los vlores buscdos son:.

40 GALICIA / JUNIO 98. LOGSE / MATEMÁTICAS II El lumno deberá responder curo preguns. Un pregun de cd uno de los curo bloques emáicos: Álgebr, Geomerí, Análisis Memáico Esdísic. L punución máim de cd pregun es de, punos. Álgebr (Responder un de ls dos preguns). A. Se z bi un número complejo. Demosrr que se verific l _ desiguldd, z z _ ( z es el conjugdo de z), pr qué vlor de z se d l iguldd? z z i B. Siendo z un número complejo, resolver l ecución i 4 i. A. En un sisem de res ecuciones lineles con res incógnis se conocen res soluciones. Eisen más soluciones? Qué vlor puede omr el rngo de l mriz socid l sisem el rngo de l mriz mplid? B. Discuir l eisenci de soluciones del siguiene sisem según los vlores del prámero. Y, si es posible, resolverlo pr. z ( ) z Geomerí. (Responder un de ls dos preguns). Clcul los punos de l rec r que ps por los punos P(-,, ) Q(,, ), les que su disnci l puno C(-,, ) es de uniddes.. Esudir l posición reliv de ls recs z r s (,, z) (,,) (,,) ). Clculr el puno de r más próimo l rec s Análisis Memáico. (Responder un de ls dos preguns). A. Puede ocurrir que eis el lím f ( ) en? B. Clculr el límie lím( e ) / que l función f no se coninu. A. Se f un función coninu posiiv l que f ( ) d. Puede segurrse que f ( ), pr odo [,]?. Rzon l respues.

41 B. Clculr l inegrl cos d /4 Esdísic. (Responder un de ls dos preguns) /. El 7% de los clienes de un compñí de seguros de uomóviles iene más de ños. Un % de los clienes de ese grupo iene un ccidene lo lrgo del ño. En el cso de los clienes menores de ños, ese porcenje es del %. Si escogemos un segurdo l zr, clculr l probbilidd de que eng un ccidene ese ño? Si un person uvo un ccidene, clculr l probbilidd de que se menor de ños. Clculr l probbilidd de que ningun de ls res lámprs de un semáforo eng que cmbirse durne ls. primers hors de funcionmieno, si l durción (en miles de hors) de ess lámprs es un vrible leori con función de densidd k( ( ), si f ( ), en oro cso Álgebr: Solución A: _ A. z z ( bi)( - bi) b, que siempre es mor o igul que cero. Se drí l iguldd cundo b. z z i B. z(4 - i) (z - i)( i) ( i)(4 - i) i 4 i 9 i z( i) 46 9i z Solución B: A. Denomos r(a) el rngo de l mriz de coeficienes; nálogo, r(m), pr l mriz mplid. Si r(a) r(m), sólo eise un solución. Si r(a) r(m) <, eisirán infinis soluciones. Como el enuncido del problem indic que se conocen res soluciones, no sólo un, enonces hbrá más, infinis más. B. L mriz de coeficienes es A

42 Los menores A A vlen cundo ; luego, r(a) si r(a) si. En consecuenci: Si, r(a). Pero como r(m), el sisem será incompible. Si, r(a) r(m). El sisem será compible indeermindo. Pr, el sisem es z z, cu solución es z 7 Geomerí: Solución : L ecución de l rec PQ es z 4, siendo un puno genérico X r, X (- 4,, - ). Debe cumplirse que d(x, C). Luego, ) ( ) ( ) (4 ), ( ± C X d. Si, X (7, 8, -). Si -, X (-9, -4, 9). Solución : Ls ecuciones prmérics de r s son: z r : z s : Se A(,, -) un puno de r, B(-,, ) un puno de s. Luego, AB(-6,, ). Los vecores de dirección de r s son, respecivmene, v r (,, -) v s (-,, ).

43 Como 6 Luego ls recs se cruzn. -, los vecores AB, v r v s son linelmene independienes. Pr deerminr el puno más próimo h que hllr l perpendiculr común mbs recs deerminr el puno de r en es perpendiculr. Los punos P Q genéricos de r s con: P(,, - - ); Q(--,, ) PQ(-6- -, -, ) Como PQ debe ser perpendiculr v r v s., se cumplirá: ; Pr ese vlor de, se obiene P (,, ), que es el puno de r más próimo s. Análisis Memáico: Solución : A. Si. Por ejemplo, l función lím f ( ) no es coninu en,, sin embrgo, B. lím( e ) / Hcemos L( lím( e [ ] ) / ) lím L( e ) Aplicndo L Hôpil, qued: lím e. El límie pedido vldrá e. e / L( e ) lím [ ]. Solución :

44 A. No. Bs con considerr f ( ), que no es mor que en odo el inervlo [, ], mienrs que ( ) d, B. En cos d ommos u dvcos d dud vsen. Luego, De donde cos d sen sen d sen / /4 cos / cos d ( sen cos ) ( ) / 4 4 Esdísic: Solución : Denoemos por: P(de ser mor de ) P(>); nálogo P(<); P(ccidene) P(Ac). Con eso, enemos: P(>),7; P(Ac/>), P(<),; P(Ac/<), Luego, P(Ac),7,,,,9 P(</Ac),,,9 6 9 Solución : Debe cumplirse que f ( ) d k(- 4 ) d k( ) k L probbilidd de que un lámpr dure menos de. hors es, P(X <,), ( ) d cuo vlor es P(X<,),6. Y l P(X>,) -,6,847.

45 L probbilidd de que ningun de ls res eng que cmbirse durne ls. primers hors, será:,847,668.

46 LA RIOJA / JUNIO 98. LOGSE / MATEMÁTICAS II El lumno deberá responder l Bloque obligorio elegir uno enre los bloque opivos A B. es necesrio jusificr ls respuess. Tiempo máimo, hors (sic) Bloque obligorio: (4 punos). ( puno) Se A un mriz cudrd de orden n l que A A, I l mriz unidd de orden n B A - I. Clcul B. ( puno). Clcul lím( ) ln. ( puno). Un segmeno de longiud po sus eremos en los semiejes posiivos OX OY de mner que form con esos un riángulo recángulo. Hll ls dimensiones del riángulo de áre máim sí consruido. z 4. ( puno). Clcul l disnci del puno P(, -, ) l rec r Bloque opivo A: (6 punos). ( punos) Obener en form coninu l rec proección de l rec z r sobre el plno z. 4. Se l función 4, si f ( ) - b, si > b) Hll los vlores de b pr que l función se derivble en odo R. ( punos) b) Tomndo 4 b, hll los punos de l curv en los que l rec ngene es prlel l cuerd que une los punos A(-, f(-)) B(, f()). ( punos) Bloque opivo B: (6 punos). ( punos). Discue, según los vlores de m, l posición reliv de los siguienes plnos, indicndo ls figurs que deerminn (no es necesrio resolverlo). - - mz - 4z m - m z. ( punos) Clcul el áre del menor recino limido por ls curvs, 8.

47 Bloque obligorio: Solución : B (A - I)(A - I) 4A - AI - IA I 4A - 4A I I. Solución : ln lím( ) [ ] lím [ ] lím [ ] ln ( ) ln ln lím Solución : Se l bse e l lur del riángulo. Se cumple que. Se quiere que S se máim. Se endrá que verificr que S. Luego, 4 S S ( - ) o. El máimo se d en ; de donde 4 Solución 4: Como sbemos, d ( P, r) APvr v, r siendo v r (,, ), el vecor de dirección de r, A(, -, ). Luego,

48 APvr d ( P, r) v r (,,) (,,) (,,) ( 9) 4 Bloque opivo A: Solución : L proección de r sobre es l inersección de con el plno perpendiculr que coniene r. Como r 4, el plno vendrá deermindo por v r (,, ), v (, -, ) el z puno A(, -4, ). Luego, 4 z z L proección r, será: z r z z z Solución : ) Pr ser derivble, primero debe ser coninu. El único puno que h que esudir es. Coninuidd: si -, f() si, f() b Luego b. Derivble: 4, si f ( ) f ( - ) 4, f ( ) 4 -, si > Con eso, 4, f ( ) - 4, si si > 4, f ( ) - 4, si si >

49 b) L gráfic de f() es l de l figur djun. L pendiene de l cuerd viene dd por f () f ( ) ( ) 7 H dos punos donde l pendiene de l ngene es prlel l cuerd, uno l izquierd.de, oro l derech. 4, si De f ( ), se deduce: - 4, si > si <, 4 7/ si >, - 4 7/ Bloque opivo B: Solución : L posición reliv de los plnos depende de ls soluciones del sisem mz 4z m m z Como m m 4 m - 6m, cundo m, el rngo de l mriz de coeficienes vle ; si m, el rngo vle.

50 Si m, l mriz mplid es 4, que iene el menor 4 ; luego sus rngo es. Por no: si m, el sisem es incompible. Los res plnos no iene ningún puno en común: h dos plnos prlelos, si m, el sisem es compible deermindo. Los res plnos se corn en un puno. Solución : El recino pedido es el señldo en l figur djun. L superficie S S S, luego S d 8 8 En l segund inegrl, hremos 8 cos, de donde: 8-8sen ; d- 8 sen d Luego, 8 cos 8 d 6 sen d 6 /4 d /4 d 6( sen ) 4 4 / 4 No: Pr clculr es superficie no es necesrio el cálculo inegrl. L superficie de ese segmeno circulr es un curo de l superficie del círculo menos l del cudrdo de ldo 4. Por or pre, / d 6

51 4 Por no, el áre pedid es S

52 MADRID / JUNIO 98. LOGSE / MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio. Clificción máim: punos. Clculr el vlor de l inegrl sen d Ejercicio. Clificción máim: punos. Se consider l ecución -. Uilizndo el eorem de Bolzno de los vlores inermedios. ) ( puno) Probr que si >, l ecución dmie lgun solución menor que. b) ( puno) Probr que si <, l ecución dmie lgun solución mor que. Ejercicio. Clificción máim: punos. ) ( puno) Deerminr el cenro el rdio de l circunferenci C - 4 b) ( puno) Obener l ecución de l rec ngene C en el puno P(4, ). c) ( puno) Enconrr l ecución de l circunferenci concénric con C que es ngene l rec de ecución -. Ejercicio 4. Clificción máim: punos. Se consider el sisem de ecuciones en ls incógnis,, z, z z - ) (, punos) Enconrr los vlores de pr los que el rngo de l mriz de los coeficienes del sisem es. b) (, punos) Resolver el sisem nerior pr. Solución :

53 En el inervlo considerdo, l función Con eso, f ( ) sen, sen sen, [-, ) [, ] sen d - sen d sen d Clculo de sen d. Por pres: Hciendo u; sen d dv, se iene d du, -cos v luego, sen d. - cos cos d - cos sen. Por no sen d - sen d ( cos sen ) sen d ( cos sen ) Solución : ) Considermos l función f() - -, que es coninu en odo R. En priculr, f() es coninu en [, ]. Como f() - < f() - > si >, se deduce que eisirá lgún (, ) l que f( ). bvimene, será l solución de l ecución dd. b) Si < endremos: f() - f() - < Pero pr suficiene grnde, por ejemplo pr 4 -, se iene que f(4- ) 4, que es posiivo siempre que <. Obsérvese que 4 < cundo, 8 8 iene por eremos ls ríces de l ecución 4. Luego l ecución dd, pr <, iene un solución enre 4 -., inervlo que Solución : ) C - 4 ( - ) ( ), de donde: cenro O(, -) rdio r

54 b) El puno P(4, ) es de l circunferenci C. L ngene C por P será l rec pues su dirección es perpendiculr l vecor OP(, ). c) El rdio de es circunferenci, r, es igul l disnci de O l rec - : r Su ecución será ( - ) ( ) 49/. Solución 4: L mriz socid l sisem es f f 4 ) Pr que el rngo se es necesrio que l ª º fil sen proporcionles. Pr ello: /. b) Si, el rngo de l mriz de coeficienes será, el sisem inicil endrá por mriz socid 4 4 f f 6 6z z z cu solución es z

55 MURCIA / JUNIO 98. LOGSE / MATEMÁTICAS II No: El lumno deberá elegir un pregun del bloque A, dos del B, dos del C un del D. BLOQUE A. (Punución: 4 punos). Discuir, según los vlores de los prámeros, el sisem de ecuciones lineles ( ) z z z. Formn los vecores (,, ), (,, -), (,, ) un bse de R? En cso firmivo, enconrr ls coordends del vecor (,, -6). BLOQUE B: (Punución; 6 punos). Esudir si ls recs L L z z se cruzn. En cso firmivo enconrr su disnci.. Enconrr l ecución de l prábol cu direcriz es l rec cuo foco es el puno (, ).. Hllr el ángulo que formn los plnos, donde deermindo por los punos (,, 8), (-,, ) (, -, ) perpendiculr l rec z, que ps por el puno (,, ). 6 es el plno es el plno BLOQUE C: (6 punos). Si r,, r son números reles fijdos, enconrr un número rel l que i ( r ) se mínim. i. Represenr gráficmene l curv 4

56 . i) Definición de derivd de un función f : [, b] R en un puno (, b). Enconrr, uilizndo l definición de derivd, l de l función f() - en. iii) Demosrr que dd l función f() b c, con, l cuerd que une los punos (r, f (r)) (s, f(s)) de su gráfic, donde r < s son rbirrios, es r s prlel l ngene l curv en el puno de bscis. Sbrís deducir un méodo pr rzr l ngene l prábol b c en uno de sus punos uilizndo los insrumenos usules de dibujo? BLOQUE D: (Punución; 4 punos). i) Enuncido de l regl de Brrow ii) Clculr el áre encerrd por l curv ( - ), donde > es un número rel fijdo.. Se recuerd que un función f : R R es pr (respecivmene, impr) si, pr odo R, f() f(-) (respecivmene, f(-) -f()). Demosrr que si f es coninu pr, enonces f ( ) d f ( ) d que si f es coninu e impr, enonces f ( ) d e Enconrr d BLOQUE A Solución : L mriz socid l sisem es f f f f Tommos el menor formdo por ls res primers columns, el de l mriz de

57 coeficienes A, que vle. Con eso: Si, r(a). El sisem será compible deermindo. Si, r(a). H que esudir el rngo de l mriz mplid, M. En ese cso qued: M, el menor M ( ), que vle pr o. Con eso, si o, r(m). El sisem serí compible indeermindo. Y si, r(m), con lo que el sisem serí incompible. Solución : Como -7, los vecores son linelmene independienes; luego formn bse de R. Sen,, z ls coordends del vecor (,, -6). Enonces: (,, -6) (,, ) (,, -) z(,, ) que d lugr l sisem z z 6 cu solución es, z -. BLOQUE B Solución : L rec L z Se A(,, ) un puno de L, B(,, ) de L. Enonces AB(, -, ). Los vecores de dirección de L L son, respecivmene v L (, -, ) v L (,, -). Como, ls recs se cruzn. AB, v [ ] Su disnci viene dd por d(l, L ) v v 7 L L, v L L

58 [ v L v ] AB deno el produco mio de los res vecores.,, L Solución : Se P(, ) un puno de l prábol. Enonces d(p, r: - ) d(p, (, )). Luego: ( ) Operndo, se obiene Solución : Llmemos A(,, 8), B(-,, ) C(, -, ). Con eso, AB(-,, -6), AC(, -, -8) z Eso es, 4 - z 8. L ecución de será: : 6z d, por psr por (,, ), d -6. Luego, : 6z -6. v v El ángulo (, ) ángulo (v, v ) rccos (v, v ), luego los v v plnos son perpendiculres. BLOQUE C Solución : S ( - r ) ( - r ) ( - r ) Pr que es sum se mínim, su derivd S debe ser cero. Eso es, S ( - r ) ( - r ) ( - r ) ( - (r r r )) r r... r Lo que signific que el buscdo es l medi riméic de los números fijdos. No: S >, luego S sólo iene mínimo; el enconrdo. Solución :

59 El dominio de l función es R-[-, ]: < - >. Pr < -, f() <. Pr >, f() >. En - h sínos vericles. Si - -, Si, L rec es síno horizonl Si, Si, 4 Como, que es negiv pr odo ( 4) del dominio, l función siempre es decreciene. No. En ese cso no es imprescindible hcer l derivd pr ver que es decreciene; podrí hcerse un rzonmieno, posiblemene más elegne, esudindo el vlor del denomindor de l función. Solución : i) L derivd se define como f ( h) f ( ) f ( ) lím, si ese límie eise. h h f ( h) f () h h h f () lím lím h h h h ii) L pendiene de l cuerd vle f ( s) f ( r) s bs c r br c ( s r ) b( s r) s r s r s r r s Por or pre, l pendiene de l ngene en, vle f ( ) b (r s) b. ( s r) b Como mbs pendienes son igules, ls dos recs son prlels.

60 Pr rzr l ngene un prábol, en el puno de bscis, bs con plicr el resuldo nerior: hllr l cuerd correspondiene los punos - p p rzr l prlel ell por el puno de ngenci. BLOQUE D Solución : i) Si f() es un función inegrble G() es un primiiv de f(), enonces b f ( ) d G( b) G( ) ii) L gráfic de es curv es l djun. Despejndo, enemos: El áre pedid es A 4 d Hciendo cos, se iene: - - cos sen ; d -send Luego, A 4 d 4 cos sen ( sen) d / sen 4 4 cos sen d 4 / / Solución : En generl f ( ) d f ( ) d f ( ) d. Si f() es pr, los recinos deermindos por l función el eje OX enre - enre, son idénicos, pues f() f(-). En consecuenci, f ( ) d f ( ) d

61 Si f() es impr, los recinos deermindos por l función el eje OX enre - enre, son igules pero siudos disino ldo del eje OX; eso hce que ls inegrles engn el mismo vlor pero con disino signo. En consecuenci, f ( ) d. e L inegrl d, pues l función es impr.

62 PAÍS VASCO / JUNIO 98. LOGSE / MATEMÁTICAS II Aclrciones previs. El lumno deberá conesr l cuesión o el problem de cd uno de los bloques A, B, C, D E. Cd uno de los ejercicios será vlordo enre punos. BLOQUE A Cuesión A. z Ddo el sisem de ecuciones lineles S z A, es posible 4z A enconrr un sisem equivlene S, pero que eng únicmene dos ecuciones? Rzon l respues. Problem A Esudir l compibilidd del sisem de ecuciones lineles ddo por: T b 4 BLOQUE B Cuesión B. Ami es un esudine quien le hn propueso el siguiene problem: Se considern los cinco punos del espcio: A(,, ), B(,, ), C(,, ), D(,, ) E(,, ). Esudir si los cinco punos formn pre de un mismo plno. Pr resolver el problem, pide ud sus primos, los gemelos Ängel Crlos, l migo de mbos, Borj. Ángel Borj dicen que esá clro que sí, que el plno que coniene los res primeros punos es el plno, los oros dos punos ienen sus coordend igul uno; luego los cinco esán en el mismo plno. Crlos opin que no esán en un mismo plno, pueso que, según dice, los vecores AB, AC AD son linelmene independienes, por ello, los punos A,

63 B, C D no pueden esr en un mismo plno. A quién debe hcer cso Ami? Rzon l respues. Problem B. De un plno se sbe que coniene los punos A(,, ) B(,, ). Además se sbe que el plno coniene l puno C, que esá en l rec r que equidis de A de B. Encuenr l ecución del plno. Cuesión C. Ls gráfics que se muesrn en l figur djun corresponden un función f, su derivd f or función g. Tods ells esán definids en un mismo inervlo. Desforundmene, l componer el dibujo (en el que se muesrn mbién los ejes), ls gráfics hn sido colocds l zr. Idenificr de form rzond cuál de ells corresponde f, f cuál g. Problem C De un función, f, se sbe que es derivble en odos los punos de l rec rel que su derivd verific f () pr odo. Además, f(). H suficienes dos pr segurr que f() 6? Rzon l respues. Con el mismo po de rzonmieno, qué se puede firmr cerc del vlor de f(4)?. Indicción: Se puede usr el eorem del vlor medio. BLOQUE D Cuesión D Se consider l función f() 6 - en el inervlo I [-, 4] se consider l prición de dicho inervlo dd por P [-,,, 4].

64 Encuenr de form rzond el vlor de l sum superior correspondiene f dich prición P. Problem D. Ls gráfics de ls funciones f ( ), g ( ) h() delimin un 8 región cod en l zon del plno donde >. ) Dibuj un esquem de dich región. b) Clcul el áre de l región. BLOQUE E Cuesión E Mikel sle con un monón de cromos vuelve cs sin ninguno. Su mdre le pregun qué h hecho con los cromos, lo que Mikel responde: A cd migo que enconré le di l mid de los cromos que ení en ese momeno más uno. Su mdre le pregun que cuános migos se h enconrdo, o que Mikel cones que con cinco. cuános cromos ení Mikel l slir de cs? Rzon l respues. Problem E Se A l mriz dd por A. Encuenr l le de formción pr ls poencis sucesivs de A, es decir, pr A n, demosrr dich le medine un rzonmieno de inducción. Solución Cuesión A: Sí. El sisem z S, z A formdo por ls dos primers ecuciones de S, que l ercer ecución es l sum de ells. Solución Problem A:

65 Como el rngo de l mriz de coeficienes es, el sisem será compible cundo el rngo de l mriz mplid se. Es mriz es: b 4 4 f f f f f f b 4 f f f f b Pr que su rngo se es preciso que b. En los demás csos el sisem es incompible. Solución Cuesión B Es obvio que los cinco punos esán en el plno. Pr confirmrlo podrí obenerse, nlíicmene, l ecución del plno deermindo por A, B C, comprobr que l ecución es, que, demás, es verificd por los oros dos punos D E. En efeco, el plno deermindo por A, B C es: z. Respeco los vecores AB, AC AD, que son: AB(,, ), AC(,,) AD(,, ), no son linelmene independienes, pues Solución Problem B Ls ecuciones prmérics de r son: z r. Un puno C, genérico de r es C(,, ). Se dese que ese puno ese igul disnci de A de B, luego: d(a, C)d(A, B) ) ( C(,, ). Con eso, el plno A, B, C, será:

66 -. z Solución Cuesión C: Si l gráfic dd en A fuese f, f serí negiv en el inervlo (, ). Como ni l gráfic dd en B, ni l dd en C presenn vlores negivos, A no puede dr l gráfic de f. Si l gráfic dd en B fuese f, vldrí el mismo rzonmieno; lgun de ls ors dos gráfics serí l de f endrí que omr vlores negivos enre b. Como eso no sucede, B mpoco d l gráfic de f. Si l gráfic dd en C fuese f, sus derivd f serí posiiv hs c negiv desde c hs d. Además, f (c), pues en c h un máimo. Tl hecho encj con l gráfic dd en A. Por no, f viene dd en C f en A. L función g será l dd en B. Solución Problem C: Si un función es derivble en odo R, el eorem del vlor medio segur que f ( ) f ( ) f ( c), siendo < c <. O, lo que es lo mismo: f() f() f (c)( - ). En nuesro cso, pr f() f (c), se endrá: f() f() f (c)( -) 6. Y, por lo mismo, f(4) f() f (c)(4 -) 9 8. Solución Cuesión D: L siución descri es l que se muesr en l figur djun.

67 L sum superior se deermin hllndo ls sums de ls áres de los recángulos, de bse l mpliud de cd subinervlo ( i - i- ) lur el máimo de l función en cd subinervlo. Como f() 6 f(), se endrá, S Solución Problem D: ) L región deermind se mrc en l figur djun. b) El puno de core de f con h es (, ); el de core f con g, es (, /4). Luego, A A A 7 ( ) d ( ) d Solución Cuesión E:

68 Cundo se encuenr con el º úlimo migo deben quedrle dos cromos, pues es l únic posibilidd de que l mid menos se, que son los cromos con los que vuelve cs. Ese rzonmieno es el que empleremos, coninución, pr indicr ods ls siuciones iniciles en su encuenro con los cinco migos. º úlimo migo: ení, pues su mid, que es, más. Se qued con cromos. 4º migo: ení 6, pues su mid, que es, más 4. Se qued con cromos. º migo: ení 4, pues su mid, que es 7, más 8. Se qued con 6 cromos. º migo: ení, pues su mid, que es, más 6. Se qued con 4 cromos. er migo: ení 6, pues su mid, que es, más. Se qued con cromos. Por no, l slir de cs ení 6 cromos, que repre en ls cniddes: No: L mner más inmedi de hcer ese problem es plner un ecución. Si iene cromos l slir de cs, l primer migo le d, le quedn Como 4 4 l segundo migo le d ( ), le quedn l ercer, curo quino migo les d, respecivmene: ,, 6 Solución Problem E: A A A A l vis de los resuldo neriores podemos hcer l conjeur de que

69 A n n n fórmul que, obvimene, funcion pr los csos esudidos: n,, 4. (bsrí con comprobr que es válid pr n ). Supues cier pr n n, vemos que es válid pr en siguiene, n. En efeco: A n A A n n n n n n n n

70 ANDALUCÍA / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / EJERCICIO Siendo Ln() el logrimo neperino de, consider l función f: (, ) fi R, definid por f ( ) Ln( ). Clcul: ) [, punos] f ( ) d. b) [ puno] Un primiiv de f cu gráfic pse por el puno (, ). Solución: ) f ( ) d ln d. L hremos por pres: Luego, u ln du (ln )d dv d v ln d ln ( ln ) d ln d ln c De donde, ln d ln k 4 b) Pr que es primiiv pse por (, ): k 4 k 4 es un servicio gruio de Ediciones SM

71 ANDALUCÍA / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / EJERCICIO Se f: R fi R l función dd por f ( ) 8. ) [ puno] Esboz l gráfic hll los eremos relivos de f (dónde se lcnzn cuáles son sus respecivos vlores. b) [, punos] Clcul los punos de core de l gráfic de f con l rec ngene l mism en el puno de bscis -. Solución: ) 8, f ( ) 8 8, 8, < 8 8 < < > 8 8 Su gráfic es l djun. Tiene dos mínimos: ( 8, ) ( 8, ) Tiene un máimo relivo: (, 8) b) Tngene f() en : f() f ()( ) f() 4 f () f () 4 es un servicio gruio de Ediciones SM

72 ANDALUCÍA / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / EJERCICIO L ngene es: 4 4( ) 4 Core con f ( ) 8 : ± 6 Se endrán los punos: ( 6, 8 6) ( 6, 8 6). Además, oro puno de core es el de ngenci: (, 4). (Vése l figur nerior.) es un servicio gruio de Ediciones SM

73 ANDALUCÍA / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ÁLGEBRA / OPCIÓN A / EJERCICIO Se sen cos sen cos cos sen sen cos Pr qué vlores de eise l mriz invers de A? Clcul dich mriz invers. Solución: Si A es l mriz dd, A sen cos. Tiene invers pr culquier vlor de. L mriz de los djunos es: ( ) Luego, sen cos A ij cos sen. A ( Aij ) A sen cos cos sen es un servicio gruio de Ediciones SM

74 ANDALUCÍA / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / GEOMETRÍA / OPCIÓN A / EJERCICIO 4 Hll l ecución del plno que ps por el puno A(,, -), es perpendiculr l plno - z es prlelo l rec z Solución: Ls ecuciones prmérics de l rec dd son: r : z El plno pedido esá deermindo por el puno A (,, ) por los vecores v r π (,, ) v r r (,, ). Su ecución será: z 4 z. es un servicio gruio de Ediciones SM