CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN

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1 CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 3.1 Cociente de la diferencia En mucho cao, e de interé la taa de cambio en la variable dependiente de una función cuando hay un cambio en la variable independiente. Por ejemplo, en el cao de la función y f (x) x 2, cuál e el cambio en y cuando el valor de x cambia? Cuando x cambia de una valor inicial x 0 a un nuevo valor x 1, e ecribe el cambio en x como x x 1 x 0. El cambio en y f (x) va dede y f ( x 0 ) hata y f ( x 0 + x ). El cambio en y por unidad de cambio en x puede entonce repreentare por el cociente de la diferencia: Δ y Δx f(x + Δx) f(x ) 0 0 Δx Ejercicio 41: Dado, y f (x) 3x 2-4, obtener el cociente de la diferencia (o lo que e igual, la taa media de cambio) i x 0 3 y x 4. Solución. Aplicando la formula: Δ y 3(x +Δx) 4 (3x 4) 6x Δ x + 3( Δx) Δx Δx Δx 2 Reemplazando término e tiene: Δ y 6(3)(4) + 3(4) 30 Δx 4 2 Lo que ignifica que cuando x cambia de 3 a 7, el cambio en y e 30 unidade. Otra forma de reolver ete problema e plantearlo directamente. Si x 4 y x 0 3, entonce x 1 7. Sabiendo que y y 1 - y 0, entonce: y 1 3(7) y 0 3(3) CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 61

2 Para finalmente, Δy Δx 4 El reultado indica lo iguiente: en promedio, cuando x cambia de 3 a 7, el cambio en y e de 30 unidade por unidad de cambio en x. Ejercicio 42: Del ejercicio anterior, obtenga el cociente de la diferencia cuando x0.005 Solución. Análogamente al ejercicio anterior, y planteando de forma directa: y 1 3 ( 3.005) y 0 3 ( 3 ) de donde, Δy Δx El reultado indica lo iguiente: en promedio, cuando x cambia de 3 a 3.005, el cambio en y e de unidade por unidad de cambio en x. 3.2 La derivada A menudo interea la taa de cambio en y cuando la variación de x (e decir, Δx ) e pequeña. Cuando x tiende a cero (pero nunca lo toma), y / x e aproximará a una función derivada que devuelve la magnitud de la tangente de la función y f (x) para cualquier valor de x 0. dy f'(x 0 ) dx lim Δx 0 f(x + Δx) f(x ) 0 0 Δx Ejercicio 43: Obtener la aproximación a la taa de cambio de la función del ejercicio anterior, y f (x) 3x 2 4. Solución. La derivada correpondiente erá: dy f'(x) 6x dx CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 62

3 Ahora evaluando el punto dado, e decir, f (x o ) e tiene que f (x) 6x. Entonce, f (x o ) 6 x o 6 ( 3 ) 18 Para la mima función, uando el cociente de la diferencia, ( y / x ), e obtiene 30 mientra que uando la derivada, (dy / dx ), el reultado e 18. Por qué la diferencia tan amplia? La razón de ello e la variación de x( x ). Cuando éta variación e pequeña, como x (Ejercicio 42) el reultado e imilar al de éte ejemplo ( v 18). Ello e coherente con la teoría que afirma que la derivada e una buena aproximación al cociente de la diferencia olo cuando la variación en la variable endógena e muy pequeña. Note que cuando x 4 la diferencia entre el coeficiente de la diferencia y la derivada repectiva e Sin embargo, cuando x e muy pequeño (en ete cao, 0.005) la diferencia e apena Aí, mientra má pequeña ea la variación en x (cuando x 0), entonce la derivada repectiva ofrecerá una buena aproximación repecto al cociente de la diferencia. Entonce queda claro que la técnica de la derivada e un buen atajo cuando la variacione en x on muy pequeña Regla de Diferenciación a) Para el cao de funcione de la mima variable Regla de la uma La derivada de una uma (diferencia) de do funcione e la uma (diferencia) de la derivada de la do funcione: d d [ f(x) ± g(x) ] f(x) ± d g(x) dx dx dx Ejercicio 44: Obtener la derivada de 5x 3 + 9x 3. Solución. Aignando a f (x) 5x 3 y g(x) 9x 3, ( y f(x) + g(x) ), por la regla de la uma, CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 63

4 d 3 3 d 3 d (5x + 9x ) (5x ) + (9x ) 15x + 27x 42x dx dx dx 2 Regla del producto La derivada del producto de do funcione (diferenciable) e igual a la primera función por la derivada de la egunda función má la egunda función por la derivada de la primera función: d d d [ f(x)g(x) ] f(x) g(x) + g(x) f(x) dx dx dx Ejerció 45: Hallar la derivada de y ( 2x + 3 ) ( 3x 2 ). Solución. Haciendo f (x) 2x + 3 y g (x) 3x 2. Luego, d dx g (x) 6x d dx f (x) 2 Entonce: d dx [( 2x + 3 ) (3x2 )] ( 2x + 3 )(6x) + (3x 2 )(2) 18x x Regla del cociente La derivada del cociente de do funcione f(x)/g(x) erá, d d g(x) f(x) f(x) g(x) d f(x) dx dx dx g(x) [ g(x) ] 2 Ejerció 46: Obtener la derivada de ( 2x 3 ) / ( x + 1 ). Solución. Uando la regla del cociente, d 2x 3 2(x+ 1) (2x 3)(1) 5 dx x + 1 (x + 1) (x + 1) 2 2 CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 64

5 b) Para el cao de funcione de variable diferente Regla del producto Dado z g(x, y). h(x, y). La derivada repectiva erá: z x h g g(x,y) + h(x,y) x x Ejercicio 47: Dado z (3x + 5)(2x+6y), por la regla del producto z x z ( 3x + 5 ) (2) + ( 2x + 6y ) (3) 12x y x z y z ( 3x + 5 ) (6) + ( 2x + 6y ) (0) 18x +30 y Regla del cociente Dado z g(x, y). h(x, y) y h(x, y) 0, g h h(x,y) g(x,y) z x x x [ h(x,y) ] 2 Ejercicio 48: Dado z (6x + 7y) / (5x+3y) por la regla del cociente, z (5x + 3y)(6) (6x + 7y)(5) 2 x (5x + 3y) z (5x + 3y)(7) (6x + 7y)(3) 2 y (5x + 3y) 30x + 18y 30x 35y 17y (5x + 3y) (5x + 3y) 35x + 21y 18x 21y 17x (5x + 3y) (5x + 3y) Regla de la potencia Dado z [ g(x,y)] n, z x z y [ ] n 1 g ng(x,y) x [ ] n 1 g ng(x,y) y CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 65

6 Ejercicio 49: Dado z ( x 3 + 7y 2 ) 4, por la regla de la potencia: z (x + 7y ) (3x ) 12x (x + 7y ) x z (x + 7y ) (14y) 56y(x + 3 7y ) y 3 Regla de la función invera Eta regla olo e aplica para funcione monótona (cuando la derivada evaluada en cualquier punto mantiene iempre el mimo igno algebraico). La regla de diferenciación e, dx 1 dy dy dx Ejercicio 50: Si y x 5 + x, obtenga dx / dy. Solución. Sea dy / dx 5x 4 + 1, aplicando la formula anterior, dx dy dy dx 5x + 1 Regla de la cadena Sea la función z f(y) donde y a u vez, eta en función de otra variable x, e decir, y g(x), entonce la derivada de z con repecto a x e igual a la derivada de z con repecto a y multiplicada por la derivada de y repecto de x. dz dx dz dy dy dx Eta regla e conocida como la regla de la cadena. Para el cao de 3 funcione, z f(y) y g(x) x h(w) Será: dz dz dy dx dw dy dx dw CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 66

7 Para el cao de 4 o má funcione, el lector puede extender eta formula fácilmente. Ejercicio 51: Si z y - 3, donde y x 3, obtenga dz / dx. Solución. Haciendo, dz dx dz dy dy dx entonce dz 2 2 1(3x ) 3x dx 3.3 Diferencial Hata ahora, la derivada dy / dx ha ido repreentada como un ímbolo que denota el límite de y / x cuando x tiende a cero ( x 0 ). Sin embargo, la derivada dy / dx también puede er tratada como un ratio de diferenciale, en el cual dy e el diferencial de y y dx e el diferencial de x. Dada una función de una ola variable independiente y f(x), el diferencial de y ( dy ), mide el cambio en y reultante de un pequeño cambio en x, e decir ( dx ). Dado y 2x 2 + 5x +4, el diferencial de y e obtenido tomando la primera derivada de y con repecto a x, lo cual mide la taa de cambio a la cual y cambia ante un pequeño cambio en x. dy dx 4x + 5 una derivada o taa de cambio y entonce multiplicando ea taa de cambio por un pequeño cambio en x por un cambio epecifico en x (en otra palabra, dx) para obtener el cambio reultante en y (e decir, dy). dy (4x +5 ) dx un diferencial o cambio imple dy : (4x+5) : dx : cambio en y taa a la cual y cambia para un pequeño cambio en x. cambio en x CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 67

8 Ejercicio 52: Si y 4x x 2-7, obtenga el diferencial. Solución. Si dy / dx 12x x y el diferencial erá: dy (12x x) dx Ejercicio 53: Si y 2 ( 2x 5 ) 2, obtenga el diferencial. Solución. Si dy / dx 2 (2x 5 ) (2 ) 8x 20 y el diferencial erá: dy ( 8x 20 )dx Diferenciale y cambio incrementale Uualmente en economía e deea medir el efecto obre la variable dependiente (coto, ingreo, beneficio, etc.) ante un cambio en la variable independiente (trabajo, capital, etc.). Entonce, i z f (x, y) el efecto obre z de un pequeño cambio en x eta dado por el diferencial parcial, z dz dx x El efecto del cambio puede er aproximado multiplicando la derivada parcial por el cambio propueto. Entonce, z z x x. Si la función original z f ( x, y ) e lineal 1, dz dx Δz Δ x y el efecto del cambio erá medido exactamente: z z x x. 1 En ete cao, el término lineal no ignifica que lo término de la función deban er de grado 1, o elevado a la potencia 1. Lineal e cuando lo término on umado o retado independientemente, cada uno de lo cuale puede er de cualquier grado. CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 68

9 Ejercicio 54: Si y f (x) x 3 + 6, obtener f (x) y df (x) cuando x 2, y x 0.5 dx. Solución. El diferencial de y erá: dy 3x dx 2 dy (3x) 2 dx dy [3(2) 2 ]0.5 dy 6 La variación de x erá: y y 2 - y 1 y 2 (2.5) y 1 (2) y Ejerció 55: Sea y x 2 + 7x 5, obtener dy, i x 5 y x 0.01 Solución. El diferencial erá: La variación erá, dy ( 6x + 7 ) dx dy ( 6 ( 5 ) +7 ) 0.01 dy 0.37 y y 2 - y 1 y 2 3(5.01) 2 + 7( 5.01) 5 y y 1 3(5) 2 + 7(5) 5 y y El error en uar la aproximación (derivada) e: (en realidad e toma el valor aboluto del error) Diferencial Total Para una función de do o má variable independiente, el diferencial total mide el cambio en la variable dependiente ante un pequeño cambio en cada una de la variable independiente. Si z f ( x, y ), el diferencial total dz e expreado como, CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 69

10 o lo que e igual z z dz dx + dy x y dz z x dx + z y dy donde z x y z y on la derivada parciale de z con repecto a x y y repectivamente, y dx y dy on lo pequeño cambio en x e y. El diferencial total puede entonce obtenere tomando la derivada parciale de la función con repecto a cada variable independiente y ubtituyendo eo valore en la formula anterior. Ejercicio 56. Obtener el diferencial total de z x 4 + 8xy + 3y 3. Solución. Sean z x 4x 3 + 8y y z y 8x + 9y 2, la cuale on utituida en la expreión original, dz (4x 3 + 8y) dx + (8x + 9y 2 ) dy Ejercicio 57: Obtener el diferencial total de z ( x y ) / ( x + 1 ) Solución. Planteando la derivada parciale: z z (x+ 1) (x y)(1) y+ 1 x (x + 1) (x + 1) x 2 2 z z (x + 1)( 1) (x y)(0) 1 y (x + 1) x+ 1 y 2 Reemplazando eta expreione convenientemente, y+ 1 1 dz dx dy 2 (x + 1) x Diferencial Parcial El diferencial parcial mide el cambio en la variable dependiente de una función multivariada reultante de un pequeño cambio en una de la variable independiente y aume que el reto de variable independiente permanece contante. CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 70

11 Ejercicio 58: Sea z f ( x, y ) 5x 3 12xy - 6y 5 diferencial parcial para un pequeño cambio en x. obtener el diferencial total y el Solución. El diferencial total erá: dz z x dx + z y dy La derivada parciale on: z x 15x 2-12y z y -12x 30y 4 Reemplazando en la diferencial total: dz (15x 2-12y)dx (12x + 30y 4 )dy Para obtener el diferencial parcial, el problema e refiere a un cambio en x, entonce el pequeño cambio en y (dy), debe permanecer contante: en otra palabra, dy 0. Coniderando eto en el diferencial total e obtendrá el diferencial parcial: dz (15x 2-12y)dx 3.4 Derivada total Cuando z f (x, y) y y g (x), que e, cuando y no e independiente, un cambio en x afectará z directamente mediante la función f e indirectamente a travé de la función g. Aí, para medir el efecto del cambio en x obre z cuando y no e independiente, la derivada total debe er encontrada. x y z g f En otra palabra, la derivada total mide el efecto directo de x obre z, z el efecto indirecto de x obre z mediante y, erá: f x, má zdy. En ete cao, la derivada total ydx dz z z dy + dx x y dx o lo que e igual: dz dx z + z x y dy dx Una forma alternativa de plantear la derivada total e tomar el diferencial total de z. CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 71

12 y multiplicar por 1/ dx : dado que dx dx 1: z z dz dx + dy x y dz z dx z dy + dx x dx y dx dz z z dy + dx x y dx Ejemplo 59: Sea z f (x,y) 6x 3 + 7y, donde y g(x) 4x 2 + 3x + 8, hallar la derivada total con repecto a x. Solución. La derivada total dz dx con repecto a x erá, dz z z dy + dx x y dx (1) Donde: z / x 18x 2 z / y 7 y / x 8x + 3 Subtituyendo eto término en la ecuación (1), e tiene que: dz dx 18x2 + 7(8x + 3) 18x x + 21 Note que la olución debería etar en la medida de lo poible en función de la variable en análii, en ete cao, x. Ejercicio 60: Dado z f (x,y) 8x 2 + 3y 2 de z con repecto a t donde x 4t y y 5t, hallar la derivada total Solución. La derivada total de z con repecto a t erá, dz z dx z dy + dt x dt y dt (1) Donde: z / x 16x z / y 6y x / t 4 y / t 5 CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 72

13 Subtituyendo eto término en la ecuación (1), e tiene que: dz dt 16x(4) + 6y( 5) 64x + 30y Finalmente utituir x 4t y y 5t, a fin de que la expreión obtenida quede en función de t e obtiene, dz 64(4t) + 30( 5t) 406t dt 3.5 Ejercicio reuelto (por tipo) Ejercicio 61: Si z f ( x, y, t ), donde x a + bt, e y c +dt, hallar dz / dt Solución. Dado que hay dependencia entre la variable de la función z, entonce e dz z dx z dy z dt refieren a una diferencial total + +, reemplazando valore: dt x dt y dt dt dt ( ) ( ) ( ) dz f x,y,t x,y,t x,y,t b+ d+ dt x y t Note que en ete cao, no e tiene lo valore de la derivada parciale, pueto que no hay el dato de la funcione relevante. Por ello, olo pueden er enunciada. Ejercicio 62: Dada la función de conumo C a +by ( a > 0; 0 < b < 1). Hallar u función marginal y u función promedio Solución. La función marginal: La función promedio: dc b dy C a + b Y Y Ejercicio 63: Calcular la elaticidad de la renta repecto del conumo, determinar u igno, uponiendo que Y > 0. ε CY y Solución. dc Y Y by b dy C C a by ε CY + CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 73

14 El igno erá poitivo: a medida que el ingreo aumenta, el conumo también aumentará. Si el ingreo cae, también caerá el conumo. Ejercicio 64: El coto total de producir x calculadora por día e: C(x) x + 16, ( 0 x 50 ). Encuentre el coto marginal de producir x unidade, el coto medio, y C (24). Interprete el reultado. Solución. La función de coto marginal: dc 1 ( ) 12 1 C'(x) 2x dx 2 2x + 16 La función de coto medio: C(x) 10 2x x x x El coto marginal evaluado en 24: 1 1 C'(24) 2(24) A un nivel de producción de 24 calculadora por día, el coto total de producción e incrementa a una taa de 1/8 por calculadora. En otra palabra, la calculadora 25 tiene un coto de 1/8. Ejercicio 65: El precio p y la demanda x de un radio particular etán relacionado por la ecuación x p. Expree el precio p en término de la demanda x y obtenga el dominio de eta función. Solución. Siendo x p, entonce p x. Dado que p x 4000 x. Pero x 0, aí que: 4000 x 0 Ejercicio 66: Encuentre el ingreo R(x) de la venta de x radio. Cuál e el dominio de R? Solución. R xp x( x), R 100x 0.025x 2. El dominio erá el mimo que el cao anterior. Ejercicio 67: Encuentre el ingreo marginal a un nivel de producción de 1600 radio. Interprete. CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 74

15 Solución. R (x) 100x 0.025x 2 R (1600) x R (1600) (1600) R (1600) 20 A un nivel de producción de 1600 unidade, el ingreo e incrementa a la taa de 20 unidade monetaria por radio. En otra palabra, el ingreo por la venta de la unidad 1601 e 20. Ejercicio 68: Luego de diferenciar un modelo IS- LM, quedan la iguiente ecuacione ordenada matricialmente aí: (-C dt + dg + dx) y (1- C + Z ) -I y y r dy 1 M L L Y r dr ( dm - dp) 2 P P a) Calcule dy y dr. Solución. Aplicando DIRECTAMENTE Cramer e obtiene que: dy 1 M P P L 1 C Z IL r + y y + r y L C dt + dg + dx + I dm dp r y r 2 dr 1 M P P L(1-C ( y y) y ( y ) dm - 2 dp 1- C + Z -L -C dt + dg + dx +Z )+IL r y y r y Ejercicio 69: Del cao anterior obtenga dy dm, dr dm, dy dp y dr dp Solución. El alumno puede dividir la expreión dy entre dm, lo cual e valido, aunque dy haciendo dt dg dx dp 0 e puede obtener fácilmente dm : CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 75

16 dy Ir P ( ) dm 1- C y + Zy L r +IrL y Haciendo lo diferenciale 0 egún ea el cao, fácilmente e obtiene el reto de relacione de diferenciale. 1 ( 1- C y + Z y dr ) P dm 1- C y + Zy L r +IrL y ( ) dy M -Ir 2 P ( ) dp 1- C y + Zy L r +IrL y M dr dp 1- C + Z L +I L y - ( 1-C y +Z 2 y) P ( y y) r r Amba forma de olucionar on valida. Ejercicio 70: Si f (g) g 3 +4g - 2, obtenga Δ f y df cuando g1.1 y g dg Cuál e el error introducido cuando e utiliza df para aproximar f. Solución. Aproximación (1) Real (2) Error (1)-(2) df (3g 2 +4)dg f 2 f ( 1.12 ) df - f df (1.1) (7.63)0.02 f 1 f ( 1.1 ) df (1.1) f f 2 - f Ejercicio 71: Obtenga el diferencial total de dz / dt de: z 3u + vt, donde u 2t 2 y v t + 1 Solución. Dado que z f ( u, v, t ), la derivada total erá: dz z du z dv z dt + + dt u dt v dt t dt CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 76

17 O en lo que e igual: dz z du z dv z + + dt u dt v dt t dz (3)(4t) +(t)(1) + v 13t +v dt Dado que v t + 1 (la olución en la medida de lo poible- debe etar en función de la variable en cuetión). Finalmente, dz dt 14t + 1 Ejercicio 72: Un ditribuidor de bicicleta ha decubierto que i la bicicleta e venden a x dólare cada una y el precio de la gaolina e y centavo por galón, cada me ( ) 3/2 venderán aproximadamente: f(x,y) x y + 5 bicicleta (función de demanda) Se etima que dentro de t mee, la bicicleta e venderán a x t dólare cada una y el precio de la gaolina erá y t centavo por galón. A que taa cambiará la demanda menual de bicicleta con repecto al tiempo dentro de 3 mee? Solución. Claramente lo que e olicita e: df ( x, y ) / dt. El problema puede er reuelto de varia forma. Aquí, aplicando la regla de la cadena: df f dx f dy + dt x dt y dt (1) Donde: f 12 dx 5 x x dt f y + 5 y dy 15 dt 3t Reemplazando en (1) df y + 5 dt x 3t Cuando t 3, entonce x 144, e y 110 (uando ecuacione del enunciado), e tiene que: df dt e la taa olicitada (7%) CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 77

18 Ejercicio 73: Dado Q 400-8P Y, donde P 15 y Y Encuentre a) La elaticidad ingreo de la demanda b) El crecimiento de la demanda, i el ingreo e expande en 5% al año. Solución. a) La elaticidad erá: Q Y ε Y Y Q 880 b) El crecimiento erá: Q Y ε Y 0.68(0.05) Q Y Ejercicio 74: Una compañía produce y vende x tranitore por emana. Si la funcione de coto e ingreo emanal on repectivamente: I(x) 10x x 2 /1000 c(x) x encuentre el cambio aproximado en el ingreo y el beneficio i la producción e incrementa de 2,000 a 2,010 unidade por emana. Solución. Primero reconocer que nuetra venta inicial de tranitore e 2000 unidade (X ) y al cabo de una emana la venta de tranitore e incrementan en 10 unidade (dx 10), luego hallar la derivada del ingreo total: di 2x 10 0 dx x di 10 0 dx reemplazamo x 0 y dx (2000) di 10 (10) 60 (cambio aproximado del ingreo) 1000 Por ultimo formar nuetra función de beneficio: B(x)I(x)-c(x) 2 2 x x B(x) 10x ( x) + 8x CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 78

19 2x B(x) 8 0 dx (2000) B(x) 8 (10) (cambio aproximado del beneficio) Ejercicio 75: Dado: Y C + I 0 + G 0 +X 0 Z T T 0 + ty C C 0 +byd Z Z 0 +zyd 0 < b, z, t < 1 Donde toda la variable independiente on poitiva. Determine el efecto (poitivo o negativo) obre el ingreo de equilibrio del cambio en una unidad de: a) Exportacione b) Importacione autónoma c) Impueto autónomo Solución. La renta de equilibrio erá: 1 Y 1 b + bt + z zt (C 0 - bt 0 + I 0 + G 0 + X 0 Z 0 + zt 0 ) El multiplicador e poitivo aun cuando b ea mayor o menor que z. a) Exportacione Y 1 > 0 X 1 b+ bt+ z zt 0 b) Importacione autónoma Y 1 < 0 Z 1 b+ bt+ z zt 0 c) Impueto autónomo CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 79

20 Generalmente, la propenión marginal a conumir e mayor a la propenión marginal a importar, e decir, b mayor a z. Eto haría que el efecto ea negativo; in embargo, el efecto puede er ambiguo, dependiendo de la magnitude de b y z. En íntei, el efecto puede er negativo o poitivo. Y z b < 0 T 1 b+ bt+ z zt Problema propueto 1. Dada la función de importación M f(y), donde M on la importacione e Y la renta nacional, expree la elaticidad de la renta repecto de la importacione, en término de la propenión a importar. ε MY 2. Una compañía fabrica timone para auto. El coto total emanal de producir x timone eta dado por:c(x) x 0.75x 2. Encuentre: a) La función de coto marginal, b) C (200) y dicuta el reultado, y c) El coto de producir la 201 ava unidad. 3. El departamento de invetigación de una compañía recomienda un nuevo producto, para el cual han preentado la iguiente información: Ecuación de demanda (x demanda): Función de coto (total): x p x En bae a ello, encuentre: a) Dominio de la función definida por el precio b) Coto marginal de producción c) Función de ingreo como una función de x y obtenga u dominio d) Ingreo marginal en x2,000, 5,000 y 7,000. Interprete. e) Función de beneficio y calcule u dominio f ) Función de beneficio marginal en x1,000, 4,000 y 6,000. Interprete. CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 80