INTEGRALES DOBLES. Daniel Restrepo Jiménez. Estudiante Ingeniería Industrial. Universidad Tecnológica de Pereira.

Transcripción

1 INTEGRALES DOBLES Daniel Restrepo Jiménez Estudiante Ingeniería Industrial Universidad Tecnológica de Pereira El presente documento va dirigido a estudiantes de matemáticas III que no tienen muy buenas bases para este tema, ya que este puede ser complicado, y más si se desconocen algunas técnicas, así que con este trabajo se espera dar a entender el concepto de integral doble, así como su tratamiento y fácil manejo. El documento estará conformado por un repaso de integral simple definida, el concepto de integral doble, ejemplos y algunos consejos. Los únicos requerimientos serán el repaso de las técnicas de integración y una buena disposición para trabajar el tema. No se tratarán integrales dobles en coordenadas polares.

2 Integrales Dobles Para el tratamiento del concepto geométrico de integral doble, primero se debe hacer un breve repaso acerca de integral simple definida o área bajo la curva. Entonces, supongamos que tenemos una función ( ), la cual es continua en el intervalo [a, b]. La integral definida de la función ( ) en el intervalo [a, b] se da de esta manera:

3 Donde: i. Se divide [a, b] en n partes iguales. ii. El rectángulo con base ó, y altura ( ), tendrá el nombre de rectángulo típico. iii. El área del rectángulo típico estará definida por: ( ) ( ) ( ) ( ) iv. Una buena aproximación del área limitada por las rectas y la curva ( ), es: Que por sumas de Riemann sería: ( )( ) Con esto ya tenemos lista la integral definida: ( ) La cual es equivalente a la suma de Riemann.

4 Ejemplo: Hallar el área encerrada por ( ) el eje x, entre La integral queda así: ( ) ( ) ( ) [ ( )] El área encerrada es igual a 2 unidades cuadradas Ahora, si extendemos el concepto de integral definida a una dimensión adicional, obtenemos una integral doble, la cual ya no hallará áreas, sino volúmenes, y ya no usaremos rectángulos típicos sino paralelepípedos. Para la integral simple, se requería que la función estuviera definida en un intervalo cerrado del conjunto de los números reales, para la integral doble, la función de dos variables estará definida en una región cerrada en.

5 Tenemos a ( ) continua en el rectángulo = [a, b] x [c, d], el rectángulo se divide en subrectángulos, los cuales tienen por área ( )( ). La altura cada paralelepípedo es ( ( )( )( ) ), por lo cual su volumen es La suma de Riemann correspondiente sería ( )( )( ) equivalente a la suma de los volúmenes de los paralelepípedos, obteniendo así la integral doble de ( ) en el rectángulo : ( ) Cuando proyectamos una función ( rectángulo de esta manera: y ) en el plano xy y obtenemos un d c a b x

6 Podemos hallar los límites de integración directamente: ( ) ( ) Este es el teorema de Fubini, aplicado para el cambio en el orden de integración de funciones de varias variables, pero se debe tener una cosa en cuenta: este teorema únicamente es aplicable en regiones rectangulares, en las cuales los límites de integración son valores constantes, luego se trabajarán regiones mas generales y limites que incluyen variables. El proceso para resolver integrales de mas variables, es el mismo proceso usado para resolver derivadas parciales, dejar una variable como constante y trabajar con la otra, es decir, si voy a integrar respecto a, debo tomar a como constante. Ejemplo: Evaluar la integral doble:, R= [1, 3] x [-1, 2] Entonces, los límites de integración los podemos tratar de dos maneras: Primero vamos a utilizar el orden, utilizando primero a como constante, luego a :

7 [ ] [ ] Ahora utilizaremos la segunda forma, entonces manejaremos primero a como constante y luego a : [ ] 32 unidades cúbicas es el resultado de la integral anterior, como se acaba de mostrar, en regiones rectangulares, el orden de integración se puede acomodar como se desee, buscando siempre resolver una integral posiblemente más sencilla.

8 Ahora, trataremos integrales dobles sobre regiones no rectangulares, es decir, mas generales, con curvas y otra clase de comportamiento. Aquí, algunos de los límites de integración se presentaran como funciones de alguna de las variables, mientras que los otros se mantendrán como constantes. Existen dos tipos de integración en regiones generales: TIPO I Aquí la integral se trata de esta manera: ( ) ( ) ( ) ( )

9 TIPO II La integral doble es: ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplos: Evaluar la integral doble: Expresar como una integral doble, la medida del volumen del sólido que se encuentra por arriba del plano xy delimitado por el paraboloide elíptico y el cilindro.

10 El sólido requerido se puede dividir en 4 partes iguales, entonces hallaremos el volumen de una, y la multiplicaremos por 4. La región R que se integrará esta limitada por los ejes y la elipse: La región R se puede tratar de dos maneras: ( )

11 Trabajemos la primera expresión: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El procedimiento de esta integral es extenso, así que se irá directamente al resultado: ( ) El volumen del sólido es de unidades cúbicas Resolver la integral doble: La anterior integral no tiene una función F(x) primitiva, es decir, que no se puede integrar directamente a menos que se utilicen métodos complejos, pero vamos a ver, que si cambiamos el orden de integración la función quedará más fácil de manejar.

12 Tenemos que: Y esta segunda expresión se puede integrar fácilmente. Como se acaba de ver, si se cambia el orden de integración puede llegar a ser mas fácil resolver una integrar, es mejor buscar unos límites de integración más cómodos también. Así termina pues, el tema de las integrales dobles de una manera corta y sencilla, posteriormente se dejarán algunos ejercicios resueltos y otros para trabajar, éxito.

13 No se tratará el tema de integrales dobles en coordenadas polares, pues este exige que el documento se extienda mas, y pueden quedar algunas dudas, puesto que para trabajar las integrales dobles en dichas coordenadas, hay que repasar también el tema completo de las coordenadas polares, así que este tema quedará de consulta, o pueden buscarme directamente, aquí están mis datos: Daniel Restrepo Jiménez Estudiante Ingeniería Industrial, Universidad Tecnológica de Pereira Teléfono: Correo: danielrestrepo@utp.edu.co albert_masi27@hotmail.com