Transformada Z. Jose Salvador Cánovas Peña

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1 Transformada Z Jose Salvador Cánovas Peña November 3, 2007

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3 Contents 0. Ecuaciones en diferencias finitas Definiciónypropiedadesbásicas TransformadaZinversa Aplicaciónalaresolucióndelaecuaciónendiferencias Funcionesdetransferencia Ecuaciones en diferencias finitas El interés del estudio de la transformada Z es debido a que es la análoga a la transformada de Laplace para resolver ecuaciones en diferencias finitas. Estas ecuaciones aparecen en ingeniería al modeliar sistemas electrónicos cuyas entradas y salidas son una sucesión de datos discretos. Para fijar ideas, consideremos el siguiente ejemplo. Este dispositivo está formado por dos elementos. El primero de ellos, marcado con una S, es un elemento que suma o resta datos, que a su ve vendrán modulados por números reales. El denotado por una D es un aparato que produce un retardo de una unidad temporal en la sucesión. La figura representa el tipo más sencillo de retroalimentación de una señal. Los datos de entrada vienen dados por la sucesión x k y los de salida por En el proceso, los datos intermedios r k vienen dados por la expresión y k+ = r k. (0.) r k = x k ay k, (0.2) donde a es un número real. Combinando (0.) y (0.2) obtenemos la ecuación en diferencias de orden uno y k+ + ay k = x k. 3

4 4 Si complicamos el dispositivo, como se muestra en la figura, se obtiene una ecuación de orden dos. Aquí y k+ = v k, v k+ = r k, r k = x k + by k av k, de donde se obtiene la ecuación y k+2 + ay k+ by k = x k. El uso de la transformada Z permite afrontar con ciertas garantías de éxito la resolución de estas ecuaciones. Por ejemplo supongamos la ecuación ½ yk+2 + y k+ 2y k =; y 0 =0,y =. Vamos a ver cómo la transformada Z nos permite obtener la solución de la ecuación anterior transformando dicho problema en un problema algebraico. 0.2 Definición y propiedades básicas Consideremos una sucesión de números complejos x k.sedefine la transformada Z delamismacomola serie x n Z[x k ]() = n. (0.3) Nótese que (0.3) es una serie de Laurent con parte regular x 0 y parte singular P n= x n n,yquepor tanto convergerá en un disco de convergencia de la forma A(0,r,+) ={ C : >r} donde r es el radio de convergencia de la serie de potencias P n= x n n. Por ejemplo, si δ =(, 0, 0, 0,...) entonces su transformada Z es Z[δ]() = definida en todo el plano complejo. Si x k =(,,,...), entonces siempre que >. Propiedades básicas. Z[]() = n = =,

5 5 Linealidad. Dadas las sucesiones x k e y k y α, β C, severifica Z[αx k + βy k ]() =αz[x k ]()+βz[y k ]() para todo en el dominio de definición de Z[x k ]() y Z[y k ](). Demostración. Basta calcular Z[αx k + βy k ]() = = α αx n + βy n n x n n + β X y n n = αz[x k]()+βz[y k ](). Dada la sucesión x k,definimos la nueva sucesión y k = x k+. Entonces Z[y k ]() =Z[x k+ ]() =Z[x k ]() x 0. En general, si k 0 N ydefinimos y k = x k+k0, tenemos la fórmula Demostración. Calculamos kx 0 Z[x k+k0 ]() = k 0 Z[x k ]() x n k0 n. Z[x k+ ]() = = = x n+ n x n+ n+ = X x n n n= x n n x 0 = Z[x k ]() x 0. Dada la sucesión x k y a C \{0}, severifica Dmostración. Calculamos Z[a k x k ]() = Z[a k x k ]() =Z[x k ](/a). a n x n n = x n (/a) n = Z[x k](/a). Por ejemplo, si x k =(, 2, 2 2, 2 3,...), setieneque Z[2 k ]() = Dadas las sucesiones x k y k m, m N, se verifica 2 n n = 2 = 2. Z[k m x k ]() =[ d d ]m Z[x k ](), donde por d d se entiende la operación derivada y luego multiplicación por.

6 6 Demostración. Hacemos la demostración por inducción en m. Si m =, entonces Z[kx k ]() = nx n n = X n= n= nx n n nx n = n+ = X d x n d n n= n= Ã! Ã = d x n d n = d! X x n d n x 0 = d d Z[x k](). Si suponemos el resultado cierto para m, veamosquetambiénloesparam +.Paraestocalculamos Z[k m+ x k ]() = Z[k k m x k ]() = d d Z[km x k ]() = ( d d )[ d d ]m Z[x k ]() =[ d d ]m+ Z[x k ](). Por ejemplo, si x k = k 2, entonces si >. Z[k 2 ]() = [ d d ]2 Z[]() =[ d d ]2 = d µ d = d µ d d d + 2 ( ) Transformada Z inversa = 32 ( ) ( ) 3, Es interesante obtener transformadas Z inversas de funciones de variable compleja F (), es decir, qué sucesiones verifican que Z[x n ]() =F (), oequivalentemente x n = Z [F ()]. Para calcular la transformada Z de una función F () basta calcular el desarrollo en serie de Laurent centrada en cero de manera que tenga un anillo de convergencia de la forma { C : >r}, donde r 0. Por ejemplo, si F () =, entonces desarrollando en serie de Laurent si >. Entonces la sucesión = = n = X n+ x k = Z [/( )] = (0,,,,...). 0.4 Aplicación a la resolución de la ecuación en diferencias Consideramos el problema ½ yk+2 + y k+ 2y k =; y 0 =0,y =, obtenido anteriormente. Tomando la transformada Z en la ecuación, usando las propiedades de ésta y tomando en consideración las condiciones iniciales obtenemos Z[y k+2 + y k+ 2y k ]() =Z[](),

7 7 y desarrollando Z[y k+2 + y k+ 2y k ]() = Z[y k+2 ]()+Z[y k+ ]() 2Z[y k ]() = 2 Z[y k ]() + Z[y k ]() 2Z[y k ]() = ( 2 + 2)Z[y k ](). Por otra parte Entonces con lo que Pasamos a fracciones simples Z[]() =. ( 2 + 2)Z[y k ]() = + = 2, Z[y k ]() = 2 ( 2 + 2)( ). Z[y k ]() = 2 ( ) 2 ( +2) = ( ) , y calculamos la transformada inversa obteniendo los desarrollos en series de Laurent si > = 2 = = = µ n 2 = si >. Finalmente ( ) 2 = d µ Ã = d! X d d n+ = si >. Entoncessi > 2 se tiene que n = X n+ Z[y k ]() = ( ) = n + n+2 3 X = X = + X n + n+2 X d d n+ +4 X ( 2) n n+ n+ = X 3 n+2 + X n 4+4( 2) n+ n+2, ( 2) n n+ 4( 2) n+ n+2 n + n+2 por lo que si k 2 y k =4( 2) k+ 4+k. 0.5 Funciones de transferencia. La función de transferencia asociada a la transformada Z se define de forma análoga a la función de transferencia asociada a la transformada de Laplace. Consideremos en este contexto una ecuación en diferencias finitas de la forma a n y k+n + a n y k+n a y k+ + a 0 y k = x k, (0.4)

8 8 siendo a i R, 0 i n. Entonces, suponiendo que y i =0i<k, tomando la transformada Z obtenemos que (a n n + a n n a + a 0 )Z[y k ]() =Z[u k ](), por lo que Z[y k ]() = a n n + a n n Z[u k ]() a + a 0 Se define enotnces la función de transferencia asociada a la ecuación como T () = Z[y k]() Z[u k ]() = a n n + a n n a + a 0 Podemos estudiar entonces la estabilidad de la ecuación entendiendo ésta de forma análoga al caso continuo estudiada en el tema anterior, es decir, si para toda solución asociada a una condición inicial dada se verifica que lim y k =0. k El siguiente resultado caracteria la estabilidad del sistema en base a los polos de la función de transferencia. Theorem El sistema dado por la ecuación (0.4) es estable si y sólo si todos los polos de la función de transferencia verifican que <.