TEMA 2: PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. CÁLCULO, SIGNIFICADO Y PROPIEDADES.

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1 TEMA : PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. CÁLCULO, SIGNIFICADO Y PROPIEDADES.. INTRODUCCIÓN Hasta ahora hemos vsto cómo se puede resumr los datos obtedos del estudo de ua muestra (o ua poblacó) e ua tabla estadístca o u gráfco. No obstate, tras la elaboracó de la tabla y su represetacó gráfca, e la mayoría de las ocasoes resulta más efcaz codesar dcha formacó e alguos úmeros que la exprese de forma clara y cocsa. Estos valores, represetatvos de todos los de ua dstrbucó, se llama parámetros. Este tpo de meddas descrptvas utlzadas so, prcpalmete, meddas de cetralzacó o poscó y meddas de dspersó. Meddas de cetralzacó (poscó). So coefcetes de tpo promedo que trata de represetar ua determada dstrbucó, puede ser de dos tpos:.- Cetrales: - Medas: Artmétca Geométrca Armóca - Medaa - Moda.- No cetrales: - Cuatles: Cuartles Decles Percetles Meddas de dspersó. So complemetaras de las de poscó e el setdo que señala la dspersó e cojuto de todos los datos de la dstrbucó respecto de la medda o meddas de localzacó adoptadas. - Meddas de dspersó absolutas: recorrdo, recorrdo tercuartílco, desvacó meda, varaza, desvacó típca. - Meddas de dspersó relatvas: coefcete de varacó. Meddas de forma. Proporcoa ua dea de la de smetría y aputameto de la dstrbucó. - Meddas de asmetría: coefcetes de asmetría de Pearso y de Fsher. - Meddas de aputameto: coefcete de aputameto o curtoss.. MEDIDAS DE POSICIÓN E este proceso de sítess buscamos uos valores que os fje el comportameto global del feómeo estudado a partr de los datos dvduales recogdos e la formacó dspoble. Estos valores stétcos globales so los llamados Parámetros de cetralzacó o Meddas de Poscó... La Meda Artmétca. Defmos la Meda Artmétca como la suma de todos los valores de la dstrbucó dvdda por el úmero total de datos. Se represeta por x. /6

2 S la varable toma los valores x, x,..., x, sedo f, f,..., f, las frecuecas absolutas correspodetes de la dstrbucó, la meda artmétca se calcula co la expresó: x f xf + xf xf x N N Ejemplo: S teemos la sguete dstrbucó, se pde hallar la meda artmétca, de los sguetes datos expresados e kg. x f x f N 0 60 x f x N , kg Ejercco : La tabla adjuta muestra el úmero de faltas de assteca e ua clase a lo largo del mes: Nº de faltas Nº de alumos Calcula la meda artmétca. Solucó:,63 E el caso de que tuvéramos ua dstrbucó co datos agrupados, se toma como valores de la varable el puto medo del tervalo de clase, esto es, las marcas de clase, y se aplca la msma fórmula para dchos valores. Ejercco : La tabla adjuta muestra los resultados de uos alumos e la prueba de salto co pértga: Medda del salto (m) [;,5) [,5;3) [3; 3,5) [3,5; 4) Nº de alumos Calcula la meda artmétca. Solucó:,98 Propedades de la meda artmétca La meda artmétca es el parámetro de cetralzacó más utlzado. S a todos los valores de la varable les sumamos ua costate k, la meda artmétca queda aumetada e esa costate. S todos los valores de ua varable los multplcamos por ua costate k, su meda artmétca queda multplcada por la msma costate. La suma de las desvacoes de los valores de la varable respecto a su meda es cero. ( x x) f 0 Como vetajas podemos ombrar las tres que se le exge a ua medda de sítess: Cosdera todos los valores de la dstrbucó. Es calculable. Es úca. /6

3 Como coveetes podemos dcar: A veces da lugar a coclusoes o muy atadas. Esto ocurre e el caso de que la varable presete valores aormalmete extremos que puede dstorsoar la meda artmétca, hacédola poco represetatva. Por otra parte, s cosderamos ua varable dscreta, por ejemplo, el úmero de hjos e las famlas españolas, el valor de la meda puede o perteecer al cojuto de valores de la varable; por ejemplo x, hjos. Otro tema al que teemos que hacer refereca es el de la llamada Meda Artmétca Poderada, que se produce cuado se otorga a cada valor de la varable ua poderacó o peso, dstto de la frecueca o repetcó. E este caso, e el cálculo de la meda artmétca poderada tedríamos e cueta dchas poderacoes. E este caso, s p so los pesos de cada valor de la varable x, etoces: xp+ xp xp x P p+ p p Ejemplo: U exame costa de tres partes, u test, ua parte teórca y otra de ejerccos. El profesor le asga ua mportaca del 0 % al test, de u 30 % a la teoría y de u 50 % a los ejerccos. S u alumo ha obtedo u 4 e el test, u 3 e la teoría y u 7 e los ejerccos, la ota fal del exame sería la meda poderada: x P 5, Aprobado! De o haber poderado, la ota meda sería 4,67. Suspeso! Ejercco 3: U estudate realza 3 exámees de complejdad crecete, obteedo los sguetes resultados: 5, 8 y 7. El prmer exame lo hzo e meda hora, el segudo e ua hora y el tercero e hora y meda, por lo que se les atrbuye ua poderacó de, y 3 respectvamete. Se pde calcular la ota meda. Solucó: x P 7.. La Meda Geométrca. Defmos la Meda Geométrca, y la represetaremos por G, como la raíz -ésma del producto de los valores de la dstrbucó. Así: G x f x f... x f Propedades de la meda geométrca El logartmo de la meda geométrca es gual a la meda artmétca de los logartmos de los valores de la varable. Como vetajas podemos señalar: E su determacó tervee todos los valores de la dstrbucó. Es meos sesble que la meda artmétca a los valores extremos, por su carácter de producto. Como coveetes teemos: Es de sgfcado estadístco meos tutvo que la meda artmétca. Su cómputo es más dfícl. E ocasoes o queda determada. Esto ocurre cuado la varable toma e algú mometo el 3 /6 x p p

4 valor 0. S la varable toma valores egatvos, se puede presetar ua ampla gama de casos partculares e los que tampoco queda determada G. No es que G o exsta, so que o la podemos determar. El empleo más frecuete de la meda geométrca es el de promedar porcetajes, tasas, úmeros ídces, etc. Es decr, e los casos e los que se supoe que la varable preseta varacoes acumulatvas..3. La Meda Armóca. Defmos la Meda Armóca de ua dstrbucó de frecuecas, y se represeta por H, como: N N H f f f f x x x x Se suele utlzar para promedar velocdades, precos, redmetos, cambo de dvsas, etc... Todas ellas so stuacoes dode exste e el cotexto tres varables, sedo el producto de los valores de dos de ellas gual a los valores de la tercera (velocdades y tempos a recorrer u determado espaco, precos y catdades relacoados co el valor de ua mercacía, etc...) Ejemplo: Imagemos que hacemos u recorrdo de 75 km y que los prmeros 5 km los recorremos a ua velocdad de 50 km/h, los 5 km sguetes a 70 km/h y los últmos 5 km a 90 km/h. Nos pregutamos, qué velocdad meda hemos cosegudo? La meda artmétca da aparetemete ua respuesta clara: x 70 km/h 3 S mramos uestro reloj veremos que ha trascurrdo desde el comezo al fal de uestro recorrdo 68 mutos y 5 segudos: ,349 h h 8 m 5 s Pero s la velocdad meda que hubésemos tedo hubera sdo de 70 km/h, e ese tempo de h 8 m 5 s habríamos recorrdo 79,44 km. Qué ocurre? O el reloj está estropeado, o la estadístca falla. Pues be, ua cosa la otra. Lo que ocurre es que el procedmeto utlzado o es el adecuado. Se puede trabajar drectamete co velocdades s utlzamos la meda armóca. 3 H 66,08 km/h A la velocdad de 66,08 km/h y estado e movmeto h 8 m 5 s, recorremos ua dstaca de 74,99 km como queríamos probar. Nota: La meda armóca solo se utlza para recorrdos proporcoalmete subdvddos. Por ejemplo s yo hago el estudo e u tramo de 0 km y luego quero estudar lo que pasa e los 60 km sguetes, tomaré sete meddas, ua para cada tramo de 0 km. O sea, esos 60 km los tomo como 6 veces 0 km. Y e el cálculo de la expresó matemátca quedaría así, sedo v y v las velocdades de cada tramo: 4 /6

5 H v v Como vetajas dremos que tervee e su cálculo todos los valores de la dstrbucó y que, e certos casos, es más represetatva que la meda artmétca. Por otra parte, sempre se puede pasar de ua meda armóca a ua meda artmétca trasformado adecuadamete los datos. Como coveetes hemos de ctar la flueca de los valores pequeños, y su o determacó e las dstrbucoes co alguos valores guales a cero. Por ello o es acosejable su empleo e dstrbucoes e las que exsta valores muy pequeños..4. Relacó etre los tres Promedos. Para ua msma dstrbucó de frecuecas, y sempre que exsta, se verfca que: H G x.5. La Medaa. La Medaa es el valor de la dstrbucó, supuesta ésta ordeada de meor a mayor, que deja a su zquerda y a su derecha el msmo úmero de frecuecas. Se represeta por Me. S el úmero de datos es pequeño, es decr, trabajamos co dstrbucoes s agrupar, los ordeamos y procedemos del sguete modo: Cuado el úmero de datos es mpar: tomamos el valor cetral. S los valores so 4, 6, 4, 5, 7, 3, 9. Los ordeamos 3, 4, 4, 5, 6, 7, 9. Como so 7 datos cogemos el dato que ocupa el lugar cetral (4º) que es 5. Cuado el úmero de datos es mpar: tomamos la meda de los dos valores que ocupa el cetro de la dstrbucó. S los valores so 4, 6, 5, 7, 3, 9. Los ordeamos 3, 4, 5, 6, 7, 9. Como so 6 datos cogemos los datos que ocupa los lugares 3º, que es 5, y 4º, que es 6. La medaa es la meda de los dos úmeros es este caso Me (5 + 6) / 5,5. Ejercco 4: Calcula la medaa de las sguetes dstrbucoes de frecuecas: a), 5, 8, 6, 4, 8, 4 b) 0,, 5, 4, 8, 4, 4, 5, 9, 6 Solucó: a) Me 5; b) Me 4,5 S teemos muchos datos, por ejemplo 60, ordearlos es ua tarea pesada, etoces lo que se hace es escrbr los datos e forma de tabla, co las columas de los valores x, frecueca absoluta y frecueca acumulada. Se empeza calculado N/. La medaa es etoces el prmer valor muestral x cuya frecueca absoluta acumulada F supera a N/. S casualmete ocurre que hay u valor x cuya frecueca absoluta acumulada F cocde justamete co N/, la medaa es etoces la meda artmétca etre ese valor y el sguete, o sea: x + x + Me 5 /6

6 Ejemplo: Después de pregutar a 9 salmatos cuátos vehículos a motor hay e sus casas, se ha resumdo las respuestas e la tabla de frecuecas sguete, e la que X es la varable úmero de vehículos a motor : x f F N 9 E este caso N/ 9/ 45,5. Como el valor x de la varable tee ua frecueca absoluta acumulada F 55, y es el prmero cuya frecueca absoluta acumulada supera el valor 45,5, se deduce que Me x. Ejemplo: Tras recoger 88 datos relatvos a ua varable X, se ha resumdo e la tabla sguete. A su lado aparece el cálculo de la medaa: x f F N E este caso N/ 88/ 44. S observamos la tabla vemos que el valor x de la varable tee precsamete ua frecueca absoluta acumulada F 44. Por eso la medaa es e este caso: x3 + x Me ,5 Ejercco 5: Las edades de los membros de ua asocacó juvel para la defesa del medo ambete vee dadas por: Edad (años) Nº de jovees Calcula la medaa. Solucó: Me 7 E el caso de dstrbucoes agrupadas e tervalos, o es ecesaro dstgur s los tervalos se ha costrudo de la msma o dstta ampltud. Sguedo el método geeral de búsqueda del valor que ocupa el lugar N/, os podemos ecotrar co los sguetes casos: Que N/ se ecuetre e la tabla. Etoces N/ es la frecueca absoluta acumulada de u certo tervalo [L, L ), y la medaa será el extremo superor de dcho tervalo, L. Que N/ o se ecuetre e la tabla, esto es que F < N/ < F +. La medaa se ecotrará e el tervalo [L, L ), al que llamaremos tervalo medao. Co el objeto de fjar la medaa e u valor, seleccoaremos u represetate del tervalo medao. El crtero usualmete segudo es el sguete. Supoemos, e prmer lugar, que todos los valores compreddos detro del tervalo medao se ecuetra dstrbudos uformemete a lo largo de él. A cotuacó, vamos a cosderar la polgoal de frecuecas acumuladas correspodete al tervalo medao y a sus dos cotguos, y determamos gráfcamete la medaa. 6 /6

7 E la fgura vemos que Me L + m. Determaremos m e base a la hpótess fjada que os permte escrbr: AC BC AC ' B ' C ' ya que los trágulos ABC y AB'C' so semejates. Pero: N AC m ; AC ' L + L c ; BC FMe Por tato: Co lo que teemos: B ' C ' F Me F Me f Me Me L + N F Me c m c N F f fme dode: L es el límte feror de la clase medaa. c es la ampltud del tervalo medao. N es el úmero total de datos. f Me es la frecueca absoluta de la clase medaa. F Me es la frecueca absoluta acumulada hasta llegar a la clase medaa s clurla. Nota: Ejemplo: Se ha meddo la altura, e cetímetros, de 5 estudates y los resultados se ha agrupado e tervalos de clase, como aparece e la tabla sguete, juto a la que se explca el modo de obteer la medaa: Alturas f F [60,70) [70,80) [80,90) [90,00) Me Me E este caso N/ 5/ 7,5. El tervalo medao es [70,80) porque su frecueca absoluta acumulada, 0, es la prmera que está por ecma de 7,5. Por lo tato: Me , ,83 cm 6 N 5 Eso quere decr que la mtad de los estudates mde meos de 75,83 cm y la otra mtad mde más. Ejercco 6: Los datos obtedos e u cotrol de velocdad realzado e ua autovía ha sdo: Velocdad (km/h) [90, 00) [00, 0) [0, 0) [0, 30) [30, 40) Nº de vehículos Calcula la medaa. Solucó: Me 5,57 A pesar de la fórmula que hemos estado vedo para el caso de dstrbucoes agrupadas e tervalos, la medaa tee u mayor setdo e casos de dstrbucoes e escala ordal (datos susceptbles de ser ordeados), de la cual es la medda más represetatva por descrbr la tedeca cetral de la msma. 7 /6

8 Etre las vetajas de la medaa, vamos a destacar las sguetes: Como medda descrptva, tee la vetaja de o estar afectada por las observacoes extremas, ya que o depede de los valores que toma la varable, so del orde de las msmas. Por ello es adecuado su uso e dstrbucoes asmétrcas. Es de cálculo rápdo y de terpretacó seclla. A dfereca de la meda, la medaa de ua varable dscreta es sempre u valor de la varable que estudamos (ej. La medaa de ua varable úmero de hjos toma sempre valores eteros). El mayor defecto de la medaa es que tee uas propedades matemátcas complcadas, lo que hace que sea muy dfícl de utlzar e fereca estadístca..6. La Moda. Llamaremos moda de ua varable estadístca al valor de la varable que tee mayor frecueca absoluta. Se represeta por Mo. Para calcular la moda, dstguremos etre dstrbucoes o agrupadas e tervalos y dstrbucoes agrupadas e tervalos. E el caso de dstrbucoes o agrupadas e tervalos, la determacó de la moda, Mo, es medata. Se observa la columa de las frecuecas absolutas y el valor de la dstrbucó al que correspode la mayor frecueca será la moda. Puede ocurrr que la moda o sea úca, es decr, la dstrbucó puede teer, 3 o más modas, recbedo el ombre de bmodal, trmodal, etc. E el caso de que los datos se ecuetre agrupados e tervalos de gual ampltud, la clase co mayor desdad de frecueca se deoma clase modal, y se correspode co el tervalo que tega mayor altura e el hstograma. S se desea mayor precsó e el cálculo de la moda, esta puede obteerse supoedo que todos los valores del tervalo está dstrbudos uformemete detro de él. Así, la moda estará más cerca de aquel tervalo cotguo cuya frecueca sea mayor. Para calcularla se suele utlzar la sguete costruccó geométrca. La moda será Mo L + m. Pero los trágulos AOB y COD so semejates por teer sus águlos guales. Al ser semejates, las alturas de éstos trágulos so proporcoales a sus bases, es decr: EO AB OF CD Que teedo e cueta las propedades de las proporcoes queda: EO AB EO + OF AB + CD Como: EO + OF c AB f Mo f Mo AB + CD (f Mo f Mo ) + (f Mo f Mo + ) Se tee que: Mo L + ( f f ) Mo Mo c ) Mo Mo Mo + Mo Mo+ ( f f ) ( f f 8 /6

9 dode: L es el límte feror de la clase modal. c Mo es la ampltud del tervalo modal. f Mo, f Mo, f Mo + so, respectvamete, las frecuecas absolutas de la clase modal, la clase ateror y la posteror. Ejemplo: Para el caso de la muestra de alturas de estudates vsto aterormete, el tervalo modal es [70,80), y por lo tato la moda será: Mo 70 + (6 4) 0 (6 4) + (6 ) 73,33 cm Pero e el caso de que los datos se ecuetre agrupados e tervalos de dstta ampltud, la clase co mayor desdad de frecueca se deoma clase modal, y ahora puede que o se correspoda co el tervalo que tega mayor altura e el hstograma. U razoameto smlar al que hemos hecho aterormete para tervalos de gual ampltud o lleva a ua expresó para la moda que es: Mo L + ( d d ) Mo Mo c ) Mo Mo Mo + Mo Mo+ ( d d ) ( d d dode: L es el límte feror de la clase modal. c Mo es la ampltud del tervalo modal. d Mo, d Mo, d Mo + so, respectvamete, las desdades de frecueca (d Mo f Mo / c Mo ) de la clase modal, la clase ateror y la posteror. Ejemplo: Cosderemos la sguete dstrbucó de frecuecas agrupadas e tervalos (de dstta ampltud): Varable [0, 0) [0, 30) [30, 40) [40, 70) [70, 90) [90, 00) Frecueca E este caso los tervalos o so de gual ampltud. Por tato la clase modal será aquella que tega mayor desdad de frecueca. Desdad de Varable Frecueca Ampltud frecueca [0, 0) [0, 30) 50 0,5 [30, 40) ,5 [40, 70) [70, 90) 40 0 [90, 00) 0 0 Como se observa e la tabla, la clase co mayor desdad de frecueca es [30, 40). Esta es la clase modal. Así la moda vedrá dada por: Mo 30 + (3,5,5) 0 (3,5,5) + (3,5 3) 36, 6 De la moda destacamos las sguetes propedades: Es muy fácl de calcular. Puede o ser úca. Es fucó de los tervalos elegdos a través de su ampltud, úmero y límtes de los msmos. Auque el prmero o el últmo de los tervalos o posea extremos feror o superor respectvamete, la moda puede ser calculada. 9 /6

10 Por últmo dremos que la moda es la medda más represetatva e caso de dstrbucoes e escala omal. Esto es debdo a que las dstrbucoes de este tpo preseta los datos o susceptbles de ordeacó, de tal forma que para estas dstrbucoes o es posble realzar operacoes elemetales co sus observacoes. Ejercco 7: Los datos obtedos e u cotrol de velocdad realzado e ua autovía ha sdo: Velocdad (km/h) [90, 00) [00, 0) [0, 0) [0, 30) [30, 40) Nº de vehículos Calcula la moda. Solucó: Mo 6,67.7. Meddas de Poscó o Cetrales. Podemos ombrar otros valores otables pero que o va a reflejar gua tedeca cetral: los Cuatles. So valores de la dstrbucó que la dvde e partes guales, es decr, e tervalos, que comprede el msmo úmero de valores. Etre los Cuatles podemos ctar, por ser de uso más frecuete: Llamaremos cuartles a los tres valores de la dstrbucó que la dvde e cuatro partes guales. Es decr, e cuatro tervalos detro de cada cual está cludos el 5 % de los valores de la dstrbucó. Se deota por Q, Q y Q 3. E partcular, se tee que Me Q. Llamaremos decles a los ueve valores de la dstrbucó que la dvde e dez partes guales. Cada parte cotedrá el 0 % de la dstrbucó. Se represeta por D, D,... y D 9. E partcular, Me Q D 5. Llamaremos percetles a los oveta y ueve valores que dvde a la dstrbucó e ce partes guales. Se deota por P, P, P 3,..., P 99. E partcular, Me Q D 5 P 50. Para obteer cada uo de estas meddas de poscó o cetrales, se procede como e el caso de la medaa. Para ello es ecesaro teer ordeada la muestra de meor a mayor. 0 /6

11 a) Dstrbucoes o agrupadas e tervalos. N Cuartles: C es el valor que ocupa el lugar, co, ó 3. 4 N Decles: D es el valor que ocupa el lugar co,..., 9. 0 N Percetles: P es el valor que ocupa el lugar co,..., b) Dstrbucoes agrupadas e tervalos. El problema que se preseta es el msmo que el que teíamos al calcular la medaa. Así: Cuartles: Decles: Percetles: kn F Qk Q 4 k L + c k,, 3. f Qk kn F Dk D 0 k L + c k,,..., 9. f Dk kn F Pk P 00 k L + c k,,..., 99. f Pk Las fórmulas aterores se obtee de forma aáloga a la desarrollada para la medaa. Ejemplo: La dstrbucó de frecuecas de las calfcacoes de ua prueba de habldad umérca se recoge e la tabla adjuta: Calfcacó [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 00) Nº de estudates Halla los cuartles de la dstrbucó e terpreta su sgfcado. La tabla de frecuecas absolutas acumuladas es: Nº. de estudates Calfcacó (frecueca absoluta) [30, 40) [40, 50) 3 [50, 60) [60, 70) [70, 80) 43 [80, 90) 3 [90, 00) 9 F. absoluta acumulada E prmer lugar, tegamos e cueta que N 0. Así: N Q ,4 67,4 4 4 /6

12 N Q ,58 75, N Q ,34 83, Se tee que etre 30 y 67 se ecuetra el 5 % de estudates, de gual forma etre 67 y 75, etre 75 y 83 y etre 83 y 00. Ejercco 8: Ua dstrbucó vee dada por la sguete tabla: x f Calcula el prmer cuartl y el tercer cuartl, el decl y el percetl 65. Solucó: Q 5; Q 3 7; D 4,5; P 65 6 Ejercco 9: La sguete tabla preseta el úmero de horas semaales que dedca al estudo 30 alumos de º de bachllerato: Nº de horas [0, 4) [4, 8) [8, ) [, 6) Nº de alumoss Calcula el tercer cuartl, el decl 4 y el percetl 8. Solucó: Q 3 0,5; D 4 5,6; P 8,3 3. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las meddas de cetralzacó vstas aterormete ecesta de otras que las complemete e el estudo de las dstrbucoes de frecuecas de las varables estadístcas. Estas uevas meddas, que deomaremos parámetros de dspersó, forma de las desvacoes que sufre los datos respecto de los valores cetrales, e especal co relacó a la meda artmétca. E este apartado, veremos hasta qué puto, para ua dstrbucó de frecuecas, estas meddas de tedeca cetral so represetatvas como sítess de toda la formacó. Medr la represetatvdad de estas meddas equvale a cuatfcar la separacó de los valores de la dstrbucó respecto de dcha medda. Ejemplo: Supogamos que teemos u promedo P del que vamos a estudar su represetatvdad. Cosderemos que teemos dos dstrbucoes que orga este msmo promedo P (supogámoslas de frecuecas utaras por secllez) y que so tales como las que se represeta e el sguete gráfco: S queremos saber cual de los dos promedos es más represetatvo, a smple vsta parece que el prmero, porque el error que se comete utlzado P (e lugar de los valores de la dstrbucó) es meor e la prmera que e la seguda. Luego, cuato más agrupados esté los valores alrededor del promedo, más útl será. Para ua mejor clasfcacó, vamos a dstgur etre meddas de dspersó absolutas y relatvas. /6

13 3.. Meddas de dspersó absolutas Rago o Recorrdo. Llamaremos recorrdo a la dfereca etre el mayor valor y el meor valor de ua dstrbucó. Se represeta por R. R x máx x mí 3... Recorrdo Itercuartílco. El Recorrdo Itercuartílco, es la dfereca exstete etre el tercer cuartl y el prmer cuartl. Se represeta por R I : R I Q 3 Q El recorrdo tercuartílco os dca que e el tervalo de logtud R I está compreddos el 50% cetral de los valores. S R I es pequeño, sempre e térmos relatvos de acuerdo co las udades e que vega dada la dstrbucó, podemos tur ua pequeña dspersó. Ejercco 0: Ua dstrbucó vee dada por la sguete tabla (ver ejercco ateror): x f Calcula el recorrdo y el recorrdo tercuartílco. Solucó: R 9 3 6; R I 7 5 Valores atípcos o alejados. U valor de la varable estadístca se dce que es atípco, o que está alejado, cuado se ecuetra muy separado del resto de los valores que toma esa varable segú el sguete crtero: x es atípco por la derecha s x > Q 3 +,5 (Q 3 Q ) x es atípco por la zquerda s x < Q,5 (Q 3 Q ) Ejemplo: Comprueba s hay algú dato atípco e el sguete cojuto de datos: 600, 396, 490, 604, 8, 606, 604, 594, 46, 4 S ordeamos los datos teemos que: 8, 4, 396, 490, 594, 600, 604, 606, 46, 604 Así, tedremos que: Q 396 y Q Por tato u valor será atípco por la derecha s es mayor que: Q 3 +,5 (Q 3 Q ) 606 +,5 ( ) 9 Y u valor será atípco por la zquerda s es meor que: Q,5 (Q 3 Q ) 396,5 ( ) 8 Etoces, los valores atípcos por la derecha so 46 y 604 y los valores atípcos por la zquerda so 8 y 4. Ejercco : Hay algú dato atípco e el sguete cojuto de datos? 63, 6, 60, 0, 65, 80, 8, 0, 70, 75, 73, 7, 08, 84, 78, 67, 9, 60, 6, 63 Solucó: 9, 0, 08 y 0 so datos atípcos. 3 /6

14 3..3. Desvacó meda. Se deoma desvacó meda de ua varable estadístca, a la meda de los valores de las desvacoes de los datos (o marcas de clase) respecto a la meda artmétca. Se represeta por DM. La expresó que permte calcular la desvacó meda es la sguete: DM x x f La Varaza. De todas las meddas de dspersó absolutas respecto a la meda artmétca, la varaza y su raíz cuadrada, la desvacó típca, so las más mportates. Llamamos varaza de ua varable estadístca a la meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes de los valores de la varable respecto de la meda artmétca. Se represeta por σ. Las expresoes equvaletes que permte calcular la varaza so: N σ ( ) x x f N σ x f N x Evdetemete, σ os medrá la mayor o meor dspersó de los valores respecto a la meda artmétca. S la dspersó es muy grade, la meda o será represetatva. E el caso extremo de que todos los valores de la varable fuese guales, la meda cocdría co el valor comú de las msmas y las desvacoes sería todas ulas, dado σ 0. E geeral, cuato más dspersas sea las observacoes, mayores será las desvacoes respecto de la meda, y mayor el valor umérco de la varaza. A cotuacó eucamos uas propedades que verfca la varaza. La varaza uca es egatva. La varaza es la medda de dspersó cuadrátca óptma por ser la meor de todas. S e la dstrbucó de frecuecas sumamos a todos los valores de la varable ua costate k, la varaza o varía. Al multplcar los valores de ua dstrbucó de frecuecas por ua costate k, la varaza queda multplcada por el cuadrado de la costate Desvacó Típca. Se llama desvacó típca de ua varable estadístca a la raíz cuadrada, co sgo postvo, de la varaza. Se represeta por σ, y es: σ σ ( ) x x f N x f Al ser la raíz cuadrada de la varaza, vedrá expresada e las msmas udades de medda que la dstrbucó, lo cual la hace más apta como medda de dspersó. N x 4 /6

15 Sus propedades las podemos deducr fáclmete de las propedades de la varaza. La desvacó típca uca es egatva. Es la medda de dspersó óptma por ser la más pequeña. S e la dstrbucó de frecuecas sumamos a todos los valores de la varable ua costate k, la desvacó típca o varía. Al multplcar los valores de ua dstrbucó de frecuecas por ua costate k, la desvacó típca queda multplcada por dcha costate. Ejemplo: Cosderemos las muestras de otas obtedas por cco alumos e Hstora y Matemátcas: Hstora: 4, 5, 5, 5, 6 Matemátcas:,, 5, 9, 9 Es medato comprobar que la meda artmétca e ambos casos es 5. Pero es evdete que el comportameto que se observa e las dos asgaturas es muy dstto. Vamos a obteer la varaza y la desvacó típca de las otas e Hstora y Matemátcas. Hstora: σ (4 5) + (5 5) + (5 5) + (5 5) + (6 5) 0,4 y σ 0, 4 0,63 5 Matemátcas: σ ( 5) + ( 5) + (5 5) + (9 5) + (9 5),8 y σ,8 3,577 5 Los resultados cofrma, como era de esperar, que las otas e Matemátcas está más dspersas. Ejercco : Ua dstrbucó vee dada por la sguete tabla: x f Calcula la varaza y la desvacó típca. Solucó: x 5,98; σ,69; σ,64 Ejercco 3: La sguete tabla presétale úmero de horas semaales que dedca al estudo 30 alumos de º de bachllerato: Nº de horas [0, 4) [4, 8) [8, ) [, 6) Nº de alumoss Calcula la varaza y la desvacó típca. Solucó: x 7,07; σ 5,93; σ 3, Meddas de dspersó relatvas. Supogamos que teemos dos dstrbucoes de frecuecas cuyas medas so x y x y queremos saber cuál de las dos es más represetatva. Esta comparacó o la podemos efectuar por sus respectvas meddas de dspersó, ya que las dstrbucoes, e geeral, o vedrá dadas e las msmas udades de medda. Tampoco se podrá efectuar e el caso de que las udades de medda sea las msmas, s los promedos so umércamete dferetes. Por tato, resulta ecesaro costrur meddas admesoales. Estas meddas de dspersó, llamadas relatvas, sempre vedrá dadas e forma de cocete. 5 /6

16 3... Coefcete de varacó. El coefcete de varacó de ua varable estadístca es el cocete etre la desvacó típca y el valor absoluto de la meda artmétca. Se represeta por CV. Así, se tee: σ CV x El valor del coefcete de varacó suele expresarse e tato por ceto. Cuato más pequeño sea este coefcete de varacó, los datos está más cocetrados alrededor de la meda, y esta será más represetatva. A mayor coefcete de varacó, más alejameto y dspersó respecto de los valores cetrales. Este coefcete permte comparar dos poblacoes heterogéeas. S x e y so dos varables estadístcas cuyas medas so x e y, y sus desvacoes típcas σ x y σ y se tee: S x y, σ x < σ y x es más represetatva. σ σ x S x y, < y x es más represetatva. x y Ejemplo: Supogamos que hemos tallado y pesado a los alumos del prmer curso de bachllerato del IES Ramó Olleros y después de calcular la meda y la desvacó típca de esas meddas se obtuvo: Varable X talla x,70 m σ x 0,5 m Varable Y peso y 69 kg σ y 5 kg Nos pregutamos e cual de las dos varables hay mayor dspersó. Para ello, utlzamos el coefcete de varacó: CV (tallas) σ x 0,5 x, ,4 % CV (pesos) σ y , % y 69 Por tato, la varable pesos está meos dspersada que la varable tallas. Ejemplo: Se ha pesado 430 magdaleas de etre las que fabrca ua determada empresa. Los valores obtedos se ha tabulado usado ses tervalos de clase dado lugar a la tabla de frecuecas sguete: Peso (X) Marcas (x ) f F [5,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55) 7,5 3,5 37,5 4,5 47,5 5, N /6

17 Vamos a determar la meda, la medaa, la moda, la varaza y la desvacó típca de la varable X peso e gramos de las magdaleas : Meda: x 7, , , , , , ,4 gramos Medaa: 430 Como N 5, el tervalo medao es el [35,40), luego: N F Me 5 53 Me L + c ,6 gramos f 67 Me Moda: El tervalo modal es el [40,45), luego: fmo fmo Mo L + c ( f f ) + ( f f ) (98 67) + (98 44) Mo Mo Mo Mo+ 4,8 gramos Por lo tato, la magdaleas pesa 39,4 gramos de promedo, la mtad pesa meos de 39,6 gramos y la otra mtad pesa más, y el peso más frecuete etre las magdaleas es 4,8 gramos. Varaza: σ (7,5 39, 4) 73 + (3,5 39, 4) (5,5 39, 4) ,5 gramos Desvacó típca: σ σ 69,5 8,33 gramos Coefcete de varacó: CV 8, ,4,4 % Ejercco 4: Calcula el coefcete de varacó de las dstrbucoes de frecuecas de los dos últmos ejerccos aterores. Solucó: CV 0,7 ; CV 3 0,56 4. ESTUDIO CONJUNTO DE LA MEDIA ARITMÉTICA Y LA DESVIACIÓN TÍPICA La meda artmétca, x, y la desvacó típca, σ, so los parámetros estadístcos por atoomasa. La meda es la medda cetral más utlzada y la desvacó típca es la medda de dspersó o varabldad por exceleca. E toda dstrbucó estadístca, el estudo del comportameto cojuto de la meda artmétca y la desvacó típca os aporta umerosa formacó sobre la dstrbucó de frecuecas estudada. E cas todas las dstrbucoes estadístcas de comportameto ormal se verfca de forma aproxmada los porcetajes descrtos a cotuacó que, referdos a la meda y la desvacó típca, 7 /6

18 expresa la dstrbucó de datos. E ua dstrbucó estadístca de comportameto ormal, se cumple: E ( x σ, x + σ) está el 68,7 % del total de dvduos. E ( x σ, x + σ) está el 95,45% del total de dvduos. E ( x 3σ, x + 3σ) está el 99, 73% del total de dvduos. Ejemplo: E la sguete dstrbucó de frecuecas: X [60, 76) [76, 9) [9, 08) [08, 4) [4, 40) [40, 56) Frecueca Cuátos valores hay e el tervalo ( x σ, x + σ)? Qué porcetaje del total represeta? Calculemos la meda y la desvacó típca de la dstrbucó: x σ ,4 σ 3,95 E el tervalo (05 3,95, ,95) (8,05; 8,95) se ecuetra, aproxmadamete: valores Estos valores represeta el ,5 % del total. Ejercco 5: Ua dstrbucó vee dada por la sguete tabla: x f Calcula la meda y la desvacó típca y halla el porcetaje de datos cludos e los tervalos: ( x σ, x + σ) ; ( x 3σ, x + 3σ) ; ( x 3σ, x + 3σ) Solucó: x 6,09; σ,4; 70,6 %, 9, % y 00 % respectvamete. 8 /6

19 5. PUNTUACIONES TÍPICAS O NORMALIZADAS Para poder comparar dos datos correspodetes a dos dstrbucoes dsttas, hay que tpfcar (o ormalzar) dchos valores, es decr, calcular los valores z x x, y después, comparar los σ resultados. Las putuacoes típcas o ormalzadas, també llamadas putuacoes Z, tee las sguetes propedades: S se trasforma ua dstrbucó e putuacoes típcas, o varía la forma de la dstrbucó orgal. La meda artmétca de las putuacoes ormalzadas es cero, es decr, z 0. La desvacó típca de las putuacoes típcas es la udad, es decr, σ z. Ejemplo: E u exame, u determado alumo obtee ua ota de 6,5 y el cojuto de toda la clase x 5,5 y σ. E otro exame, el alumo saca 7 putos, sedo las calfcacoes de la clase x 6 y σ. Cuál de las calfcacoes es mejor respecto de la clase? Para poder comparar ambas calfcacoes, calculamos sus correspodetes putuacoes típcas. Para x 6,5 teemos: Para x 7 teemos: z 6,5 6,5 5,5 z ,5 Se observa que es mejor putuacó la seguda que la prmera. Ejercco 6: E ua clase hay 5 alumos y 0 alumas. El peso medo de los 5 alumos es de 58, kg, y el de las 0 alumas de 5,4 kg. Supogamos que las desvacoes típcas de los dos grupos so, respectvamete, 3, kg y 5, kg. El peso de Jua es de 70 kg y el de Plar es de 65 kg. Cuál de ellos se puede, detro del grupo de alumos de su sexo, cosderarse más grueso? Solucó: z Jua 3,8; z Plar,47 Jua se puede cosderarse más grueso, detro del grupo de alumos de su sexo. 6. MEDIDAS DE FORMA Exste otras meddas que os permte caracterzar la forma de la dstrbucó. Estudaremos los coefcetes de asmetría y de aputameto. 6. Coefcetes de asmetría. Hace refereca a la forma de la dstrbucó, smétrca, asmetría a la derecha o a la zquerda. Dremos que ua dstrbucó es smétrca cuado los valores de la varable estadístca equdstates de u valor cetral tee la msma frecueca. E geeral la mejor maera de verlo es por la represetacó gráfca, pero s o la teemos exste coefcetes que os dca la forma de la dstrbucó. Los más utlzados so: 9 /6

20 6.. Coefcete de asmetría de Pearso. Sólo se puede utlzar e dstrbucoes campaformes (forma de campaa) y umodales. Cuado la moda o es úca o tee setdo calcularlo. Se defe como: A p x Mo σ Este coefcete puede ser: A p 0 etoces la meda gual que la moda, dstrbucó smétrca. A p > 0 etoces la meda mayor que la moda, asmetría a la derecha. A p < 0 etoces la meda meor que la moda asmetría a la zquerda. 6.. Coefcete de asmetría de Fsher. Se defe el coefcete de asmetría de Fsher como: a 3 3 σ 3 ( ) x x f N 3 Como ( x x) puede ser postvo o egatvo, este coefcete puede ser postvo o egatvo; luego, atededo al sgo, sempre que sea ua dstrbucó umodal teemos los casos: a 3 < 0 Asmetría a la zquerda. a 3 0 Dstrbucó smétrca a 3 > 0 Asmetría a la derecha Este coefcete tee la vetaja de que se puede hallar para todas las dstrbucoes, auque su cálculo es complcado y laboroso. Además o depede de las udades de medda de las varables y es varate por cambo de escala. 6. Coefcete de aputameto o curtoss. Hace refereca al mayor o meor aputameto que tee ua dstrbucó de frecuecas respecto a ua dstrbucó Normal, por lo tato sólo se estuda e dstrbucoes campaformes, para compararlas co la campaa de Gauss. Su cálculo també es muy laboroso. 4 ( ) x x f a σ N Este coefcete puede ser: a 4 0 la curva es gual que la ormal, se llama Mesocúrtca. a 4 > 0 la curva es más putaguda que la ormal se llama Leptocúrtca. a 4 < 0 la curva es más aplastada que la ormal, se llama Platcúrtca. 0 /6

21 Ejemplo: Se elge, al azar, 0 alumos de ua determada facultad y se les preguta cuátas asgaturas superaro el curso académco ateror. Los resultados obtedos fuero estos: Nº de asgaturas Nº de alumos Estudar la smetría (coefcetes de Pearso y de Fsher) y el aputameto de la dstrbucó. Para estudar la smetría a través del coefcete de Pearso ecestamos calcular la meda, la moda y la desvacó típca. Calculémoslas: x,95 Mo 0 Por tato: σ ,95,75 σ,3 0 A p x Mo σ,95, 3 0,7 > 0 Asmétrca a la derecha Calculemos ahora el coefcete de asmetría de Fsher: 3 ( ) x x f a 3 3 σ N (,95) + (,95) 7 + (3,95) 5 + (4,95) 3 + (5,95) + (6,95) 3,3 0, 4,3 0,6 > 0 Asmétrca a la derecha Calculemos ahora el coefcete de aputameto o curtoss: 4 ( ) x x f a σ N (,95) + (,95) 7 + (3,95) 5 + (4,95) 3 + (5,95) + (6,95) 3 4,3 0 8,0 3, 04 3,63 3 0,37 < 0 Dstrbucó platcúrtca /6

22 Ejercco 7: Se teta hacer u estudo sobre el comportameto del ño cuado se separa de la madre. Se estuda 0 ños de 3 meses de edad, y se obtee la dstrbucó de frecuecas de los metros que el ño se aleja de la madre: Nº de metros Nº de ños Estudar la smetría (coefcetes de Pearso y de Fsher) y el aputameto de la dstrbucó. Solucó: A p 0,39 asmétrca a la derecha; a 3 0,86 asmétrca a la derecha; a 4 0,4 Leptocúrtca. /6

23 EJERCICIOS. Avergua el dato que falta e la sguete dstrbucó para que la meda sea Solucó: 5. A u cojuto de cco úmeros cuya meda artmétca es 7,3 se le añade,47 y 0,5. Cuál es la meda del uevo cojuto de úmeros? Solucó: x 7,0 3. U sttuto tee tres grupos de bachllerato. La ota meda de los alumos del grupo A es de 5,7 putos. La de los alumos del grupo B es de 5,6, sedo 5,5 para los del grupo C. E el grupo A hay 30 alumos y se sabe que e el grupo C hay 5 alumos más que e el grupo B. S la ota meda de todos los alumos de bachllerato es de 5,6 putos, cuátos alumos de bachllerato hay e el sttuto? Solucó: N A 30; N B 5; N C 30; Total Po u ejemplo de ua dstrbucó dode la meda, la moda y la medaa cocda. Solucó: Por ejemplo, la sguete dstrbucó:,,, 3, 3, 3, 4, 4, 5. E este caso, meda moda medaa 3. Puede cosderarse també cualquer otro ejemplo que coserve ua smetría. 5. Qué habría de ocurrr para que la meda artmétca de ua varable estadístca fuese cero? Po u ejemplo de ua dstrbucó que verfque la propedad ateror. x f + x f x f Solucó: Como x, para que x 0 se ha de verfcar que x f + x f x f 0. Las f+ f f frecuecas so sempre mayores o guales que cero, por lo que debe ocurrr que la varable tome valores postvos y egatvos. Ejemplo: Las temperaturas mímas recogdas e ua cudad a lo largo de ua semaa del mes de eero ha sdo: 0, 3,, 0,,,. Por tato, x 0, es decr, la temperatura meda a lo largo de esa semaa fue de Puede ser que la meda o cocda co gú valor de la varable? Y la moda? Razoa tus respuestas. Solucó: La meda puede o cocdr co gú valor de la varable; s embargo, la moda sempre estará asocada a u valor cocreto de la dstrbucó. 7. La estacó meteorológca de Puebloseco regstró 88 días de lluva el año pasado, segú se muestra e la sguete tabla: Ltros/m [0, 5) [5, 0) [0, 5) [5, 0) [0, 5) [5, 30) [30, 35) Nº de días Calcula la precptacó meda, la moda y la medaa. Solucó: x 8,53 l/m ; Mo 7, l/m ; Me 8,6 l/m. 8. La tabla adjuta muestra el úmero de faltas de assteca e ua clase a lo largo de u mes. Nº de faltas Nº de alumos Calcula la meda artmétca, la moda y los cuartles de la dstrbucó. Solucó: x,63 faltas; Mo 0 faltas; Q 0 faltas; Q falta; Q 3 faltas. 9. La tabla adjuta muestra los resultados de uos alumos e la prueba de salto co pértga. Meda del salto (m) [;,5) [,5; 3) [3; 3,5) [3,5; 4) Nº de alumos 5 0 Calcula la meda artmétca, la moda y los cuartles de la dstrbucó. Solucó: x,98 m; Mo 3,5 m; Q,79 m; Q 3,8 m; Q 3 3,48 m. 3 /6

24 0. Para los sguetes cojutos de datos, avergua s exste u valor atípco. a) 30, 3, 3, 33, 34, 36, 37 b), 78, 79, 8, 8, 83, 60 Solucó: a) Q 3 y Q 3 36; Ngú valor está alejado, ya que para los valores extremos se tee: 3,5 (36 3) 3,5 y 30 > 3, 5 ; 36 +,5 (36 3) 43, 5 y 36 < 43,5 b) Q 78 y Q 3 83; Los valores extremos so valores alejados. 78,5 (83 78) 70,5 y < 70,5 ; 83 +,5 (83 78) 90,5 y 60 > 90,5. Se os forma que los datos correspodetes a los gráfcos A y B so, aproxmadamete: x 5,4 ; σ 3,3 ; x 5,6 ; σ,5 Averguar el gráfco correspodete a cada par, explcado el razoameto segudo. Solucó: Gráfco A Varable ; Gráfco B Varable. Calcula la meda artmétca, la varaza y la desvacó típca de la dstrbucó dada por la sguete tabla. x f Solucó: x 6,09; σ,96; σ,4 3. La sguete tabla preseta el úmero de horas semaales que dedca al estudo los 30 alumos de ua clase de º de Bachllerato. Nº de horas [0, 4) [4, 8) [8, ) [, 6) Nº de alumos a) Halla la meda, la moda, la medaa y los otros dos cuartles. b) Calcula el rago, la varaza y la desvacó típca. c) Represeta el hstograma y el polígoo de frecuecas. Solucó: a) x 7,07 horas; Mo 6 horas; Me 6,8 horas; Q 3,75 horas; Q 3 0,5 horas. b) R 4 ; σ 5,88; σ 3,99 c) 4. Dados los datos de la sguete tabla: Clases [0, 0) [0, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) f Calcula la meda artmétca, la varaza y la desvacó típca de la dstrbucó asocada. Solucó: x 35,85; σ 4,05; σ,37 5. S se suma a todos los valores de la varable ua costate, cómo queda afectadas la meda y la varaza? Y s se multplca por ua costate? Solucó: S se suma a todos los valores de la varable ua costate, la meda queda aumetada e esa costate, metras que la varaza o varía. S se multplca todos los valores de la varable por ua costate, la meda queda multplcada por esa costate, metras que la varaza queda multplcada por el cuadrado de dcha costate. 4 /6

25 6. Teemos dos varables X e Y co el msmo recorrdo y meda, sedo sus varazas 4 y 9 respectvamete. Para cual de las dos varables el valor de la meda es más represetatvo? Solucó: Para X pues tee meor dspersó. 7. Sea ua varable co meda 8 y desvacó típca 0. Qué se puede afrmar sobre el comportameto de esta varable? Solucó: La varable sólo toma u úco valor costate e gual a E ocasoes, la meda se ajusta más que la moda a la dstrbucó, y a veces lo cotraro. E cada ua de las sguetes tablas, qué parámetro ( x o Mo) es más sgfcatvo y por qué? Varable A Varable B x f y f Solucó: x 7,68; σ x 76,67; Mo ; E esta varable, la varaza es muy grade, lo cual demuestra que la meda o es muy represetatva. S os fjamos e la tabla, se observa que de 34 datos hay 30 que so. Co lo cual la moda es mucho más represetatva de la dstrbucó. y 9,8; σ y 6,44; Mo 3; Observado la varaza y la tabla, e esta varable, la meda es bastate represetatva, más que la moda. 9. E la tabla se recoge los datos correspodetes a ua dstrbucó estadístca: Clases [, ) [, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7) [7, 8) f Calcula la meda y la desvacó típca y halla el porcetaje de datos cludos e los tervalos ( x σ, x + σ) ; ( x 3σ, x + 3σ) ; ( x 3σ, x + 3σ) Solucó: x 4,44; σ,77; 59 %, 93 % y 00 % respectvamete. 0. E el Parque Nacoal de los Pcos de Europa se ha realzado u estudo sobre la altura de sus robles, y para ello se ha tomado ua muestra e ua superfce de 5 klómetros cuadrados, obteédose los sguetes resultados gráfcos. a) Halla la meda, la moda y la medaa. b) Calcula el tervalo que cotega el 95% de los robles. Solucó: a) x,5; Mo ; Me ; b) ( x σ, x + σ) (8,46; 6,54). E ua poblacó órdca co 500 habtates adultos se ha realzado u estudo sobre su altura. La dstrbucó de alturas es ormal (umodal y smétrca). Sabedo que e el tervalo (7, 96) se ecuetra 375 habtates y que la altura meda es de 84 cetímetros, calcula la desvacó típca de la dstrbucó. Solucó: x 48; σ 6. Se ha realzado ua ecuesta etre los alumos de u colego de Eseñaza Prmara co el objeto de coocer el úmero de horas semaales que ve la televsó. El estudo arroja la sguete formacó: el úmero de horas del 95% de los alumos se ecuetra e el tervalo (3,8; 7,). Calcula la meda artmétca y la desvacó típca. Solucó: x 0,4; σ 3,48 5 /6

26 3. Teemos ua varable X de la que sabemos que: CV 0,5 y que σ x 3. Cuál es el valor de la meda de X? Solucó: x 6 4. Calcula el coefcete de varacó de la sguete dstrbucó. x f , 4 Solucó: CV 0,4 4 % 3,33 5. El coefcete de varacó de la varable X sabemos que es Qué podemos decr sobre su meda y su varaza? Solucó: Que so guales. 6. Compara las dspersoes de las sguetes dstrbucoes. x y Solucó: CV x, 7 5, 5 0,33 33 % ; CV 9,04 y 0,5 5 %: CV x < CV y Y es meos dspersa. 60,5 7. La tabla recoge las temperaturas máxmas alcazadas e dos cudades durate 0 días cosecutvos del mes de agosto. A B a) Qué cudad ha tedo ua temperatura meda más alta a lo largo de esos 0 días? b) Qué cudad ha sufrdo ua varabldad mayor de temperatura? c) Qué parámetro has empleado para cotestar el ateror apartado? Por qué? Solucó: Como x A 7,5º y x B 6º, la cudad A ha tedo ua temperatura meda más alta. b) CV A 0,98 y CV B 0,09. Por tato, la cudad A ha tedo ua varabldad de temperatura mayor. c) El parámetro empleado es el CV, y se utlza porque las medas y las desvacoes típcas de las dos dstrbucoes so dsttas, y es la úca maera de comparar sus dspersoes. 8. Las otas obtedas e la asgatura de Matemátcas por los alumos de dos clases de º de Bachllerato so las sguetes. Notas A B a) Cuál es la calfcacó meda de cada ua de las dos clases? b) Cuál de ellas tee las otas meos dspersas? c) Es ecesaro calcular el coefcete de varacó para poder determarlo? Por qué? Solucó: Como x A 5 y x B 5. b) σ A 4,45 y σ B,7. Por tato, el grupo B tee las otas meos dspersas. c) No ha sdo ecesaro calcular CV, ya que cuado las medas so guales tee meor dspersó la dstrbucó que tega meor desvacó típca. 9. Dos trabajadores del msmo sector gaa 60 y 67, respectvamete. El prmero perteece a la empresa A, cuya retrbucó meda y desvacó típca vee dados por: x A 580 y σ A 5, metras que para la empresa B del segudo trabajador se tee: x B 640 y σ B 33. Tato uo como el otro gaa salaros por ecma de la meda, y se quere coocer cuál de los dos ocupa mejor poscó relatva detro de su empresa. Solucó: z A,6; z B 0,97 Por lo que, auque e térmos absolutos el trabajador de la empresa B gaa más que el de A, e relacó al cojuto de los empleados de cada empresa el empleado de A ocupa mejor poscó. 6 /6