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1 Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión. Algebra I I Relación de problemas 3. Espacios vectoriales. 1.-Estudiar si los siguientes conjuntos forman o no espacio vectorial sobre el conjunto de los números racionales. a Z[ 5] = {a + b 5 : a b Z b Q[ 5] = {a + b 5 : a b Q 2.-Estudiar si los siguientes conjuntos de vectores de M 2 R son linealmente independientes o linealmente dependientes: a b Estudiar si los siguientes vectores de P 2 R son base: px = x 2 + x + 1 qx = 2x + 1 rx = x Calcular las coordenadas del polinomio 5x 2 + 3x El mismo ejercicio 3 para K = Z 2 5.-Los vectores e 1 e 2 e 3 x vienen dados por sus coordenadas en cierta base. Comprobar que {e 1 e 2 e 3 es una base hallar las coordenadas del vector x en dicha base. e e e x Dar también las ecuaciones de cambio de base. 6.-En R 3 se consideran las bases B 1 = { B 2 = {

2 Calcular la matriz de cambio de base de B 2 a B 1. Calcular las coordenadas en la base B 1 del vector cuas coordenadas en la base B 2 son Deterninar si los siguientes conjuntos de M 2 R son subespacios vectoriales: a b a H = {A M 2 R : A = b c a 1 + a b H = {A M 2 R : A = 0 0 b a c H = {A M 2 R : A = a b 0 b d H = {A M 2 R : A = a 0 8.-Se consideran los siguientes subespacios de R 4 siguientes: V 1 = {x z t : x + + z = 0 V 2 = L{ V 3 = {x z t : x = λ + µ = λ + γ z = γ + δ t = λ + δ Pertenece el vector a dichos subespacios? En caso afirmativo calcular las coordenadas de este vector con respecto a alguna base de dichos subespacios. La elección de la base es arbitraria. 9.-En el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que 3 se consideran los subespacios F 0 = {px : p0 = 0 F 1 = {px : p1 = 0 F 1 = {px : p 1 = 0 Escribir unas ecuaciones cartesianas una base de cada uno de ellos. 10.-Sea {U i : i = 1... n familia de subespacios vectoriales de V. Demostrar que a LU i = U i para todo i = 1... n b Si U i = LS i para todo i = 1... n entonces LU 1... U n = LS 1... S n 11.- En M 2 R consideramos los conjuntos a b V 1 = { a b a + b : a b R 2

3 a b V 2 = { c d : a + b + c + d = 0 2a c d = 0 Demostrar que ambos son subespacios vectoriales calcular bases de V 1 V 2 V 1 + V Sea R 3 [x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coefiicientes en R consideremos en él la base canónica. Dados los subespacios U = L{x 2 { + 2x x 2 + x x 2 + x x2 + x 3 = 0 2x 2 x 3 = 0 x 1 = 0 x V 2 = β x 3 = 0 x 4 = α + β Calcular: a U W b U + W c Son U W subespacios suplementarios? d Una base de W V. e Unas ecuaciones implícitas o cartesianas de U + V. 13.-En R 3 se consideran los subespacios: U = L{ { x = 0 + z = 0 Calcular bases de los espacios R 3 /U R 3 /W R 3 /U W R 3 /U + W. Hallar las coordenadas de U en la base obtenida para R 3 /U. 14.-Sea R 2 [x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 con coefiicientes en R consideremos en él la base canónica. Dados los subespacios 3

4 U = L{x { x 2 x 2 1 x1 + x 2 = 0 2x 1 x 3 = 0 Se pide: a Comprobar si R 2 [x] = U W. b Calcular R 2 [x]/u R 2 [x]/w dando bases dimensiones. c Calcular las coordenadas de la clase del vector en cada uno de los espacios cocientes para las bases anteriores. 15.-Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes en Z 5. Se pide: A Demostrar que el polinomio x 3 sus tres primeras derivadas forman una base de V. B Sea W el subespacio generado por los vectores 1 + 3x + 5x x x + x 2 Calcular dimensión base ecuaciones paramétricas e implícitas de W. C Sea Uel subespacio generado por los vectores 1 + x 2 1 x 2.Calcular dimensión base ecuaciones paramétricas e implícitas de U. Pertenecen los polinomios 1 + x 1 + 5x 2 a U?. D Calcular dimensión base ecuaciones paramétricas e implícitas de U + W U W. 16.-Consideremos en R 3 los subespacios { ax + + z = 0 U W = L a 0 1 x + a + z = 0 donde a R. Se pide: i Estudiar según los valores de a dimensión base ecuaciones paramétricas cartesianas de U. ii Calcular base dimensión ecuaciones paramétricas cartesianas de W. iii Estudiar para qué valores de a U W son suplementarios. iv Calcular una base de R 3 /W las coordenadas en ella del vector W. 17.-Sea V el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes en R. Consideremos U W los conjuntos formados por las matrices simétricas antisimétricas respectivamente. Demostrar que ambos son subespacios vectoriales.calcular base ecuaciones paramétricas e implícitas para U W. Son subespacios suplementarios?. 18.-Sea V = M 2 C consideremos en los subconjuntos 4

5 a b U = { b a a b : a b C W = { b a : a b C i Demostrar que U o W son subespacios vectoriales. ii Calcular base dimensión ecuaciones paramétricas cartesianas de U W U W U + W. iii Son U W son subespacios suplementarios?. iv Calcular una base de M 2 C/U las coordenadas en ella del vector 1 i + U. i 0 5

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