ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN

Transcripción

1 ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN Agel Fracsco Arvelo Lujá es u Profesor Uverstaro Veezolao e el área de Probabldad y Estadístca, co más de 40 años de expereca e las más recoocdas uversdades del área metropoltaa de Caracas. Uversdad Católca Adrés Bello : Profesor Ttular Jublado 1970 a 003 Uversdad Cetral de Veezuela: Profesor por Cocurso de Oposcó desde 1993 al presete Uversdad Smó Bolívar: Profesor desde 005 al presete Uversdad Metropoltaa: Profesor desde 1973 a 1987 Uversdad Nacoal Aberta: Revsor de cotedos, desde 1979 hasta 004 Sus datos persoales so : Lugar y Fecha de Nacmeto: Caracas, Correo electróco: agelf.arvelo@gmal.com Teléfoo: Estudos realzados: Igeero Idustral. UCAB Caracas 1968 Máster e Estadístca Matemátca CIENES, Uversdad de Chle 197 Cursos de Especalzacó e Estadístca No Paramétrca Uversdad de Mchga 198 Doctorado e Gestó Tecológca: Uversdad Poltécca de Madrd 006 al Presete El Profesor Arvelo fue Drector de la Escuela de Igeería Idustral de la Uversdad Católca Adrés Bello ( ), Coordador de los Laboratoros de esa msma Uversdad especalzados e esayos de Caldad, Audtor de Caldad, y autor del lbro Capacdad de Procesos Idustrales UCAB E umerosas oportudades, el Profesor Arvelo ha dctado cursos empresarales e el área de Estadístca Geeral y Cotrol Estadístco de Procesos. Para más formacó cosulte la pága web.

2 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. MEDIDAS DE DISPERSION Las meddas que hasta ahora coocemos, medas, moda, percetles, etc., tee todas ellas la propedad de ubcarse sempre etre los dos valores extremos de los datos, mímo y máxmo, pues dca poscó, be sea cetral, o be sea extrema como por ejemplo el percetl 5, o el percetl 95. Las meddas que va a ser estudadas e este capítulo o goza de esta propedad, y persgue como objetvo descrbr la homogeedad o heterogeedad de los datos. Las meddas de tedeca cetral so sufcetes para descrbr el comportameto de los datos, pues o proporcoa formacó acerca de cua cerca o cua lejos se ecuetra estos datos, co relacó a ese valor cetral. Así por ejemplo el trío de datos {8, 9, 10 } y { 1, 10, 16 } tee ambos meda 9; pero resulta obvo, que e el prmero de ellos exste ua meor desvacó co respecto a este valor cetral, que e el segudo. Medr la varabldad resulta muy mportate e dversas stuacoes práctcas, pues a través de su medcó se podrá comparar cojutos de datos, y establecer cuado exste ua mayor cocetracó de ellos e la regó cetral. Así por ejemplo, e estudos socales las meddas de dspersó proporcoa la formacó requerda para aalzar como es la dstrbucó de los gresos detro de la socedad; e los estudos de caldad dustral, estas msmas meddas de dspersó se utlza para medr la precsó de las máquas utlzadas e el proceso de produccó. Ates de comezar a aalzar las meddas de dspersó, se recomeda revsar las propedades de la meda artmétca. (Véase Meddas de Tedeca Cetral. Arvelo) 1 Varaza y Desvacó Típca: Cuado se tee u cojuto de datos { x 1, x,x 3,..., x } s agrupar, se defe como desvío de cada dato co relacó a su meda artmétca, a la dfereca : d = x - X. Auque los desvíos puede ser calculados respecto de cualquer valor, salvo que se dque lo cotraro, se sobreetede que estos se calcula respecto de X, y como sabemos, la suma de sus cuadrados es míma, cuado estos desvíos se calcula respecto de la meda artmétca Cuato mayor sea este desvío, mas alejado se ecuetra el dato x de X. Estos desvíos puede ser postvos o egatvos, segú el dato x se ecuetre a la derecha o la zquerda de X, y su suma algebraca da sempre cero. E cosecueca, o se puede tomar al promedo de los desvíos como medda de dspersó, debdo a que este promedo sería sempre ulo. El problema del sgo de los desvíos puede ser resuelto de dos maeras, o be tomado su valor absoluto, o como seguda opcó elevádolos al cuadrado. Para defr la varaza, se adopta esta seguda alteratva.

3 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 3 La varaza de u cojuto de datos cuattatvos { x 1, x,x 3,..., x } s agrupar, se defe como la meda artmétca del cuadrado de sus desvíos. = =1 (x S = La expresó ateror es ua defcó, y por lo tato debe ser aceptada como tal, s demostracó. S embargo, debdo a que la varaza es la más mportate de las meddas de dspersó, es mportate hacer las sguetes aclaratoras: 1 ) La varaza es ua medda de dspersó que represeta exclusvamete lo que establece la defcó: Meda artmétca del cuadrado de los desvíos. Cuato más desvado esté u dato de X, mayor será su cuadrado, y e cosecueca mayor será varaza. La varaza o puede ser terpretada como algo dferete a lo que la defcó msma establece. ) La varaza vee expresada e udades de los datos al cuadrado, y así por ejemplo, s los datos está e cetímetros, la varaza está e cetímetros cuadrados. Esto ocasoa que el orde de magtud de la varaza sea completamete dferete al de los datos orgales, y que además o sea comparables co ellos pues vee expresados e udades dferetes. Por estos dos motvos, e muchas oportudades teresa regresar a las udades orgales, y allí es cuado aparece el cocepto de Desvacó Típca, que se defe smplemete como la raíz cuadrada de la varaza. 1 ( x X) S La desvacó típca o estádar, vee e las msmas udades de los datos, y costtuye juto co la varaza las más mportates meddas de dspersó. 3 ) Otro cometaro mportate co relacó a la varaza, es el que se refere a su deomador, s es o -1, pues a lo largo de toda la bblografía estadístca, exste ua gra cofusó co relacó a este puto. Cuado ua medda se calcula tomado e cosderacó a toda ua poblacó recbe el ombre de Parámetro Poblacoal ; metras que cuado de calcula sobre ua muestra se llama Estadígrafo, Estadístco Muestral, o smplemete estadístco. La omeclatura más utlzada e Ifereca Estadístca cosste e desgar a los parámetros poblacoales co letras gregas, y a los estadístcos co letras latas. Así por ejemplo, s se tee N datos cuattatvos que costtuye ua poblacó y sobre ellos se quere calcular su meda, la msma vedría represetada por : N 1 N x X), y se llamaría Meda Poblacoal

4 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 4 S de esa poblacó de N elemetos, se toma al azar ua muestra de y se calcula su meda, ésta se desgaría por : X. Uo de los problemas mportates que se estuda e Ifereca Estadístca es el de estmacó, que trata sobre la metodología a segur para ferr el valor descoocdo de u parámetro poblacoal a partr del estadístco muestral. Cuado esta omeclatura se aplca sobre la varaza, se obtee que la poblacoal desgada por 1 ( x X),vee dada por : 1 x N 1 ( x ) N ; metras que la muestral : S. S embargo, e Ifereca Estadístca se demuestra que especalmete para muestras pequeñas ( < 30), u mejor estmador 1 de ( x X) es: S c 1 recbe el ombre de cuas varaza muestral. Como la dfereca e la estmacó, etre uo y otro es realmete muy pequeña especalmete para muestras grades y además S c es mejor estmador, muchos autores defe de ua vez a S c como varaza muestral y omte defr al otro. La Estadístca Descrptva o hace dstcó etre poblacó y muestra, su úco objetvo es descrbr el comportameto de los datos, y por este motvo usa a S co dvsor como defcó de Varaza de los datos, s proucarse sobre s es muestral o poblacoal. Propedades de la Varaza Propedad N 1 : S 0. Resulta obvo que por ser la varaza la meda de cuadrados de los desvíos, sea sempre ua catdad postva, pues los cuadrados sempre lo so. Es mportate destacar que el caso S = 0 mplca que todos los datos so guales, es decr que o exste varabldad, y recíprocamete cuado todos los datos so guales etoces S = 0. Esta propedad es comú para todas las meddas de dspersó, es decr: Medda de Dspersó = 0 x 1 = x = x 3 =... = x Propedad N : Cuado los datos so sometdos a ua trasformacó leal Y = a + b X, etoces S Y = b S X. 1 que 1 Es u estmador Isesgado. Véase textos de Ifereca Estadístca.

5 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 5 Demostracó : Supogamos que se tee u cojuto de datos { x 1, x,x 3,..., x } y se le somete a la trasformacó Y = a + b X, dado lugar a uos uevos datos { y 1, y,y 3,..., y }. Por defcó : S Y 1 1 ( y Y) ; R S T ( a bx a bx) y a bx ; por la trasformacó Y a bx ; por propedad N 5 de la meda b ( x X) Por lo tato: SY = = b S X. Como corolaro de esta propedad N se deduce las sguetes:.a) S se le suma a cada dato ua costate, la varaza o se altera. Es el caso : b = 1..b) S cada dato es multplcado por ua costate, la varaza queda multplcada por el cuadrado de dcha costate. Es el caso a = 0..c) S se somete a los datos a ua trasformacó leal, la desvacó típca que multplcada por la pedete de la trasformacó: S y = b S x. 1 Ejemplo 1 Los sguetes datos represeta el peso de 4 persoas expresados e klogramos: 64, 70, 66 y 80. a) Calcular la varaza y la desvacó típca. b) Trasformar los datos e lbras, y recalcular su varaza y su desvacó típca. Solucó: a) Para calcular la varaza, es ecesaro calcular prmero la meda X = 70 Kgs. 4 S = ( 64 70) (70 70) ( 66 70) ( 80 70) = 38 S = 38 = 6,16 Kgs. 4 b) El factor de coversó de klogramos a lbras es,, de maera que s el peso de estas 4 persoas se expresara e lbras los datos quedaría trasformados e: 140,80, 154,00, 145,0 y 176,00. Para la varaza de los uevos datos, se puede repetr el procedmeto ateror. 140, , , 0 176, 00 Y = 154,00 4 ( 140, ) ( ) ( 145, 0 154) ( ) S Y = 183,9 4 S Y = 183, 9 = 13,56 Gracas a la propedad N de la varaza, este procedmeto es ecesaro, pues los datos Y e lbras so los datos X e klogramos sometdos a la trasformacó: Y=, X, y por lo tato: S Y = b S X = (,) 38 = 183,9 ; S y = b S x = (,) 6,16 = 13,56

6 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 6 Propedad N 3 : La varaza també puede ser calculada medate la expresó: 1 x S X Esta es ua expresó alteratva, cuyo cálculo suele ser más secllo que el explcado co aterordad a partr de la defcó. Esta expresó recbe el ombre de cálculo de la varaza por mometos, por ua razó que se explcará e el captulo sguete, y establece que la varaza es gual a la meda de los cuadrados meos el cuadrado de la meda. Demostracó: Partedo de la defcó, y desarrollado el cuadrado, se tee: ( x X) ( x x X X ) x X x X S = = Como es X ua costate, segú las propedades de las sumatoras se tee que 1 X I = X, y además x = X. Susttuyedo: 1 1 x X ( X) X x 1 S = X Como cosecueca de esta propedad se tee que ua fórmula alteratva para calcular la desvacó típca es: S = Ejemplo Calcular la varaza y la desvacó típca de los pesos e klogramos 64, 70, 66 y 80 del Ejemplo 7.1, aplcado la fórmula por mometos. Solucó: Hay que calcular la meda X = 70 S = - (70) = 38 S = 38 =6,16 4 El cálculo de la varaza y de la desvacó típca por mometos suele más breve que por defcó ; s embargo se corre el resgo de perder de vsta lo que se está calculado, pues o se ecesta calcular los desvíos. 1 Propedad N 4: Desgualdad de Tchebychev. Dado u cojuto de datos { x 1, x,x 3,..., x } co meda X ; la proporcó de datos que se desvía de X e x X ua catdad meor que, es por lo meos 1 - S. Esta propedad es geeral, y ua vez demostrada veremos que es mucha utldad práctca, especalmete cuado se aplca e certos casos partculares como por ejemplo, e la curva ormal. X I 1 x

7 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 7 Demostracó: Supogamos que exste m datos que se desvía de X e ua catdad meor que. Llamemos C al cojuto de esos m datos. Se tee: m, y además x - X <, cuado x C p = m = Proporcó de datos que perteece al cojuto C, y que por tato dfere de X e ua catdad meor que. Por defcó : S La suma ( x X) 1 1 ( x X) S = ( x X) 1 puede ser descompuesta e dos partes, sobre los datos que perteece al cojuto C, y sobre los que o perteece a él. Por tato : ( x X) 1 Como: ( x X) x C = ( x X) ( x X) x C x C 0 S = ( x X) 1 x C ( x X) Exste ( - m) datos { x } o perteecetes al cojuto C, y para ellos se verfca: x C x - X (x - X ) ( x X) ( - m) Por lo tato : S ( x X) x C ( - m) S m x C = 1 p y e coclusó: p 1 - S tal como se quería demostrar. Frecuetemete se toma como u múltplo de S, de la forma: = k S, y e este caso la desgualdad de Tchebychev establece que la proporcó de datos que dfere su meda e ua catdad meor que k veces la desvacó típca, es por lo meos 1-1 1, es decr : p 1 - k k Es evdete que cuado k=1, esta desgualdad carece de utldad práctca algua, pues e este caso se cocluye e: p 0, lo que es obvo. S embargo, para valores de k mayores que la udad se obtee coclusoes mportates, y así por ejemplo para k = cocluye que e u cojuto de datos cualquera, la proporcó de datos que dfere de su meda e meos de dos veces la desvacó típca es por lo meos 1-1 3, es decr p 75%. 4 4 Cuado se toma k = 3, la coclusó es que la proporcó de datos que dfere de su meda e meos de tres desvacoes típcas es por lo meos de lo que equvale al 88,89 %.

8 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 8 Para cualquer dstrbucó de frecuecas dstrbucoes, y segú lo explcado aterormete por la desgualdad de Tchevshev, e el tervalo ( X ± S) debe caer por lo meos el 75%, y e el tervalo ( X ± 3 S) por lo meos el 88,89 % de los datos. E el caso de la dstrbucó ormal, esta proporcó de datos ha sdo determada exactamete, y los resultados obtedos so de ampla utldad e muchas aplcacoes. Para ua ormal, e el tervalo ( X ± S) debe caer el 68,7% de los datos muestrales, e el tervalo ( X ± S) debe caer el 95,45% de los datos muestrales, y e el tervalo ( X ± 3 S) debe caer el 99,73% de los datos muestrales. Propedad N 5. Para el caso de datos agrupados, el cálculo de la varaza se hace medate la expresó : S = k 1 ( L X) f k 1 f = k ( L ) 1 k La expresoes aterores so secllas de justfcar, pues costtuye adaptacoes de la defcó de varaza, y de su cálculo por mometos, tomado e cueta que para el caso de datos agrupados, la marca de clase L represeta a todos los datos que cae detro del tervalo. Otra expresó útl para el cálculo, es la que resulta de susttur e la fórmula de la derecha para el cálculo de S por mometos, la meda X por su correspodete para datos agrupados e fucó de las marcas de clase, y por lo tato: 1 f f X

9 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. S = k ( L k ) f L f 1 1 G k k 1 f Ejemplo 3 Calcular la varaza y la desvacó típca de la sguete dstrbucó de frecuecas. Itervalo 0 a a 0 0 a a a a a 70 frecueca Solucó : Hay que orgazar los cálculos e la sguete tabla : Límtes reales f = frecueca L = Marca de clase L f ( L ) f 0 a a a a a a a Sumatoras S = I 50 HG 50 K J = 14,78 S = 14, 78 = 14,66 Método abrevado para el cálculo de la varaza e tablas de frecueca para datos agrupados de gual ampltud Los cálculos requerdos e el Ejemplo 7.3 puede resultar complcados s o se tee ua buea calculadora. U procedmeto abrevado para efectuar los cálculos cosste e defr uas marcas de clase artfcales desgadas por U. Al tervalo de mayor frecueca o clase modal se le da ua marca de clase artfcal U m = 0, a los aterores marcas de clases artfcales -1, -, etc., y a los posterores +1, +, +3, etc. Co este artfco, la tabla queda : Límtes reales f = frecueca U = Marca de F F G HG clase artfcal 1 f I KJ U f ( U ) 0 a a a a a a a Sumatoras f 9

10 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 10 Posterormete se calcula la varaza de los datos artfcales, medate la expresó : S U = k ( U k ) f U f 1 1 G k k 1 f F G HG 1 f I J K J = F 08I HG 50 K J =,1478 Falmete : S c S U, dode c = Ampltud = 10 S = (10),1478 =14,78 que cocde co el resultado ateror. Justfcacó del método abrevado : Se ha defdo ua fucó leal de los datos, que los trasforma e uos datos artfcales más secllos de trabajar. Esta trasformacó es de la forma : U X L m ; dode teórcamete L m pudera c ser cualquer orge, pero que por coveeca se toma la marca de clase del tervalo de mayor frecueca, pues así la mayor frecueca queda multplcada por cero smplfcado aú más los cálculos. Por efecto de la trasformacó, las marcas de clase aterores se coverte e -1, -, (sempre que la ampltud c sea gual para todos los tervalos), y las marcas de clase posterores se coverte e +1, +, etc. La expresó para calcular S U es la correspodete al cálculo de la varaza por mometos para los datos artfcales U. La relacó etre los datos orgales X y los artfcales U es leal pues : X Lm c U Por la propedad N de la varaza : SX c S U, lo que costtuye la justfcacó del método abrevado de cálculo. La Meda de las desvacoes absolutas : E vrtud de que los desvíos respecto de X se compesa, otra maera de omtr su sgo es cosderar sus valores absolutos, e lugar de elevarlos al cuadrado como se hace e el cálculo de la varaza.. Cuado se promeda los desvíos absolutos, aparece otra medda de dspersó, que se cooce co el ombre de Meda de las desvacoes absolutas, o Desvacó Meda, y que represeta lo que e promedo se desvía los datos de X, s cosderar su sgo. D. M 1 x X Ejemplo 4 Los sguetes datos represeta la duracó de cco cuñas de T.V expresadas e segudos: 38, 46, 4, 8, 6. Calcular la meda de las desvacoes absolutas Solucó : Se calcula su meda X = = 36, y posterormete 5 los desvíos: =, = 10, 4 36 = 6, 8-36 = -8 y 6-36 = -10

11 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 11 La suma algebraca de los desvíos resulta ser cero, tal como debe ocurrr sempre, y para calcular la desvacó meda se promeda los desvíos absolutos: D. M 7, 0 5 Este resultado sgfca que e promedo, la duracó de las cuñas se aleja e forma absoluta de su meda 36 segudos, e 7,0 segudos. La desvacó meda absoluta tee las sguetes propedades: 1 ) Al gual que cualquer otra medda de dspersó D.M 0, y D.M = 0 es codcó ecesara y sufcete para que todos los datos sea guales. ) E el caso de ua dstrbucó ormal co desvacó típca poblacoal, exste ua relacó drecta etre la D.M y, dada por la expresó : D.M = A partr de esta propedad se obtee ua fórmula aproxmada etre la desvacó meda absoluta y la desvacó típca, segú la cual para curvas de frecuecas 4 smétrcas o co poco grado de asmetría, se verfca : D. M 5 S 3 ) Para datos agrupados, la marca de clase susttuye al verdadero valor de cada de cada dato, y la desvacó meda absoluta se calcula medate la expresó: D. M k 1 L =k =1 f Ejemplo 5 Calcular la D.M para los datos del Ejemplo 3, y verfcar que se cumple la propedad N. Solucó: La meda es X = = 33,3, y se orgaza los cálculos 50 Límtes reales f = frecueca L L X L X 0 a ,3 6,56 10 a ,31 6,54 0 a ,3 63,3 30 a ,68 100,80 40 a ,68 36,08 50 a ,68 607,04 60 a ,68 411,84 Sumatoras ,18 X f f Para ua demostracó de esta propedad, véase la obra de este msmo autor: Capacdad de los Procesos Idustrales, U.C.A.B 1998.

12 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 1 S = 14,66 D.M=.963,18 50 Por la propedad N 3: D.M = 11,85 4 ( 14,86 ) = 11, La meda de las desvacoes absolutas respecto de la medaa: La meda de las desvacoes absolutas puede ser calculada també respecto de la medaa, dado lugar así a otra medda de dspersó, coocda també Desvacó Meda respecto de la Medaa, y que se defe de la sguete maera: I 1 x Medaa D. M Med Como ua de las propedades de la Medaa, estable que la suma de las desvacoes absolutas es míma, cuado estas se calcula respecto de la ella, etoces se puede garatzar que : D. M Med D.M Para datos agrupados : D. M Med I k 1 L Medaa f Ejemplo 6 Calcular la D. M Med para los datos del Ejemplo.4 Solucó : La medaa etre { 38, 46, 4, 8, 6} es 38, y las desvacoes respecto de ella so {0, 8, 4, -10 y 1} respectvamete. Por lo tato: D. M Med = k I= f = 6,80 < D.M = 7,0 4 El Rago o Recorrdo: Esta medda de dspersó se defe como la dfereca etre el mayor y el meor valor de los datos. R = Máxmo Valor - Mímo Valor El uso del rago o recorrdo, es muy dfuddo e las aplcacoes dustrales de la Estadístca, pues dada su secllez de cálculo se utlza e la costruccó de las gráfcas de cotrol 3 coocdas como ( X, R) cuyo objetvo es detectar a tempo la aparcó de causas especales detro de u proceso de produccó. E el caso de la dstrbucó ormal, exste ua relacó aproxmada etre el rago y la desvacó típca, y así por ejemplo cuado : =100: S R 4 ; y cuado =1.000: S R 6 estas relacoes empírcas so cosecueca de la propedad ya estudada para la dstrbucó ormal, segú la cual e el tervalo ( X ± S) debe caer el 95,45% de los datos, y e el tervalo ( X ± 3 S) debe caer el 99,73%. 3 Para ua mayor formacó sobre estas gráfcas, véase la msma refereca ctada e la ota.

13 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 13 Cuado =100, el rago debe ser aproxmadamete 4 veces S que correspode a la logtud del tervalo, y cuado = 1.000, el rago debe ser aproxmadamete 6 veces S, que es la logtud del tervalo X ± 3S. Ejemplo 7 Calcular el rago para los datos del ejemplo 7.4 Solucó : E este cojuto de datos el mayor valor es 46 y el meor 6, e cosecueca: R = 46 6 = 0. VII. 5 Otras Meddas absolutas de dspersó: Además de las ya estudadas, exste otras meddas de meor aplcacó práctca, tales como: a)el Rago tercuartílco: Se defe como la dfereca etre el tercer y prmer cuartl, y represeta la ampltud del tervalo 50% cetral. R q = Q 3 Q 1 c)el Rago sem tercuartílco : Es la mtad del rago tercuartílco, y represeta el rado del tervalo 50% cetral. Q Q 3 Q 1. Co el rago sem-tercuartílco, el tervalo 50 % cetral puede ser escrto como: Q1 Q3 Q3 Q1 Q1 Q3 = Q Para dstrbucoes acampaadas: Q 3 S c)el Rago Percetílco : Se defe como la dfereca etre el Percetl 90 y el Percetl 10, y represeta la logtud del tervalo 80 % cetral. R p = P 90 P 10 Todas estas meddas de dspersó al gual que las aterores so absolutas, pues o toma e cueta el orde de magtud de los datos, y vee e sus msmas udades, a excepcó de la varaza que vee e udades al cuadrado. 6 El Coefcete de Varacó o Dspersó Relatva: Las meddas absolutas de dspersó, al o tomar e cueta el orde de magtud de los datos, o proporcoa ua formacó completa sobre su varabldad, pues o es lo msmo por ejemplo, ua desvacó típca de 100 e uos datos que sea del orde de cetos, que esa msma desvacó típca de 100 e uos datos que sea

14 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 14 del orde de mlloes. Resulta obvo que e el prmer caso exste ua varabldad mucho mayor que e el segudo, a pesar de que el valor absoluto de la desvacó típca sea el msmo. Otro problema que tee las meddas absolutas de dspersó es el de las udades, pues esto mpde hacer comparacoes etre cojutos de datos que tega dferete aturaleza. Así por ejemplo, s se qusera saber cual varable tee u comportameto más homogéeo, el peso o la estatura de u cojuto de persoas, o es posble comparar las desvacoes típcas etre esas ellas, por ver expresadas e dferetes udades. Para solucoar este par de coveetes que preseta las meddas absolutas de dspersó, se utlza al coefcete de varacó o dspersó relatva, defdo por : C. V = S X 100% Propedades del Coefcete de Varacó 1 ) Es u porcetaje de razó etre la desvacó típca y la meda, de maera que represeta cuatas veces es la desvacó típca co relacó a la meda. Así por ejemplo, u C.V = 50% sgfca que la desvacó típca es la mtad de la meda, lo que revela ua alta varabldad. Valores del C.V meores al 10 % revela poca varabldad de los datos ; y así por ejemplo, para e el Cotrol de Caldad de la preparacó de mezclas, es frecuete exgr u C.V meor al 5% etre las muestras tomadas e dsttos putos de la mezcla, a f de garatzar su homogeedad. ) El C.V es u úmero abstracto, es decr s udades, pues tato S como X vee e las msmas udades de los datos, y al hacer la dvsó se smplfca. Esta propedad permte utlzar al C.V para hacer comparacoes etre varos cojutos de datos, y coclur que cuato más pequeño sea su valor, más homogéeo es el comportameto. 3 ) El C.V o se altera cuado los datos so multplcados por ua costate, pues e vrtud de las propedades de X y de S ambos queda multplcados por esa costate, s alterar al cocete. Esta propedad trae como cosecueca que el C.V sea varate frete a cambos de udades, como por ejemplo, pasar de lbras a klogramos o de pes a cetímetros, etc. Ejemplo 8 Calcular el C.V para los datos del ejemplo 3 Solucó : S = 14,66, X , 66 = 33,3 C.V = 100% = 44 % 50 33, 3 Ejemplo 9 : Al aalzar la estatura y el peso de u cojuto de persoas, se obtuvo, para el peso ua meda de 68,50 Kgs. co ua desvacó típca de 9,0

15 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 15 kgs.; y para la estatura ua meda de 165 cms., co ua desvacó típca de 11,30 cms. Cuál de las dos varables tee u comportameto más homogéeo?. Solucó: Para el peso: C.V = 9, 0 100% = 13,43 % 68, 50 Para la estatura : C.V = 1130, 100% = 6,85 % 165 Se cocluye que la estatura tee u comportameto más homogéeo.. Ua de las lmtacoes que tee el coefcete de varacó, es que sólo puede ser utlzado cuado los datos correspode a medcoes sobre ua escala de razó, y por lo tato exste el cero absoluto. Cuado exste datos postvos y egatvos, la meda puede resultar gual a cero, egatva o muy próxma a cero, e cuyo caso este coefcete de varacó carece de setdo como medda de dspersó. EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 10 Al examar el dámetro de 300 torllos, e mlímetros, se ecuetra: Díametro,00 a,49,50 a,99 3,00 a 3,49 3,50 a 3,99 4,00 a 4,49 4,50 a 4,99 Frecueca a) Calcule la varaza,la desvacó típca, el coefcete de varacó, la meda de desvacoes absolutas, la meda de desvacoes absolutas respecto de la medaa, el rago tercuartílco y el rago percetílco. b) Calcule el porcetaje de observacoes que cae e los tervalos X ± S, X ± S y X ± 3 S. Solucó : Para calcular la varaza, se orgaza los cálculos: L =Marca de clase f = Frecueca L f (L ) f, , ,6804, , ,863 3, , ,93 3, , , , ,810 4, , ,1803 Sumatoras , ,415 F S , , 00I = 300 HG 300 K J = 0,358 S = 0, 358 = 0,5985 Utlzado el método abrevado de cálculo: U = Marca de clase artfcal f = Frecueca U f (U ) f

16 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L Sumatoras S U F 119I HG 300 K J = 1,437 c= Ampltud Real = 0,50 S = c S U = (0,50) 0,1,437 = 0,358 Para calcular el coefcete de varacó, se ecesta: X = = 3,4433 Por el método abrevado: U = 0,3967 X = L m + c U X = 3,45 + (0,50) 0,3967 = 3,4433 y por lo tato : C.V = S X 0, % = 3, % = 17,38 %. Para calcular la desvacó meda: L =Marca de clase f = Frecueca L X, ,1983 0,3711, , ,6133 3, , ,4419 3, ,3017 5,946 4, ,8017 3,8697 4, , ,604 Sumatoras ,866 Por lo tato D.M = 148, = 0,496 S se qusera obteer u cálculo rápdo pero aproxmado, se pudera aplcar la propedad para dstrbucoes acampaadas como esta, segú la cual: D.M 4 5 S = 4 5 (0,5985) = 0,4788 Para las restates meddas de dspersó se ecesta los cuartles, y los percetles 10 y 90, a partr de las frecuecas acumuladas: Dámetro <,495 <,995 < 3,495 < 3,995 4,495 4,995 Frecueca Q 1 =, , 50 = 3,036 ; Q 3 = 3,495 + Q =Med=,995 + b g L , 50 = 3, b300g 68 0, 50 =3, X f

17 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. b g P 10 =, , 50 =, b300g 47 P 90 =3, , 50 = 4, Para calcular la desvacó meda absoluta, respecto de la medaa, hay que orgazar los cálculos e ua tabla smlar a la de la D.M, pero calculado los desvíos absolutos respecto de la medaa. L =Marca de clase f = Frecueca L Med Med, ,1909 0,453, , ,359 3, , ,7537 3, ,3091 6,586 4, , ,1731 4, , ,709 Sumatoras , , 6998 D.M Med = 300 = 0,4957 El rago tercuartílco: R q = Q 3 - Q 1 = 3,8671-3,036 = 0,8345 El rago percetílco: R p = P 90 - P 10 = 4,755 -,65 = 1,6530 Estos ragos represeta la ampltud de los tervalos 50% cetral, y 80% cetral respectvamete. Para calcular el porcetaje de valores que cae e los tervalos X ± S, X ± S y X ± 3 S, hay que determar la poscó percetl que le correspode a cada uo de los extremos de los tervalos, para luego restarlos. Para X ± S se tee : 3,4433 ± 0,5985 = [,8448 ; 4,0418] El % por debajo de 3,9418 : p = 100 F 4, , 995 I K J = 83,61%, El % por debajo de,8448 : p 1 = HG F HG I K J L, 8448, = 17,56% 0, 5 Detro de X ± S, cae etoces 83,61% - 17,56% = 66,05 %, que es aproxmadamete el porcetaje teórco de 68,7 % dado por la ormal. Para los tervalos X ± S y X ± 3 S, se procede de maera aáloga, y se obtee 95,45 % y 100 % respectvamete. Ejemplo 11 Dada la sguete tabla de frecuecas, para datos s agrupar: Valor frecueca a) Calcule su varaza, la desvacó típca, el coefcete de varacó, el rago, la meda de las desvacoes absolutas, la meda de las desvacoes absolutas respecto de la medaa, el rago tercuartílco. f 17

18 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 18 b) Determe el porcetaje de observacoes que cae e el tervalo X ± S. Solucó : A dfereca del ejemplo ateror, e este caso los datos o está agrupados, y por lo tato para calcular la varaza o se toma a la marca de clase, so al verdadero valor del dato. X = Valor del dato f = Frecueca X f (X ) f Sumatoras F 93I HG 100 K J = 3,07 S = 3 07 S = 1165, = 1,75 ; X = =,93 C.V = 175, 100% = 59,75 % ; R = 7 0 = 7, 93 X = Valor del dato f = Frecueca X X X X f 0 8,93 3, ,93 7,0 5 0,93 3, ,07 0, ,07 1,40 5 1,07 4, ,07 18,4 7 4,07 8,14 Sumatoras ,4 147, 4 D.M = 100 = 1,474 Para hallar la medaa, y demás cuartles hay que proceder segú lo explcado e el Ejemplo 6.13 dode se obtuvo Q 1 =, y sguedo la msma metodología Q = Med = 3, Q 3 = 4 X = Valor del dato f = Frecueca X Med X Med f Sumatoras

19 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 19 D.M Med = = 1,47 ; R q = Q 3 Q 1 = 4 - = E cuato al porcetaje de datos compreddos e el tervalo X ± S, teemos que éste es :,93 ± 1,75 = [ 1,18 ; 4,68 ], y e él cae todos los valores compreddos etre y 4 ambos clusve, que represeta el 58 % de los datos. Pregutas de Revsó 1 ) S se tee dos cojutos de datos expresados e las msmas udades, puede decrse que el que tega mayor varaza preseta ua mayor dspersó?. ) S e u cojuto de datos todos los valores so egatvos, puede algua de las meddas absolutas de dspersó ser egatva?. 3 ) Cuál es la dfereca etre las meddas absolutas y las meddas relatvas de dspersó?. Cuál de las dos mde mejor la varabldad?. 4 ) Aalce las modfcacoes que sería ecesaro realzar, s se qusera aplcar el método abrevado de cálculo para la varaza, e ua tabla de frecuecas co tervalos de dferete ampltud. 5 ) E u cojuto de datos, el meor es 30, el rago es 10, y la meda 35. Puede el coefcete de varacó ser gual a 40%?. 6 ) El valor más bajo de u cojuto de datos es 75, y el más alto 110. Puede ser la desvacó típca 39,50?. 7 ) Qué represeta el rago percetílco?. 8 ) Supoga que u cojuto de datos es sometdo a ua trasformacó o leal, como por ejemplo: Y = a + bx. Explque el procedmeto a segur para calcular la varaza de los datos trasformados. 9 ) S u cojuto de datos es sometdo a ua trasformacó leal: Y = a +bx. Se altera el coefcete de varacó?. 10 ) Por qué la desgualdad de Tchebychev o proporcoa formacó algua cuado se quere hallar el porcetaje de datos que dfere de la meda e meos de ½ la desvacó típca?. 11 ) Segú la desgualdad de Tchebychev cuál es el porcetaje mímo de datos que dfere de la meda e meos de 1,50 veces la desvacó típca?. 1 ) Puede u coefcete de varacó ser mayor al 100%?.

20 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L ) Supoga que sobre u cojuto de datos { x 1, x,x 3,..., x } co meda X, y desvacó típca S, se defe la trasformacó: z = x X dado lugar a otro S cojuto de datos { z 1, z,z 3,..., z } llamados datos tpfcados. Cuál es la meda y la varaza de los datos tpfcados?. 14 ) E u cojuto de datos e dode la mtad sea gual a u valor, y la otra mtad sea gual a otro valor dferete, puede afrmarse que la meda de las desvacoes absolutas es gual a la desvacó típca?. 15 ) S { x 1, x,x 3,..., x } es ua muestra que tee meda muestral X, y provee de ua poblacó co meda poblacoal. Cual de las sguetes dos expresoes es meor: ( ) ó ( x X)?. Justfque su respuesta. 1 x 1 16 ) Explque el porqué e el método de abrevado de calculo para la varaza, se toma como refereca cero al puto medo de la clase modal. Pudera tomarse a otra marca de clase s modfcar el método?. Temas complemetaros para vestgar 1 ) Ivestgue sobre las aplcacoes del Coefcete de Varacó e el cotrol de la caldad para la preparacó de mezclas, como por ejemplo el cocreto. ) Ivestgue sobre el uso y sgfcado de otras meddas relatvas de dspersó, como por ejemplo el coefcete de varacó cuartl. 3 ) Ivestgue sobre las aplcacoes del rago muestral e el Cotrol Estadístco de Procesos. Problemas Propuestos I. Nvel Elemetal 7.1) Ua empresa tee dos agecas, ua e Caracas y otra e el teror. El sueldo de los empleados de esa empresa e cada ua de esas dos agecas es como sgue: Caracas : Meda = Bs Desvacó Típca = Bs Iteror : Meda = Bs Desvacó Típca = Bs E cual de las dos agecas, los sueldos so más homogéeos?. Solucó : E la del teror. 7.13) Se tee u cojuto de ses datos, cuyos valores so : 3, 8,, 3, 5 y 4. a) Calcule su rago, varaza y coefcete de varacó. b) Calcule la meda de las desvacoes absolutas.

21 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. 1 c) Calcule la meda de las desvacoes absolutas respecto de la medaa. Solucó : a) 6, 3,81, 46,8% b) 1,56 c) 1, ) La sguete tabla se refere a las estaturas e pulgadas, de u grupo de estudates: Estatura 60 a 6 63 a a a 71 7 a 74 Frecueca Determe el rago, la meda de las desvacoes absolutas, el porcetaje de estudates detro del tervalo X ± D.M, el rago tercuartl, el rago percetl, la desvacó típca, y el coefcete de varacó. Solucó: 15,,6, 85,67 %, 3,97, 7,94,,9 y 4,33 %. 7.15) La logtud de uas pezas e mlímetros se da e la sguete tabla: Logtud 50,00 50, ,99 70,00-79,99 80,00-89,99 90, ,00-309,99 310,00-319,99 Frecueca Use el método abrevado de cálculo, para hallar el coefcete de varacó. Solucó : 5,58 %. 7.16)Calcule el coefcete de varacó para la sguete tabla de frecuecas relatvas acumuladas: Límtes Reales < 49.5 < 99.5 < < < 49.5 < 99.5 < < H % 0 % 1% 38% 45% 63% 80% 96% 100% Solucó: 43,40 % 7.17) Calcule el porcetaje de datos que e la dstrbucó ateror cae e el tervalo X ± 1,50 S. Solucó: 87,9% 7.18) Durate u perodo de 150 horas, se observó el úmero de cletes por hora que acude a u comerco, ecotrado: Cletes frecueca a) Determe la desvacó típca y la meda de las desvacoes absolutas. b) El porcetaje de veces e que la observacó cae e el tervalo X ± S. Solucíó: a),0 y 1,68. b) 96 %. 7.19) La meda de uos datos es 10, y su coefcete de varacó es del 0%. Calcule el uevo coefcete de varacó e cada uo de los sguetes casos: a) A cada uo de los datos se le suma. b) Cada uo de los datos se cremeta e u 35%. Solucó : a) 16,67 %. b) 0%. II. Nvel Itermedo 7.0) El coefcete de varacó de 1 datos es 9,957 %, y la suma de sus cuadrados 1355.

22 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. S los datos se cremeta e 6 udades, cuál es el uevo coefcete de varacó?. Solucó: 8,03%. 7.1) S cada uo de los datos de u cojuto se multplca por 3, la meda artmétca es 108 ; y s a cada dato se le suma 10, la meda cuadrátca es 48. Cual es el coefcete de varacó de los datos?. Solucó : 38,09 % 7.) Sea los datos : 3, 6, 6, x, y. S el coefcete de varacó es 9,0144 %, y la varaza es S =,64. Determe los datos que falta x, y. Solucó : 5 y 8 7.3) El sueldo promedo del persoal de ua empresa es de $1.00 co ua desvacó típca de $50. El persoal va a ser beefcado co u boo fjo y u aumeto porcetual, y segú el orde e que se aplque estos beefcos, el futuro sueldo promedo puede ser de $ s aplca prmero el cremeto porcetual y luego el boo, o de $ s se aplca prmero el boo y luego el cremeto porcetual. a) Determe el moto del boo fjo y del aumeto porcetual. b) Aalce cual de estas modaldades proporcoa ua mayor homogeedad e los sueldos del persoal. Solucó : $ 50 de boo co 30% de cremeto porcetual, o $ 360 de boo co 0,8333 % de cremeto porcetual. 7.4) La meda de u cojuto de datos es 8, y la meda cuadrátca 10. Cual será el uevo coefcete de varacó, s cada dato es cremetado e: a) udades?. b) 0%?. Solucó: a) 60% b) El msmo ateror al cremeto = 75%. 7.5) S cada uo de los datos de u cojuto es cremetado e udades, el uevo coefcete de varacó es del 10%, y la ueva varaza 4. Cual era la meda de los datos orgales?. Solucó: ) Los salaros e ua empresa tee ua desvacó típca de S todos los salaros so cremetados e.000, el coefcete de varacó dsmuye e %. Calcule el salaro medo después del aumeto. Solucó: ) E el almacé de ua empresa exste dversas cajas, que puede ser clasfcadas así: pequeñas cuyo peso es meos de 150 klos, regulares co u peso desde 150 hasta 50 klos, grades co u peso desde 50 klos hasta 500 klos, y extra grades desde 500 klos e adelate. S el peso medo de las cajas es de 00 klos, co ua desvacó típca de 0 klos. Cuál es el porcetaje mímo de las cajas de tamaño regular detro del almacé?. Solucó : 84 % por lo meos.

23 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L. III. Nvel Avazado 7.8) Para datos cualesquera { x 1, x,x 3,..., x }, demuestre que: X 1 3 x Utlce el resultado ateror para demostrar: D.M. S. Cuádo so guales?. 7.9) La meda de u cojuto de datos es 1,50, la desvacó típca es 3,50, y la mtad de ellos so guales a u valor a, metras que la otra mtad so guales a otro valor b. ( a < b). a) Determe a y b. b) S se añade cco uevos datos que resulta ser guales a b, y se obtee que la ueva meda es,0. Cuátos datos había calmete?. Solucó : a) a = -, b= 5 b) ) Se tee datos co meda X y varaza S. Supoga que se obtee u uevo dato x 1 que se corpora al cojuto ateror dado lugar a u cojuto de (+1) datos. Demuestre que la varaza S 1 del uevo cojuto de datos, vee dada por : S 1 1 S + ( X - x +1 ) ( +1) 7.31) Geeralce el resultado ateror, para dos cojutos de datos dsjutos, de tamaños 1 y, co medas X 1 y X, y varazas S 1 y S respectvamete. Deduzca ua fórmula que permta calcular la varaza de su uó. 1 X1 X Solucó : S = S + S 1 1 ( ) + ( ) ) Supoga que se tee dos cojutos de datos dsjutos, co gual meda X, pero de dferetes tamaños 1 y, y co dferetes coefcetes de varacó CV 1 y CV respectvamete. Al ur estos dos cojutos, qué tpo de meda etre sus coefcetes de varacó debe utlzarse, para obteer el coefcete de varacó de la uó?. Solucó: C.V = 1 C. V 1 C. V 1 = Meda cuadrátca poderada etre sus coefcetes de varacó. 7.33) Se tee dos cojutos de datos, e dode:

24 Meddas de Dspersó Agel Fracsco Arvelo L Cojuto: 1 = 75 ; X1 = 67688,75 ; C.V 1 = 5% 1 Cojuto: = 80 ; X 1 Calcule el coefcete de varacó de su uó. Solucó: 13,43% = 46540,80 ; C.V = 10% 7.34) El sueldo promedo del persoal de ua dustra es de Se sabe que del persoal de esa dustra, 3 so obreros y 1 so empleados, y 3 que además, el sueldo promedo de los empleados es el doble del de los obreros. La desvacó típca e el sueldo de los obreros es de ; metras que e el sueldo de los empleados es de a) Cual es el sueldo promedo de los empleados y cual el de los obreros?. b) S se aumeta los sueldos e 0% para los empleados, y e 50% para los obreros. Ecuetre el uevo coefcete de varacó e los sueldos, para todo el persoal Solucó : a) y b) 3,47%. 7.35) E ua platel se admstró u exame sobre 100 putos, y los alumos cocurrero e dos turos: mañaa y tarde. Para el turo de la mañaa se obtuvo ua meda de 5,00 putos,y para el turo de la tarde dode presetaro 330 alumos, se obtuvo ua meda de 46,00 putos. La meda de todo el grupo resultó ser de 48,04 putos. Tato para el turo de la mañaa como para el de la tarde, se obtuvo la msma desvacó típca; pero la desvacó típca de todo el grupo resultó ser 30% mayor que la de la mañaa (o de la tarde). E base a esta formacó, obtega el coefcete de varacó para cada uo de los turos, y el de todo el grupo. Solucó: Mañaa : 6,58 %. Tarde: 7,43 %. Geeral : 9,5 %. 7.36) Determe la varaza de datos que sea guales a los prmeros úmeros aturales: 1,, 3,..,. Solucó : ) Aproveche el resultado del ejercco ateror para ecotrar la varaza de datos que se ecuetre e progresó artmétca: a, a + r, a + r,., a+ ( -1) r. Solucó : r ( 1) 1