Una Forma Distinta para Hallar la Distancia de un Punto a una Recta

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1 Una Fora Distinta para Hallar la Distancia de un Punto a una Recta Lic. Enrique Vílchez Quesada Universidad Nacional Escuela de Mateática Abstract La siguiente propuesta nace de la iniciativa de copartir con los colegas, una prueba foral de un resultado que nos perite hallar la distancia de un punto a una recta. El resultado se diferencia de la relación típica abordada en los libros de álgebra lineal, y su deostración se basa unicaente en conceptos de ateática básica. Contenido 1 Desarrollo de la Propuesta 1 Ejeplos de Aplicación 4 3 Conclusiones 7 4 Bibliografía 7 1 Desarrollo de la Propuesta Iniciaos este trabajo recordando la anera de hallar la distancia entre dos puntos P ( 0, y 0 ) y Q ( 1, y 1 ) en un sistea de coordenadas rectangulares. Considereos los puntos P y Q : Fecha de recepción del artículo: Julio, 005. Fecha de aceptación: Enero, 006. Eail: Evq@costarricense.cr 1

2 y 1 d Q y y 0 P 0 1 Por el teorea de Pitágoras es facil- Nos interesa encontrar la longitud d. ente observable en la figura 1 que: + y = d = d = + y = ( 1 0 ) + (y 1 y 0 ) (1) El problea que nos interesa resolver, consiste en encontrar la distancia d de un punto dado del plano catesiano a una recta. Para ello considereos un punto P del plano, P de coordenadas ( 0, y 0 ) y la recta L de ecuación asociada y = + b. Debeos encontrar la distancia de P a la recta L, por definición dicha distancia corresponde a la longitud del segento perpendicular a L con etreo Q. Obsérvese la siguiente figura: L 1 y 0 Q d P y 0 L Si conociéraos las coordenadas de Q nuestro problea quedaría copletaente resuelto, pues d correspondería a la distancia entre P y Q, que la podeos deterinar endiante la epresión (1). Halleos estas coordenadas.

3 Supongaos que Q es de coordenadas ( 1, y 1 ), de acuerdo a la figura se puede concluir que Q, P L 1, halleos la ecuación asociada a esta recta. Pendiente de L 1 La ecuación de L corresponde a y = + b, coo L L 1 teneos que: Intersección con el eje de las ordenadas Coo P L 1 se tiene que: finalente la ecuación asociada a L 1 es: 1 = 1 = 1 = 1 b 1 = y = y y = + y = + y Coo Q es un punto tanto de L coo de L 1, sus coordenadas satisfacen las ecuaciones asociadas a abas rectas, de donde: y 1 = 1 + b y 1 = 1 + y entonces 1 + y = 1 + b 1 + y = 1 + b 1 = (y 0 b) + 0, + 1 así: y 1 = y b Quedando de esta fora deterinadas las coordenadas de Q. (1) la distancia d viene dada por: Luego, por 3

4 d = = = ( 0 (y 0 b) + 0 ) ( ) + y 0 y b ( ) ( 0 y 0 + b y0 0 b ( y0 0 b ) ( y0 0 b + ) ) = + = donde = y 0 0 b la recta L evaluada en 0. = y 0 y ( 0 ) y y ( 0 ) representa la ecuación de En conclusión, la distancia d del punto P de coordenadas ( 0, y 0 ) a la recta L de ecuación asociada y = + b, corresponde a: d = con: = y 0 y ( 0 ) El resultado clásico que aparece en los libros de álgebra lineal para resolver este problea, establece que: d = A 0 + By 0 + C A + B con A + By + C = 0 la ecuación general de la recta. Note que abos resultados son equivalentes y no conducen a ningún tipo de contradicción, pues cualquiera de ellos se puede inferir del otro. Lo iportante de la deostración que heos eplicado, es que no requiere de ningún conociiento de álgebra lineal para su desarrollo, por el contrario, unicaente se fundaenta en algunos conceptos de ateática básica. Ejeplos de Aplicación 1. Deterine la distancia del punto P de coordenadas (, 1) a la recta L de ecuación asociada 5y + 3 = 1. 4

5 Solución 5y + 3 = 1 = y = Luego: ( ( ) + 1 ) 5 5 = = Finalente: d = = 17. Halle la distancia entre las rectas paralelas: L 1 : y = 1 L : y = + 4 Solución Por definición, esta distancia d corresponde a la longitud del segento perpendicular de un punto cualquiera de ellas a la otra recta. De esta fora, halleos las coordenadas de un punto P de L 1 y posteriorente calculeos la distancia de P a L. Para = 0 en L 1 se obtiene P = (0, 1), luego: En consecuencia: = = 1 d = 1 5 = 5 5

6 3. Deterine las coordenadas de un punto P cuya distancia a la recta L de ecuación asociada y = 7 corresponde a 4, y represente geoétricaente el conjunto de todos los puntos del plano que satisfacen esta condición. Solución Sea P = (, y) entonces: ( 1 ) + 1 = 4 = y = 4 = y + 7 = 5 = y + 7 = 4 5 de donde + y = y = Abas ecuaciones representan las ecuaciones asociadas a dos rectas paralelas que llaareos L 1 y L respectivaente, cualquier punto de las rectas es una solución. Si en la ecuación de L 1 = 0 entonces y = 5 7 y el punto P = ( 0, 5 7 ) satisface la condición deseada. Geoétricaente las rectas paralelas L 1 y L, y la recta L, vienen dadas por la siguiente figura: 6

7 L L -6-8 L La recta de color azul corresponde a L 1, la de color negro a L y la de color verde a L. 3 Conclusiones El problea resuelto en este pequeño trabajo, brinda un étodo de deostración, válido, elegante y sencillo, de fácil coprensión para un estudiante que curse su quinto año de enseñanza edia, o bien, su prier año de vida universitaria. No recurre a ningún concepto de álgebra lineal y por ende se anifiesta coo una alternativa para que los colegas encargados de este nivel de enseñanza, puedan desarrollar su propia inventiva, sea con el diseño de un laboratorio, un proyecto o sencillaente otivando a los estudiantes; a obtener por su cuenta este resultado. 4 Bibliografía 1. Barrantes, H Eleentos de Álgebra Lineal. Editorial EUNED.. Grossan, S Álgebra Lineal. Editorial McGraw-Hill, Méico. 3. Riddle, D Geoetría Analítica. Editorial Thoson, Méico. 4. Swokowski, E Álgebra y Trigonoetría con Geoetría Analítica. Editorial Iberoaericana, Méico. 7