Dominios ficticios y conjuntos de nivel para problemas de frontera libre. Aplicación al crecimiento tumoral

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1 XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, septiembre 2009 (pp. 1 8) Dominios ficticios y conjuntos de nivel para problemas de frontera libre. Aplicación al crecimiento tumoral Carmen Calzada 1, Gema Camacho 2, Enrique Fernández-Cara 2, Mercedes Marín 1 1 Dpto. de Informática y Análisis Numérico, Univ. de Córdoba, Campus de Rabanales, Ed. C2-3, E Córdoba Dpto. E.D.A.N., Univ. de Sevilla, Aptdo. 1160, E Sevilla. s: Palabras clave: Dominios ficticios, frontera libre, conjuntos de nivel, crecimiento tumoral Resumen En este trabajo presentamos un método numérico para resolver problemas de frontera libre que usa dominios ficticios y conjuntos de nivel. El método combina el uso de elementos finitos para resolver los problemas de dominios ficticios con las diferencias finitas empleadas para los conjuntos de nivel. Se ha aplicado a la resolución numérica de un modelo que simula el crecimiento de un tumor sólido, necrótico, durante la fase avascular que generaliza a otro presentado por los autores en el XX CEDYA. Se muestran resultados numéricos bidimensionales que coinciden con los que aparecen en la literatura para este tipo de problemas. 1. Introducción Este trabajo tiene como objetivo la resolución de un problema de frontera libre que describe la evolución de un tumor sólido. Los problemas de este tipo presentan dos dificultades específicas importantes: por una parte, el hecho de que el dominio cambie a lo largo del tiempo implica la necesidad de ir modificando también su discretización y, por otra, la geometría de los dominios que aparecen suele ser bastante compleja. Para solventar la primera de las dificultades hemos empleado un método de dominios ficticios, que consiste básicamente en extender el problema a un dominio geométricamente más simple y fijo. A su vez, esto proporciona dos ventajas desde el punto de vista computacional: el dominio extendido puede considerarse independiente del tiempo, lo que 1

2 C. Calzada, G. Camacho, E. Fernández-Cara, M. Marín nos permite utilizar un mallado fijo; en segundo lugar, se pueden utilizar mallados más regulares y aplicar métodos rápidos de resolución. La recuperación de la geometría del dominio que, como hemos dicho puede adoptar formas irregulares e incluso no conexas, se realiza utilizando técnicas de conjuntos de nivel. Aplicamos estos métodos a la resolución de un modelo de frontera libre propuesto en [7], que simula el crecimiento de un tumor sólido (carcinoma) durante la fase avascular. 2. Métodos de resolución Como veremos más adelante, necesitaremos resolver una serie de problemas de Dirichlet en un dominio ω = ω(t) R d (d 1) que varía con el tiempo t [0, T ]. En cada uno de ellos, debemos encontrar la única función u H 1 (ω) que verifica { αu β u = f en ω u = g sobre γ = ω (1) donde f H 1 (ω), g H 1/2 (γ), α 0 y β > 0. Una vez resuelto (1), será necesario actualizar ω, de modo que podamos resolver uno o varios problemas análogos en el siguiente instante de tiempo Método de dominios ficticios Para resolver (1) sin tener que cambiar la discretización del dominio ω(t) a lo largo del tiempo, se ha utilizado un método de dominios ficticios con multiplicadores de Lagrange distribuidos en volumen (ver [5]). Para ello, se considera un dominio regular fijo Ω (un rectángulo en 2D o un paralelepípedo en 3D) lo suficientemente grande para que todos los ω(t) queden incluidos en Ω y se sustituye el problema (1) por un problema variacional equivalente. Denotamos ω c = (Ω\ ω), Γ = Ω y suponemos definidas g H 1 (ω c ) y f L 2 (Ω), tales que g Γ = 0, g γ = g y f ω = f. Pongamos V 0 = { v H 1 0 (Ω) : v = 0 en ωc} y V g = { v H 1 0 (Ω) : v = g en ωc}. Entonces el problema (1) es equivalente a encontrar ũ V g tal que (αũv + β ũ v)dx = fvdx v V 0, (2) Ω en el sentido de que la solución u de (1) es la restricción a ω de la solución ũ de (2). A continuación, la relación ũ = g en ω c se impone indirectamente, a través de un multiplicador de Lagrange λ Λ, donde Λ es el espacio de Hilbert Λ = {v H 1 (ω c ) : v Γ = 0}, dotado del producto escalar s(µ, µ ) = α µµ dx + β ω c µ µ dx ω c µ, µ Λ. (3) De esta forma, se sustituye la resolución de (2) por la búsqueda de un punto de silla del Lagrangiano L : H0 1 (Ω) Λ R, dado por L(v, µ) = 1 ( αv 2 + β v 2) dx fvdx + s(µ, v ω c g). (4) 2 Ω 2 Ω Ω

3 Dominios ficticios. Crecimiento tumoral Este punto de silla se aproxima utilizando un método de Uzawa con paso óptimo, que resulta ser muy efectivo. Para la discretización espacial se han utilizado elementos finitos P 2 -Lagrange Método de conjuntos de nivel El otro problema a resolver tiene que ver con la actualización del dominio ω(t). Aceptemos que la velocidad de avance de la frontera γ(t) es conocida. Emplearemos entonces la técnica de conjuntos de nivel [8]. Todo se basa en definir una función escalar ψ = ψ(x, t) (la función de nivel), de tal manera que su valor en cada punto x Ω y en cada instante t indica si se está dentro o fuera del dominio ω(t): ψ(x, t) < 0 si x ω(t) = 0 si x γ(t) 0 si x / ω(t) La frontera γ(t) viene dada, por tanto, como el conjunto de nivel cero de ψ. Debido a su definición, ψ satisface en Ω (0, T ) la ecuación de transporte (5) ψ t + V n ψ = 0, (6) donde V n es la velocidad de la frontera γ(t) en la dirección normal, extendida a todo Ω. Como valor inicial ψ t=0 se suele tomar la función distancia con signo a la frontera γ(0). La ecuación (6) es una ecuación de Hamilton-Jacobi, y se ha resuelto utilizando diferencias finitas. Primero, la derivada espacial se calcula mediante un método WENO de quinto orden. La ecuación semidiscreta resultante, se resuelve usando un método explícito de Runge-Kutta (TVD-RK) de tercer orden [9]. Se ha respetado la condición CFL t < h 4 máx Ω V n, (7) siendo h el paso de discretización espacial. En cada etapa temporal se ha reinicializado la función de nivel obtenida a una función distancia con signo; ver [11]. El uso previo del método de dominios ficticios nos permite trabajar con un mallado cartesiano fijo. Así, es posible combinar los elementos finitos para la resolución de los problemas de Dirichlet con diferencias finitas para la ecuación de conjuntos de nivel. Cuando ha sido necesario, para la trasmisión de datos y resultados parciales, se ha utilizado interpolación bilineal. 3. Modelo de crecimiento del tumor Las técnicas descritas en la Sección anterior se han utilizado para resolver un modelo que simula el crecimiento de un tumor sólido avascular y necrótico [4]. En este caso, ω(t) es el dominio ocupado por el tumor en el instante t y γ(t) es la frontera que separa ω(t) del tejido sano ω S (t). Denotamos σ = σ(x, t) la concentración de nutrientes. En las zonas interiores al tumor, donde σ está por debajo de un cierto umbral N, las células mueren formándose un núcleo necrótico ω N (t) = {x : σ(x, t) < N} de frontera Σ N (t). 3

4 C. Calzada, G. Camacho, E. Fernández-Cara, M. Marín Donde σ(x, t) N, suponemos que las células están vivas y proliferan (no hay células quiescentes), con lo cual hay una ganancia de masa que produce una presión p = p(x, t) que hace que la frontera del tumor se mueva y su volumen crezca. La región del tumor compuesta por células vivas será denotada ω V (t). Por tanto, ω(t) = ω V (t) ω N (t) Σ N (t). El tumor se modela como un fluido incompresible. Para cada t, el correspondiente campo de velocidades u = u(x, t) verifica: γ T σ δ T en ω V (t) u = λ N en ω N (t) (8) 0 en el resto donde el término γ T σ (γ T > 0) se debe a la proliferación (mitosis) de las células tumorales, δ T > 0 determina la muerte (apoptosis) de las mismas y λ N es la velocidad de desintegración de los desechos celulares. Por simplicidad, supondremos que el flujo de células através de Σ N (t) es nulo. El campo de velocidades en ω(t) está relacionado con el gradiente de la presión por la ley de Darcy u = w T p, (9) siendo w T > 0 el coeficiente de movilidad de las células tumorales (que suponemos constante). Combinando las ecuaciones (8) y (9), se consiguen expresiones de p en las distintas zonas. Se supone que la concentración de nutrientes sobre la frontera del tumor coincide con la de los tejidos que lo rodean, que consideraremos uniforme: σ = σ γ(t) sobre γ(t). (10) La presión sobre la frontera satisface la relación de Young-Laplace: p = aκ sobre γ(t), (11) donde a es la tensión superficial (correspondiente a las fuerzas de adherencia célula-célula) y κ es la curvatura local de γ(t). La velocidad normal con la que se mueve la frontera del tumor viene dada por V n = u n = w T p n sobre γ(t), (12) siendo n el vector normal unitario exterior a γ(t). Una vez adimensionalizadas las ecuaciones (ver [6]), llegamos al siguiente problema a resolver: σ σ = 0 en ω(t) (13) σ = 1 sobre γ(t) (14) p = G(σ A) en ω V (t) (15) p = G G N en ω N (t) (16) p n = 0 sobre Σ N(t) (17) p = κ sobre γ(t) (18) p n = V n sobre γ(t) (19) 4

5 Dominios ficticios. Crecimiento tumoral para t (0, T ). Por simplicidad, hemos denotado las nuevas variables adimensionalizadas y los nuevos dominios de la misma forma que los antiguos. Por supuesto, ω V (t) y ω N (t) están determinados por σ(, t) y por N. Los parámetros adimensionales que aparecen son: A = λ A λ M, G = λ M λ R y G N = λ N λ M, (20) siendo λ A y λ M las velocidades de apoptosis y de mitosis respectivamente y siendo λ R un parámetro relacionado con la escala temporal. De esta manera, la formulación utilizada permite describir varios grados de vascularización del tumor: baja vascularización (G 0, A > 0), donde domina la difusión como ocurre en experimentos in vitro; vascularización moderada (G 0, A 0) y alta vascularización (G < 0, A < 0 ó A > 0), que corresponden a regímenes observados en experimentos in vivo. También se puede simular la administración de quimioterapia aumentando los valores de A que, eventualmente, podrían depender de t; para más detalles, ver [4]. 4. Resolución numérica Para la resolución de (13) (19) se ha utilizado un esquema que permite desacoplar las diferentes incógnitas en cada etapa de tiempo. Se divide el intervalo temporal [0, T ] en M subintervalos de amplitud k y se parte del dominio inicial ω 0 = ω(0) y de la frontera γ 0 = ω 0. Supuesto conocido el dominio ω m en un instante t m = mk con m 0, se calculan sucesivamente σ m (x) σ(x, mk), p m (x) p(x, mk) y ω m+1 como sigue: Nutrientes. Se resuelve el problema de Dirichlet σ m σ m = 0 en ω m, σ m = 1 sobre γ m. (21) Presión. Se resuelve el problema de Dirichlet p m = G(σ m A) en ω m V, p m = G G N en ω m N, p m = κ m sobre γ m, (22) donde κ m es la curvatura de γ m. Nuevo dominio. Se calcula la velocidad normal V m n en el instante mk: V m n = p m n. (23) Con ella se obtiene el nuevo dominio ω m+1, se hace m = m+1 y se repite el proceso. 5. Simulaciones numéricas Se han realizado varias simulaciones del crecimiento de un tumor modelado por las ecuaciones (13) (19). El comportamiento observado coincide con el descrito en [6] y [4]. En todos los casos se ha tomado como dominio ficticio Ω = [ 6, 6] [ 6, 6]. 5

6 C. Calzada, G. Camacho, E. Fernández-Cara, M. Marín En primer lugar, se ha considerado como frontera inicial del tumor una circunferencia perturbada de ecuaciones paramétricas: (x(α), y(α)) = (2, 1 + 0,5 cos(2α)) (cos(α), sen(α)), α [0, 2π]. (24) En la figura 1 se muestra la evolución del tumor cuando G = 20 y A = 0,5, lo que corresponde a un régimen de baja vascularización, sin considerar núcleo necrótico (N = 0). Se han tomado h = 0,2 y el paso de tiempo verificando la condición CFL (7). Figura 1: Evolución del tumor en régimen de baja vascularización. En la figura 2 se muestran la concentración de nutrientes y la presión dentro del tumor en el instante t = 3,6. Figura 2: Concentración de nutrientes (izquierda) y presión (derecha). Consideramos ahora la evolución de un tumor en un régimen de alta vascularización. Su forma inicial viene dada, para α [0, 2π], por (x(α), y(α)) = (2 + 0,24 cos(2α) + 0,2 sen(2α) +0,12 cos(3α) + 0,1 sen(3α)) (cos(α), sen(α)), α [0, 2π]. En la parte izquierda de la figura 3, se muestra la evolución cuando G = 5, A = 0,8 y N = 0. En este caso, la velocidad de la mitosis es mayor que la de la apoptosis y por tanto se da un crecimiento ilimitado, tendiendo el tumor a expandirse en forma circular. En la parte derecha de la figura se muestra el caso contrario, esto es, aquél en que la velocidad de apoptosis es mayor que la de mitosis por lo que el tumor se va reduciendo a lo largo del 6

7 Dominios ficticios. Crecimiento tumoral Figura 3: Evolución del tumor en régimen de alta vascularización. tiempo y tiende también a adoptar una forma circular. Este último caso se obtiene para G = 5, A = 0,2 y N = 0. En la figura 4, se presenta la evolución de un tumor asimétrico en diferentes situaciones: (x(α), y(α)) = (2 + 0,24 cos(2α) + 0,2 sen(2α) + 0,12 cos(3α) + 0,1 sen(3α)+ 0,08 cos(5α) + 0,14 sen(6α)) + (cos(α), sen(α)), α [0, 2π]. Figura 4: Evolución de un tumor asimétrico. Por último, en la figura 5 representamos el crecimiento de un tumor con núcleo necrótico. Se ha tomado A = 0, G = 20, G N = 10, N = 0,35 y el tiempo final T = 1. La forma inicial del tumor viene dada por (24). Agradecimientos Este trabajo ha sido financiado por los proyectos EXC/2005/FQM-520 de la Junta de Andalucía y MTM del Ministerio de Educación y Ciencia. 7

8 C. Calzada, G. Camacho, E. Fernández-Cara, M. Marín Figura 5: Tumor con núcleo necrótico (zona negra). Referencias [1] Barth, T.J., Sethian, J.A., Implementation of Hamilton-Jacobi and Level-Set Equations on Triangulated Domains, von Karman Institute Lectures Series, Computational Fluid Mechanics (1998). [2] Barth, T.J., Sethian, J.A., Numerical Schemes for the Hamilton-Jacobi and Level-Set Equations on Triangulated Domains, J. Comp. Phys., 145(1), 1 40 (1998). [3] Calzada, C., Camacho, G., Fernández-Cara, E., Marín, M., Resolución numérica de un modelo de frontera libre para el crecimiento tumoral, CEDYA 07 (2007). [4] Cristini V., Lowengrub J., Nie Q. Nonlinear simulation of tumor growth, J. Math. Biol 46, (2003). [5] Glowinski, R, Numerical methods for fluids (Part 3), Handbook of Numerical Analysis, Vol. IX Ed. North-Holland, Amsterdam (2003). [6] Hogea, C.S., Murray, B.T., Sethian, J.A., Implementation of the level set method for continuum mechanics based tumor growth models, FDMP 1(2), (2005). [7] Macklin, P., Lowengrub, J., Sethian, J.A., Nonlinear simulation of the effect of microenviroment on tumos growth, Journal of Theorical Biology 245, (2007). [8] Osher, S., Sethian, J.A., Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulation, J. Comp. Phys. 79, (1988). [9] Osher, S., Fedkiw, R., Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces, Springer Verlag, New York(2002). [10] Sethian, J.A. Level set methods and fast marching methods. Evolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science. Second edition. Cambridge University Press, Cambridge, (1999). [11] M. Sussman, P. Smereka, S. Osher, A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow, J. Comput. Phys. 114 (1994),

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