Dominios ficticios y conjuntos de nivel para problemas de frontera libre. Aplicación al crecimiento tumoral
|
|
- Pilar Ruiz Segura
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, septiembre 2009 (pp. 1 8) Dominios ficticios y conjuntos de nivel para problemas de frontera libre. Aplicación al crecimiento tumoral Carmen Calzada 1, Gema Camacho 2, Enrique Fernández-Cara 2, Mercedes Marín 1 1 Dpto. de Informática y Análisis Numérico, Univ. de Córdoba, Campus de Rabanales, Ed. C2-3, E Córdoba. carmen.calzada@uco.es, merche@uco.es. 2 Dpto. E.D.A.N., Univ. de Sevilla, Aptdo. 1160, E Sevilla. s: gemacv@us.es, cara@us.es. Palabras clave: Dominios ficticios, frontera libre, conjuntos de nivel, crecimiento tumoral Resumen En este trabajo presentamos un método numérico para resolver problemas de frontera libre que usa dominios ficticios y conjuntos de nivel. El método combina el uso de elementos finitos para resolver los problemas de dominios ficticios con las diferencias finitas empleadas para los conjuntos de nivel. Se ha aplicado a la resolución numérica de un modelo que simula el crecimiento de un tumor sólido, necrótico, durante la fase avascular que generaliza a otro presentado por los autores en el XX CEDYA. Se muestran resultados numéricos bidimensionales que coinciden con los que aparecen en la literatura para este tipo de problemas. 1. Introducción Este trabajo tiene como objetivo la resolución de un problema de frontera libre que describe la evolución de un tumor sólido. Los problemas de este tipo presentan dos dificultades específicas importantes: por una parte, el hecho de que el dominio cambie a lo largo del tiempo implica la necesidad de ir modificando también su discretización y, por otra, la geometría de los dominios que aparecen suele ser bastante compleja. Para solventar la primera de las dificultades hemos empleado un método de dominios ficticios, que consiste básicamente en extender el problema a un dominio geométricamente más simple y fijo. A su vez, esto proporciona dos ventajas desde el punto de vista computacional: el dominio extendido puede considerarse independiente del tiempo, lo que 1
2 C. Calzada, G. Camacho, E. Fernández-Cara, M. Marín nos permite utilizar un mallado fijo; en segundo lugar, se pueden utilizar mallados más regulares y aplicar métodos rápidos de resolución. La recuperación de la geometría del dominio que, como hemos dicho puede adoptar formas irregulares e incluso no conexas, se realiza utilizando técnicas de conjuntos de nivel. Aplicamos estos métodos a la resolución de un modelo de frontera libre propuesto en [7], que simula el crecimiento de un tumor sólido (carcinoma) durante la fase avascular. 2. Métodos de resolución Como veremos más adelante, necesitaremos resolver una serie de problemas de Dirichlet en un dominio ω = ω(t) R d (d 1) que varía con el tiempo t [0, T ]. En cada uno de ellos, debemos encontrar la única función u H 1 (ω) que verifica { αu β u = f en ω u = g sobre γ = ω (1) donde f H 1 (ω), g H 1/2 (γ), α 0 y β > 0. Una vez resuelto (1), será necesario actualizar ω, de modo que podamos resolver uno o varios problemas análogos en el siguiente instante de tiempo Método de dominios ficticios Para resolver (1) sin tener que cambiar la discretización del dominio ω(t) a lo largo del tiempo, se ha utilizado un método de dominios ficticios con multiplicadores de Lagrange distribuidos en volumen (ver [5]). Para ello, se considera un dominio regular fijo Ω (un rectángulo en 2D o un paralelepípedo en 3D) lo suficientemente grande para que todos los ω(t) queden incluidos en Ω y se sustituye el problema (1) por un problema variacional equivalente. Denotamos ω c = (Ω\ ω), Γ = Ω y suponemos definidas g H 1 (ω c ) y f L 2 (Ω), tales que g Γ = 0, g γ = g y f ω = f. Pongamos V 0 = { v H 1 0 (Ω) : v = 0 en ωc} y V g = { v H 1 0 (Ω) : v = g en ωc}. Entonces el problema (1) es equivalente a encontrar ũ V g tal que (αũv + β ũ v)dx = fvdx v V 0, (2) Ω en el sentido de que la solución u de (1) es la restricción a ω de la solución ũ de (2). A continuación, la relación ũ = g en ω c se impone indirectamente, a través de un multiplicador de Lagrange λ Λ, donde Λ es el espacio de Hilbert Λ = {v H 1 (ω c ) : v Γ = 0}, dotado del producto escalar s(µ, µ ) = α µµ dx + β ω c µ µ dx ω c µ, µ Λ. (3) De esta forma, se sustituye la resolución de (2) por la búsqueda de un punto de silla del Lagrangiano L : H0 1 (Ω) Λ R, dado por L(v, µ) = 1 ( αv 2 + β v 2) dx fvdx + s(µ, v ω c g). (4) 2 Ω 2 Ω Ω
3 Dominios ficticios. Crecimiento tumoral Este punto de silla se aproxima utilizando un método de Uzawa con paso óptimo, que resulta ser muy efectivo. Para la discretización espacial se han utilizado elementos finitos P 2 -Lagrange Método de conjuntos de nivel El otro problema a resolver tiene que ver con la actualización del dominio ω(t). Aceptemos que la velocidad de avance de la frontera γ(t) es conocida. Emplearemos entonces la técnica de conjuntos de nivel [8]. Todo se basa en definir una función escalar ψ = ψ(x, t) (la función de nivel), de tal manera que su valor en cada punto x Ω y en cada instante t indica si se está dentro o fuera del dominio ω(t): ψ(x, t) < 0 si x ω(t) = 0 si x γ(t) 0 si x / ω(t) La frontera γ(t) viene dada, por tanto, como el conjunto de nivel cero de ψ. Debido a su definición, ψ satisface en Ω (0, T ) la ecuación de transporte (5) ψ t + V n ψ = 0, (6) donde V n es la velocidad de la frontera γ(t) en la dirección normal, extendida a todo Ω. Como valor inicial ψ t=0 se suele tomar la función distancia con signo a la frontera γ(0). La ecuación (6) es una ecuación de Hamilton-Jacobi, y se ha resuelto utilizando diferencias finitas. Primero, la derivada espacial se calcula mediante un método WENO de quinto orden. La ecuación semidiscreta resultante, se resuelve usando un método explícito de Runge-Kutta (TVD-RK) de tercer orden [9]. Se ha respetado la condición CFL t < h 4 máx Ω V n, (7) siendo h el paso de discretización espacial. En cada etapa temporal se ha reinicializado la función de nivel obtenida a una función distancia con signo; ver [11]. El uso previo del método de dominios ficticios nos permite trabajar con un mallado cartesiano fijo. Así, es posible combinar los elementos finitos para la resolución de los problemas de Dirichlet con diferencias finitas para la ecuación de conjuntos de nivel. Cuando ha sido necesario, para la trasmisión de datos y resultados parciales, se ha utilizado interpolación bilineal. 3. Modelo de crecimiento del tumor Las técnicas descritas en la Sección anterior se han utilizado para resolver un modelo que simula el crecimiento de un tumor sólido avascular y necrótico [4]. En este caso, ω(t) es el dominio ocupado por el tumor en el instante t y γ(t) es la frontera que separa ω(t) del tejido sano ω S (t). Denotamos σ = σ(x, t) la concentración de nutrientes. En las zonas interiores al tumor, donde σ está por debajo de un cierto umbral N, las células mueren formándose un núcleo necrótico ω N (t) = {x : σ(x, t) < N} de frontera Σ N (t). 3
4 C. Calzada, G. Camacho, E. Fernández-Cara, M. Marín Donde σ(x, t) N, suponemos que las células están vivas y proliferan (no hay células quiescentes), con lo cual hay una ganancia de masa que produce una presión p = p(x, t) que hace que la frontera del tumor se mueva y su volumen crezca. La región del tumor compuesta por células vivas será denotada ω V (t). Por tanto, ω(t) = ω V (t) ω N (t) Σ N (t). El tumor se modela como un fluido incompresible. Para cada t, el correspondiente campo de velocidades u = u(x, t) verifica: γ T σ δ T en ω V (t) u = λ N en ω N (t) (8) 0 en el resto donde el término γ T σ (γ T > 0) se debe a la proliferación (mitosis) de las células tumorales, δ T > 0 determina la muerte (apoptosis) de las mismas y λ N es la velocidad de desintegración de los desechos celulares. Por simplicidad, supondremos que el flujo de células através de Σ N (t) es nulo. El campo de velocidades en ω(t) está relacionado con el gradiente de la presión por la ley de Darcy u = w T p, (9) siendo w T > 0 el coeficiente de movilidad de las células tumorales (que suponemos constante). Combinando las ecuaciones (8) y (9), se consiguen expresiones de p en las distintas zonas. Se supone que la concentración de nutrientes sobre la frontera del tumor coincide con la de los tejidos que lo rodean, que consideraremos uniforme: σ = σ γ(t) sobre γ(t). (10) La presión sobre la frontera satisface la relación de Young-Laplace: p = aκ sobre γ(t), (11) donde a es la tensión superficial (correspondiente a las fuerzas de adherencia célula-célula) y κ es la curvatura local de γ(t). La velocidad normal con la que se mueve la frontera del tumor viene dada por V n = u n = w T p n sobre γ(t), (12) siendo n el vector normal unitario exterior a γ(t). Una vez adimensionalizadas las ecuaciones (ver [6]), llegamos al siguiente problema a resolver: σ σ = 0 en ω(t) (13) σ = 1 sobre γ(t) (14) p = G(σ A) en ω V (t) (15) p = G G N en ω N (t) (16) p n = 0 sobre Σ N(t) (17) p = κ sobre γ(t) (18) p n = V n sobre γ(t) (19) 4
5 Dominios ficticios. Crecimiento tumoral para t (0, T ). Por simplicidad, hemos denotado las nuevas variables adimensionalizadas y los nuevos dominios de la misma forma que los antiguos. Por supuesto, ω V (t) y ω N (t) están determinados por σ(, t) y por N. Los parámetros adimensionales que aparecen son: A = λ A λ M, G = λ M λ R y G N = λ N λ M, (20) siendo λ A y λ M las velocidades de apoptosis y de mitosis respectivamente y siendo λ R un parámetro relacionado con la escala temporal. De esta manera, la formulación utilizada permite describir varios grados de vascularización del tumor: baja vascularización (G 0, A > 0), donde domina la difusión como ocurre en experimentos in vitro; vascularización moderada (G 0, A 0) y alta vascularización (G < 0, A < 0 ó A > 0), que corresponden a regímenes observados en experimentos in vivo. También se puede simular la administración de quimioterapia aumentando los valores de A que, eventualmente, podrían depender de t; para más detalles, ver [4]. 4. Resolución numérica Para la resolución de (13) (19) se ha utilizado un esquema que permite desacoplar las diferentes incógnitas en cada etapa de tiempo. Se divide el intervalo temporal [0, T ] en M subintervalos de amplitud k y se parte del dominio inicial ω 0 = ω(0) y de la frontera γ 0 = ω 0. Supuesto conocido el dominio ω m en un instante t m = mk con m 0, se calculan sucesivamente σ m (x) σ(x, mk), p m (x) p(x, mk) y ω m+1 como sigue: Nutrientes. Se resuelve el problema de Dirichlet σ m σ m = 0 en ω m, σ m = 1 sobre γ m. (21) Presión. Se resuelve el problema de Dirichlet p m = G(σ m A) en ω m V, p m = G G N en ω m N, p m = κ m sobre γ m, (22) donde κ m es la curvatura de γ m. Nuevo dominio. Se calcula la velocidad normal V m n en el instante mk: V m n = p m n. (23) Con ella se obtiene el nuevo dominio ω m+1, se hace m = m+1 y se repite el proceso. 5. Simulaciones numéricas Se han realizado varias simulaciones del crecimiento de un tumor modelado por las ecuaciones (13) (19). El comportamiento observado coincide con el descrito en [6] y [4]. En todos los casos se ha tomado como dominio ficticio Ω = [ 6, 6] [ 6, 6]. 5
6 C. Calzada, G. Camacho, E. Fernández-Cara, M. Marín En primer lugar, se ha considerado como frontera inicial del tumor una circunferencia perturbada de ecuaciones paramétricas: (x(α), y(α)) = (2, 1 + 0,5 cos(2α)) (cos(α), sen(α)), α [0, 2π]. (24) En la figura 1 se muestra la evolución del tumor cuando G = 20 y A = 0,5, lo que corresponde a un régimen de baja vascularización, sin considerar núcleo necrótico (N = 0). Se han tomado h = 0,2 y el paso de tiempo verificando la condición CFL (7). Figura 1: Evolución del tumor en régimen de baja vascularización. En la figura 2 se muestran la concentración de nutrientes y la presión dentro del tumor en el instante t = 3,6. Figura 2: Concentración de nutrientes (izquierda) y presión (derecha). Consideramos ahora la evolución de un tumor en un régimen de alta vascularización. Su forma inicial viene dada, para α [0, 2π], por (x(α), y(α)) = (2 + 0,24 cos(2α) + 0,2 sen(2α) +0,12 cos(3α) + 0,1 sen(3α)) (cos(α), sen(α)), α [0, 2π]. En la parte izquierda de la figura 3, se muestra la evolución cuando G = 5, A = 0,8 y N = 0. En este caso, la velocidad de la mitosis es mayor que la de la apoptosis y por tanto se da un crecimiento ilimitado, tendiendo el tumor a expandirse en forma circular. En la parte derecha de la figura se muestra el caso contrario, esto es, aquél en que la velocidad de apoptosis es mayor que la de mitosis por lo que el tumor se va reduciendo a lo largo del 6
7 Dominios ficticios. Crecimiento tumoral Figura 3: Evolución del tumor en régimen de alta vascularización. tiempo y tiende también a adoptar una forma circular. Este último caso se obtiene para G = 5, A = 0,2 y N = 0. En la figura 4, se presenta la evolución de un tumor asimétrico en diferentes situaciones: (x(α), y(α)) = (2 + 0,24 cos(2α) + 0,2 sen(2α) + 0,12 cos(3α) + 0,1 sen(3α)+ 0,08 cos(5α) + 0,14 sen(6α)) + (cos(α), sen(α)), α [0, 2π]. Figura 4: Evolución de un tumor asimétrico. Por último, en la figura 5 representamos el crecimiento de un tumor con núcleo necrótico. Se ha tomado A = 0, G = 20, G N = 10, N = 0,35 y el tiempo final T = 1. La forma inicial del tumor viene dada por (24). Agradecimientos Este trabajo ha sido financiado por los proyectos EXC/2005/FQM-520 de la Junta de Andalucía y MTM del Ministerio de Educación y Ciencia. 7
8 C. Calzada, G. Camacho, E. Fernández-Cara, M. Marín Figura 5: Tumor con núcleo necrótico (zona negra). Referencias [1] Barth, T.J., Sethian, J.A., Implementation of Hamilton-Jacobi and Level-Set Equations on Triangulated Domains, von Karman Institute Lectures Series, Computational Fluid Mechanics (1998). [2] Barth, T.J., Sethian, J.A., Numerical Schemes for the Hamilton-Jacobi and Level-Set Equations on Triangulated Domains, J. Comp. Phys., 145(1), 1 40 (1998). [3] Calzada, C., Camacho, G., Fernández-Cara, E., Marín, M., Resolución numérica de un modelo de frontera libre para el crecimiento tumoral, CEDYA 07 (2007). [4] Cristini V., Lowengrub J., Nie Q. Nonlinear simulation of tumor growth, J. Math. Biol 46, (2003). [5] Glowinski, R, Numerical methods for fluids (Part 3), Handbook of Numerical Analysis, Vol. IX Ed. North-Holland, Amsterdam (2003). [6] Hogea, C.S., Murray, B.T., Sethian, J.A., Implementation of the level set method for continuum mechanics based tumor growth models, FDMP 1(2), (2005). [7] Macklin, P., Lowengrub, J., Sethian, J.A., Nonlinear simulation of the effect of microenviroment on tumos growth, Journal of Theorical Biology 245, (2007). [8] Osher, S., Sethian, J.A., Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulation, J. Comp. Phys. 79, (1988). [9] Osher, S., Fedkiw, R., Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces, Springer Verlag, New York(2002). [10] Sethian, J.A. Level set methods and fast marching methods. Evolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science. Second edition. Cambridge University Press, Cambridge, (1999). [11] M. Sussman, P. Smereka, S. Osher, A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow, J. Comput. Phys. 114 (1994),
Resolución numérica de un modelo de frontera libre para el crecimiento tumoral
XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matemática Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1 8) Resolución numérica de un modelo de frontera libre para el crecimiento
Más detallesCÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1
CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!
Más detallesCAPITULO 4 JUSTIFICACION DEL ESTUDIO. En este capítulo se presenta la justificación del estudio, supuestos y limitaciones de
CAPITULO 4 JUSTIFICACION DEL ESTUDIO En este capítulo se presenta la justificación del estudio, supuestos y limitaciones de estudios previos y los alcances que justifican el presente estudio. 4.1. Justificación.
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos
Más detallesMétodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Interpolación Palmas de G.C. de funciones 1 / 42II
Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones II Luis Alvarez León Univ. de Las Palmas de G.C. Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las
Más detallesFunciones de varias variables
Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial
Más detallesx 10000 y 8000 x + y 15000 a) La región factible asociada a las restricciones anteriores es la siguiente: Pedro Castro Ortega lasmatematicas.
Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Septiembre 2012 - Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos
Más detallesTema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción
Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por
Más detalles33 El interés compuesto y la amortización de préstamos.
33 El interés compuesto y la amortización de préstamos. 33.0 El interés compuesto. 33.0.0 Concepto. 33.0.02 Valor actualizado de un capital. 33.0.03 Tiempo equivalente. 33.02 Amortización de préstamos.
Más detallesAnálisis de medidas conjuntas (conjoint analysis)
Análisis de medidas conuntas (conoint analysis). Introducción Como ya hemos dicho anteriormente, esta técnica de análisis nos sirve para analizar la importancia que dan los consumidores a cada uno de los
Más detallesa < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,
Más detalles39ª Reunión Anual de la SNE Reus (Tarragona) España, 25-27 septiembre 2013
Análisis del comportamiento del flujo de refrigerante a través del cabezal inferior y el impacto de la supresión de los taladros en el faldón lateral del MAEF-2012 con el código CFD STAR-CCM+. Introducción:
Más detallesIntegrales y ejemplos de aplicación
Integrales y ejemplos de aplicación I. PROPÓSITO DE ESTOS APUNTES Estas notas tienen como finalidad darle al lector una breve introducción a la noción de integral. De ninguna manera se pretende seguir
Más detallesTema 3. Medidas de tendencia central. 3.1. Introducción. Contenido
Tema 3 Medidas de tendencia central Contenido 31 Introducción 1 32 Media aritmética 2 33 Media ponderada 3 34 Media geométrica 4 35 Mediana 5 351 Cálculo de la mediana para datos agrupados 5 36 Moda 6
Más detallesSelectividad Septiembre 2006 SEPTIEMBRE 2006
Bloque A SEPTIEMBRE 2006 1.- En una fábrica trabajan 22 personas entre electricistas, administrativos y directivos. El doble del número de administrativos más el triple del número de directivos, es igual
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables
Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver
Más detallesTEMA 7: Análisis de la Capacidad del Proceso
TEMA 7: Análisis de la Capacidad del Proceso 1 Introducción Índices de capacidad 3 Herramientas estadísticas para el análisis de la capacidad 4 Límites de tolerancia naturales 1 Introducción La capacidad
Más detallesSISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL
SISTEMAS DE COORDENADAS En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos, estereotiparlos, etc.,
Más detallesUnidad III: Programación no lineal
Unidad III: Programación no lineal 3.1 Conceptos básicos de problemas de programación no lineal Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas
Más detallesDefinición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una
Más detallesPruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León
Pruebas de cceso a las Universidades de Castilla y León MTEMÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES EJERCICIO Nº páginas 2 Tablas OPTTIVIDD: EL LUMNO DEBERÁ ESCOGER UN DE LS DOS OPCIONES Y DESRROLLR LS PREGUNTS
Más detalles1. Ecuaciones no lineales
1. Ecuaciones no lineales 1.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 Dada la ecuación xe x 1 = 0, se pide: a) Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas. b) Aplicar el método de la bisección y acotar
Más detallesE 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4
Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),
Más detalles1. Derivadas parciales
Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para
Más detalles1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Más detallesMovimiento a través de una. José San Martín
Movimiento a través de una curva José San Martín 1. Introducción Una vez definida la curva sobre la cual queremos movernos, el siguiente paso es definir ese movimiento. Este movimiento se realiza mediante
Más detallesSelectividad Junio 2008 JUNIO 2008 PRUEBA A
Selectividad Junio 008 JUNIO 008 PRUEBA A 3 a x + a y =.- Sea el sistema: x + a y = 0 a) En función del número de soluciones, clasifica el sistema para los distintos valores del parámetro a. b) Resuélvelo
Más detalles(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six
Más detallesGeneración de números aleatorios
Generación de números aleatorios Marcos García González (h[e]rtz) Verano 2004 Documento facilitado por la realización de la asignatura Métodos informáticos de la física de segundo curso en la universidad
Más detallesC 4 C 3 C 1. V n dσ = C i. i=1
apítulo 2 Divergencia y flujo Sea V = V 1 i + V 2 j + V 3 k = (V 1, V 2, V 3 ) un campo vectorial en el espacio, por ejemplo el campo de velocidades de un fluido en un cierto instante de tiempo, en un
Más detallesCap. 24 La Ley de Gauss
Cap. 24 La Ley de Gauss Una misma ley física enunciada desde diferentes puntos de vista Coulomb Gauss Son equivalentes Pero ambas tienen situaciones para las cuales son superiores que la otra Aquí hay
Más detalles1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad
Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele
Más detallesTEMA 8: SISTEMA DE COSTES POR PROCESOS. INDICE. 1.- Caracteristicas generales de los sistemas de costes por procesos.
Costes y Sistemas de Costes. Profesor: Jose Ignacio González Gómez. Página 1 de 6 TEMA 8: SISTEMA DE COSTES POR PROCESOS. INDICE 1.- CARACTERISTICAS GENERALES DE LOS SIS TEMAS DE COSTES POR PROCESOS...1
Más detalles- MANUAL DE USUARIO -
- MANUAL DE USUARIO - Aplicación: Kz Precio Hora Instagi Instagi Teléfono: 943424465-943466874 Email: instagi@instagi.com GUIA PROGRAMA CALCULO PRECIO HORA 1. Introducción 2. Datos de la empresa 2.1.Gastos
Más detallesPruebas de acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Pruebas de acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJECICIO Nº Páginas OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBEÁ ESCOGE UNA DE LAS DOS OPCIONES
Más detallesCálculo de las Acciones Motoras en Mecánica Analítica
Cálculo de las Acciones Motoras en Mecánica Analítica 1. Planteamiento general El diseño típico de la motorización de un sistema mecánico S es el que se muestra en la figura 1. Su posición viene definida
Más detallesEjemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}
Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar
Más detallesCAPÍTULO 3. ALGORITMOS DE PREVISIÓN BASADOS EN LA EXTRAPOLACIÓN DE LOS DATOS MÁS RECIENTES
CAPÍTULO 3. ALGORITMOS DE PREVISIÓN BASADOS EN LA EXTRAPOLACIÓN DE LOS DATOS MÁS RECIENTES El objetivo de esta tesina es la introducción de mejoras en la previsión meteorológica a corto plazo. El punto
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesControl de EDPs orientado a la terapia de un tumor cerebral
XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matemática Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 27 (pp. 1 9) Control de EDPs orientado a la terapia de un tumor cerebral R. Echevarría,
Más detalles1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Lo importante en una tendencia central es calcular un valor central que actúe como resumen numérico para representar al conjunto de datos. Estos valores son las medidas
Más detallesTema 3: Producto escalar
Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que verifica
Más detallesVectores: Producto escalar y vectorial
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro
Más detallesTema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor
Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo
Más detallesMCBtec Mas información en
MCBtec Mas información en www.mcbtec.com INTRODUCCIÓN A LA SIMULACION POR ORDENADOR Indice: Objetivo de este texto. Simulación por ordenador. Dinámica y simulación. Ejemplo disparo de un proyectil. Ejemplo
Más detallesApp para realizar consultas al Sistema de Información Estadística de Castilla y León
App para realizar consultas al Sistema de Información Estadística de Castilla y León Jesús M. Rodríguez Rodríguez rodrodje@jcyl.es Dirección General de Presupuestos y Estadística Consejería de Hacienda
Más detallesSISTEMAS INTELIGENTES
SISTEMAS INTELIGENTES T11: Métodos Kernel: Máquinas de vectores soporte {jdiez, juanjo} @ aic.uniovi.es Índice Funciones y métodos kernel Concepto: representación de datos Características y ventajas Funciones
Más detallesBREVE MANUAL DE SOLVER
BREVE MANUAL DE SOLVER PROFESOR: DAVID LAHOZ ARNEDO PROGRAMACIÓN LINEAL Definición: Un problema se define de programación lineal si se busca calcular el máximo o el mínimo de una función lineal, la relación
Más detallesANALISIS TECNICO I. Análisis Técnico
BURSALIA GESTIÓN ANALISIS TECNICO I Análisis Técnico El análisis técnico se basa en el estudio de la evolución de los mercados a partir de la cotización y de su representación gráfica. La representación
Más detalles1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. En el análisis de los problemas de la ciencia y de la técnica, las cantidades
Más detallesTema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales
Estadística 38 Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales El concepto de variable aleatoria surge de la necesidad de hacer más manejables matemáticamente los resultados de los experimentos
Más detallesDETERMINACIÓN DEL VOLUMEN DE PEDIDO.
Lote económico de compra o Lote Optimo DETERMINACIÓN DEL VOLUMEN DE PEDIDO. Concepto que vemos en casi todos libros de aprovisionamiento, habitualmente la decisión de la cantidad a reaprovisionar en las
Más detallesBASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Más detallesUniversidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.
Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).
Más detallesUn filtro general de respuesta al impulso finita con n etapas, cada una con un retardo independiente d i y ganancia a i.
Filtros Digitales Un filtro general de respuesta al impulso finita con n etapas, cada una con un retardo independiente d i y ganancia a i. En electrónica, ciencias computacionales y matemáticas, un filtro
Más detallesNo hay resorte que oscile cien años...
No hay resorte que oscile cien años... María Paula Coluccio y Patricia Picardo Laboratorio I de Física para Biólogos y Geólogos Depto. de Física, FCEyN, UBA - 1999 Resumen: En el presente trabajo nos proponemos
Más detallesMétodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 4: Resolución aproximada de EDO s
Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 4: Resolución aproximada de EDO s Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Marzo 2008, versión
Más detallesEspacios vectoriales. Bases. Coordenadas
Capítulo 5 Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas OPERACIONES ENR n Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares ordenados (a,b) tales que a A y b B. Cuando consideramos
Más detalles4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6
Más detallesTIPO DE CAMBIO, TIPOS DE INTERES Y MOVIMIENTOS DE CAPITAL
TIPO DE CAMBIO, TIPOS DE INTERES Y MOVIMIENTOS DE CAPITAL En esta breve nota se intentan analizar las relaciones existentes en el sector español entre tipo de cambio, tasa de inflación y tipos de interés,
Más detallesProblemas de Cinemática 1 o Bachillerato
Problemas de Cinemática 1 o Bachillerato 1. Sean los vectores a = i y b = i 5 j. Demostrar que a + b = a + b a b cos ϕ donde ϕ es el ángulo que forma el vector b con el eje X.. Una barca, que lleva una
Más detallesAproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación
Más detalles2) Se ha considerado únicamente la mano de obra, teniéndose en cuenta las horas utilizadas en cada actividad por unidad de página.
APLICACIÓN AL PROCESO PRODUCTIVO DE LA EMPRESA "F. G. / DISEÑO GRÁFICO". AÑO 2004 Rescala, Carmen Según lo explicado en el Informe del presente trabajo, la variación en la producción de páginas web de
Más detalles5.24. ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS OSCILATORIOS
5.4. ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS OSCILATORIOS El estudio de los movimientos oscilatorios siempre ha sido motivo de conflicto, sobre todo para los alumnos. Cuál es ese conflicto? En los cursos de Mecánica,
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS
EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene: a) el centro en el punto (, 5) y el radio es igual a 7. b) un diámetro con extremos los puntos (8, -) y (, 6). a) La
Más detallesÁlgebra Lineal Ma1010
Álgebra Lineal Ma1010 Mínimos Cuadrados Departamento de Matemáticas ITESM Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 1/34 En esta sección veremos cómo se trabaja un sistema inconsistente. Esta situación es
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Ejercicio Dada la matriz A = 0 2 0 a) Escribir explícitamente la aplicación lineal f : 2 cuya matriz asociada con respecto a las bases canónicas es A. En primer lugar definimos las
Más detallesEjemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)
Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es
Más detallesLecturas previas Cuando llegue a su primera sesión de laboratorio debe haber estudiado el contenido de la lectura que aparece a continuación.
Laboratorio 1 Medición e incertidumbre La descripción de los fenómenos naturales comienza con la observación; el siguiente paso consiste en asignar a cada cantidad observada un número, es decir en medir
Más detallesElectrotecnia General Tema 8 TEMA 8 CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE O UNA CARGA MÓVIL
TEMA 8 CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE O UNA CARGA MÓVIL 8.1. CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN ELEMENTO DE CORRIENTE Una carga eléctrica en movimiento crea, en el espacio que la rodea, un campo magnético.
Más detallesPRUEBAS DE SOFTWARE TECNICAS DE PRUEBA DE SOFTWARE
PRUEBAS DE SOFTWARE La prueba del software es un elemento crítico para la garantía de la calidad del software. El objetivo de la etapa de pruebas es garantizar la calidad del producto desarrollado. Además,
Más detallesESTIMACIÓN. puntual y por intervalo
ESTIMACIÓN puntual y por intervalo ( ) Podemos conocer el comportamiento del ser humano? Podemos usar la información contenida en la muestra para tratar de adivinar algún aspecto de la población bajo estudio
Más detallesUna serie temporal o cronológica es en una sucesión de valores que adopta una variable (Y):
INTRODUCCIÓN Nos vamos a ocupar ahora de estudiar un fenómeno desde la perspectiva temporal, observando su evolución a través del tiempo, lo que se denomina investigación diacrónica o longitudinal, en
Más detalles2. SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN (I)
2. SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN (I) 2.1 INTRODUCCIÓN DOMINIO TIEMPO Un sistema lineal de primer orden con una variable de entrada, " x ( ", y una variable salida, " y( " se modela matemáticamente
Más detalles35 Facultad de Ciencias Universidad de Los Andes Mérida-Venezuela. Potencial Eléctrico
q 1 q 2 Prof. Félix Aguirre 35 Energía Electrostática Potencial Eléctrico La interacción electrostática es representada muy bien a través de la ley de Coulomb, esto es: mediante fuerzas. Existen, sin embargo,
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica. Boletin 6. Funciones de Varias Variables EJERCICIOS RESUELTOS Curso 003-004 1. En cada apartado, calcular
Más detallesCalculadora ClassPad
Calculadora ClassPad Tema: Ejercicios varios sobre Análisis de funciones y optimización. Nivel: 1º y º de Bachiller Comentario: La siguiente actividad que propongo es para la evaluación de los conceptos
Más detalles4 Pruebas y análisis del software
4 Pruebas y análisis del software En este capítulo se presentan una serie de simulaciones donde se analiza el desempeño de ambos sistemas programados en cuanto a exactitud con otros softwares que se encuentran
Más detallesEstructuras algebraicas
Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota
Más detalles1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(
Más detallesTeorema de Green. 6.1. Curvas de Jordan
Lección 6 Teorema de Green En la lección anterior, previa caracterización de los campos conservativos, hemos visto que un campo irrotacional puede no ser conservativo. Tenemos por tanto una condición fácil
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente
Más detallesTema 2 Límites de Funciones
Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos
Más detallesEjemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =
T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente
Más detalles(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3)
Problema 1. Hallar t R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores u = (1, 2, 3) y v = (1, 3, 1). Solución del problema 1. x L{ u, v} si, y sólo si, existen α,
Más detallesEl problema del cumpleaños
El problema del cumpleaños Vicent Giner i Bosch 26 de febrero de 2004 Dedicado a mis alumnos de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería del Diseño de la Universidad Politécnica de Valencia, en quienes
Más detallesTema 3. Espacios vectoriales
Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición
Más detallesSOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).
SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el
Más detallesPruebas de. Hipótesis
Pruebas de ipótesis Pruebas de ipótesis Otra manera de hacer inferencia es haciendo una afirmación acerca del valor que el parámetro de la población bajo estudio puede tomar. Esta afirmación puede estar
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesPROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta
PROBLEMAS MÉTRICOS Página 3 REFLEXIONA Y RESUELVE Diagonal de un ortoedro Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes: I) a =, b =, c = II) a = 4, b =, c = 3 III) a =, b = 4,
Más detallesCAPITULO 4. Inversores para control de velocidad de motores de
CAPITULO 4. Inversores para control de velocidad de motores de inducción mediante relación v/f. 4.1 Introducción. La frecuencia de salida de un inversor estático está determinada por la velocidad de conmutación
Más detallesHERRAMIENTAS DE EXCEL PARA EL ANALISIS Y VALORACION DE PROYECTOS DE INVERSION (I)
Revista de Dirección y Administración de Empresas. Número 10, diciembre 2002 págs. 59-76 Enpresen Zuzendaritza eta Administraziorako Aldizkaria. 10. zenbakia, 2002 abendua 59-76 orr. HERRAMIENTAS DE EXCEL
Más detallesFUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.
FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. 1 Introducción Una de las primeras necesidades que surgen en las Ciencias Experimentales es la de poder expresar los valores
Más detalles2.2 Transformada de Laplace y Transformada. 2.2.1 Definiciones. 2.2.1.1 Transformada de Laplace
2.2 Transformada de Laplace y Transformada 2.2.1 Definiciones 2.2.1.1 Transformada de Laplace Dada una función de los reales en los reales, Existe una función denominada Transformada de Laplace que toma
Más detallesInstrumentación y Ley de OHM
Instrumentación y Ley de OHM A) INSTRUMENTACIÓN 1. OBJETIVOS. 1. Conocer el manejo de instrumentos y materiales de uso corriente en los experimentos de electricidad y magnetismo. 2. Conocer el área de
Más detallesApoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores
Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación
Más detallesH E R R A M I E N T A S D E A N Á L I S I S D E D A T O S HERRAMIENTAS DE ANÁLISIS DE DATOS
H E R R A M I E N T A S D E A N Á L I S I S D E D A T O S HERRAMIENTAS DE ANÁLISIS DE DATOS Una situación que se nos plantea algunas veces es la de resolver un problema hacia atrás, esto es, encontrar
Más detalles