Dominios ficticios y conjuntos de nivel para problemas de frontera libre. Aplicación al crecimiento tumoral

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Dominios ficticios y conjuntos de nivel para problemas de frontera libre. Aplicación al crecimiento tumoral"

Transcripción

1 XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, septiembre 2009 (pp. 1 8) Dominios ficticios y conjuntos de nivel para problemas de frontera libre. Aplicación al crecimiento tumoral Carmen Calzada 1, Gema Camacho 2, Enrique Fernández-Cara 2, Mercedes Marín 1 1 Dpto. de Informática y Análisis Numérico, Univ. de Córdoba, Campus de Rabanales, Ed. C2-3, E Córdoba Dpto. E.D.A.N., Univ. de Sevilla, Aptdo. 1160, E Sevilla. s: Palabras clave: Dominios ficticios, frontera libre, conjuntos de nivel, crecimiento tumoral Resumen En este trabajo presentamos un método numérico para resolver problemas de frontera libre que usa dominios ficticios y conjuntos de nivel. El método combina el uso de elementos finitos para resolver los problemas de dominios ficticios con las diferencias finitas empleadas para los conjuntos de nivel. Se ha aplicado a la resolución numérica de un modelo que simula el crecimiento de un tumor sólido, necrótico, durante la fase avascular que generaliza a otro presentado por los autores en el XX CEDYA. Se muestran resultados numéricos bidimensionales que coinciden con los que aparecen en la literatura para este tipo de problemas. 1. Introducción Este trabajo tiene como objetivo la resolución de un problema de frontera libre que describe la evolución de un tumor sólido. Los problemas de este tipo presentan dos dificultades específicas importantes: por una parte, el hecho de que el dominio cambie a lo largo del tiempo implica la necesidad de ir modificando también su discretización y, por otra, la geometría de los dominios que aparecen suele ser bastante compleja. Para solventar la primera de las dificultades hemos empleado un método de dominios ficticios, que consiste básicamente en extender el problema a un dominio geométricamente más simple y fijo. A su vez, esto proporciona dos ventajas desde el punto de vista computacional: el dominio extendido puede considerarse independiente del tiempo, lo que 1

2 C. Calzada, G. Camacho, E. Fernández-Cara, M. Marín nos permite utilizar un mallado fijo; en segundo lugar, se pueden utilizar mallados más regulares y aplicar métodos rápidos de resolución. La recuperación de la geometría del dominio que, como hemos dicho puede adoptar formas irregulares e incluso no conexas, se realiza utilizando técnicas de conjuntos de nivel. Aplicamos estos métodos a la resolución de un modelo de frontera libre propuesto en [7], que simula el crecimiento de un tumor sólido (carcinoma) durante la fase avascular. 2. Métodos de resolución Como veremos más adelante, necesitaremos resolver una serie de problemas de Dirichlet en un dominio ω = ω(t) R d (d 1) que varía con el tiempo t [0, T ]. En cada uno de ellos, debemos encontrar la única función u H 1 (ω) que verifica { αu β u = f en ω u = g sobre γ = ω (1) donde f H 1 (ω), g H 1/2 (γ), α 0 y β > 0. Una vez resuelto (1), será necesario actualizar ω, de modo que podamos resolver uno o varios problemas análogos en el siguiente instante de tiempo Método de dominios ficticios Para resolver (1) sin tener que cambiar la discretización del dominio ω(t) a lo largo del tiempo, se ha utilizado un método de dominios ficticios con multiplicadores de Lagrange distribuidos en volumen (ver [5]). Para ello, se considera un dominio regular fijo Ω (un rectángulo en 2D o un paralelepípedo en 3D) lo suficientemente grande para que todos los ω(t) queden incluidos en Ω y se sustituye el problema (1) por un problema variacional equivalente. Denotamos ω c = (Ω\ ω), Γ = Ω y suponemos definidas g H 1 (ω c ) y f L 2 (Ω), tales que g Γ = 0, g γ = g y f ω = f. Pongamos V 0 = { v H 1 0 (Ω) : v = 0 en ωc} y V g = { v H 1 0 (Ω) : v = g en ωc}. Entonces el problema (1) es equivalente a encontrar ũ V g tal que (αũv + β ũ v)dx = fvdx v V 0, (2) Ω en el sentido de que la solución u de (1) es la restricción a ω de la solución ũ de (2). A continuación, la relación ũ = g en ω c se impone indirectamente, a través de un multiplicador de Lagrange λ Λ, donde Λ es el espacio de Hilbert Λ = {v H 1 (ω c ) : v Γ = 0}, dotado del producto escalar s(µ, µ ) = α µµ dx + β ω c µ µ dx ω c µ, µ Λ. (3) De esta forma, se sustituye la resolución de (2) por la búsqueda de un punto de silla del Lagrangiano L : H0 1 (Ω) Λ R, dado por L(v, µ) = 1 ( αv 2 + β v 2) dx fvdx + s(µ, v ω c g). (4) 2 Ω 2 Ω Ω

3 Dominios ficticios. Crecimiento tumoral Este punto de silla se aproxima utilizando un método de Uzawa con paso óptimo, que resulta ser muy efectivo. Para la discretización espacial se han utilizado elementos finitos P 2 -Lagrange Método de conjuntos de nivel El otro problema a resolver tiene que ver con la actualización del dominio ω(t). Aceptemos que la velocidad de avance de la frontera γ(t) es conocida. Emplearemos entonces la técnica de conjuntos de nivel [8]. Todo se basa en definir una función escalar ψ = ψ(x, t) (la función de nivel), de tal manera que su valor en cada punto x Ω y en cada instante t indica si se está dentro o fuera del dominio ω(t): ψ(x, t) < 0 si x ω(t) = 0 si x γ(t) 0 si x / ω(t) La frontera γ(t) viene dada, por tanto, como el conjunto de nivel cero de ψ. Debido a su definición, ψ satisface en Ω (0, T ) la ecuación de transporte (5) ψ t + V n ψ = 0, (6) donde V n es la velocidad de la frontera γ(t) en la dirección normal, extendida a todo Ω. Como valor inicial ψ t=0 se suele tomar la función distancia con signo a la frontera γ(0). La ecuación (6) es una ecuación de Hamilton-Jacobi, y se ha resuelto utilizando diferencias finitas. Primero, la derivada espacial se calcula mediante un método WENO de quinto orden. La ecuación semidiscreta resultante, se resuelve usando un método explícito de Runge-Kutta (TVD-RK) de tercer orden [9]. Se ha respetado la condición CFL t < h 4 máx Ω V n, (7) siendo h el paso de discretización espacial. En cada etapa temporal se ha reinicializado la función de nivel obtenida a una función distancia con signo; ver [11]. El uso previo del método de dominios ficticios nos permite trabajar con un mallado cartesiano fijo. Así, es posible combinar los elementos finitos para la resolución de los problemas de Dirichlet con diferencias finitas para la ecuación de conjuntos de nivel. Cuando ha sido necesario, para la trasmisión de datos y resultados parciales, se ha utilizado interpolación bilineal. 3. Modelo de crecimiento del tumor Las técnicas descritas en la Sección anterior se han utilizado para resolver un modelo que simula el crecimiento de un tumor sólido avascular y necrótico [4]. En este caso, ω(t) es el dominio ocupado por el tumor en el instante t y γ(t) es la frontera que separa ω(t) del tejido sano ω S (t). Denotamos σ = σ(x, t) la concentración de nutrientes. En las zonas interiores al tumor, donde σ está por debajo de un cierto umbral N, las células mueren formándose un núcleo necrótico ω N (t) = {x : σ(x, t) < N} de frontera Σ N (t). 3

4 C. Calzada, G. Camacho, E. Fernández-Cara, M. Marín Donde σ(x, t) N, suponemos que las células están vivas y proliferan (no hay células quiescentes), con lo cual hay una ganancia de masa que produce una presión p = p(x, t) que hace que la frontera del tumor se mueva y su volumen crezca. La región del tumor compuesta por células vivas será denotada ω V (t). Por tanto, ω(t) = ω V (t) ω N (t) Σ N (t). El tumor se modela como un fluido incompresible. Para cada t, el correspondiente campo de velocidades u = u(x, t) verifica: γ T σ δ T en ω V (t) u = λ N en ω N (t) (8) 0 en el resto donde el término γ T σ (γ T > 0) se debe a la proliferación (mitosis) de las células tumorales, δ T > 0 determina la muerte (apoptosis) de las mismas y λ N es la velocidad de desintegración de los desechos celulares. Por simplicidad, supondremos que el flujo de células através de Σ N (t) es nulo. El campo de velocidades en ω(t) está relacionado con el gradiente de la presión por la ley de Darcy u = w T p, (9) siendo w T > 0 el coeficiente de movilidad de las células tumorales (que suponemos constante). Combinando las ecuaciones (8) y (9), se consiguen expresiones de p en las distintas zonas. Se supone que la concentración de nutrientes sobre la frontera del tumor coincide con la de los tejidos que lo rodean, que consideraremos uniforme: σ = σ γ(t) sobre γ(t). (10) La presión sobre la frontera satisface la relación de Young-Laplace: p = aκ sobre γ(t), (11) donde a es la tensión superficial (correspondiente a las fuerzas de adherencia célula-célula) y κ es la curvatura local de γ(t). La velocidad normal con la que se mueve la frontera del tumor viene dada por V n = u n = w T p n sobre γ(t), (12) siendo n el vector normal unitario exterior a γ(t). Una vez adimensionalizadas las ecuaciones (ver [6]), llegamos al siguiente problema a resolver: σ σ = 0 en ω(t) (13) σ = 1 sobre γ(t) (14) p = G(σ A) en ω V (t) (15) p = G G N en ω N (t) (16) p n = 0 sobre Σ N(t) (17) p = κ sobre γ(t) (18) p n = V n sobre γ(t) (19) 4

5 Dominios ficticios. Crecimiento tumoral para t (0, T ). Por simplicidad, hemos denotado las nuevas variables adimensionalizadas y los nuevos dominios de la misma forma que los antiguos. Por supuesto, ω V (t) y ω N (t) están determinados por σ(, t) y por N. Los parámetros adimensionales que aparecen son: A = λ A λ M, G = λ M λ R y G N = λ N λ M, (20) siendo λ A y λ M las velocidades de apoptosis y de mitosis respectivamente y siendo λ R un parámetro relacionado con la escala temporal. De esta manera, la formulación utilizada permite describir varios grados de vascularización del tumor: baja vascularización (G 0, A > 0), donde domina la difusión como ocurre en experimentos in vitro; vascularización moderada (G 0, A 0) y alta vascularización (G < 0, A < 0 ó A > 0), que corresponden a regímenes observados en experimentos in vivo. También se puede simular la administración de quimioterapia aumentando los valores de A que, eventualmente, podrían depender de t; para más detalles, ver [4]. 4. Resolución numérica Para la resolución de (13) (19) se ha utilizado un esquema que permite desacoplar las diferentes incógnitas en cada etapa de tiempo. Se divide el intervalo temporal [0, T ] en M subintervalos de amplitud k y se parte del dominio inicial ω 0 = ω(0) y de la frontera γ 0 = ω 0. Supuesto conocido el dominio ω m en un instante t m = mk con m 0, se calculan sucesivamente σ m (x) σ(x, mk), p m (x) p(x, mk) y ω m+1 como sigue: Nutrientes. Se resuelve el problema de Dirichlet σ m σ m = 0 en ω m, σ m = 1 sobre γ m. (21) Presión. Se resuelve el problema de Dirichlet p m = G(σ m A) en ω m V, p m = G G N en ω m N, p m = κ m sobre γ m, (22) donde κ m es la curvatura de γ m. Nuevo dominio. Se calcula la velocidad normal V m n en el instante mk: V m n = p m n. (23) Con ella se obtiene el nuevo dominio ω m+1, se hace m = m+1 y se repite el proceso. 5. Simulaciones numéricas Se han realizado varias simulaciones del crecimiento de un tumor modelado por las ecuaciones (13) (19). El comportamiento observado coincide con el descrito en [6] y [4]. En todos los casos se ha tomado como dominio ficticio Ω = [ 6, 6] [ 6, 6]. 5

6 C. Calzada, G. Camacho, E. Fernández-Cara, M. Marín En primer lugar, se ha considerado como frontera inicial del tumor una circunferencia perturbada de ecuaciones paramétricas: (x(α), y(α)) = (2, 1 + 0,5 cos(2α)) (cos(α), sen(α)), α [0, 2π]. (24) En la figura 1 se muestra la evolución del tumor cuando G = 20 y A = 0,5, lo que corresponde a un régimen de baja vascularización, sin considerar núcleo necrótico (N = 0). Se han tomado h = 0,2 y el paso de tiempo verificando la condición CFL (7). Figura 1: Evolución del tumor en régimen de baja vascularización. En la figura 2 se muestran la concentración de nutrientes y la presión dentro del tumor en el instante t = 3,6. Figura 2: Concentración de nutrientes (izquierda) y presión (derecha). Consideramos ahora la evolución de un tumor en un régimen de alta vascularización. Su forma inicial viene dada, para α [0, 2π], por (x(α), y(α)) = (2 + 0,24 cos(2α) + 0,2 sen(2α) +0,12 cos(3α) + 0,1 sen(3α)) (cos(α), sen(α)), α [0, 2π]. En la parte izquierda de la figura 3, se muestra la evolución cuando G = 5, A = 0,8 y N = 0. En este caso, la velocidad de la mitosis es mayor que la de la apoptosis y por tanto se da un crecimiento ilimitado, tendiendo el tumor a expandirse en forma circular. En la parte derecha de la figura se muestra el caso contrario, esto es, aquél en que la velocidad de apoptosis es mayor que la de mitosis por lo que el tumor se va reduciendo a lo largo del 6

7 Dominios ficticios. Crecimiento tumoral Figura 3: Evolución del tumor en régimen de alta vascularización. tiempo y tiende también a adoptar una forma circular. Este último caso se obtiene para G = 5, A = 0,2 y N = 0. En la figura 4, se presenta la evolución de un tumor asimétrico en diferentes situaciones: (x(α), y(α)) = (2 + 0,24 cos(2α) + 0,2 sen(2α) + 0,12 cos(3α) + 0,1 sen(3α)+ 0,08 cos(5α) + 0,14 sen(6α)) + (cos(α), sen(α)), α [0, 2π]. Figura 4: Evolución de un tumor asimétrico. Por último, en la figura 5 representamos el crecimiento de un tumor con núcleo necrótico. Se ha tomado A = 0, G = 20, G N = 10, N = 0,35 y el tiempo final T = 1. La forma inicial del tumor viene dada por (24). Agradecimientos Este trabajo ha sido financiado por los proyectos EXC/2005/FQM-520 de la Junta de Andalucía y MTM del Ministerio de Educación y Ciencia. 7

8 C. Calzada, G. Camacho, E. Fernández-Cara, M. Marín Figura 5: Tumor con núcleo necrótico (zona negra). Referencias [1] Barth, T.J., Sethian, J.A., Implementation of Hamilton-Jacobi and Level-Set Equations on Triangulated Domains, von Karman Institute Lectures Series, Computational Fluid Mechanics (1998). [2] Barth, T.J., Sethian, J.A., Numerical Schemes for the Hamilton-Jacobi and Level-Set Equations on Triangulated Domains, J. Comp. Phys., 145(1), 1 40 (1998). [3] Calzada, C., Camacho, G., Fernández-Cara, E., Marín, M., Resolución numérica de un modelo de frontera libre para el crecimiento tumoral, CEDYA 07 (2007). [4] Cristini V., Lowengrub J., Nie Q. Nonlinear simulation of tumor growth, J. Math. Biol 46, (2003). [5] Glowinski, R, Numerical methods for fluids (Part 3), Handbook of Numerical Analysis, Vol. IX Ed. North-Holland, Amsterdam (2003). [6] Hogea, C.S., Murray, B.T., Sethian, J.A., Implementation of the level set method for continuum mechanics based tumor growth models, FDMP 1(2), (2005). [7] Macklin, P., Lowengrub, J., Sethian, J.A., Nonlinear simulation of the effect of microenviroment on tumos growth, Journal of Theorical Biology 245, (2007). [8] Osher, S., Sethian, J.A., Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulation, J. Comp. Phys. 79, (1988). [9] Osher, S., Fedkiw, R., Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces, Springer Verlag, New York(2002). [10] Sethian, J.A. Level set methods and fast marching methods. Evolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science. Second edition. Cambridge University Press, Cambridge, (1999). [11] M. Sussman, P. Smereka, S. Osher, A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow, J. Comput. Phys. 114 (1994),

Resolución numérica de un modelo de frontera libre para el crecimiento tumoral

Resolución numérica de un modelo de frontera libre para el crecimiento tumoral XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matemática Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1 8) Resolución numérica de un modelo de frontera libre para el crecimiento

Más detalles

Control de EDPs orientado a la terapia de un tumor cerebral

Control de EDPs orientado a la terapia de un tumor cerebral XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matemática Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 27 (pp. 1 9) Control de EDPs orientado a la terapia de un tumor cerebral R. Echevarría,

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

MODELO DE CONTAMINACIÓN DEL AIRE

MODELO DE CONTAMINACIÓN DEL AIRE ENFOQUTE. : 62-73 Copyright 200 Universidad Tecnológica Equinoccial ISSN: 390-6542 MODELO DE CONTMINCIÓN DEL IRE Iván Naula RESUMEN El presente documento estudia un modelo matemático de contaminación del

Más detalles

PLAN DE ASIGNATURA. Presentación

PLAN DE ASIGNATURA. Presentación PLAN DE ASIGNATURA Presentación Nombre de la asignatura: Técnicas de Modelación y Simulación Curso Académico: 2012-2013 Departamentos: o Ingeniería Mecánica. Área de Ingeniería Térmica y de Fluidos Área

Más detalles

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 4: Resolución aproximada de EDO s

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 4: Resolución aproximada de EDO s Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 4: Resolución aproximada de EDO s Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Marzo 2008, versión

Más detalles

Integrales y ejemplos de aplicación

Integrales y ejemplos de aplicación Integrales y ejemplos de aplicación I. PROPÓSITO DE ESTOS APUNTES Estas notas tienen como finalidad darle al lector una breve introducción a la noción de integral. De ninguna manera se pretende seguir

Más detalles

Ortogonalidad y Series de Fourier

Ortogonalidad y Series de Fourier Capítulo 4 Ortogonalidad y Series de Fourier El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (ángulo). Este denota entonces la perpendicularidad entre dos elementos: dos calles que se

Más detalles

Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Interpolación Palmas de G.C. de funciones 1 / 42II

Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Interpolación Palmas de G.C. de funciones 1 / 42II Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones II Luis Alvarez León Univ. de Las Palmas de G.C. Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica. Boletin 6. Funciones de Varias Variables EJERCICIOS RESUELTOS Curso 003-004 1. En cada apartado, calcular

Más detalles

O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. El Método de los Elementos Finitos. Vols 1 y 2. CIMNE-Mc Graw Hill, 1994.

O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. El Método de los Elementos Finitos. Vols 1 y 2. CIMNE-Mc Graw Hill, 1994. Índice de la teoría 1. Presentación. Estas lecciones sólo pretenden ser una introducción que sirva para orientar sobre los conceptos, para un estudio más amplio se recomienda leer alguna publicación especializada,

Más detalles

Tema 3. Problemas de valores iniciales. 3.1. Teoremas de existencia y unicidad

Tema 3. Problemas de valores iniciales. 3.1. Teoremas de existencia y unicidad Tema 3 Problemas de valores iniciales 3.1. Teoremas de existencia y unicidad Estudiaremos las soluciones aproximadas y su error para funciones escalares, sin que ésto no pueda extenderse para funciones

Más detalles

Empresa bajo incertidumbre en el precio: modelo con dos destinos y un mercado de futuros

Empresa bajo incertidumbre en el precio: modelo con dos destinos y un mercado de futuros Empresa bajo incertidumbre en el precio: modelo con dos destinos y un mercado de futuros Rodríguez Puerta, Inmaculada (irodriguez@ceade.es) Dpto. de Métodos Cuantitativos CEADE Álvarez López, Alberto A.

Más detalles

suarez@us.es, madelgado@us.es, cristianm@us.es

suarez@us.es, madelgado@us.es, cristianm@us.es Estudio teórico de algunos modelos de terapias anti-angiogénicas Antonio Suárez, Manuel Delgado, Cristian Morales-Rodrigo, Dpto. de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla,

Más detalles

Solución numérica de la ecuación de difusión-advección-reacción con un esquema de separación de operadores

Solución numérica de la ecuación de difusión-advección-reacción con un esquema de separación de operadores Miscelánea Matemática 39 (4) 6 SMM Solución numérica de la ecuación de difusión-advección-reacción con un esquema de separación de operadores David Parra Guevara Centro de Ciencias de la Atmósfera Universidad

Más detalles

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales Estadística 38 Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales El concepto de variable aleatoria surge de la necesidad de hacer más manejables matemáticamente los resultados de los experimentos

Más detalles

1. Derivadas parciales

1. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para

Más detalles

Introducción al estudio de la filtración mediante métodos numéricos

Introducción al estudio de la filtración mediante métodos numéricos Introducción al estudio de la filtración mediante métodos numéricos 1. Introducción Este capítulo trata de introducir al estudiante en la resolución de problemas de filtración mediante métodos numéricos.

Más detalles

Lecturas previas Cuando llegue a su primera sesión de laboratorio debe haber estudiado el contenido de la lectura que aparece a continuación.

Lecturas previas Cuando llegue a su primera sesión de laboratorio debe haber estudiado el contenido de la lectura que aparece a continuación. Laboratorio 1 Medición e incertidumbre La descripción de los fenómenos naturales comienza con la observación; el siguiente paso consiste en asignar a cada cantidad observada un número, es decir en medir

Más detalles

Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor. Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a)

Más detalles

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6

Más detalles

Análisis comparativo del flujo y modelado de la transferencia de calor para una mezcla de gas y partículas en secadores ciclónicos por aspersión

Análisis comparativo del flujo y modelado de la transferencia de calor para una mezcla de gas y partículas en secadores ciclónicos por aspersión Análisis comparativo del flujo y modelado de la transferencia de calor para una mezcla de gas y partículas en secadores ciclónicos por aspersión Dr. Javier Morales Castillo UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO

Más detalles

La solución de algunas EDO de Riccati

La solución de algunas EDO de Riccati Revista digital Matemática, Educación e Internet (http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). Vol 15, No 2. Marzo Agosto 2015. ISSN 1659-0643 La solución de algunas EDO de Riccati José Alfredo Jiménez

Más detalles

ESTUDIO DE FLUIDOS NO NEWTONIANOS CON LOS MÉTODOS DE VOLÚMENES Y ELEMENTOS FINITOS

ESTUDIO DE FLUIDOS NO NEWTONIANOS CON LOS MÉTODOS DE VOLÚMENES Y ELEMENTOS FINITOS REVISTA FACULTAD DE INGENIERÍA, U.T.A. (CHILE), VOL 10, 00, pp. 3-34 ESTUDIO DE FLUIDOS NO NEWTONIANOS CON LOS MÉTODOS DE VOLÚMENES Y ELEMENTOS FINITOS Guillermo Sánchez M. 1 César Vial R. Nelson Moraga

Más detalles

Homogeneización de problemas (elasto)hidrodinámicos en lubricación

Homogeneización de problemas (elasto)hidrodinámicos en lubricación XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matemática Aplicada Sevilla, 4-8 septiembre 7 pp. 8 Homogeneización de problemas elastohidrodinámicos en lubricación G. Bayada, S. Martin,

Más detalles

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES II:

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES II: MATEMÁTICAS EMPRESARIALES II: FUNCIÓN REAL DE VARIAS VARIABLES ÓPTIMOS DE UNA FUNCIÓN ESCALAR MATERIAL DIDÁCTICO DE SOPORTE González-Vila Puchades, Laura Ortí Celma, Francesc J. Sáez Madrid, José B. Departament

Más detalles

2.1.5 Teoremas sobre derivadas

2.1.5 Teoremas sobre derivadas si x < 0. f(x) = x si x 0 x o = 0 Teoremas sobre derivadas 9 2. f(x) = x 3, x o = 3 a. Determine si f es continua en x o. b. Halle f +(x o ) y f (x o ). c. Determine si f es derivable en x o. d. Haga la

Más detalles

Descomposición de dominios

Descomposición de dominios Descomposición de dominios Miguel Vargas 27/10/10 1/29 Contenido Contenido Solución de ecuaciones diferenciales con descomposición de dominios Dominios sin traslape, complemento de Schur Método alternante

Más detalles

Introducción a la difusión en el tratamiento de imágenes

Introducción a la difusión en el tratamiento de imágenes 2 Introducción a la difusión en el tratamiento de imágenes Guillermo Gallego La idea que motiva el estudio de la difusión anisótropa en el tratamiento de imágenes es la búsqueda de métodos de suavizamiento

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

SUBESCALAS DE ORDEN REDUCIDO PARA MODELOS POD EN PROBLEMAS DE DINÁMICA DE FLUIDOS

SUBESCALAS DE ORDEN REDUCIDO PARA MODELOS POD EN PROBLEMAS DE DINÁMICA DE FLUIDOS Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia 2015 Lisboa, 29 de Junho a 2 de Julho 2015 c APMTAC, Portugal 2015 SUBESCALAS DE ORDEN REDUCIDO PARA MODELOS POD EN PROBLEMAS DE DINÁMICA DE FLUIDOS Joan Baiges,1,2,

Más detalles

Introdución a la capa límite laminar bidimensional y estacionaria

Introdución a la capa límite laminar bidimensional y estacionaria Introdución a la capa límite laminar bidimensional y estacionaria M. Rodríguez 1 Introducción En los movimientos a altos números de Reynolds (basado en la longitud característica del movimiento), los efectos

Más detalles

Algoritmo para resolver exactamente sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes enteros

Algoritmo para resolver exactamente sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes enteros Miscelánea Matemática 43 (2006) 7 132 SMM Algoritmo para resolver exactamente sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes enteros Daniel Gómez-García Facultad de Ingeniería Universidad Autónoma de

Más detalles

C 4 C 3 C 1. V n dσ = C i. i=1

C 4 C 3 C 1. V n dσ = C i. i=1 apítulo 2 Divergencia y flujo Sea V = V 1 i + V 2 j + V 3 k = (V 1, V 2, V 3 ) un campo vectorial en el espacio, por ejemplo el campo de velocidades de un fluido en un cierto instante de tiempo, en un

Más detalles

UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA Departamento de Matemáticas. Matemáticas. Manuel Fernández García-Hierro Badajoz, Febrero 2008

UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA Departamento de Matemáticas. Matemáticas. Manuel Fernández García-Hierro Badajoz, Febrero 2008 UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA Departamento de Matemáticas Matemáticas Manuel Fernández García-Hierro Badajoz, Febrero 2008 Capítulo VI Concepto de error 6.1 Introducción Uno de los temas más importantes en

Más detalles

Computational simulation of fluid flow by using element based finite volume method on unstructured grids

Computational simulation of fluid flow by using element based finite volume method on unstructured grids Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 31, Nº 1, 13-25, 2008 Computational simulation of fluid flow by using element based finite volume method on unstructured grids Carlos D. Araujo, José A. Rincón, Gilberto

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra

INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra ADVERTENCIA: manuscrito en estado de preparación muy preliminar, particularmente en lo que respecta a la secuencia temática, orden y terminación

Más detalles

FLUJOS TURBULENTOS BIFASICOS 3D EN LLENADO DE MOLDES DE FUNDICION Y EN IMPACTO DE OLAS EN ESTRUCTURAS Nelson Moraga, Carlos Garrido y Daniel Garrido

FLUJOS TURBULENTOS BIFASICOS 3D EN LLENADO DE MOLDES DE FUNDICION Y EN IMPACTO DE OLAS EN ESTRUCTURAS Nelson Moraga, Carlos Garrido y Daniel Garrido FLUJOS TURBULENTOS BIFASICOS 3D EN LLENADO DE MOLDES DE FUNDICION Y EN IMPACTO DE OLAS EN ESTRUCTURAS Nelson Moraga, Carlos Garrido y Daniel Garrido Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de La

Más detalles

39ª Reunión Anual de la SNE Reus (Tarragona) España, 25-27 septiembre 2013

39ª Reunión Anual de la SNE Reus (Tarragona) España, 25-27 septiembre 2013 Análisis del comportamiento del flujo de refrigerante a través del cabezal inferior y el impacto de la supresión de los taladros en el faldón lateral del MAEF-2012 con el código CFD STAR-CCM+. Introducción:

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS E. SÁEZ Una Ecuación Diferencial Partial (E.D.P.) de Primer Orden, en dos variables, es simplemente una expresión de la forma

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

Análisis espectral de señales periódicas con FFT

Análisis espectral de señales periódicas con FFT Análisis espectral de señales periódicas con FFT 1 Contenido 7.1 Introducción a la Transformada Discreta de Fourier 3-3 7.2 Uso de la Transformada Discreta de Fourier 3-5 7.3 Método de uso de la FFT 3-8

Más detalles

MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS EN MALLAS NO ESTRUCTURADAS APLICADO A FLUJO COMPRESIBLE

MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS EN MALLAS NO ESTRUCTURADAS APLICADO A FLUJO COMPRESIBLE MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS EN MALLAS NO ESTRUCTURADAS APLICADO A FLUJO COMPRESIBLE Weht German, Giovacchini Juan Pablo, Sacco Carlos, D Errico Mario Dpto. Mec. Aer., Facultad de Ingeniería, Instituto

Más detalles

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) 1.1 Definiciones Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes respecto

Más detalles

Autómatas Celulares (AC s)

Autómatas Celulares (AC s) Autómatas Celulares (AC s) Los autómatas celulares son máquinas discretas que pueden realizar cierto tipo de cómputos. Fueron inventados en los 1940 s por John von Neumann. Tienen similitudes muy lejanas

Más detalles

1 Función real de dos variables reales

1 Función real de dos variables reales Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 1 Escuela Universitaria de Arquitectura Técnica Cálculo Matemático. Tema 10: Funciones de dos variables. Curso 008-09 1 Función real de dos variables reales Hasta el momento

Más detalles

Tema 3: Producto escalar

Tema 3: Producto escalar Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que verifica

Más detalles

Palabras claves: Sistemas dinámicos. Difusión de publicidad. Bifurcaciones.

Palabras claves: Sistemas dinámicos. Difusión de publicidad. Bifurcaciones. Estudio del comportamiento cualitativo de un sistema dinámico discreto de publicidad de marcas. Continuación de los equilibrios y estudio de sus bifurcaciones. Purificación Nadal Morales pnadal@us.es a.

Más detalles

Javier Junquera. Vectores

Javier Junquera. Vectores Javier Junquera Vectores Cómo describir la posición de un punto en el espacio: Sistemas de coordenadas Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de: Un punto de referencia fijo,

Más detalles

I.E.S.MEDITERRÁNEO CURSO 2015 2016 DPTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMA DE RECUPERACIÓN DE LOS APRENDIZAJES NO ADQUIRIDOS EN MATEMÁTICAS DE 3º DE E.S.O.

I.E.S.MEDITERRÁNEO CURSO 2015 2016 DPTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMA DE RECUPERACIÓN DE LOS APRENDIZAJES NO ADQUIRIDOS EN MATEMÁTICAS DE 3º DE E.S.O. PROGRAMA DE RECUPERACIÓN DE LOS APRENDIZAJES NO ADQUIRIDOS EN MATEMÁTICAS DE 3º DE E.S.O. Este programa está destinado a los alumnos que han promocionado a cursos superiores sin haber superado esta materia.

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver

Más detalles

Estudio de la vulnerabilidad de una red de drenaje mediante el método de Monte Carlo

Estudio de la vulnerabilidad de una red de drenaje mediante el método de Monte Carlo 4 MODELO DE SIMULACIÓN SWMM Se presentan a continuación las principales características y el funcionamiento del modelo matemático para simulación de procesos hidrológicos e hidráulicos en zona urbana SWMM.

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

Francisco J. Hernández López fcoj23@cimat.mx

Francisco J. Hernández López fcoj23@cimat.mx Francisco J. Hernández López fcoj23@cimat.mx Parte importante en muchas de las aplicaciones de visión computacional tales como: video conferencias, video vigilancia, edición de video, etc. Consiste en

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo TEMA IV INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRALES ITERADAS Y ÁREA EN EL PLANO Desde el curso de Cálculo II se estudió la forma de derivar parcialmente

Más detalles

EL CÁLCULO ESTOCÁSTICO CUÁNTICO Y UNA RELACIÓN CON EL ANÁLISIS FUNCIONAL. Oswaldo González Gaxiola Universidad Autónoma Metropolitana-Cuajimalpa

EL CÁLCULO ESTOCÁSTICO CUÁNTICO Y UNA RELACIÓN CON EL ANÁLISIS FUNCIONAL. Oswaldo González Gaxiola Universidad Autónoma Metropolitana-Cuajimalpa Memorias de la XVII Semana Regional de Investigación y Docencia en Matemáticas. Departamento de Matemáticas, Universidad de Sonora, México, Mosaicos Matemáticos, No. 2, Agosto, 27, pp. 75 82. Nivel Superior

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene: a) el centro en el punto (, 5) y el radio es igual a 7. b) un diámetro con extremos los puntos (8, -) y (, 6). a) La

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS 2 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS

Más detalles

Generación de números aleatorios

Generación de números aleatorios Generación de números aleatorios Marcos García González (h[e]rtz) Verano 2004 Documento facilitado por la realización de la asignatura Métodos informáticos de la física de segundo curso en la universidad

Más detalles

ANSYS-Fluent como herramienta de diseño y evaluación de sistemas auxiliares en Invernaderos

ANSYS-Fluent como herramienta de diseño y evaluación de sistemas auxiliares en Invernaderos ANSYS-Fluent como herramienta de diseño y evaluación de sistemas auxiliares en Invernaderos J. Flores-Velázquez, F. Villarreal, W. Ojeda y A. Rojano Jorge_flores@tlaloc.imta.mx Introducción Objetivos Contenido

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

Estrategia de Refinamientos Automáticos hp Integrada con un Resolvedor de Dos Mallas: Aplicaciones al Electromagnetismo. David Pardo Zubiaur

Estrategia de Refinamientos Automáticos hp Integrada con un Resolvedor de Dos Mallas: Aplicaciones al Electromagnetismo. David Pardo Zubiaur Estrategia de Refinamientos Automáticos hp Integrada con un Resolvedor de Dos Mallas: Aplicaciones al Electromagnetismo dzubiaur@yahoo.es Supervisores: L. Demkowicz, C. Torres-Verdin, L. Tabarovski Otros

Más detalles

6.1 Transformada de Fourier

6.1 Transformada de Fourier 6 Función de Green II. Dominios no acotados 23 a t e a PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS t i c a s 2 o Ing. Telecomunicaciones CURSO 2009 2010 6 Función de Green II. Dominios no acotados 6.1 Transformada

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

Aplicación de una desigualdad integro diferencial en el análisis cualitativo de las soluciones de un sistema integrodiferencial tipo Volterra

Aplicación de una desigualdad integro diferencial en el análisis cualitativo de las soluciones de un sistema integrodiferencial tipo Volterra Lecturas Matemáticas Volumen 35 (2 (214, páginas 151 158 ISSN 12 198 Aplicación de una desigualdad integro diferencial en el análisis cualitativo de las soluciones de un sistema integrodiferencial tipo

Más detalles

UN SOFTWARE EDUCACIONAL PARA ESTUDIAR Y MODELAR PROBLEMAS DE CONTAMINACIÓN EN MEDIOS POROSOS. German Galarza 1

UN SOFTWARE EDUCACIONAL PARA ESTUDIAR Y MODELAR PROBLEMAS DE CONTAMINACIÓN EN MEDIOS POROSOS. German Galarza 1 UN SOFTWARE EDUCACIONA PARA ESTUDIAR Y MODEAR PROBEMAS DE CONTAMINACIÓN EN MEDIOS POROSOS German Galarza 1 RESUMEN - En este trabajo se describe un Software Interactivo, desarrollado en MATAB, a fin usarlo

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R 3. 3. Curvas y superficies en R 3. 4. Nociones de topología métrica. 1 1. VECTORES. OPERACIONES

Más detalles

CÁLCULO DE PARÁMETROS AERODINÁMICOS TRIDIMENSIONALES UTILIZANDO OPENFOAM APLICACIÓN A CLASES DE GRADO

CÁLCULO DE PARÁMETROS AERODINÁMICOS TRIDIMENSIONALES UTILIZANDO OPENFOAM APLICACIÓN A CLASES DE GRADO CÁLCULO DE PARÁMETROS AERODINÁMICOS TRIDIMENSIONALES UTILIZANDO OPENFOAM APLICACIÓN A CLASES DE GRADO P. Caron a, I. Capparelli b y W. Allaltune b a Facultad de Ingeniería y Ciencias Exactas Universidad

Más detalles

Métodos de Elementos Finitos y Aplicaciones

Métodos de Elementos Finitos y Aplicaciones Métodos de Elementos Finitos y Aplicaciones Teoremas de Extensión para espacios de Sobolev Formulación del problema Dado un dominio abierto Ω R N y el espacio de Sobolev W 1,p (Ω) correspondiente, se busca

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

Integrador, realimentación y control

Integrador, realimentación y control Prctica 1 Integrador, realimentación y control El programa Simulink es un programa incluido dentro de Matlab que sirve para realizar la integración numérica de ecuaciones diferenciales a efectos de simular

Más detalles

Fundamentos para la Representación y Análisis de Señales Mediante Series de Fourier

Fundamentos para la Representación y Análisis de Señales Mediante Series de Fourier Fundamentos para la Representación y Análisis de Señales Mediante Series de Fourier Andrés Felipe López Lopera* Resumen. Existe una gran similitud entre vectores y las señales. Propiedades tales como la

Más detalles

GENERACIÓN DE MALLAS DE HEXAEDROS EN GEOMETRÍAS MÚLTIPLEMENTE CONEXAS MEDIANTE SUBMAPPING

GENERACIÓN DE MALLAS DE HEXAEDROS EN GEOMETRÍAS MÚLTIPLEMENTE CONEXAS MEDIANTE SUBMAPPING 7th Workshop on Numerical Methods in Applied Science and Engineering (NMASE 08) Vall de Núria, 9 a 11 de enero de 2008 c LaCàN, www.lacan-upc.es GENERACIÓN DE MALLAS DE HEXAEDROS EN GEOMETRÍAS MÚLTIPLEMENTE

Más detalles

Uso de un software como propuesta metodológica para la enseñanza de ecuaciones diferenciales

Uso de un software como propuesta metodológica para la enseñanza de ecuaciones diferenciales Sociedad Colombiana de Matemáticas XV Congreso Nacional de Matemáticas 2005 Apuntes Lecturas Matemáticas Volumen Especial (2006), páginas 361 369 Uso de un software como propuesta metodológica para la

Más detalles

Control tolerante a fallas para un evaporador de múltiple efecto en la industria azucarera

Control tolerante a fallas para un evaporador de múltiple efecto en la industria azucarera Control tolerante a fallas para un evaporador de múltiple efecto en la industria azucarera María E Guerrero-Sánchez, David Juárez-Romero, Carlos D García-Beltrán, Carlos M Astorga-Zaragoza, Omar Hernández-González

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

4. Se considera la función f(x) =. Se pide:

4. Se considera la función f(x) =. Se pide: Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los 10000 euros. Lo invertido en las acciones

Más detalles

Computational simulation of fluid flow by using element based finite volume method on unstructured grids

Computational simulation of fluid flow by using element based finite volume method on unstructured grids Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 3, Nº, 3-2, 28 Computational simulation of fluid flow by using element based finite volume method on unstructured grids Carlos D. Araujo, José A. Rincón, Gilberto I. Materano

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

Simulación numérica con elementos finitos de un micro-relé

Simulación numérica con elementos finitos de un micro-relé Simulación numérica con elementos finitos de un micro-relé Titulación: Alumno: Directores: Ingeniería Industrial César Alfaro Sánchez Juan Álvaro Fuentes Moreno y Francisco Periago Esparza Cartagena, 7

Más detalles

Suspensión. Torta filtrante Medio filtrante P 3. Filtrado

Suspensión. Torta filtrante Medio filtrante P 3. Filtrado FILTRCIÓN FILTRCIÓN. OBJETIO Esta práctica tiene por objeto determinar experimentalmente la variación del caudal de filtrado con el tiempo, en un proceso de filtración discontinuo a presión constante.

Más detalles

FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. 1 Introducción Una de las primeras necesidades que surgen en las Ciencias Experimentales es la de poder expresar los valores

Más detalles

Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Introducción al Análisis Numérico

Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Introducción al Análisis Numérico Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Introducción al Análisis Numérico Departamento de Matemática Aplicada Universidad Granada Introducción El Cálculo o Análisis Numérico es

Más detalles

Nota sobre un modelo de J. D. Hey para una empresa bajo incertidumbre en el precio que no busca necesariamente maximizar el beneficio

Nota sobre un modelo de J. D. Hey para una empresa bajo incertidumbre en el precio que no busca necesariamente maximizar el beneficio Nota sobre un modelo de J. D. Hey para una empresa bajo incertidumbre en el precio que no busca necesariamente maximizar el beneficio Alberto A. Álvarez López Departamento de Economía Aplicada Cuantitativa.

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1- ECUACION DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad en la que figura una letra sin eponente y que es cierta para un solo

Más detalles

JUSTIFICACION. Los temas mencionados son básicos para el estudio de los fluidos en reposa (estática de los fluidos).

JUSTIFICACION. Los temas mencionados son básicos para el estudio de los fluidos en reposa (estática de los fluidos). Nombre de la asignatura: Mecánica de Fluidos I. Carrera : Ingeniería Mecánica Clave de la asignatura: MCB-9330 Clave local: Horas teoría horas practicas créditos: 4-0-8 2. - UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL - Año 2012

ÁLGEBRA LINEAL - Año 2012 UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ÁLGEBRA LINEAL - Año 0 Notas de Cátedra correspondientes a la UNIDAD SIETE PROGRAMACIÓN LINEAL * INECUACIONES Se denomina inecuación a

Más detalles

Un filtro general de respuesta al impulso finita con n etapas, cada una con un retardo independiente d i y ganancia a i.

Un filtro general de respuesta al impulso finita con n etapas, cada una con un retardo independiente d i y ganancia a i. Filtros Digitales Un filtro general de respuesta al impulso finita con n etapas, cada una con un retardo independiente d i y ganancia a i. En electrónica, ciencias computacionales y matemáticas, un filtro

Más detalles

Una prueba sencilla del teorema de los ceros de Hilbert usando bases de Gröbner A simple proof of Hilbert s Nullstellensatz based on Gröbner bases

Una prueba sencilla del teorema de los ceros de Hilbert usando bases de Gröbner A simple proof of Hilbert s Nullstellensatz based on Gröbner bases Lecturas Matemáticas Volumen 34 (1) (2013), páginas 77 82 ISSN 0120 1980 Una prueba sencilla del teorema de los ceros de Hilbert usando bases de Gröbner A simple proof of Hilbert s Nullstellensatz based

Más detalles

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas Capítulo 5 Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas OPERACIONES ENR n Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares ordenados (a,b) tales que a A y b B. Cuando consideramos

Más detalles

Estudio y simulación de la influencia de la estructura Transformador-Bobina Paralelo en convertidores CC-CC clásicos

Estudio y simulación de la influencia de la estructura Transformador-Bobina Paralelo en convertidores CC-CC clásicos ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Grupo de Sistemas Electrónicos de Potencia PROYECTO FIN DE CARRERA INGENIERÍA INDUSTRIAL Estudio y simulación de la influencia de la estructura Transformador-Bobina Paralelo

Más detalles

Cálculo de las Acciones Motoras en Mecánica Analítica

Cálculo de las Acciones Motoras en Mecánica Analítica Cálculo de las Acciones Motoras en Mecánica Analítica 1. Planteamiento general El diseño típico de la motorización de un sistema mecánico S es el que se muestra en la figura 1. Su posición viene definida

Más detalles

2. SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN (I)

2. SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN (I) 2. SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN (I) 2.1 INTRODUCCIÓN DOMINIO TIEMPO Un sistema lineal de primer orden con una variable de entrada, " x ( ", y una variable salida, " y( " se modela matemáticamente

Más detalles

Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula

Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula Ariel Fernández Daniel Marta Introducción. En este capítulo se introducirán los elementos necesarios para la descripción del movimiento de una

Más detalles

Simulación de Sistemas Continuos y a Tramos. Prof. Dr. François E. Cellier Institut für Computational Science ETH Zürich.

Simulación de Sistemas Continuos y a Tramos. Prof. Dr. François E. Cellier Institut für Computational Science ETH Zürich. Simulación de Sistemas Continuos y a Tramos Prof. Dr. François E. Cellier Institut für Computational Science ETH Zürich 5 de junio 007 Introducción Análisis del Error por Truncamiento Queremos hacer un

Más detalles

SEMANAS 07 Y 08 CLASES 05 Y 06 VIERNES 25/05/12 Y 01/06/12

SEMANAS 07 Y 08 CLASES 05 Y 06 VIERNES 25/05/12 Y 01/06/12 CÁLCULO IV (7) SEMANAS 7 Y 8 CLASES 5 Y 6 VIERNES 5/5/1 Y 1/6/1 1 Observación Las propiedades de una función real de una variable real se reflejan en su gráfica Pero para w = f(), con w complejos, no es

Más detalles