Objetivo: Proponer modelos para analizar la influencia

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1 TEMA 2: DISEÑO DE EXPERIMENTOS Objetivo: Proponer modelos para analizar la influencia de varios factores sobre un fenómeno que nos interesa estudiar. 1. Introducción a los diseños de experimentos factoriales 3. Diseño con dos factores e interacción 4. Otros diseños de experimentos 1

2 1. Introducción a los diseños de experimentos factoriales Se trata de realizar comparaciones, lo más homogéneas posibles, para identificar los factores (variables categóricas) que explican la variabilidad entre las respuesta a un fenómeno que nos interesa estudiar. Ejemplos: A. En la fabricación de un vino ecológico se trata de ver si la producción depende del tipo de suelo de si se utiliza o no una fertilización natural. B. En un estudio sobre la sensibilización de la población de la UE frente al cambio climático, se quiere ver si depende del sexo, para ello se consideran individuos de todos los países. Se comparan los niveles medios de respuesta en cada grupo 2

3 1. Introducción a los diseños de experimentos factoriales DISEÑOS FACTORIALES Cuando se obtienen observaciones para todos los niveles de cada factor cruzados con todos los niveles de todos los otros factores. Algunos ejemplos: Modelo con un factor: Modelo con dos factores: Modelo con tres factores: ij ijk ijkl u i u i i ij j j ijk k u ijkl Modelo con dos factores con interacción: ( ) ijk i j ij u ijk Modelo con tres factores que interaccionan: ijkl ( ) ( ) i ik j ( ) k jk ij ( ) ijk u ijkl 3

4 1. Introducción a los diseños de experimentos factoriales Los datos que tenemos que obtener para poder cruzar todos los niveles en un diseño con dos factores para el estudio de sensibilización sobre cambio climático son: CR Y 1 28 Y ,,28 2 x 28 Si consideramos también el factor educación a dos niveles: Sin estudios universitarios Con estudios universitarios CR Y Y CR Y Y x 28 x 2 Y 212 es la respuesta de un hombre alemán con estudios universitarios p 4

5 1. Introducción a los diseños de experimentos factoriales Si tenemos dos factores con I J niveles, los datos son: ij es la respuesta de un individuo del nivel i-ésimo del primer factor j- ésimo del segundo factor Podemos calcular medias por filas, por columnas de todos los datos es la media de todos los datos del grupo i (i =1,, I) i es la media de todos los datos del grupo j (j =1,, J) j es la media de todos los datos Si podemos replicar el experimento K veces, los datos son: ijk es la respuesta del individuo k-ésimo a nivel i-ésimo del primer factor j-ésimoj del segundo factor Si ha un factor más con k-niveles los datos sin replicar son: ijk es la respuesta del individuo i-ésimo del primer factor, j-ésimo del segundo factor k-ésimo del tercer factor 5 5

6 1. Introducción a los diseños de experimentos factoriales Ejemplo de una planta desalinizadora Para la construcción de una planta desalinizadora se quiere adquirir la maquinaria que produzca menos emisiones de CO 2 por unidad fija desalada. Por las características de estas máquinas se cree que las emisiones pueden depender de la cantidad de sal que contenga el agua. Cinco fabricantes ofrecen sus productos se realiza un experimento para determinar cuál es la mejor oferta. Qué máquina es más eficiente? i i Salinidad Poca Bastante Mucha Máquina I ,3 Máquina II ,6 Máquina III ,6 Máquina IV ,0 Máquina V ,3 j la máquina es factor principal La salinidad del agua es un factor instrumental t (bloque) Aparentemente la mejor es la máquina I Ninguna es más eficiente que las demás en todas las condiciones de salinidad Las emisiones de CO2 dependen de la máquina empleada? Qué máquina es más eficiente? Influe la salinidad del agua? Si volviéramos a hacer el experimento, consideraríamos las tres salinidades? Qué explica más las diferencias entre los resultados, la salinidad del agua o la máquina? 6

7 MODELO de DISEÑO de EXPERIMENTOS con DOS FACTORES ijk i j u ijk i =1,, I j =1,, J k =1,, K I J i1 i j1 j se cumple que 0 es la respuesta media de toda la población i j u ijk es el efecto sobre la respuesta del nivel i del primer factor es el efecto sobre la respuesta del nivel j del segundo factor es el error (o perturbación) aleatorio debido al resto de variables que influen en la respuesta del individuo k-ésimo a niveles i j de los factores Hipótesis (condiciones) que asumimos que cumplen los datos: ijk 2 N(, ) i j independientes 7

8 METODOLOGÍA 8

9 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO Estimadores de m, a i i j ˆ ˆ i ˆ j 1 IJK 1 JK j 1 IK i j I J K i1 j1 k1 J K ijk 1 k1 I K ijk i1 k1 ijk b j Residuos del modelo e ijk Estimador de la varianza s 2 Sˆ2 R suma de residuosal ijk i j Grados de libertad de los residuos IJK I J 1 cuadrado gradosde libertadde los residuos ( i j k ijk i j IJK I J 1 ) 2 9

10 Ejemplo de una planta desalinizadora Continuación Se trata de elegir entre 5 máquinas se consideran 3 niveles de salinidad Salinidad Sliidd Poca Bastante t Mucha Máquina I ,3 Máquina II ,6 Máquina III ,6 Máquina IV ,0 Máquina V ,3 j S R 2 R 0,583 Las emisiones de CO2 dependen de la máquina empleada? H 0: α 1 = α 2 = α I = 0 Qué máquina es más eficiente? Aparentemente la Máquina I, pero no sabemos si también la Máquina IV Influe la salinidad del agua? H 0 : β 1 = β 2 = β J =0 Si volviéramos a hacer el experimento, consideraríamos los tres niveles de salinidad? Qué explica más las diferencias entre los resultados, la salinidad del agua o la máquina? i 10

11 Test ANOVA ( el factor influe en la respuesta?) H 0: Los efectos del factor sobre la respuesta son cero para todos los niveles H 1 : Algún efecto es distinto de cero (el factor SI influe) (el factor NO influe) (Cuando H 0 las hipótesis del modelo son ciertas) Para el otro factor se cambia: a por b I por J F F I 1, IJKI J 1, 11

12 Tabla ANOVA En la tabla ANOVA se representa la idea de que la varianza se puede descomponer en las distintas fuentes que la originan IJK-I-J+1I J+1 IJK-1 IJK-I-J+1 12

13 Descomposición de la variabilidad del experimento SCT i j k ( ijk ) 2 SCE() JK i ( i SCE( ) IK j ( j ) ) 2 2 SCR i j k ( ijk i j ) 2 13

14 Ejemplo de una planta desalinizadora Continuación Se trata de elegir entre 5 máquinas se consideran 3 niveles de salinidad i j 28 2 S R 0,583 Las emisiones de CO2 dependen de la máquina empleada? Rechazamos H 0. Hemos encontrado evidencia de que si dependen de la máquina Qué máquina es más eficiente? Aparentemente la Máquina I, pero no sabemos si también la Máquina IV Influe la salinidad del agua? Rechazamos H 0. Hemos encontrado evidencia de que influe el tipo de agua Si volviéramos a hacer el experimento, consideraríamos los tres niveles de salinidad?? Qué explica más las diferencias entre los resultados, la salinidad del agua o la máquina?? 14

15 Cómo evaluamos si el modelo propuesto sirve para explicar la variabilidad en la respuesta? COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN Es la proporción de la variabilidad observada en los datos que queda explicada por el modelo R 2 =SCE/SCT =(SCE(α)/SCT)+(SCE( )/SCT)+(SCE(β)/SCT) 15

16 Ejemplo de una planta desalinizadora Continuación Se trata de elegir entre 5 máquinas se consideran 3 niveles de salinidad R 2 = R 2 (a) + R 2 (b) = = Qué habría pasado si no hubiéramos tenido en cuenta la distinta salinidad del agua? i j 28 S 2 R 0,583 Con los mismos datos no habríamos encontrado la evidencia 16

17 Consejos de actuación 1. En general,cruzar todos los factores que creemos que pueden influir en la respuesta es una herramienta más potente para encontrar la evidencia 2. Si algún factor no influe, es mejor (aunque no imprescindible) i eliminarlo del análisis repetir el ANOVA. Los datos no cambian, así que la información es la misma. Lo que disminue es el número de parámetros desconocidos. Por tanto, nuestro análisis será más potente eliminando factores no influentes 3. Los modelos con dos factores, se pueden generalizar para considerar todos los factores necesarios para analizar el experimento correctamente 17

18 Comparaciones de dos niveles Si ha evidencia i para rechazar la hipótesis i nula para el factor podemos preguntarnos son iguales los efectos de los niveles i j? ^ Si el cero no está dentro del intervalo, entonces rechazamos la hipótesis nula 18

19 Comparaciones dos ados Si queremos hacer comparaciones múltiples, l podemos aplicar la corrección de BONFERRONI 19

20 Ejemplo de una planta desalinizadora Continuación Se trata de elegir entre 5 máquinas se consideran 3 niveles de salinidad La tabla ANOVA que se obtiene con el SPSS es: 20

21 Ejemplo de una planta desalinizadora Continuación Se trata de elegir entre 5 máquinas se consideran 3 niveles de salinidad 21

22 Ejemplo de una planta desalinizadora Continuación Se trata de elegir entre 5 máquinas se consideran 3 niveles de salinidad 22

23 DIAGNÓSTICO DE LAS HIPÓTESIS DEL MODELO Ha alguna evidencia CLARA en contra de alguna de las hipótesis i del modelo que hemos asumido? Cuando las hipótesis del modelo no se pueden comprobar porque ha pocas replicas (K bajo) o muchos niveles (IxJ alto), se analizan los residuos Los residuos del modelo son aproximadamente: Cuando alguna de estas características falla es porque las hipótesis que hemos asumido en los datos no son ciertas El 95% de los residuos estandarizados deben estar entre -2 2, en una nube de puntos sin forma Se estudian con: Normalidad d media cero: histograma, gráfico probabilístico normal (Q-Q o P-P plot), test de normalidad (Kolmogorov-Smirnov o Shapiro-Wilk) Homocedasticidad linealidad: Diagrama de dispersión (residuos estandarizados vs. Valor pronosticado) Datos atípicos: box-plot 23

24 Gráficos de Residuos frente a Valores pronosticados 24

25 Con los datos publicados sobre la reserva total de agua embalsada en cada una de las cuencas de la Península en los meses de enero de , ha alguna evidencia i de queen 2005 pudo haberse iniciadoi i un periodo de sequía? ANOVA de un factor 25

26 Continuación Se trata de ver si ha alguna evidencia de que en 2005 pudo haberse iniciado un periodo de sequía. Si tenemos en cuenta que una parte importante t de las diferencias entre las cantidades de agua embalsadas en el mismo año se debe a los diferentes tamaños de las cuencas que tenemos este factor controlado, consideraremos un modelo que inclua la CUENCA como un factor instrumental (bloque) 26

27 Continuación Se trata de ver si ha alguna evidencia de que en 2005 pudo haberse iniciado un periodo de sequía. Hemos encontrado evidencia estadística para rechazar que Antes de dar por bueno el resultado, miramos los residuos. Presentan alguna evidencia clara de que no se alguna de las hipótesis que en hemos asumido en el modelo (normalidad, linealidad, etc )? 27

28 Continuación Se trata de ver si ha alguna evidencia de que en 2005 pudo haberse iniciado un periodo de sequía. La homocedasticidad no se cumple. Transformamos la variable respuesta con el logaritmo neperiano 28

29 Continuación Se trata de ver si ha alguna evidencia de que en 2005 pudo haberse iniciado un periodo de sequía. La conclusión es la misma, pero la evidencia es más clara (sin transformar, p-valor=0.027) la proporción de variabilidad explicada por el modelo maor (sin transformar, R 2 = 0.985) 29

30 3. Diseño con dos factores e interacción Cuando la respuesta en los niveles de un factor depende de cuál se, q el nivel de otro factor, se dice que ha una INTERACCIÓN entre los dos factores Un ejemplo típico de posible interacción se da entre medicamentos SIN INTERACCIÓN CON INTERACCIÓN CON INTERACCIÓN sin B con B sin B con B sin B con B sin A sin A sin A con A con A con A Y 22 = μ+α 2 +β 2 +u 22 Y 22 = μ+α 2 +β 2 +?+u 22 Y 22 = μ+α 2 +β 2 -?+u 22 sin B con B sin B con B sin B con B sin A 4 99 con A sin A 4 99 con A sin A 4 99 con A

31 3. Diseño con dos factores e interacción MODELO con dos FACTORES e INTERACCIÓN (αβ) ij es el efecto de la interacción entre el nivel i del primer factor el nivel j del segundo factor K es el número de réplicas del experimento Para que los efectos de la interacción se puedan estimar (haa más datos que parámetros) es necesario que K 2 31

32 3. Diseño con dos factores e interacción ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO Estimadores de m, a i, b j ˆ, ˆ ˆ i, j ()( ij (ab) ij Los mismos del modelo de dos factores sin interacción K ij ijk K k1 Residuos del modelo ij i j Grados de libertad de los residuos 1 IJ ( K 1 ) e ijk ijk Estimador de la varianza s 2 ij Sˆ2 R suma de residuosal cuadrado gradosde libertadde los residuos 2 ( i j k ijk ij IJ ( K 1) ) 32

33 3. Diseño con dos factores e interacción Tabla ANOVA 33

34 3. Diseño con dos factores e interacción Tests ANOVA ( el factor influe en la respuesta?) H 0 : Los efectos del factor sobre la respuesta son cero para todos los niveles H 1 : Algún efecto es distinto de cero (el factor SI influe) (el factor NO influe) Test ANOVA ( la INTERACCIÓN influe en la respuesta?) H 0 : Los efectos de las interacciones sobre la respuesta son cero para todas las combinaciones de los niveles de los dos factores (la interacción NO influe) H 1 : Algún efecto es distinto de cero (la interacción SI influe) 34

35 3. Diseño con dos factores e interacción SIN INTERACCIÓN a ab e depe d e te espuesta sin B con B sin A 4 99 con A Fuente TratA TratB TratA * TratB Error Total corregida Suma de Media cuadrados gl cuadrática F Significación 19503, , ,762, , , ,762762,000 6, ,125 2,333,201 10, , ,875 7 CON INTERACCIÓN sin B con B sin A 4 99 con A a ab e depe d e te Fuente TratA TratB TratA * TratB Error Total corregida Fuente TratA TratB Error Total corregida espuesta Suma de Media cuadrados gl cuadrática F Significación , , ,8, , , ,8, , , ,3,000 10, , ,875 7 Suma de Media cuadrados gl cuadrática F Significación , ,1 6,143, , ,1 6,125, , , ,875 7 CON INTERACCIÓN sin B con B sin A 4 99 a ab e depe d e e espues a Fuente Suma cuadrados TratA TratB TratA * TratB Error con A Total corregida 19131,875 7 gl Media cuadrática F Significación 1, ,125,429,548 10, ,125 3,857, , , ,048,000 10, ,625 35

36 4. Otros diseños de experimentos DISEÑOS PARA TRES FACTORES MODELO completo Para poder utilizar este modelo se necesitan un mínimo de IJK+1 datos Por ejemplo con tres factores 5 niveles cada uno, ha que hacer 125 experimentos. A veces no es fácil conseguir tantos datos Alternativa: utilizar un DISEÑO DE CUADRADOS LATINOS 36

37 4. Otros diseños de experimentos DISEÑO DE CUADRADOS LATINOS Se puede utilizar cuando tenemos, TRES factores, con el MISMO número de niveles SIN interacciones entre ellos. Cada nivel de un factor se cruza solo una vez con cada uno de los niveles de los otros factores. Ejemplo de diseño de cuadrados latinos para 3 factores con 9 niveles: Con este diseño el número mínimo de datos necesario es 9x9=81, en lugar de los 9x9x9=729 del diseño factorial 37

38 4. Otros diseños de experimentos Ejemplo de mariposas nocturnas UnaasociacióndeAmigosdelaEntomologíaquiere diseñar un cartel de sensibilización para la conservación de las mariposas nocturnas. Para elegir la imagen del cartel deciden hacer un estudio para ver como influen algunos factores en la impresión que causan las fotos. Los factores son: Saturación del color, Efectos, Composición Se pide a 126 personas que valoren de 1 a 5 una foto cada uno del cuadrado latino. 38

39 4. Otros diseños de experimentos OTROS DISEÑOS DE EXPERIMENTOS: Cuadrados greco-latinos Factoriales a dos niveles Anidados Split-plot Medidas repetidas 39

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