Las magnitudes y su medida El sistema métrico decimal

Transcripción

1 i Las magnitudes y su medida El sistema métrico decimal M. Dolores Guadalupe Duarte Marinas José Navarro Cáceres e-lectolibris 13 de febrero de 2014

2 Las magnitudes y su medida. El sistema métrico decimal. La necesidad de medir las cosas es propia del ser humano. En las pinturas rupestres las proporciones entre las fuiguras representadas denota una idea de la medida. A cualquier característica de una cosa que se pueda medir la denominamos magnitud, por ejemplo la altura de una persona. La cantidad con la que comparamos la magnitud para medirla se llama unidad de medida, en el ejemplo anterior será el metro. A la cantidad de veces que la unidad de medida está contenida en lo que se quiere medir lo denominamos medida, por ejemplo 1, 75 metros. Para medir las cosas solemos utilizar instrumentos de medida, como por ejemplo la cinta métrica, un termómetro, una balanza, etc. Si decimos que el polideportivo más cercano a mi domicilio está situado a 1500 metros es lo mismo que decir que está a una distancia de un kilometro y 500 metros. En el primer caso hemos utilizado una sola unidad para indicar la medida, diremos que está dada en forma incompleja. En el segundo caso hemos utilizado varias, concretamente el metro y el kilómetro, diremos entonces que la magnitud se expresa en forma compleja. A veces hacemos estimaciones, es decir damos la medida de una cosa sin utilizar ningún instrumento, en general se tratará de aproximaciones a la medida real. Ejemplo 0.1. Podríamos estimar que la altura del aula de matemáticas es de 3 metros si la comparamos con nuestra propia estatura. ¾Sabrías estimar la longitud y la anchura del aula o estancia en la que te encuentras ahora mismo? 1

3 Desde que tenemos constancia histórica la humanidad ha necesitado de un sistema de medidas para hacer los intercambios de las cosas. Era muy común que cada región geográca dispusiera del suyo propio dándose el caso de que con una misma palabra se hacía referencia a diferentes medidas, lo cual suponía en muchas ocasiones conictos en las transacciones mercantiles. Puedes investigar qué tipos de unidades se utilizan o utilizaban en tu región preguntándole a las personas mayores. En París, en el año 1875, se denió lo que se conoce como el sistema métrico decimal (SMD) que es un sistema que pretendía unicar el sistema de medidas para todo el mundo. Utiliza los múltiplos y submúltiplos de 10 para indicar las unidades de mayor o menor tamaño de la unidad de medida respectivamente. Como unidades de medida se utilizaron el metro, denido como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre, y como medida de peso se adoptó el kilogramo, denido a partir del peso de un decímetro cúbico de agua pura bajo ciertas condiciones de temperatura y presión. A partir de ahí se derivaron otras, dependientes de las anteriores como son el litro, el área, etc. Prácticamente todos los países europeos fueron adoptando el SMD a excepción del Reino Unido y, como consecuencia por in- uencia suya, Estados Unidos. En la actualidad son pocos los países del mundo que no lo han adoptado. En España, el metro se adoptó como unidad de longitud en Países que usan el SMD 2

4 3 Medida de la longitud La unidad de medida para medir longitudes es el metro (m). Sus múltiplos son: y los submúltiplos son: kilómetro hectómetro decámetro metro km hm dam m 1000 m 100 m 10 m 1 m metro decímetro centímetro milímetro m dm cm mm 1 m 0, 1 m 0, 01 m 0, 001 m Observa que para pasar de una unidad a otra inmediatamente superior hay que dividir por 10 y para pasar a otra inmediatamente inferior tenemos que multiplicar por 10. Ejemplos 0.2. Comprueba que: 23 dam= 230 m= 2300 dm, 48 mm= 0, 048 m, 17 km= m= cm. Ejemplos 0.3. Observa que: La expresión 2 hm 7 m dada en forma compleja se transforma en 207 m en forma incompleja. La expresión 3 km 2 hm 6 dm dada en forma compleja se transforma en 3200, 6 m en forma incompleja. La expresión 6754, 1 m dada en forma incompleja se transforma en 6 km 7 hm 5 dam 4 m 1 dm en forma compleja. Ejercicios 1. Completa la siguiente tabla: km hm dam m cm mm 34

5 4 2. Completa la siguiente tabla: km hm dam m cm mm Investiga en la web qué unidades se utilizan para medir cosas muy pequeñas o muy grandes (micra, año luz, nanómetro, etc) y busca su equivalencia con la unidad de medida. 4. Pasa de forma incompleja a compleja: a) 7845, 21 m, b) 400, 4 m. 5. Pasa de forma compleja a incompleja: a) 2 hm 5 cm 7 mm, b) 4 km 3 dam 9 m 3 cm, 6. Calcula 6 dam + 23 cm. Medida de la supercie La unidad de medida para medir supercies es el metro cuadrado (m 2 ). Sus múltiplos son: kilómetro hectómetro decámetro metro cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado km 2 hm 2 dam 2 m m m m 2 1 m 2 y los submúltiplos son: metro decímetro dcentímetro milímetro cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1 m 2 0, 01 m 2 0, 0001 m 2 0, m 2

6 5 Observa que para pasar de una unidad a otra inmediatamente superior hay que dividir por 100 y para pasar a otra inmediatamente inferior tenemos que multiplicar por 100. Ejemplos 0.4. Comprueba que: 8 m 2 = 800 dm 2, 3, 5 hm 2 = m 2 = dm 2, 4 m 2 = mm 2. Para pasar de forma incompleja a compleja las unidades de supercie la descomponemos en grupos de dos contando desde la coma tanto a la izquierda como a la derecha y lo escribiremos en una tabla como se indica en el ejemplo siguiente. A partir de ahí deduciremos fácilmente la expresión compleja. Supongamos que queremos pasar a compleja la expresión , 862 m 2, la descomponemos en la forma: hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm luego será: 3 hm 2 67 dam 2 21 m 2 86 dm 2 2 cm 2. Por el contrario si queremos pasar a incompleja la expresión compleja 6 hm 2 7 dam 2 13 m 2 5 dm 2 procedemos a escribirlo luego será: , 5 m 2. Ejercicios 1. Completa la siguiente tabla: hm 2 dam 2 m 2 dm hm 2 dam 2 m 2 dm Investiga en la web qué unidades se utilizan para medir terrenos como por ejemplo el área. Haz una tabla en la que aparezca un múltiplo y un submúltiplo del área y su equivalencia a metros cuadrados.

7 3. Pasa de forma incompleja a compleja: , 2 m Pasa de forma compleja a incompleja: 12 dam 2 7 m 2 5 dm He comprado una nca de 198 hectáreas de supercie. ¾Cuánto he pagado si el metro cuadrado ha costado a 2, 5 euros? 6. Calcula 13 hm m Calcula 1890 m 2 + 1, 7 ha. 6 Medida del volumen La unidad de medida para medir volúmenes es el metro cúbico (m 3 ). Sus múltiplos son: kilómetro hectómetro decámetro metro cúbico cúbico cúbico cúbico km 3 hm 3 dam 3 m m m m 3 1 m 3 y los submúltiplos son: metro decímetro dcentímetro milímetro cúbico cúbico cúbico cúbico m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1 m 3 0, 001 m 3 0, m 3 0, m 3 Observa que para pasar de una unidad a otra inmediatamente superior hay que dividir por 1000 y para pasar a otra inmediatamente inferior tenemos que multiplicar por Ejemplos 0.5. Comprueba que: 3 m 3 = 3000 dm 3, 3, 5 hm 3 = m 3 = dm 3. Para pasar de forma incompleja a compleja las unidades de volumen la descomponemos en grupos de tres contando desde la coma tanto a la

8 izquierda como a la derecha y lo escribiremos en una tabla como vemos en el ejemplo siguiente. A partir de ahí deduciremos la expresión compleja. Supongamos que queremos pasar a compleja la expresión , 32 m 3, la descomponemos en la forma: hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm luego será: 25 dam 3 43 m 3 32 dm 3. Por el contrario si queremos pasar a incompleja la expresión compleja 5 hm 3 21 dam m 3 25 dm 3 procedemos a escribirlo luego será: , 25 m 3. Ejercicios 1. Completa la siguiente tabla: hm 3 dam 3 m 3 dm hm 3 dam 3 m 3 dm 3 2. Pasa de forma incompleja a compleja: , 56 m Pasa de forma compleja a incompleja: 7 dam 3 23 m 3 45 dm Calcula 2 dam dm Medida de la masa La unidad de medida para medir la masa es el kilogramo; pero para indicar los múltiplos y submúltiplos lo hacemos a partir del gramo teniendo en cuenta que 1 kilogramo equivale a 1000 gramos. Como ya se dijo al principio, equivale a la masa de un decímetro cúbico de agua pura a una determinada presión y temperatura. Sus múltiplos son:

9 8 y los submúltiplos son: kilogramo hectogramo decagramo gramo kg hg dag g 1000 g 100 g 10 g 1 g gramo decigramo centigramo miligramo g dg cg mg 1 g 0, 1 g 0, 01 g 0, 001 g Para pasar de una unidad a otra inmediatamente superior hay que dividir por 10 y para pasar a otra inmediatamente inferior tenemos que multiplicar por 10. Ejemplos 0.6. Comprueba que: 17 dag= 170 g, 4 kg= dg, 7 hg= 700 g= mg. Ejemplos 0.7. Observa que: La expresión 5 kg 8 dag 3 g dada en forma compleja se transforma en 5083 g en forma incompleja. La expresión 8532 g dada en forma incompleja se transforma en 8 kg 5 hg 3 dag 2 g en forma compleja. Ejercicios 1. Completa la siguiente tabla: 2. Completa la siguiente tabla: kg hg dag g cg mg 56 kg hg dag g cg mg Investiga en la web qué unidad se utiliza para pesar objetos con mucha masa y busca su equivalencia con la unidad de medida.

10 9 4. Pasa de forma incompleja a compleja: a) , 4 g, b) 2374, 45 g. 5. Pasa de forma compleja a incompleja: a) 6 hg 2 cg 1 mg, b) 6 kg 4 dag 1 g 7 cg. 6. ¾Cuántos kilogramos pesa un camión de 5, 34 toneladas? 7. Calcula 2 kg +34 g +14 dag. Medida de la capacidad La unidad de medida para medir la capacidad es el litro. Sus múltiplos son: kilolitro hectolitro decalitro litro kl hl dal l 1000 l 100 l 10 l 1 l y los submúltiplos son: litro decilitro centilitro mililitro l dl cl ml 1 l 0, 1 l 0, 01 l 0, 001 l Igual que antes para pasar de una unidad a otra inmediatamente superior hay que dividir por 10 y para pasar a otra inmediatamente inferior tenemos que multiplicar por 10. Ejemplos 0.8. Comprueba que: 21 hl= 2100 l, 34 dal= cl, 4523 ml= 4, 523 l.

11 Ejemplos 0.9. Observa que: La expresión 8 kl 3 dal 5 l dada en forma compleja se transforma en 8035 l en forma incompleja. La expresión 346, 2 l dada en forma incompleja se transforma en 3 hl 4 dal 6 l 2 dl en forma compleja. Relación entre capacidad y volumen El diccionario de la RAE dice que el volumen es la magnitud física que expresa la extensión de un cuerpo en tres dimensiones: largo, ancho y alto, mientras que capacidad la dene como la propiedad de una cosa de contener otras dentro de ciertos límites. Por lo tanto, entre ambos términos existe una equivalencia que se basa en la relación entre el litro (unidad de capacidad) y el decímetro cúbico (unidad de volumen). Se tienen, entre otras, las siguientes equivalencias: Ejercicios 1 m 3 = 1000 litros 1 dm 3 = 1 litro 1 cm 3 = 1 mililitro 1. Completa la siguiente tabla: 2. Completa la siguiente tabla: kl hl dal l cl ml kl hl dal l cl ml Pasa de forma incompleja a compleja: a) , 3 l b) 46, 5 dal 4. Pasa de forma compleja a incompleja: 10

12 a) 5 hl 1 dal 34 l b) 2 kl 48 l 12 dl 5. Un embalse contiene 112 hm 3 de agua. Calcula su capacidad en m 3 y en litros. 6. ¾A cuántos litros equivalen 2, 4 m 3? 7. ¾Cuántos litros de agua se precisan para llenar una piscina que tiene 20 metros largo, 10 de ancho y 1, 5 de profundidad? 11 Medida del tiempo La unidad de medida para medir el tiempo es el segundo (s). Sus múltiplos son: y los submúltiplos son: hora minuto segundo h min s 3600 s 60 s 1 s segundo décima de centésima de milésima de segundo segundo segundo 1 s 0, 1 s 0, 01 s 0, 001 s Veamos algunos ejemplos de cómo pasar de unas unidades a otras. Ejemplo Pasa a segundos 2 h 15 min 12 s. Pasamos a segundos cada una de las unidades y sumamos: = = 8112 s. Ejemplo Expresa en horas minutos y segundos 4580 s. Primero dividimos 4580 entre 60 y resulta 76 de cociente (minutos) y 20 de resto (segundos). Ahora dividimos 76 entre 60 y se obtiene 1 de cociente (horas) y 16 de resto (minutos). Luego se tiene que 4580 s= 1 h 16 min 20 s.

13 12 Ejercicios 1. Completa la siguiente tabla: h min s Completa la siguiente tabla: h min s Expresa en horas minutos y segundos: a) s, b) 5040 s. 4. ¾Cuántas horas tiene una semana? ¾Y cuántos minutos? ¾Y cuantos segundos? Unidades monetarias La unidad monetaria en la mayoría de los países europeas, España incluida, es el euro (e). El euro sólo tiene un submúltiplo que es el céntimo de euro (1 e= 100 céntimos). No hay que confundir múltiplos de euro con las monedas de 2 euros o los billetes de 5, 10, 20, 50, 100, 200 o 500 euros. Ejemplo Pasa a céntimos de euro 23 e y 48 céntimos. Pasamos a céntimos los euros y sumamos: = = 2340 céntimos. Ejemplo Expresa en euros y céntimos de euro 5680 céntimos de euro. Dividimos 5680 entre 100 y resulta 56 de cociente (e) y 80 de resto (céntimos). Luego se tiene que 5860 céntimos = 56 e y 80 céntimos.

14 13 Una moneda de otro país que no sea el euro se considera en España una divisa, como por ejemplo el dolar estadounidense o el yen japonés. Para cambiar una moneda por otra se necesita saber el cambio ocial que suele cambiar frecuentemente. Ejercicios 1. Expresa en euros: a) céntimos, b) céntimos. 2. Investiga en la web el cambio ocial de hoy de: el dolar estadounidense, el yen japonés, la libra esterlina y el peso argentino. 3. ¾Cuántos dolares estadounidenses, yenes japoneses, libras esterlinas y pesos argentinos son 100 e? 4. Compramos un videojuego cuyo precio es de 52,30 e. Le damos al dependiente un billete de 50 ey otro de 20 e. ¾Cuánto nos devolverá? Utilizando billetes y monedas de curso legal di una posible forma de dar el cambio. 5. Vamos a ir de viaje a Suecia. Disponemos para ello de 800 euros para gastos. Vamos a un banco a cambiarlo por la moneda ocial sueca. ¾Qué y cuánto nos darán? Ejercicios propuestos 1. En el supermercado A tenemos la siguiente oferta de un refresco: Llévate 4 botes de 20 centilitros y paga 3. Precio del bote 65 céntimos de euro. El supermercado B tiene la siguiente oferta del mismo refresco: Por la compra de un litro te regalamos un bote de 20 centilitros. Precio del litro 3 euros Necesito comprar 12 litros para celebrar un cumpleaños, ¾dónde debo hacer la compra?, ¾cuánto me gastaré?

15 2. Investiga en la web otras unidades que no son del sistema métrico decimal y que se usan para medir longitudes como por ejemplo la milla terrestre, la pulgada, la milla náutica, etc. Haz una tabla con sus equivalencias en kilómetros, metros o centímetros según interese. 3. En una película vemos que el velocímetro de un automóvil marca 100 millas por hora. ¾A cuantos km/h circula? 4. El precio del litro de agua en el año 2013 en un determinado municipio era de 0, euros el litro. Si queremos llenar una piscina que tiene de largo 15 metros, 8 metros de ancho y 1,4 metros de profundidad, ¾cuánto nos costará? 5. Los incendios forestales quemaron aproximadamente hectáreas en el año 2013 en España. Averigua cuál es la supercie máxima de un campo de fútbol y calcula cuántos campos de fútbol cabrían aproximadamente en la supercie quemada anterior. 14