I. NOMENCLATURA INTRODUCCIÓN

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1 Mecanismo de propulsión de cuerpos flexibles con movimiento peristáltico G. J. Doisenbant, J. M. Cabaleiro, G. O. Artana Laboratorio de Fluidodinámica - Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires - Argentina gdoisenbant@fi.uba.ar Abstract Most of aquatic organisms are moved by peristalsis generating traveling waves through their flexible bodies. This paper seeks to characterize the movement in a particular type of swimming: anguilliform swimming. Using various techniques such as particle image velocimetry and numerical simulation, this study can aid our understanding of the relationship between the movement of the body and the dynamics of vortex generation in order to achieve propulsion devices for ships inspired in the selection processes that occur in nature. Palabras Claves Biomimesis, CFD, Fluidodinámica, Peristalsis, PIV, Propulsión, Simulación, Vórtices. CFD: PIV: ComputationalFluid Dynamics ParticleImageVelocimetry I. NOMENCLATURA II. INTRODUCCIÓN Una gran parte de los organismos acuáticos se desplazan mediante movimientos peristálticos generando ondas viajeras a través de sus cuerpos flexibles.el movimiento realizado por animales durante el nado fue estudiado fotográficamente por Gray desde la década de 1930 [1]. Sin embargo, los intentos para analizar el nado desde el punto de vista hidrodinámico no prosperaron en ese momento porque sólo se habían realizado estudios fluidodimámicos sobre cuerpos rígidos y, en general, no hay forma de que experimentos realizados con cuerpos rígidos puedan usarse para predecir las fuerzas que actúan sobre cuerpos flexibles[2]. Como señala Tytell[3], diferentes animales acuáticos nadan en formas diferentes. Para categorizar esta diversidad, un primer agrupamiento distingue entre los animales que usan todo su cuerpo (anguiliformes) y los que usan principalmente una aleta caudal para su propulsión (carangiformes). En particular, los nadadores anguiliformes tienden a ser alargados con poco o ningún estrechamiento en el extremo posterior, y han sido históricamente mucho menos estudiados que los carangiformes. El análisis de las formas ondulatorias de nado requiere el conocimiento de las fuerzas del fluido actuando sobre el cuerpo del animal durante el nado. Hace más de cuarenta años atrás, cuando las capacidades actuales de cálculo computacional no estaban disponibles, no era posible estimar las fuerzas del fluido por simulación numérica de su movimiento, motivando así el trabajo experimental y analítico de Taylor[2] y Lighthill[4]. En particular, el trabajo de Taylor con altos números de Reynolds (fuerzas inerciales mucho mayores que las viscosas) en el nado ondulatorio de sanguijuelas fue pionero para los trabajos posteriores en el área[5]. Taylor [2] planteó que en el caso especial en que el cuerpo flexible sea muy largo en comparación con sus dimensiones transversales se puede asumir que la reacción del agua circundante en cualquier sección es la misma que existiría si esa sección perteneciera a un cilindro largo moviéndose a la misma velocidad y en la misma dirección. Su modelo teórico está basado en mediciones experimentales de las fuerzas del fluido actuando sobre un cilindro inclinado en un flujo de aire de velocidad constante. Taylor desarrolló una fórmula para calcular la fuerza del fluido actuando sobre animales largos y delgados con altos números de Reynolds y aproximando el cuerpo con un cilindro de sección transversal uniforme. Luego consideró un caso aproximadamente ideal en que el animal nada a velocidad V, propulsado por una ondulación corporal en que el cuerpo adquiere una forma sinusoidal en cada instante de tiempo, con ondas viajando a través del cuerpo a una velocidad constante U con respecto al cuerpo. Aunque no lo expresó explícitamente, en su análisis también asumió un cuerpo de longitud infinita u omitió considerar el movimiento rotacional y posibles desprendimientos de vórtices debido a la longitud finita del cuerpo. En cualquier caso, cada punto del cuerpo se mueve hacia adelante el mismo espacio luego de un ciclo de ondulación, y V puede ser definida como esa distancia divida el período del ciclo.geométricamente, Taylor planteó que la línea media del cuerpo de la sanguijuela en el instante t tiene la siguiente forma: y = Bsen{ 2π [x + ( U V )t]} λ donde B es la amplitud de la onda corporal. A su vez, simplificó el análisis dando al campo completo una velocidad U-V en la dirección +x. Diferenciándose de Taylor, Lighthill[6] describe al movimiento anguiliforme como el modo ondulatorio de propulsión en que participa el cuerpo entero con una amplitud que se incrementa sustancialmente hacia el extremo posterior del animal. Así, propone la siguiente ecuación: l x y = H (x)cos [ω(t )] + V

2 donde la amplitud de la onda viajera ya no es constante, sino que depende de la posición del punto considerado en el cuerpo del animal [7]. Esta descripción del nado anguiliforme se aplica tanto a las anguilas (de las que se deriva el nombre del modo de nado) como a los flagelados, los nematodes, las sanguijuelas y las lampreas [6]. Recientemente Jordan[8] retomó las investigaciones experimentales sobre el nado de la sanguijuela. En particular, estudió los efectos de escala en la cinemática y la dinámica del nado. Según sus observaciones, el nado mediante la ondulación de todo el cuerpo es un modo de locomoción común en organismos en amplios rangos de taxonomía y tamaño pero,a pesar de esta diversidad, parece haber una constancia en la cinemática de nado. La onda propulsora crece en amplitud al moverse de la cabeza a la cola. La relación entre la velocidad de la onda propulsora hacia atrás y la velocidad de nado hacia adelante está en el rango 2-4 y hay generalmente entre 1 y 1,5 ondas propulsoras en el cuerpo durante el nado. La sanguijuela Hirudomedicinalis es un ectoparásito de vida libre de vertebrados, originario de los lagos y ríos de Europa. Es un excelente modelo de animal para explorar la mecánica de nado, particularmente con respecto a cuestiones de escala [8]. Dos artículos publicados por Brackenbury[9] y Ellerby[10] en los últimos años detallan los dispositivos experimentales utilizados para el estudio del movimiento mediante la obtención de videos. La sanguijuela nada haciendo ondular en la dirección vertical su cuerpo aplanado y extendido, para formar una onda corporal que viaja en la dirección antero-posterior ( Figura 1 ). Cuando ondula en el agua, la sanguijuela controla su orientación para mantener su cara ventral hacia abajo. Las crestas viajeras de la onda corporal se producen por un ritmo metacrónico de contracción de segmentos sucesivos de la pared corporal ventral y los valles se producen por un ritmo metacrónico de contracción de la pared corporal dorsal similar pero antifásico[9]. Como fue notado por Leonardo da Vinci, las fuerzas ejercidas contra el agua por estos cambios en la forma del cuerpo proveen la propulsión que conduce al animal a través del medio fluido [10]. Desde el punto de vista fisiológico, el comportamiento de nado de la sanguijuela es generado por un oscilador central asociado a un conjunto de mecanismos sensoriales que controlan el inicio y el final de los episodios de nado, otros mecanismos químicos que modulan el desarrollo del nado, y, de estudio más reciente, una retroalimentación sensorial en la coordinación intersegmental[11]. Los sistemas sensoriales y motrices en las sanguijuelas están entre los mejor entendidos en la naturaleza, proveyendo una base para una cantidad cada vez más grande de modelos que explícitamente revelan la interacción entre los osciladores centrales y la retroalimentación sensorial en el comportamiento de la sanguijuela[12].una investigación en curso sobre las propiedades mecánicas de la pared corporal de las sanguijuelas es parte de un proyecto más grande para entender completamente la relacióndel oscilador central con la ejecución de movimientos de nado de la sanguijuela[14]. En la actualidadszczupak realiza investigaciones sobre el sistema nervioso de la sanguijuela[15].estudios sobre la ontogenia del movimiento de la sanguijuela junto con la nueva técnica para seguimiento óptico de sanguijuelas comportándose libremente, deberán impulsar un mayor avance en la comprensión del movimiento de la sanguijuela[14]. La técnica de PIV tuvo un desarrollo en los últimos años en aplicaciones para el conocimiento del flujo alrededor de láminas ondulandes y organismos nadadores y voladores.entre otros, se destacan las investigaciones de Anderson sobre láminas ondulantes de alta eficiencia propulsiva [16], las de Tytell sobre el nado de anguilas [3] y truchas [17], y las de Nagayama sobre el nado de cobítidos (cuya forma de nado es anguiliforme) [18]. Por su parte, Claflin publicó un estudio del nado de la sanguijuela con toma de videos de alta frecuencia, pero no utilizó la técnica de PIV en sus investigaciones y por lo tanto no obtuvo campos de velocidad del fluido [19]. La técnica de CFD para simular el movimiento de nado fue empleada por Bowtellcreando un modelo bidimensional inicialmente formado por barras, resortes y amortiguadores [20]. Luego refinó el modelo para que describa más fielmente el cuerpo continuo flexible del animal [21]. Jordan incorporó en su propio modelo propiedades fisiológicas de los músculos más realistas, y comparó sus simulaciones con el nado real de la sanguijuela [22]. El modelo de Skierczynski es un modelo biomecánico tridimensional con una sección transversal similar a la de la sanguijuela real, sin embargo, está limitado a estados de equilibrio estacionario [23].Carling usa un modelo bidimensional para estimar los campos de flujo detrás de un nadador anguiliforme autopropulsado. En él resuelve simultáneamente las ecuaciones de Navier-Stokes y las leyes de movimiento de Newton, sin embargo el modelo no fue validadocon animales vivos [24]. Cortez intenta unificar en una misma simulación la mecánica interna del animal con la fluidodinámica externa del medio en que nada llegando a la conclusión de que el modelado biológico proporciona un potente medio para estudiar los mecanismos de generación de fuerza interna de un organismo nadando que están necesariamente relacionadas con el fluido circundante [25]. El modelo de Eldredge consiste en una sucesión de elipses sincronizadas, abriendo la posibilidad a la representación del cuerpo continuo de la sanguijuela mediante una sucesión de una mayor cantidad de elementos con un movimiento similar al de la

3 sanguijuela real [26]. Kajtar, en un modelo similar, introduce parámetros de nado de la sanguijuela real y compara visualmente la simulación con los videos experimentales [27].Chen emplea una sucesión de 18 elementos rígidos unidos mediante juntas con posibilidad de rotación sin fricción, sin embargo sus resultados tampoco fueron contrastados con la estela de nado que es posible obtener mediante PIV [28]. En resumen, si bien se realizaron importantes avances en la simulación numérica del nado anguiliforme, ninguno de los métodos desarrollados hasta el momento logra simular acabadamente todos los aspectos de la dinámica del mismo [29]. Barret [30]demostró experimentalmente, mediante el uso de dispositivos biomiméticos, que una condición para la reducción de la resistencia al avance es que la velocidad de propagación de la onda corporal sea mayor que la velocidad de avance. Por su parte, los hermanos Triantafyllou, ambos ingenieros navales del MIT dedicados a la investigación de la propulsión natural y al desarrollo de dispositivos biomiméticos autónomos[31],en uno de sus artículos más recientes [32] destacan los importantes avances en el entendimiento de algunos de los mecanismos básicos de generación de empuje y la manipulación del flujo en láminas ondulantes para uso submarino. Sin embargo, afirman que todavía hay mucho por aprender con respecto a la formación de vórtices. El presente trabajo busca avanzar en el conocimiento de la fluidodinámica relacionada con el nado anguiliforme. Para ello se procura desarrollar una metodología de obtención de datos, análisis y procesamiento de la información obtenida experimentalmente para el caso particular de la sanguijuela medicinal.luego, se pretende caracterizar los patrones de flujo que aparecen en el agua como consecuencia del nado de la sanguijuela.finalmente, se propone una comparación de los resultados experimentales con aquéllos obtenidos mediante simulaciones numéricas. A. Dispositivo experimental III. DESARROLLO Para la realización de las experiencias se obtuvieron sanguijuelas medicinales adultas originarias de Francia.Los animales fueron mantenidos a temperatura controlada en recipientes conteniendo una solución de sales en agua destilada, que también fue utilizada en las experiencias. Para las experiencias con partículas, se agregaron 0,2 g de microesferas huecas de vidrio bañadas en plata de 10 µm de diámetro por cada litro de solución. El canal de experiencias se construyó utilizando vidrio float de 3 mm de espesor. La longitud adoptada fue 800 mm, la altura 150 mm, y el ancho 40 mm. En cada extremo se colocó un sector cilíndrico de 100 mm de diámetro para que los animales tuvieran la posibilidad de invertir su sentido de nado y continuar nadando en sentido opuesto al llegar al extremo del canal. El material de unión empleado fue sellador de silicona neutro, el cual no afecta a los seres vivos que están en contacto con él, ni libera componentes nocivos al agua. El sellador cumple la doble función de unir estructuralmente las partes del canal y garantizar la estanqueidad del mismo. La iluminación preparada especialmente para la toma de imágenes con alto contraste consistió en un arreglo rectangular de 60 diodos emisores de luz blanca, con una potencia total de 12 W. El mismo fue colocado por detrás del canal para obtener un mayor contraste entre la sanguijuela oscura y el fondo claro. Entre la fuente lumínica y el canal se colocaron difusores de potencia lumínica, lográndose una distribución más homogénea de la misma en el área de toma de imágenes. En el caso de las tomas con partículas, la iluminación consistió en un plano láser vertical longitudinal. Para ello se utilizó un dispositivo generador de un haz de luz coherente color verde (λ = 532 nm). El plano láser fue creado con un polígono espejado rotante de alta frecuencia colocado sobre el canal como muestra la Figura 2. El mismo tiene 10 lados y una velocidad de 4000 rpm. De esta forma se crea un plano de luz y sólo se iluminan las partículas contenidas en ese plano. Figura 2: ubicación del láser y el espejo rotante Para la adquisición de las imágenes sin partículas se utilizó una cámara PixelFly SN:200 XD 3767, con una lente Nikon AF MICRO NIKKOR 60 mm 1:2.8 D, con una frecuencia de 50 cuadros por segundo y una resolución de 4,85 pixeles por milímetro. La cámara rápida utilizada para las tomas con partículas es SpeedCamMiniVis e2, con una lente FUJINON-TV 1:18/75, una frecuencia de 300 cuadros por segundo y la misma resolución de 4,85 pixeles por milímetro.

4 A. Metodología experimental Durante decenas de horas de nado de varias sanguijuelas se adquirieron cientos de videos que luego de una selección permitieron contar con suficientes datos para buscar una expresión matemática que describiera adecuadamente el movimiento de nado. Los videos fueron analizados mediante una serie de algoritmos desarrollados especialmente en el entorno de programación OCTAVE. La primera operación que se aplica sobre cada imagen es la obtención del contorno del cuerpo del animal, y a partir de él, la línea media, como se muestra en la Figura 3. Repitiendo en forma automática el procedimiento para todas las imágenes de un video, se obtienen las coordenadas de todos los puntos de la línea media en función del tiempo. Figura 3: obtención de la línea media del cuerpo El procesamiento de los datos continúa con el ajuste de los datos experimentales mediante una expresión matemática que indique la posición vertical de cada punto en función de su posición horizontal y del tiempo. Para el ajuste se proponen varias expresiones posibles, algunas de las cuales se muestran en la Tabla 1. En todos los casos, las variables (x,y,t) son los valores dato que se deben ajustar. El ajuste se realiza por el método de cuadrados mínimos y, además de los parámetros de la expresión matemática, se obtiene un coeficiente de determinación que indica si el ajuste es bueno. Expresión matemática Parámetros de ajuste B = amplitud y = Bsen λ [x + ( U V )t] λ = longitud de onda U = velocidad de onda (Taylor[2]) V = velocidad de avance H(x) = amplitud l x y = H (x)cos [ω(t + V )] ω =vel.ang. de onda l = extensión del (Lighthill[7]) animal V = velocidad de onda A = amplitud y = A(x x 0 )sen[2π( λ T t ) 0 ] x 0 = abscisa 0 λ = longitud de onda (Sinusoide modulada linealmente) T = período de la onda φ 0 = fase inicial y 0 = ordenada a 0 = coef.indep. y = A(x)sen[2π( x λ T t ) 0 ] 0 donde 2 A (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a 2 = coef.térm. cuad. x 0 = abscisa a 1 = coef. término lineal λ = longitud de onda (Sinusoide modulada cuadráticamente) T = período de la onda φ 0 = fase inicial y 0 = ordenada La técnica de PIV permite obtener el campo de velocidades de un fluido sembrado con partículas mediante la comparación de pares de fotos y el análisis del movimiento de las partículas entre una foto y otra. La técnica consiste en medir el desplazamiento del fluido en un intervalo de tiempo determinado. Para su evaluación, se divide la grabación digital de PIV en pequeñas áreas dentro de las cuales se determina e l vector de desplazamiento local. El principal software utilizado para en esta etapa es DaVis, que analiza las imágenes de cada video mostrando como resultado los campos de velocidad en función del tiempo. Esto permite observar la evolución de los vórtices en la estela que deja el animal tras su paso. B. Simulaciónnumérica Se elige para la simulación el programa Gerris, un software libre de CFD que resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes permitiendo modelizar el movimiento de los fluidos aplicando el método de volúmenes finitos [33]. Gerris se caracteriza por utilizar mallas semiestructuradas quadtree y octree. Este tipo de discretizacióndel dominio es un buen compromiso entre la flexibilidad de mallas no estructuradas y la eficiencia computacional de mallas estructuradas. Al adaptarse dinámicamente la malla a la solución que se está obteniendo, se logran importantes mejoras en tiempo computacional [34]. Para la simulación se configura un flujo bidimensional alrededor de la sanguijuela que permita la comparación con los

5 resultados experimentales. La sanguijuela es representada mediante una sucesión de cuerpos prismáticos que simulan ser los anillos del animal, teniendo cada uno de ellos un movimiento independiente, pero asegurando mediante el código que este movimiento sea sincrónico. Los parámetros cinemáticos son los que se obtuvieron del ajuste espaciotemporal de los datos experimentales. IV. ANÁLISIS DE RESULTADOS Entre las expresiones matemáticas propuestas, la que mejor ajusta la forma de nado de la sanguijuela es la sinusoide modulada por un polinomio de segundo grado. Los valores de los parámetros obtenidos experimentalmente son los siguientes: a 0 = 0 mm, a 1 = 0,02, a 2 = 0,005 mm -1, x 0 = -358 mm, λ = 67 mm, T = 0,34 s, φ 0 = 0, y 0 = 0 mm.en la Figura 4 se observa una representación tridimensional de los datos originales y el ajuste matemático superpuesto, para un video determinado. Figura 4: ajuste espaciotemporal del nado Mediante la técnica de PIV se obtuvieron los campos de velocidad del fluido circundante a la sanguijuela, durante su movimiento de nado. En cada secuencia de imágenes se puede observar el desplazamiento de los vórtices y la disminución de su intensidad con el tiempo, debido a la disipación viscosa. En la estela dejada por la sanguijuela se puede distinguir el desprendimiento de dos pares de vórtices por cada ciclo de nado. En la Figura 5 se observa la ubicación de estos vórtices en una imagen que corresponde a la estela de una sanguijuela cuyo sentido de nado fue hacia la izquierda y levemente

6 hacia abajo. Figura 5: calle de vórtices en la estela (PIV) La calle de vórtices fue observada tanto en las experiencias con la sanguijuela real, como en las simulaciones numéricas. El desprendimiento de los vórtices y la evolución de los mismos coinciden en ambos casos, sin embargo, la disminución de su intensidad por disipación viscosa en general no coincide completamente. La búsqueda de una mayor coincidencia en este sentido queda como trabajo a futuro. Figura 6: calle de vórtices en la estela (CFD) V. CONCLUSIONES En primer lugar, se obtuvo una buena caracterización del patrón de nado de la sanguijuela. Aun así, el ajuste obtenido de la forma de nado admite eventuales mejoras, mediante la evaluación de expresiones matemáticas alternativas. En segundo lugar, por primera vez se obtuvieron campos de velocidad mediante PIV sobre este tipo de animales. Esto permitió observar los dos pares de vórtices contrarrotativos presentes en la estela por cada ciclo de nado. Por último, se obtuvo una sanguijuela virtual que desprende vórtices en forma similar a la sanguijuela real. El uso de mallas semiestructuradas con refinamiento adaptativo permitió realizar las simulaciones numéricas con moderados requisitos de hardware. II. REFERENCIAS

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