5.3 Estadísticas de una distribución frecuencial

Transcripción

1 5.3 Estadístcas de ua dstrbucó frecuecal 5.3. Meddas de tedeca cetral Meddas de tedeca cetral Las meddas de tedeca cetral so descrptores umércos que proporcoa ua dea de los valores de la varable, alrededor de los cuales tede a aglomerarse los datos. Los más útles so la meda, la medaa y la moda. Las udades so las msmas que los de los datos. Meda De ua sere de datos. Es el promedo artmétco. Notacó: Dode: = úmero de datos X = dato, =,,..., De ua dstrbucó de datos agrupados: f Dode: = úmero de datos = úmero de tervalos de clase = marca de clase, =,,, f = frecueca de clase, =,,, (5.7) (5.7 )

2 Medaa De ua sere de datos: Es el valor termedo de la sere ordeada. Notacó: M. S es mpar, se toma el valor termedo. S es par, se toma el promedo de los valores termedos. De ua dstrbucó de datos agrupados Dode: = úmero de datos M 45.9 / F M M LM dm fm LM = límte real feror del tervalo que cotee a la medaa FM = frecueca acumulada hasta el límte real feror LM fm = frecueca del tervalo que cotee a la medaa DM = tamaño del tervalo que cotee a la medaa (5.8) El tervalo que cotee a la medaa es aquel para el cual, meos del 5O % de los valores so meores que su límte real feror y meos del 5O % de los valores so mayores que su límte real superor. 30 / 0 M Moda De ua sere de datos: es el valor que se repte más frecuetemete e la sere de datos. Notacó: M

3 M 4.6 De ua dstrbucó de datos agrupados: es la marca de la clase del tervalo de mayor frecueca Ua dstrbucó umodal es aquella que tee ua sola moda. Ua dstrbucó multmodal es aquella que tee más de ua moda. S tee dos modas es bmodal; s tee tres modas, es trmodal. Ua dstrbucó es smétrca s su meda y su medaa cocde: M S además la dstrbucó es umodal, la meda, la medaa y la moda cocde: M M Se dce que ua dstrbucó es asmétrca a la derecha o sesgada postvamete, s la meda es meor que la medaa: M Se dce que ua dstrbucó es asmétrca a la zquerda o sesgada egatvamete, s la meda es mayor que la medaa: M Caso dscreto S se trata de ua sere de datos, la meda, la medaa y la moda se obtee de la msma maera que para el caso cotuo. S los datos está agrupados: Meda: f (7 )

4 Dode: = úmero de datos = úmero de clase = clase, =,,..., f = frecueca de clase, =,,..., Medaa: Se da e forma apromada, de la msma maera que e el caso cotuo, dcedo que está etre dos valores dscretos de la varable. 49 / M.3 Moda: Es la clase de mayor frecueca; e el caso dscreto, la moda de la dstrbucó de datos agrupados cocde co la moda de la sere de datos.

5 Caso omal La úca medda de tedeca cetral apropada para varables omales es la moda. Moda es el ombre que presete co mayor frecueca. Auque meos usuales que las aterores, la meda geométrca, la meda armóca y el promedo cuadrátco, so meddas de tedeca cetral bastate útles. Meda geométrca Notacó: G De ua sere de datos: G ó Dode: = úmero de datos = dato, =,,, log G log (5.9) De ua dstrbucó de datos agrupados: f G ó Dode: = úmero de datos = úmero de tervalos = marca de clase, =,,, f = frecueca de clase, =,,, log G f log (5.9 ) Meda armóca Notacó: H De ua sere de datos:

6 H (5.0) Dode: = úmero de datos = dato, =,,, De ua dstrbucó de datos agrupados: Dode: = úmero de datos = úmero de tervalos = marca de clase, =,,, f = frecueca de clase, =,,, H f (5.0 ) Promedo cuadrátco Notacó: De ua sere de datos: Dode: = úmero de datos = dato, =,,, (5.) De ua dstrbucó de datos agrupados Dode: = úmero de datos = úmero de tervalos = marca clase, =,,, f = frecueca de clase, =,,, f (5. ) 5.3. Meddas de dspersó Las meddas de dspersó so descrptores umércos que proporcoa ua dea de la dspersó o varabldad de los datos. Los más útles so la varaca, la desvacó estádar y el coefcete de varacó.

7 Varaza Notacó: s De ua sere de datos: Dode: = úmero de datos = dato, =,., = meda de la sere de datos s ( ) (5.) s De la dstrbucó de los datos agrupados: s ( ) f Dode: = úmero de datos = úmero de tervalos = marca clase, =,,, = meda de la dstrbucó de datos agrupados f = frecueca de clase, =,,, (5. ) La varaza es ua medda de dspersó que mde la varabldad de los datos alrededor de la meda, pero o tee como ésta, las msmas udades que los datos, debdo a que e su obtecó se volucra térmos cuadrátcos: ó

8 f. La razó de elevar al cuadrado las dferecas es la de elmar los térmos egatvos, que sumados a los postvos, daría como resultado el valor cero. Fórmula smplfcada para la varaza La varaza es gual al promedo cuadrátco meos el cuadrado de la meda: s (5.3) s Varaza modfcada Notacó: s De ua sere de datos: Dode: = úmero de datos = úmero de tervalos = dato, =,,, s = meda de la dstrbucó de datos agrupados s De ua dstrbucó de datos agrupados: s f Dode: = úmero de datos K =úmero de tervalos = marca clase, =,,, = meda de la dstrbucó de datos agrupados f = frecueca de clase, =,,, s (5.4) (5.4 ) Hay razoes mportates para utlzar s e lugar de s ; éstas se verá luego, e la parte de fereca estadístca.

9 Desvacó estádar Notacó: s De ua sere de datos: s s (5. ) De ua dstrbucó de datos agrupados s f s (5. ) La desvacó estádar es la raíz cuadrado de la varaca, por lo que s tee las msmas udades que los datos. s s (5.5) s (5.3 ) Desvacó estádar modfcada Notacó: s De ua sere de datos: s s (5.4 ) De ua dstrbucó de datos agrupados: s f (5.4 ) s La desvacó estádar modfcada es la raíz cuadrada de la varaca modfcada. s s (5.5 ) Coefcete de varacó Notacó: v v s (5.6)

10 El coefcete de varacó es ua medda de dspersó admesoal que permte comparar drectamete la desvacó estádar co la meda v 0.07, v Auque meos usuales que las aterores, otras meddas de dspersó bastate útles so el rago y la desvacó meda. Rago El rago de ua sere de datos es gual a la dfereca etre el dato de mayor valor y el dato de meor valor. Notacó: R Desvacó meda Notacó: D De ua sere de datos: Dode: = úmero de datos = dato, =,,, = meda de la sere de datos D (5.7) D De la dstrbucó de datos agrupados: D f Dode: = úmero de datos = úmero de tervalos = marca clase, =,,, = meda de la dstrbucó de datos agrupados f = frecueca de clase, =,,, (5.7 )

11 La desvacó meda es ua medda de dsposcó que tee las msmas udades que los datos. La utlzacó de valores absolutos permte elmar los térmos egatvos, evtado co esto que la suma de las dferecas se aule Meddas de asmetría y curtoss Las meddas de asmetría so descrptores umércos que da ua dea de la smetría o asmetría de la dstrbucó de frecuecas obtedas de los datos. Coefcete de asmetría Notacó: G De la sere de datos: Dode: = úmero de datos = dato, =,,, G 3 s = meda de la dstrbucó de datos s = desvacó estádar de la sere de datos 3 (5.8) 3 G

12 De la dstrbucó de datos agrupados Dode: = úmero de datos = úmero de tervalos = marca clase, =,,, G f 3 s = meda de la dstrbucó de datos agrupados s = desvacó estádar de la dstrbucó de datos agrupados f = frecueca de clase, =,,, 3 (5.8 ) El coefcete de asmetría es ua medda admesoal. Coefcete de asmetría de Pearso Notacó: AP Dode: = meda M = moda s = desvacó estádar Dode: = meda M = medaa s = desvacó estádar A A P P M s 3 M s (5.9) (5.9 ) S G, AP > 0; dstrbucó sesgada postvamete o a la derecha S G, AP = 0; dstrbucó smétrca S G, AP < 0; dstrbucó sesgada egatvamete o a la zquerda El coefcete de Pearso o es efcete para medr asmetrías leves.

13 Las meddas de curtoss so descrptores umércos que da ua dea de la agudeza o aplaameto de la dstrbucó obteda de los datos. Coefcete de curtoss Notacó: G De la sere de datos: Dode: = úmero de datos = dato, =,,, G 4 s = meda de la sere de datos s = desvacó estádar de la sere de datos 4 (5.0) G De la dstrbucó de los datos agrupados Dode: = úmero de datos = úmero de tervalos = marca clase, =,,, G f 4 s = meda de la dstrbucó de datos agrupados s = desvacó estádar de la sere de datos f = frecueca de clase, =,,, 4 (5.0 )