Estadística Teórica I

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1 Estadístca Descrptva EXCEL SPSS Facultad Cencas Econócas y Epresarales Departaento de Econoía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández Estadístca Teórca I ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL

2 Estadístca Descrptva EXCEL SPSS Facultad Cencas Econócas y Epresarales Departaento de Econoía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández

3 Ejerccos Estadístca Descrptva Facultad Cencas Econócas y Epresarales Departaento de Econoía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández. En la tabla se uestran las rentas (en les de euros) y el núero de personas que las percben: Se quere obtener: Rentas (les euros) L L ) [ + n a) El polígono de frecuencas absolutas y el hstograa. b) Medana, Percentl 7 y Moda. c) Meda Artétca, Meda Geoétrca y Arónca. d) Desvacón Meda (respecto a la eda) y Coefcente de Varacón Meda. e) Coefcentes de Asetría de Pearson y de Fsher. f) Hallar la Meda Artétca y Desvacón Típca utlzando un cabo de varable. g) Coefcente de Curtoss. h) Concentracón de la renta (curva de Lorenz, Índce de Gn). Solucón: a) El polígono de frecuencas absolutas y el hstograa. La tabla de frecuencas absolutas: Rentas (les euros) L L ) [ + n Apltud c n h c , En la construccón del hstograa heos de colocar enca de cada ntervalo un rectángulo cuyo área sea gual (en núero) a la frecuenca absoluta de dcho ntervalo, procedendo a calcular la altura h de cada rectángulo n h donde c es la longtud del ntervalo c

4 b) Medana, Percentl 7 y Moda. En las tablas de tpo III, los ntervalos no son de apltud constante. 78 Para calcular la Medana, 9. La observacón 9 se encuentra en el ntervalo [ 7) Calculaos la Medana: M L c e, En la representacón gráfca se establece una proporconaldad entre las bases y las alturas En el caso del Percentl 7, 8, 00 La observacón 8, se encuentra en el ntervalo [7 ) , P7 L + c , 66 La Moda es el ntervalo de áa frecuenca. Por tanto, el ntervalo odal es [ 7). La poscón eacta de la oda se calcula establecendo una proporconaldad entre las bases y las alturas.

5 En nuestro caso, M d (h h ) (6 ) L + c con lo cual, M d +, 8 (h h ) + (h h ) (6 ) + (6 ) + h+ La oda aproada cuando esten dstntas apltudes: Md L + c +, 6 h + h + c) Meda Artétca, Meda Geoétrca y Arónca. Rentas L L ) [ + n. n n / + log n log 7 60, 0,6989 8, , ,6,760 8, ,6,00, ,8,979 6,778 n 78.n 0.n 0 Meda artétca:, 6 78 (les de euros) Meda geoétrca: cual: G 0 log G G n n n n n / 6, 88 n log 86, 9976 L, para el cálculo se procede toando logartos, con lo n n n n n n log L log( ) log( ) log( + + L + n log n ) n log en consecuenca, log G n log (86,9976), 78, G 0,0 (les de euros) Meda arónca: 78 A, con lo cual, A, 7 n n 6,88 (les de euros) Obsérvese que se verfca la fórula de Foster, para dstrbucones de frecuencas con valores postvos: A G d) Desvacón Meda (respecto a la eda) y Coefcente de Desvacón Meda. Rentas L L ) [ + n. n ,6, ,6 8, ,8 9, 7 0 0,8 6, ,8,6 n 78.n 0 n 96, 9 n

6 .n 0,6 78 La desvacón eda respecto a la eda artétca: D n 96,9 con lo cual, DM (), M () n El coefcente de varacón eda respecto a la eda artétca: CV DM (),088,6 D M 0,8 CV () D M Me n OTA. La desvacón eda respecto a la edana: DM(M e) y el coefcente de DM(M e) varacón eda respecto a la edana CVD M (M e) M e D M e) Coefcentes de Asetría de Pearson y de Fsher. El coefcente de asetría de Pearson ege el cálculo de la Moda M d y la desvacón típca A P M d AP > 0 Asetría ala derecha opostva AP 0 Setría AP < 0 Asetría ala zquerda o negatva Este coefcente tene sentdo cuando la oda es únca El coefcente de asetría de Fsher: Sabeos que, M d, 8, 6 A F AF > 0 AF 0 AF < 0 Asetría ala derecha o postva Setría Asetría ala zquerda o negatva Rentas L L ) [ + n. n ( ) n ( ) n ,6 09,8 0666, ,6 8,68 769, ,8,7, ,8 7,979 87, ,8 9,79 0,06 n 78.n 0 8,6 879,6 6

7 Varanza, desvacón típca y tercer oento respecto a la eda: ( ) n 8,6 0,7 0,7 6, 78 ( ) n 879,6 El tercer oento respecto a la eda: 6, 9 78 Md,6,8 El coefcente de asetría de Pearson: AP 0,87 > 0, con lo que la 6, dstrbucón presenta una asetría a la derecha o postva. 6,9 El coefcente de asetría de Fsher: AF 0, > 0, con lo que la dstrbucón 6, presenta una asetría a la derecha o postva. f) Hallar la eda artétca y desvacón típca utlzando un cabo de varable. Haceos el cabo de varable z Rentas L L ) [ + n. n z z. n z. n n 78.n 0 z.n 6 Meda artétca: a z 0, z.n 6 z.n 6 Sendo z + z + ( 0,0769), 6 OTA. E [ a + b] a + b E() z n zn 6 Varanza: z a a ( 0,0769), Desvacón típca:,6097, 686 z 7

8 Coo z z (,686) 6, OTA. V [ a + b ] b. V() g) Coefcente de Curtoss. La curtoss de una dstrbucón de frecuencas es el apuntaento que presenta el polígono de frecuencas alrededor de la eda. El coefcente de curtoss g, sendo ( ) n y ( ) n g > 0 Más apuntaento que la noral: Leptocúrtca g 0 Igual apuntaento que la noral: Mesocúrtca g < 0 Menor apuntaento que la noral: Platcúrtca En la dstrbucón, conoceos:, 6 6, Rentas L L ) [ + n. n ) ( ( ) n ( ) ,8 09,8 060, ,98 8,68 86, ,8,7 0, ,998 7, , ,88 9,79 97,9 n 78 El oento de cuarto orden respecto a la eda será: ( ) n 6090,6 78.n 0 8,6 6090,6 8, 8, El coefcente de curtoss de Fsher: g 0,977< 0 6, La dstrbucón presenta enor apuntaento que la noral: Platcúrtca n 8

9 Estadístca Descrptva Undensonal Facultad Cencas Econócas y Epresarales Departaento de Econoía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández g) Concentracón de la renta (curva de Lorenz, Índce de Gn). Hasta este oento la palabra 'concentracón' era la opuesta a 'dspersón', cuando nos ocupábaos del estudo descrptvo de los valores observados de la varable. Con las eddas de concentracón nuestro objetvo será analzar el total de los recursos repartdos entre todos los ndvduos que ntervenen en la dstrbucón. Señalar que la cantdad total de los recursos no suelen estar sepre repartdos de fora equtatva, sno que, por el contraro, habrá ndvduos que se repartan una ayor cantdad de recursos que otros. Para analzar la concentracón necestaos calcular las proporcones de ndvduos p y de n n recursos acuulados q. Destacar que, al estar ordenados los de fora n crecente, la proporcón de ndvduos p sepre tene que avanzar ás rápdo que la proporcón de recursos repartdos q, es decr p q. De este odo, la gráfca que se realza sobre un cuadrado de lado la undad "curva de concentracón o curva de Lorenz" sepre estará por enca de la dagonal prncpal del cuadrado. Realzaos la sguente tabla: Rentas L L ) [ + n p. n n q n n p q 7 0, ,0 0, , ,0 0,7 7 0, ,6 0, , ,768 0, n 78 p,08 0 q, (p q ) 0, 9

10 La curva de concentracón o curva de Lorenz La dea de edr el área da coo resultado el llaado índce de concentracón de Gn, que se defne coo el doble del área coprendda entre la dagonal y la curva de Lorenz. G I (p q ) p Obsérvese que cuando p q I 0 es el caso de equdstrbucón, la curva de Lorenz se G encuentra sobre la dagonal del cuadrado. En el caso de áa concentracón (un ndvduo se lleva el total de los recursos), ocurre que q L q 0, el I G, la curva de Lorenz está sobre los lados del cuadrado. q 0 IG, cuanto ás equtatvo sea el reparto de recursos será ás cercano a cero, y ás cercano a uno cuanto ayor concentracón esta. Tanto la curva de Lorenz coo el Índce de Gn se pueden presentar y calcular consderando las proporcones de ndvduos ( p) y de recursos ( q) en porcentajes. (p q ) 0, En nuestro caso, el Índce de Gn : IG 0, 69. Luego la renta, aunque no,08 p equdstrbuda, no está uy concentrada. 0

11 . Una cooperatva agrícola tene cnco fncas en eplotacón. La produccón de trgo y rendentos por hectárea obtendos son: Fncas Produccón (Q) Rendentos (Q/Ha) A 00 B 00 0 C 600 D 00 E 00 6 Cuál es el rendento edo por hectárea para el conjunto de la cooperatva? Solucón: Coo se proeda una agntud relatva, se debe utlzar la eda arónca. Es decr: Fncas Produccón (Q) p Rendentos (Q/Ha) p / A B C D E p 7800 p / A p 7800 A, Q/Ha ota. En casos de agntudes relatvas el valor edo se tene que calcular a través de la eda arónca; transforando prevaente la nforacón se puede calcular utlzando la eda artétca. Es decr: Fncas Produccón (Q) p Rendentos (Q/Ha) Superfce (Ha) n p / Produccón n A B C D E n 7800 p n p n 000 El rendento edo sería: R n 7800, Q/ Ha

12 Advértase que la eda artétca es la eda artétca de los rendentos ponderados por la correspondente superfce: R n 7800, Q/ Ha. En la tabla adjunta se uestra la productvdad (pezas/hora) de los epleados de una epresa, consderando su categoría profesonal: Categoría Productvdad (pezas/hora) A 0 B C 0 D a) Hallar la productvdad eda en el conjunto de la epresa. b) Hallar el tepo edo epleado para fabrcar una peza. Cuál es el núero de pezas daras en una jornada laboral de 8 horas?. Solucón: a) La productvdad eda en la epresa (suponendo que el núero de epleados de cada categoría es el so) es la eda arónca de la productvdad de cada categoría, es decr: n , 0 0 A 7, pezas /hora b) El tepo edo epleado a la hora t será el nverso de la eda arónca: t A 7, 0,08 pezas / hora horas /peza 0,08. 60,8 nutos /peza El núero de pezas daras en una jornada de 8 horas será: T A. 8 7,. 8 7,9 8 undades. Una dstrbucón (,n) presenta las sguentes característcas: 0 M d 6, Deternar los sos paráetros para las dstrbucones: Solucón: ( +,n ) (0,n )

13 a) Se defne la varable y +, que consderando las propedades de los estadístcos enconados, verfca que: ( + ).n.n.n + y [ ( + ) ( + ) ] y ( y y).n.n ( ).n, Md (y) M d() b) Se hace el cabo de varable w 0 0.n.n w [ 0 0 ] y ( y y).n.n ( ).n M (y) 0 M () 0. 0 d d. Dos dstrbucones sétrcas y capanfores presentan la sguente nforacón: Dstrbucón X Dstrbucón Y M e 6 M y 6 Cuál de las dos dstrbucones presenta ayor varabldad? Solucón: Coo son dstrbucones de tpo capanfore y sétrcas, la eda artétca, edana y oda concden. En otras palabras, 6 y y 8 Por otra parte, para analzar la varabldad de las dos dstrbucones no podeos recurrr a la coparacón de varanzas, puede ser que abas dstrbucones se epresen en undades dferentes, y adeás hay que relaconar la varabldad con el proedo correspondente. En esta línea, utlzareos el coefcente de varacón de Pearson: C.V 6 y 6 0,7 C.Vy 0, 6 y 8 La dstrbucón Y presenta un coefcente enor, por lo que tene una dspersón relatva ás pequeña.

14 6a. Una poblacón se encuentra dvdda en dos estratos º eleentos Meda artétca Varanza A 00 9 B Hallar la eda y la varanza para el conjunto de la poblacón. Solucón: El peso o taaño relatvo de cada estrato será: p 00 En este caso, p A 00 A 0, p B B 0, A A 9 B 6 B 6 La eda total de la poblacón será: p + p 0,. + 0,8.6, 6 A A B B La varanza es: p A A + pb B + pa (A ) + pb (B ) 0, , ,. (,6) + 0,8. (6,6), ota. Cuando la poblacón se ha subdvddo en estratos o categorías, de fora que: + + L +. Estrato o Categoría Taaño Meda artétca Varanza M M M El peso o taaño relatvo de cada estrato p Los valores de la varable X se representan por j, donde los subíndces ndcan el valor éso del estrato j éso. La eda artétca de toda la poblacón será entonces: ( + + L + ) + ( + + L + ) + L + ( + + L L + j j j ), en funcón de las edas de cada estrato será:

15 + + L + j j j j j j j j j p j j Para calcular la varanza de toda la poblacón, se tene en cuenta: j j ( j ) j j ( j + j j ) j j [( j ) + ( j ) ] j j j j (j j) (j ) (j j).(j ) j j j + +, con lo cual, j j ( j j ) + j j ( ) j j j j ( j ) j j + j ( ) j j entonces, p j. j + pj.(j ) j j, sendo Advértase que en el caso de dos estratos o categorías: pj j p + p j j la varanza del estrato o categoría j éso. p j. j + pj.(j ) p + p + p ( ) + p ( ) j j

16 7. Dadas las observacones de la varable (X,Y): X \ Y Deternar razonadaente: a) La ndependenca o dependenca de las varables. b) La recta de regresón de Y sobre X c) Cuál sería el valor de Y para X6 según la regresón realzada?. Es fable el valor obtendo?. Solucón: a) Se copleta la tabla: X \ Y n n 8 7 y j nj j a ( , 7 Las dstrbucones argnales de X e Y venen reflejadas en la sguente tabla: n. n. n n 7.n.n.n a0, 7 a.n 0 7, a a,,,9 0 0 Yj n y j y j. n y j y j. n y j j n y j 7 j y.n j y j 7 y.n 0 j j y j y j.ny j j 7 a0 y,76 7 a y j.ny j j 0 0 7,9 a 0 a 0,9,76 y, 6

17 Las varables (X,Y) son ndependentes cuando la covaranza a a.a 0, en este caso, 0 0 8,,.,76,8 0 a las varables X e Y no son ndependentes. b) La recta de regresón de X sobre Y vene dada por la epresón: y y ( ), con lo que,,8 y,76 (,) y 0, ,7. (recta de regresón de Y sobre X),9,8 β Y / X 0,7 coefcente de regresón o pendente de la recta de Y sobre X, al ser,9 β 0 la recta es crecente. Y / X > c) Cuando 6, el valor de y según la recta de regresón será: y 0, ,7.6, Para analzar la fabldad del valor obtendo recurros al coefcente de correlacón ρ (otras personas, lo hacen con el coefcente de deternacón ρ ). El coefcente de deternacón se defne coo el producto de los coefcentes de regresón: ρ β Y / X. β X / Y. y. y,8 en nuestro caso, ρ 0, 80. Dado que 0 ρ, y que el coefcente de deternacón,9., está próo a uno, podeos conclur que la fabldad de los resultados es uy grande. S hubéraos optado por el coefcente de correlacón: ρ, se tendría:. y,8 ρ 0,898. Dado que ρ, dríaos que la fabldad de los resultados es uy,9., grande, estando en correlacón postva. OTA. Para hallar el valor edo de la dstrbucón condconada X/Y La dstrbucón de frecuencas sería: X \ Y / Y. n n / Y.n / Y Y 8 8, 7

18 8. Una vacuna anttetánca se adnstró a una uestra de cuarenta y dos personas. Posterorente, a las cnco horas de su nyeccón, se toó la teperatura a las sas, obtenendo: Teperatura en grados 7 7, 7, 8 8, 8, 9 úero de personas Se pde: a) Meda geoétrca. b) Hallar la edana. c) Coefcente de varacón eda (toando coo paráetro la eda). d) Coefcente de asetría de Pearson. Solucón: a) Cálculo de la eda geoétrca n log n.log 7,68,68 7, 6,7 7,8 7,,7,60 M 8 e 6 7,80 9,79 8, 0 7,8,809 8,,8 7,97 9 0,9 0 66,7 Meda geoétrca: cual: G 0 log G G n n n n L, para el cálculo se procede toando logartos, con lo n n n n n n log L log( ) log( ) log( + + L + n log en consecuenca, log G n log (66,7), 77 b) Cálculo de la edana 7 n,77 G ) n log 0 7,77 grados / / En el dagraa de frecuencas acuuladas, observaos que se encuentra en la coluna de la frecuenca absoluta acuulada. Por tanto, la edana Es decr, M e 7, 7 M e será el punto edo entre 7, y 8. 8

19 c) Coefcente de varacón eda (toando coo paráetro la eda).n 87 Lo prero que heos de calcular es la eda artétca: 7, 78 n. n 7. n ( ( ). n ) 7 7 0,78 0,608 0,60 7, 86,9 0,6,68 7, 6,, 0,078, , 0,08 0,9 8, 0 8, 0,0,0 8, 9,,6 0,8, , ,6 La desvacón eda D M respecto a la eda artétca vene dada por la epresón: 7 n 6 DM () 0,8 DM 0,8 Luego el coefcente de varacón eda respecto a la eda, CVD () 0, 0 M 7,78 d) Coefcente de asetría de Pearson A P M d AP > 0 Asetría ala derecha o postva AP 0 Setría AP < 0 Asetría ala zquerda o negatva Este coefcente tene sentdo cuando la oda es únca ( ).n 7,6 La oda M d 7, y la desvacón típca 0, 7 Md 7,78 7, por tanto, AP 0, 67 por lo que la dstrbucón es asétrca a la derecha. 0, 9

20 9. Para dos epresas, A y B, del sector de hostelería, las dstrbucones de los salaros ensuales entre sus epleados, en centos de euros, son las sguentes: Epresa A Epresa B Salaros úero de epleados Salaros úero de epleados 6, 7, 0 8, 9, 0 7, 8, 9, 0, 8, 9, 0 0,, 0 9, 0,,, 0,, 0,, 0 Se pde: a) Para qué epresa es ayor el salaro edo ensual. b) Para cuál de ellas resulta ás representatvo el salaro edo. c) Cuál sería el salaro que defne el % ás alto de la banda salaral, en abas epresas?. Solucón: a) Para qué epresa es ayor el salaro edo ensual. Salaros Epresa A n. n I. n 6, 7, , 8, , 9, , 0, ,, Salaros y j Epresa B n j j y j. nj j y. n 8, 9, , 0, ,, ,, ,, j.n 90 a 9, 00.n 800 a 8 00 a a 8 9,,9 a,09 a y a yj.nj 0 00 j, yj.nj 0,0 00 a a,,,9 y a y,09 La epresa B presenta un salaro edo ensual ayor. b) Para cuál de ellas resulta ás representatvo el salaro edo. En una dstrbucón, la edda ópta que crtca la representatvdad de la eda artétca es la desvacón típca, de fora que cuanto ayor sea ésta, enos representatva es la eda artétca. Cuando se desea coparar la representatvdad de dos edas artétcas de dos dstrbucones dferentes, no tene sentdo copararlas con una edda de dspersón absoluta (desvacones 0

21 típcas). Se debe eplear una edda de dspersón relatva, edda sn densones y que no depende de las undades epleadas en las dstrbucones que deseaos coparar. Una edda de dspersón relatva es el coefcente de varacón de Pearson: C.V En consecuenca,,09 Epresa A: C.V 0, 99 9, y,09 Epresa B: C.Vy 0, 098 y, C.V < C. y V La epresa B presenta una dspersón ás pequeña, sendo ás hoogénea respecto a los salaros y su eda artétca será ás representatva. c) Cuál sería el salaro que defne el % ás alto de la banda salaral, en abas epresas?. Para conocer qué salaro defne el % ás alto de la banda salaral, se calcula el percentl 7 (o el tercer cuartl). Para ello, se debe averguar que ntervalo lo contene, que será el prero cuya frecuenca absoluta acuulada sea superor a ( 7./ /00 7) Epresa A: 00 P7 L + c 9,+ 9, Epresa B: 00 P7 L + c, +, El % de los salaros ás altos en las dos epresas son, respectvaente, 990 euros y 90 euros. Observando los salaros, lógcaente se podría haber prevsto que (B) P (A) P En dos regones dferentes se deternaron las sguentes dstrbucones de la renta (epresados en euros): Regón A Regón B veles de renta úero de ndvduos veles de renta úero de ndvduos 0,, 0,, 8,,,,,, 8,, 9, 6, 6, 6, 6, 0 6, 0 67 a) Depende el índce de concentracón de Gn de los ndvduos ncludos en cada nvel? b) Deternar la concentracón de la renta para el conjunto de las dos regones. Dbujar la curva de Lorenz correspondente. c) Qué parte de la renta percbe el % del personal ejor pagado en la regón A?. d) Qué porcentaje de ndvduos percbe el 0% de la renta en la regón B?.

22 Solucón: a) Depende el índce de concentracón de Gn de los ndvduos ncludos en cada nvel? Renta n. n Regón A n p q n n p q 0,, 0,07 0,7 0,86,, ,6786 0,967 0,89,,, ,89 0,76 0,807, 6,, ,969 0,868 0,096 6, 0 8, ,96 0,797 Renta n. n Regón B n p q n n p q 0,, ,887 0,9 0,9,, ,6787 0,7 0,06,,, ,8080 0,66 0,6, 6,,, 7, 0,9 0,88 0,097 6, 0 8, 67,7 900, ,,807 0,907 n (p q ) El índce de concentracón de Gn: I G 0 I n G p (p q ) (p q ) 0,797 0,907 Regón A: IG (A) 0, 7 Regón B: I (B) 0, G,97,807 p p Coo IG(A) IG(B), con los so nveles de renta, el índce de Gn depende del núero de epleados en cada nvel.

23 b) Deternar la concentracón de la renta para el conjunto de las dos regones. Dbujar la curva de Lorenz correspondente. Renta n Dstrbucón de renta para las dos regones. n n p q n n p q 0,, ,966 0,7 0,9,, ,6786 0,807 0,979,,, ,89 0,606 0,7, 6,, 77, 087, 0,977 0,867 0,0960 6, 0 8, 99 86,7 90, ,,87 0,8690 (p q ) 0,8690 El índce de concentracón de Gn es: IG 0, 0,87 p Se puede verfcar que I (A) < I I (B), y que I I (A) I (B) G G < G G G + G La curva de concentracón de Lorenz plasa su coherenca con el índce de Gn calculado, puesto que cuanto ás próa esté la curva a la dagonal prncpal enor será la concentracón, y en consecuenca, ejor será la dstrbucón de la renta. c) Qué parte de la renta percbe el % del personal ejor pagado en la regón A? Regón A n Renta % p ( ). 00 % q. 00 n 0,,,07 7,,, 67, 86 9,67,, 89, 7,6 9 8,08, 6, 96,9 86,8 6, El % de ndvduos ejor pagados será la que va del trao del 9% al 00% (coluna p).

24 Para deternar el porcentaje de renta que le correspondería al 9% de los ndvduos ejor pagados, bajo la hpótess de lnealdad, se puede establecer la relacón sguente en porcentajes: 96,9 89, 9 89, 86,8 7,6 a 8,,6 6,67 en consecuenca, el 9% de los ndvduos percbría una renta de 7,6% +,6% 8,08% Al % de los ndvduos ejor pagados le corresponde un porcentaje de la nóna (coluna q): 00 % 8,08%,9% de la renta d) Qué porcentaje de ndvduos percbe el 0% de la renta en la regón B? Regón B n Renta % p ( ). 00 % q. 00 n 0,, 9,66,7,, 67,86 8,07 0,, 8,9 60,6, 6, 9,77 86,7 6, En la tabla se observa que al 67,86 % de los ndvduos le corresponde el 8,07 % de la renta, y al 8,9 % de ndvduos el 60,6 % de la renta. En consecuenca, el 0 % de la renta estará dstrbuda entre un conjunto de ndvduos stuado entre el 67,86 % y el 8,9 %. Bajo la hpótess de lnealdad, se establece la relacón en porcentajes: 8,9 67,86 67,86 60,6 8,07 0 8,07 a 9,7 67, ,6,9 Por tanto, el 0 % de la renta se reparte entre el 76,6 % de los ndvduos.. En la tabla adjuntan aparecen las notas obtendas por dez alunos: Mateátcas Estadístca a) S otro aluno obtene un en cada asgnatura, en relacón con la clase. en cuál de ellas ha sacado ejor nota?. b) Hallar la recta de regresón que eplca la nota de estadístca en funcón de la nota de ateátcas?. c) Cuando un aluno consga un 6 en ateátcas, qué nota es prevsble que obtenga en estadístca?. Con qué grado de fabldad?. Solucón:

25 a) Para conocer la poscón relatva de la calfcacón de un nuevo estudante respecto a las calfcacones de los dez estudantes, es necesaro conocer el núero de undades de desvacón típca que se ha separado de la eda en cada una de las dos asgnaturas. Para ello, se utlza la varable tpfcada. En este sentdo, llaando X "calfcacón de ateátcas" e Y "calfcacón en estadístca", s el nuevo aluno obtene (, y), para coparar en qué asgnatura ha obtendo ejor calfcacón y y tendríaos que tpfcar: e, el valor ás alto obtendo será el de ejor calfcacón. y Es necesaro calcular la eda artétca y la varanza de cada una de las dos dstrbucones: ateátcas (X) y estadístca (Y) a 0 a a a, 8, a 8,,898, 0 y a y, 0 a 0 y , y a a,,,0 a y,0,7 El nuevo aluno respecto al grupo: Mateátcas: 0,898 y y, Estadístca: 0,,7 y Ha obtendo ejor calfcacón en Estadístca que supera la eda, en undades de desvacón típca. b) La recta de regresón de Y sobre X, aplcando el étodo de los ínos cuadrados, vene dada por la epresón: y y ( ), donde la covaranza a y 0.y El oento a 8, 7 0

26 con lo que, la covaranza a.y 8,7., 6, La recta de regresón de Y sobre X: 6, y, ( ) y 0,8+ 0,78 8, c) El objetvo ás portante de la regresón es la perdcón del coportaento de una varable para un valor deternado de la otra. La fabldad de la predccón, en prncpo, será tanto ejor cuanto ayor sea la correlacón entre las varables. En consecuenca, una edda de la bondad de la predccón podría venr dada por el coefcente de deternacón ρ ( 0 ρ ), o por el coefcente de correlacón ρ ( ρ ). Para obtener la calfcacón en estadístca (Y) de un aluno que ha obtendo un 6 en ateátcas (X) recurros a la recta de regresón y 0,8+ 0,78, susttuyendo 6 : y 0,8+ 0,78.6,8 calfcacón en estadístca La fabldad vene dada por el coefcente de deternacón: ρ. y 6, 0,9 8,.,0 La recta de regresón eplca el 9% las notas de estadístca en funcón de las ateátcas. a. Un curso se encuentra dvddo en tres grupos con los sguentes datos: Se pde: Grupo úero alunos ota eda Varanza 0 7, 0 6,6 0, 0,8 a) ota eda para todo el curso. b) Coefcentes de varacón de cada grupo. c) Cuál es el grupo ás hoogéneo? d) Varanza de todas las notas del curso. Solucón: 6

27 a) Grupos Entre los grupos.( ) Dentro de los grupos 0 0,98 7,, 6 0 0,0 0,07, 6 6 0, 7 0,,688 0, ( ),9. 7 La eda artétca para todo el curso será: 6, 0 0 b) Los coefcentes de varacón de Pearson para cada grupo son: Grupo : Grupo : Grupo :,,6 0,8 C.V 0,6 C.V 0, C.V 0, 6 7 6, c) El grupo ás hoogéneo será aquel que tenga un coefcente de varacón de Pearson enor. En este sentdo, el Grupo es el ás hoogéneo... 0 d) La varanza para todo el curso será:.. dentro delos grupos +..( ) entre grupos varanza del curso, 0,9....( ) + +, 0 0 a. Los salaros ensuales de los trabajadores de Muebles Quntana, según sus categorías son: Se pde: Categoría úero trabajadores Salaro edo Moda Desvacón típca (euros) (euros) (euros) A B a) Salaro edo y desvacón típca de todos los trabajadores de la epresa. b) S un trabajador de categoría A gana 60 euros y otro trabajador de categoría B gana 60 euros. cuál de los dos trabajadores tuvo ejor poscón en su grupo? c) Cuál es el salaro ás frecuente de todos los trabajadores de la epresa? d) S en otra epresa slar el salaro edo de sus trabajadores es de 00 euros, con una desvacón típca de euros. qué epresa tene una dstrbucón de salaros ás hoogénea? Solucón: 7

28 a) Salaro edo y desvacón típca de todos los trabajadores de la epresa.. Entre los grupos.( ) A B ( ) 070 Dentro de los grupos La epresa se encuentra estructurada en dos categorías o estratos. El salaro edo de la epresa será: euros/es La varanza de la epresa (varanza total) se descopone en la varanza dentro de cada categoría y varanza entre categorías, es decr:.. +..( ) 666 dentro delos estratos entre estratos Varanza de la epresa: ( ) euros Desvacón típca de la epresa: , 6 euros b) S un trabajador de categoría A gana 60 euros y otro trabajador de categoría B gana 60 euros. cuál de los dos trabajadores tuvo ejor poscón en su grupo? Al tratarse de dos observacones procedentes de dos dstrbucones con característcas dferentes, es necesaro pasar a una únca dstrbucón en la que sea posble coparar las dos observacones. En este sentdo, se pasa a la tpfcacón de las sas, es decr: z A z B 0, 90 0 sendo z B > za, se deduce que el epleado de la epleado de categoría B obtuvo una ejor poscón en su grupo que el epleado de categoría A. Señalar que, por ser los dos valores tpfcados negatvos, refleja que su salaro está por debajo del salaro edo en abos casos. c) Cuál es el salaro ás frecuente de todos los trabajadores de la epresa? El salaro ás frecuente de todos los trabajadores será el que tenga ayor frecuenca absoluta. La oda para los trabajadores de la categoría A es 70, entras que para los trabajadores de la categoría B es 60. o obstante, desconoceos cuáles son las frecuencas absolutas de los dferentes 8

29 salaros de los trabajadores, no pudendo por tanto deternar con eacttud la oda para toda la epresa. d) S en otra epresa slar el salaro edo de sus trabajadores es de 00 euros, con una desvacón típca de euros. qué epresa tene una dstrbucón de salaros ás hoogénea? Coo se pretende coparar la hoogenedad entre dos dstrbucones, se debe calcular el coefcente de varacón de Pearson para abas dstrbucones: 79,6 Muebles Quntana: C.V 0, 6 8 Otra Epresa: C.V 0, 0 00 La otra epresa, al tener un coefcente de varacón de Pearson enor, presenta una dstrbucón de salaros ás hoogénea. CAMBIO DE ORIGE Y DE ESCALA DE UA VARIABLE ESTADÍSTICA Sea una varable estadístca X con eda.n y varanza ( ).n S efectuaos un cabo de orgen y de escala sobre la varable X, esto es, construos otra varable Y ax + b, sendo a > 0 y b constantes (ultplcar X por una constante "a" es efectuar un cabo de escala y suar una constante "b" es realzar un cabo de orgen). En defntva, para cada dato hay un y a + b, con la sa frecuenca absoluta n. De tal odo, teneos las tablas de frecuencas: n y n n y n n y n M M M M n y n Entonces, la eda artétca, la varanza, y el coefcente de varacón de Pearson de la nueva varable serán: y.n y (a + b).n a.n + b n a + b La eda se ve afectada por el so cabo de orgen y de escala efectuada sobre la varable. 9

30 (y y).n (a + b a b).n ( ).n y a a La varanza no se ve afectada por el cabo de orgen pero s por el cabo de escala efectuado sobre la varable. El coefcente de varacón de Pearson C.V y y a. y a + b y a S se efectúa un cabo de escala ( b 0), se tene: C.Vy C. V y a El cabo de escala no afecta al coefcente de varacón. y S solo se efectúa un cabo de orgen ( a ), queda: C.Vy C. V y + b El cabo de orgen s afecta al coefcente de varacón. 0

31 Cuestonaro Estadístca Descrptva Facultad Cencas Econócas y Epresarales Departaento de Econoía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández. En la tabla adjunta se reflejan dos operacones que una epresa ha realzado con una copañía con sede en Gran Bretaña: Iporte (les de euros) Cabo de la lbra , Qué proedo debe utlzar para conocer el cabo edo de dchas operacones?. Razone la respuesta. Solucón: Cabo de la lbra: Iporte (euros): n n /9 0,7 6, /6, 7, n 7, les euros son 0, 7 lbras les euros son 7, 68 lbras 9 n ,99 A 60,6 euros/lbra. Una epresa quere saber qué porcentaje de trabajadores recbe el 0% de la asa salaral y para ello utlza la edana de la dstrbucón de rentas. Es correcto?. Razone la respuesta. Solucón: o sería correcto porque la edana de la dstrbucón de rentas es aquella cantdad tal que el 0% del núero de ndvduos percbe una renta enor o gual que ella.. El coefcente de varacón de Pearson: a) Perte coparar dstrbucones, úncaente s tenen el so núero de eleentos. b) o vara al efectuar un cabo de orgen c) Carece de undades de edda d) nguna de las respuestas es correcta Solucón: Carece de undades de edda.

32 . En una dstrbucón sétrca se verfca que: a) La eda concde con la oda en todos los casos b) El rango depende del núero de observacones c) La edana concde con la oda en todos los casos d) nguna de las respuestas es correcta Solucón: nguna de las respuestas es correcta.. Cuál de las sguentes afracones es verdadera: a) La eda es un estadístco que no utlza toda la nforacón uestral b) La edana no se ve afectada por los valores etreos c) La eda no se ve afectada por los valores etreos d) nguna de las respuestas es correcta. Solucón: La edana no se ve afectada por los valores etreos. 6. S el coefcente de curtoss de Fsher es ayor que cero: a) La dstrbucón es platcúrtca b) La dstrbucón es esocúrtca c) La dstrbucón es leptocúrtca d) nguna de las respuestas es correcta Solucón: La dstrbucón es leptocúrtca. 7. Cuál de las sguentes varables es de tpo dscreto: a) Tepo de espera del ave b) Dstanca entre las captales de provnca c) El núero de vvendas estentes en Madrd d) nguna de las respuestas es correcta Solucón: El núero de vvendas estentes en Madrd. 8. En una dstrbucón y la 6. Defnos una nueva dstrbucón y +. denotando por C.V. el coefcente de varacón de Pearson. Cuál de las sguentes respuestas es correcta?: a) C.V C. Vy b) C.V > C. Vy c) C.V C. Vy d) nguna de las respuestas es correcta. Solucón: y C.Vy y < + + C.V > C. V y

33 9. S el coefcente de asetría de Fsher es enor que cero, la dstrbucón es: a) Asétrca negatva o a la zquerda b) Asétrca postva o a la derecha c) Sétrca d) nguna de las respuestas es correcta Solucón: Asétrca negatva o a la zquerda El coefcente de setría de Fsher se defne coo A F AF > 0 AF 0 AF < 0 Asetría ala derecha o postva Setría Asetría ala zquerda o negatva 0. S el coefcente de asetría de Pearson es ayor que cero, la dstrbucón es: a) Asétrca negatva o a la zquerda b) Asétrca postva o a la derecha c) Sétrca d) nguna de las respuestas es correcta Solucón: Asétrca postva o a la derecha El coefcente de setría de Pearson se defne coo A P M d AP > 0 Asetría ala derecha o postva AP 0 Setría AP < 0 Asetría ala zquerda o negatva Tene sentdo obtener este coefcente cuando la oda es únca.. Concepto de curtoss. Solucón: La curtoss de una dstrbucón de frecuencas es el apuntaento que presenta el polígono de frecuencas alrededor de la eda. S está uy apuntado dreos que la dstrbucón es leptocúrtca, s poco apuntado platcúrtca, y s el apuntaento es nteredo esocúrtca. Platcúrtca Leptocúrtca El coefcente g donde ( ) n y ( ) n Mesocúrtca

34 ndca el apuntaento de fora de la dstrbucón coparándola con la dstrbucón noral (Capana de Gauss), donde se tene que: g > Más apuntaento que la noral: Leptocúrtca g Igual apuntaento que la noral: Mesocúrtca g < Menor apuntaento que la noral: Platcúrtca. Señale las ventajas e nconvenentes de la eda artétca coo edda de poscón de una dstrbucón. Solucón: a n Se puede calcular en todas las varables, es decr sepre que las observacones sean cuanttatvas. Para su cálculo se utlzan todos los valores de la dstrbucón. Es únca para cada dstrbucón de frecuencas. Tene un claro sgnfcado, ya que al ser el centro de gravedad de la dstrbucón representa todos los valores observados. El prncpal nconvenente es que es un valor uy sensble a los valores etreos, con lo que en las dstrbucones con gran dspersón de datos puede llegar a perder totalente su sgnfcado.. Señale las ventajas e nconvenentes de la eda geoétrca coo edda de poscón de una dstrbucón. Solucón: G n n n n L donde G antlog n log Es ás representatva que la eda artétca cuando la varable evolucona de fora acuulatva con efectos ultplcatvos. Cuando este, es decr cuando la varable no tene valores negatvos, y cuando está defnda, es decr cuando la dstrbucón no tene valores nulos, su valor está defnda de fora objetva y es únco. Para su cálculo se tene en cuenta todos los valores de la dstrbucón. Los valores etreos tenen enor nfluenca que en la eda artétca. Los prncpales nconvenentes: Mayor coplcacón en los cálculos. Su ndefncón (da núeros con naturaleza agnara) cuando tene valores negatvos y cuando una observacón toa el valor nulo.

35 . Señale las ventajas e nconvenentes de la eda arónca coo edda de poscón de una dstrbucón. En que casos es convenente utlzarla? Solucón: Es una edda estadístca que se utlza cuando que se desean proedar rendentos, velocdades, productvdades, etc. Sólo se puede calcular cuando no hay observacones guales a cero. Las prncpales ventajas son: Es ás representatva que otras eddas en los casos de obtener proedos de velocdades, rendentos, productvdades, etc. Está defnda de fora objetva y es únca. Su cálculo es sencllo y se tenen en cuenta todos los valores de la dstrbucón. Los valores etreos tenen enor nfluenca que en la eda artétca. El prncpal nconvenente se produce cuando se utlzan varables con valores uy pequeños; en estos casos, sus nversos pueden auentar cas hasta el nfnto, elnando el efecto del resto de los valores. Por esta sa razón, no es posble calcularla cuando algún valor es cero, ya que se produce una ndeternacón ateátca.. Indque razonadaente cóo se coporta la eda artétca ante un cabo de escala y un cabo de orgen en una varable. Solucón: Supongaos que sobre una varable X efectuaos un cabo de orgen y de escala: Y ax + b (ultplcar por a es un cabo de escala y suar b es un cabo de orgen). La eda artétca de Y sería: a b Y Y n (ax + b)n X n + n ax + b Es decr, la eda artétca queda afectada por el so cabo de orgen y de escala. 6. Defna los conceptos estadístcos de poblacón, arco estadístco, uestra e ndvduo o undad estadístca. Solucón: Poblacón. Es el conjunto de eleentos que cuplen una deternada característca. Marco estadístco. Es el conjunto de nforacón (fcheros, lstados, etc.) que perte dentfcar a todos los ndvduos de la poblacón. Es la base nforatva que epleaos para selecconar la uestra. En el arco estadístco no sepre está contendo todo el unverso (por las osones, duplcacones, undades al clasfcadas, etc.) Muestra. Cualquer subconjunto de ndvduos pertenecentes a una poblacón deternada. Indvduo o Undad de nvestgacón. Cada uno de los eleentos de la poblacón.

36 7. Defna el concepto y sgnfcado de las eddas de curtoss de una dstrbucón estadístca. Solucón: Las eddas de curtoss o apuntaento tratan de estudar la dstrbucón de frecuencas en la zona eda. El ayor o enor núero de valores de la varable alrededor de la eda dará lugar a una dstrbucón ás o enos apuntada. Para estudar el apuntaento coparaos el perfl de la dstrbucón (polígono de frecuencas o hstograa) con la denonada Capana de Gauss de ecuacón: y e π Para ello, se utlza el coefcente de curtoss de Fsher: g Según el valor de esta epresón, tendreos una dstrbucón esocúrtca cuando g 0, leptocúrtca cuando g > 0, o platcúrtca cuando g < 0 8. En qué casos es preferble, por ser ás representatva, utlzar la eda geoétrca en lugar de la eda artétca? Solucón: Cuando los valores a proedar tengan entre sí una relacón ultplcatva en lugar de adtva. Por ejeplo, en las tasas de crecento. Ejeplo: Las tasas de crecento de una deternada agntud a lo largo de cuatro períodos de tepo han sdo, respectvaente,, ;, ;, ;, <<esto quere decr que la agntud ha auentado sucesva y respectvaente el 0%, el 0%, el 0%, y el 0%>>. La tasa eda habrá sdo la eda geoétrca: (,)(,)(,)(,), 7 G 9. S a una varable X la soeteos al so tepo a un cabo de orgen 0 y a un cabo de escala C, cuál o cuáles de las afracones son falsas o correctas? a) Los cabos de orgen afectan a la eda artétca b) Los cabos de escala afectan a la eda artétca c) La varanza y la desvacón típca sólo se ven afectados por los cabos de escala Solucón: Las tres afracones son correctas. Sea X 0 X 0 Y entonces, Y C n C C 0 X n X 0 n C Es decr, la eda artétca se ve afectada por los cabos de orgen y de escala. X 0 X 0 X X Var(Y) (Y Y) n n n Var(X) C C C C 6

37 La varanza se ve afectada por los cabos de escala. En consecuenca, tabén la desvacón típca. 0. Teneos una dstrbucón con los sguentes datos epresados en euros:, 8, 9 y 8. Indque a sple vsta s la eda artétca es representatva para esta dstrbucón. Qué debería hacerse para valorar adecuadaente esta representatvdad?. Qué eddas deberían calcularse?. Solucón: A sple vsta no parece que la eda artétca sea representatva, puesto que el valor de 8 euros se aleja ucho de los otros tres. Para valorar adecuadaente la representatvdad hay que calcular el coefcente de varacón de Pearson: C.V : a,7 a 8, 7 8,7 (,7),6,6 con lo cual, C.V,,7 al ser el C.V. ayor que la undad, debeos descartar la eda artétca coo paráetro adecuado.. Defna las eddas de setría y apuntaento de una dstrbucón de frecuencas. Solucón: Coefcente de asetría de Fsher: g ( ) n ( ) n Coefcente de asetría de Pearson: A P M d Coefcente de asetría de Bowley: A B Q + Q M Q Q e Coefcente de asetría de Ecel: A ecel ( )( ) En todos los casos, s el coefcente es postvo hay asetría a la derecha, s es negatvo hay asetría a la zquerda, y s es cero la dstrbucón es sétrca. Respecto a las eddas de apuntaento: Coefcente de Fsher: g > 0 Más apuntaento que lanoral:leptocúrtca 0 Igual apuntaento que lanoral:mesocúrtca < 0 Menor apuntaento que lanoral:platcúrtca 7

38 Coefcente de Ecel: C ecel ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) C ecel > 0 0 < 0 Más apuntaento que lanoral:leptocúrtca Igual apuntaento que lanoral:mesocúrtca Menor apuntaento que lanoral:platcúrtca. Qué coefcente copara la fora de una dstrbucón cualquera con una dstrbucón noral? a) El coefcente de asetría de Fsher b) El coefcente de varacón de Pearson c) El coefcente de curtoss de Fsher d) nguna de las anterores Solucón: El coefcente de curtoss de Fsher.. De qué depende el coefcente de varacón de Pearson? a) Proedo consderado b) El sgno del nuerador de dcho coefcente c) Sepre tene sgno postvo d) nguna de los anterores Solucón: Proedo consderado.. Multplcando por cuatro los valores de una sere X,, L, n se obtene la sere Y y, y, L, yn. Cuál de las sguentes afracones es correcta? a) Abas seres tenen la sa varanza b) Abas tenen el so coefcente de varacón c) Abas tenen la sa eda d) nguna de las anterores Solucón: Abas tenen el so coefcente de varacón.. Dentro de las tareas a desarrollar en la etapa de defncón de objetvos en una nvestgacón estadístca podeos encontrar: a) Recogda de datos b) Trataento de los datos c) Dseño del cuestonaro d) nguna de las anterores Solucón: nguna de las anterores. 8

39 6. En qué ocasones no debe utlzarse la eda arónca? a) Valores uy pequeños de la varable b) Cuando esten valores de la varable gual a cero c) Las respuestas (a) y (b) son correctas d) nguna de las anterores Solucón: Las respuestas (a) y (b) son correctas. 7. En una dstrbucón undensonal, el oento de orden uno respecto a la eda ( ) n es gual a: a) 0 b) c) Depende de los valores de d) nguna respuesta es correcta Solucón: 0 8. En una dstrbucón de frecuencas, el segundo cuartl concde con la edana: a) S la dstrbucón es crecente b) S la eda artétca es gual a la edana c) En todos los casos d) nguna respuesta es correcta Solucón: En todos los casos. 9. En tres epresas del so grupo se dan las sguentes cfras de produccón total y productvdad eda por epleado: Epresa A B C Produccón total (undades) Produccón por epleado 0, 0,7 0,8 Cuál de las respuestas corresponde a la productvdad eda? a),7 b) 0,66 c) 0,68 d) nguna respuesta es correcta Solucón: 0,68. A 0,678 0, , 0,7 0,8 9

40 0. En la dstrbucón undensonal adjunta, qué edda de poscón central debe utlzarse? n a) Meda b) Asetría c) Moda d) Medana Solucón: Moda.. La eda y la varanza de una sere de observacones, respectvaente, son 0 y. S doblaos el valor de cada observacón, la eda y la varanza serán: a) 0 y 8 b) 0 y c) 0 y 6 d) nguna respuesta es correcta Solucón: 0 y 6.. En una dstrbucón se conoce, (oento de orden respecto a la eda) y,. Según estos datos, la dstrbucón es: a) Platcúrtca b) Mesocúrtca c) Leptocúrtca d) Sétrca, Solucón: Platcúrtca. g 0,06< 0,. S el coefcente de varacón de Pearson de una varable X es gual a y su eda es. Cuál es la desvacón típca de la varable Y (X /8) 0,? Solucón: a) b) c) d) 0 C.V 8 6 X X 6 Var(Y) Var 0, Var y 0

41 . Cuál es el coefcente de asetría de Fsher de la dstrbucón adjunta? n 6 a) 0, b) 0, c) 0, d) Otra respuesta ( ) n 0, Solucón: 0, g 0, (0,89) ( ) n. Cuando en una poblacón la concentracón de renta es áa: a) El índce de Gn es gual a b) La curva de Lorenz es la dagonal que va desde el punto (0,0) al (00,00) c) Las respuestas (a) y (b) son correctas d) nguna de las respuestas es correcta Solucón: El índce de Gn es gual a 6. La curva de Lorenz se encuentra tanto ás alejada de la dagonal cuanto: a) Menores sean las dferencas ( p q) b) Mayores sean las dferencas ( p q) c) Más próos estén los valores de p y q ( p q) d) nguna de las anterores Solucón: Mayores sean las dferencas p q ) (

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