ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN

Transcripción

1 ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN Agel Fracsco Arvelo Lujá es u Profesor Uverstaro Veezolao e el área de Probabldad y Estadístca, co más de 0 años de expereca e las más recoocdas uversdades del área metropoltaa de Caracas. Uversdad Católca Adrés Bello : Profesor Ttular Jublado 970 a 00 Uversdad Cetral de Veezuela: Profesor por Cocurso de Oposcó desde 99 al presete Uversdad Smó Bolívar: Profesor desde 005 al presete Uversdad Metropoltaa: Profesor desde 97 a 987 Uversdad Nacoal Aberta: Revsor de cotedos, desde 979 hasta 00 Sus datos persoales so : Lugar y Fecha de Nacmeto: Caracas, Correo electróco: agelf.arvelo@gmal.com Teléfoo: Estudos realzados: Igeero Idustral. UCAB Caracas 968 Máster e Estadístca Matemátca CIENES, Uversdad de Chle 97 Cursos de Especalzacó e Estadístca No Paramétrca Uversdad de Mchga 98 Doctorado e Gestó Tecológca: Uversdad Poltécca de Madrd 006 al Presete El Profesor Arvelo fue Drector de la Escuela de Igeería Idustral de la Uversdad Católca Adrés Bello (97-979), Coordador de los Laboratoros de esa msma Uversdad especalzados e esayos de Caldad, Audtor de Caldad, y autor del lbro Capacdad de Procesos Idustrales UCAB 998. E umerosas oportudades, el Profesor Arvelo ha dctado cursos empresarales e el área de Estadístca Geeral y Cotrol Estadístco de Procesos. Para cosultar otras publcacoes, r la pága web.

2 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. MEDIDAS DE DEFORMACION Y DE APUNTAMIENTO. Mometos: El térmo Mometo se aplca e Físca, para dcar el producto etre ua fuerza y su dstaca a u puto, llamada brazo,y así exste Mometos Estátcos, Mometos de Ierca, etc., segú se multplque la fuerza por la dstaca, por el cuadrado de la dstaca, etc. E Estadístca exste muchas fórmulas y expresoes matemátcas, e dode es ecesaro clur el desvío o dstaca de u dato a u certo puto llamado orge de trabajo, y cuya escrtura puede smplfcarse co la troduccó del cocepto de Mometo de los Datos. Cuado se tee u cojuto de datos s agrupar { x, x,x,..., x }, se defe como Mometo de orde r respecto de u valor A, a la meda artmétca de las potecas de grado r, de sus desvíos respecto a ese valor A, es decr : I ( x A) mr, A El valor A co respecto al cual se está calculado este mometo de orde r, puede ser cualquera, y recbe el ombre de orge de trabajo. Desde el puto de vsta descrptvo, los mometos respecto de u orge de trabajo cualquera o puede ser terpretados como ua característca especal de los datos, a excepcó de alguos de ellos que será aalzados a lo largo de este capítulo. La prcpal utldad práctca que tee los dferetes mometos, es smplfcar la escrtura de certas fórmulas y expresoes matemátcas. Ejemplo 8.: Dados los datos, 5, 8 y, calcular el mometo de orde respecto del valor 0. Solucó: Se calcula los desvíos respecto del orge de trabajo, e este caso A0, que resulta ser: -0-8, , y 0. El mometo de orde respecto del valor 0, es etoces por defcó, la meda ( 8) ( 5) ( ) ( ) de los cuadrados de estos desvíos: m, 0 5,50. Para calcular el mometo de orde, se promeda las potecas cúbcas de los desvíos y así sucesvamete. El resultado obtedo o tee e geeral ua terpretacó estadístca, salvo e certos casos partculares que se aalzara luego, y por lo tato debe ser vsto smplemete como el resultado de u cálculo defdo por ua fórmula matemátca. Auque el orge de trabajo A puede ser cualquera, los más utlzados so la meda X y el cero, e cuyo caso se tee los sguetes mometos: r

3 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. A X Mometo de orde r respecto de la meda X m r A0 Mometo de orde r respecto del orge X r La omeclatura X r x r ( x X) sgfca meda de las potecas de orde r, dferete de ( X) r, que sgfca poteca r de X, es decr: X r ( X) r. Alguas de las expresoes ya coocdas e los capítulos aterores, puede ser escrtas e fucó de los mometos, y así por ejemplo teemos que: X Prmer mometo respecto del orge. ( x X) I o també : x m Segudo Mometo respecto de la meda I X X - X m X - X lo que equvale a decr que la varaza poblacoal es gual al mometo de segudo orde respecto del orge, meos el cuadrado del prmer mometo respecto del orge. Como cosecueca de las propedades de la meda, se tee que para cualquer cojuto de datos, su prmer mometo respecto de la meda sempre es ulo. ( x X) m 0 Etre los mometos respecto de la meda y los mometos respecto del orge, exste certas relacoes, y es posble obteer uo a partr de los otros. Así por ejemplo, se verfca: m X X X ( X ) m X X X 6 X ( X ) ( X ) Para demostrar estas detdades, basta partr de la defcó: m ( x X) (x x X + x X - X ) X X X X (X) - ( X ) X X X ( X ) La demostracó de la seguda detdad está hecha e geeral e el Ejercco Las cosderacoes aterores debe ser vstas como ua smple mapulacó matemátca de las fórmulas y propedades ya coocdas, que troduce u uevo r

4 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. leguaje e las expresoes estadístcas, y o como u hecho que le cocede a los dferetes mometos u sgfcado especal. Para el caso de datos agrupados, los mometos se calcula a través del procedmeto ya coocdo de reemplazar cada dato por la marca de clase del tervalo dode cae, y se obtee: m m X r, A r r k k * ( L A) f * k f ( L X) f k f f k * r ( L ) f k r r Mometo de orde r respecto de u valor A. Mometo de orde r respecto de la meda. Mometo de orde r respecto del orge. Tal como se ha explcado e capítulos aterores, al agrupar los datos se troduce u error e el cálculo de sus dferetes meddas descrptvas, pues el supuesto de cada dato es gual a la marca de clase del tervalo dode cae, es ua smple aproxmacó. El cálculo de los dferetes mometos para datos agrupados o escapa de este error, y por ello ha sdo desarrolladas ua sere de fórmulas, que pretede corregr parcalmete el cálculo de los mometos, hecho medate las fórmulas covecoales co la marca de clase. Estas fórmulas se cooce bajo el ombre de Correccoes de Sheppard, se utlza para corregr los mometos respecto de la meda, y se fudameta e el supuesto de que el error de agrupameto para cada dato es aleatoro, y dstrbudo uformemete e el tervalo L N M c ; + c I K J, pues el verdadero valor del * c dato cae e el tervalo L. Las correccoes de Sheppard o será tomadas e cosderacó aqu, y se deja como tema de vestgacó para el lector. Ejemplo : S los prmeros cuatro mometos de u cojuto de datos respecto del úmero, so,0,-5 y 50.Determar los correspodete mometos respecto de. a) la meda, b) el úmero 5 c) el cero. Solucó : S el prmer mometo respecto del úmero es, esto sgfca que :

5 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 5 m, ( x ) x X El prmer mometo respecto de cero es X, respecto de la meda es sempre x ( x 5) cero, y respecto del úmero 5: m,5 Para hallar los segudos mometos, se tee: m, 0 m, por tato: ( x ) 0 x -6 X +9 0 X ( x 6x 9) x x x 6 x 9 x X 7 pues X Coocdo X, se puede determar los demás mometos de segudo orde m m,5 ( x X) ( x 5) Co los terceros mometos: x - X X - X 7-6 ( x 0x 5) x -0 X m, ( x ) ( x 9x 7x 7) x -9 x +7 X - 7 Como m, - 5 x x x -9 x +7 X -7-5 Por lo tato : X 9-7 X + 9 (7) 7 () + 8 Los restates mometos de tercer orde so: m ( x X) ( x x X x X X ) X X X X X - X Smplfcado: m X X X X 8 - (7) () + () 9

6 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 6 ( x 5) ( x 5x 75x 5) m,5 X 5 X + 75 X 5 por lo tato : m,5 8 5 (7) + 75 () 5-7 Procededo de maera aáloga para los cuartos mometos, y a partr de m, 50 se obtee: X 55, m y m, Ejemplo Demostrar la sguete detdad etre mometos: m m,a m,a m,a + 6 (m,a ) m,a (m,a ) ( x X) Solucó: Por defcó m y mr, A Se suma y se resta A detro de la expresó de m se obtee: m ( x A A X) I ( x A) ( A X) Al desarrollar el bomo ( x A) ( A X) se obtee: I ( x A) ( x A) ( x A) ( A X) 6( x A) ( A X) ( x A)( A X) ( A X) y al dvdr etre se obtee el lado derecho de la detdad, teedo e ( x A) cueta que: m,a X - A.. Mometos admesoales: Los dferetes mometos de orde r de u cojuto de datos vee expresados e udades a la poteca r de los datos, y así por ejemplo, el cuarto mometo respecto del orge de uos datos expresados e cetímetros, vee e cm. E alguas oportudades se debe comparar estos mometos co los de otro cojuto de datos, y cuado estos vee e dferetes udades, tal comparacó o es posble de realzar. Para poder hacer estas comparacoes, se utlza los mometos admesoales, que se defe como el correspodete mometo de orde r, dvddo etre la poteca r de algua medda de dspersó de las msmas udades de los datos, que geeralmete es la desvacó típca. Así por ejemplo, se defe como mometo admesoal de orde r respecto de la meda a: a r m r r El uso y utldad práctca de los mometos será aalzada a lo largo de este capítulo. r

7 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 7. Datos Smétrcos : U cojuto de datos { x, x,x,..., x } se dce que es smétrco respecto de u valor A, cuado se verfca dos codcoes: ª Codcó: El úmero de datos meores que A es gual al úmero de datos mayores que ese msmo valor A. ª Codcó : Etre los datos meores que A y los mayores que A exste ua correspodeca buívoca (uo a uo), de maera que para cada dato meor que A exste otro mayor que A co gual desvío absoluto co relacó a A, es decr a la msma dstaca. Ejemplos de datos smétrcos so los cojutos {, 7, 9,,, 7 } respecto del valor 0, y {,,, 5, 6, 9, 6 } co relacó a 5. El valor A recbe el ombre de eje de smetría, y o ecesaramete debe perteecer al cojuto de datos, como por ejemplo e el prmero de los cojutos aterores, dode el valor 0 o perteece al cojuto. Cuado ua dstrbucó de frecuecas es smétrca, el hstograma queda dvddo e dos mtades guales por el eje de smetría, como por ejemplo: Itervalo 0 a 5 5 a 0 0 a 5 5 a 0 0 a 5 5 a 50 frecueca la cual es smétrca respecto del valor 5, tal como puede aprecarse e el hstograma. Propedades de los datos smétrcos Propedad N : Cuado u cojuto de datos es smétrco respecto de u valor A, etoces la meda cocde co el eje de smetría, es decr : X A. Para demostrarlo, sea x p < A, y x q > A, su smétrco. Sea d p y d q sus correspodetes desvíos absolutos co relacó al eje de smetría A. Se tee etoces: x p A d p, y x q A + d q. Pero, por defcó de smetría: d p d q. x p + x q A

8 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 8 Como además el úmero de datos a la zquerda de A es gual al úmero de datos a su derecha, se cocluye etoces que: x A X A Propedad N : Cuado u cojuto de datos es smétrco respecto de u valor A, etoces la medaa també cocde co el eje de smetría, y por lo tato : Med A. Para demostrarlo basta aplcar el prcpo de reduccó al absurdo, pues s se supoe que el cojuto es smétrco co relacó al valor A y que Med A, se obtee como coclusó que exste smetría pero que el úmero de datos meores que A es dferete del úmero de datos mayores que A, lo que obvamete cotradce la defcó de smetría. Corolaro: Como cosecueca de estas dos prmeras propedades, se deduce etoces que e dstrbucoes smétrcas: X Med, es decr: Smetría X Med Es mportate destacar que esta mplcacó o es válda e setdo recíproco, es decr que s se verfca X Med, o ecesaramete es smétrca, tal como ocurre e el sguete cojuto de datos: {, 8,9,,,6}, e dode se verfca X Med, pero o exste smetría. Propedad N : Cuado ua dstrbucó es umodal y smétrca, etoces la moda cocde co eje de smetría. La demostracó de esta propedad es també por reduccó al absurdo, pues s se supoe que es smétrca y que la moda es úca pero que o cocde co el eje de smetría,se cocluría de que la moda o tee smétrco por ser úca, lo que obvamete cotradce la defcó de smetría. La úca maara como la dstrbucó puede ser smétrca co ua sola moda, es que el smétrco de la moda sea ella msma, lo que solamete puede ocurrr cuado la moda cocde co el eje de smetría. De estas tres propedades, se cocluye que e dstrbucoes smétrcas umodales, moda medaa y meda cocde co el eje de smetría, tal como ocurre e la curva ormal. Propedad N : E dstrbucoes smétrcas todos los mometos de orde mpar respecto de la meda X so ulos. E efecto, el mometo de orde r respecto de la meda X vee dado por:

9 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 9 ( x X) m r Cuado exste smetría X cocde co el eje de smetría, y por lo tato la dfereca x X represeta el desvío de cada dato co relacó a dcho eje. Cuado x X, este desvío es egatvo, y cuado x X es postvo, pero e ambos casos, gual e valor absoluto al de su smétrco. S la poteca r es mpar el sgo del desvío se matee, y por lo tato al sumar sobre todos los datos el resultado es cero, pues cada poteca del desvío se aula co la de su smétrco, que es gual e valor absoluto pero de sgo cotraro. E resume: Smetría m r 0 cuado r es mpar Lametablemete, esta propedad o es recíproca, y exste casos dode m r 0 co r mpar, y s embargo, o exste smetría. Tal es el caso por ejemplo, del prmer mometo respecto de X, el cual sempre es ulo exsta o o smetría, y por ejemplo el de los sguetes datos: {0,0,0,0,6,6,6,6,6,0}, e dode o exste smetría y s embargo al calcular el tercer mometo respecto de X, se obtee: X, m ( 0 ) + ( 6 - ) 5 + (0 - ) 0 0 Coclusoes De las cuatro propedades aterores, se puede obteer las sguetes coclusoes: ) S exste smetría se verfca: X Med, y además todos los mometos de orde mpar respecto de X ulos. El hecho de que se verfque algua de estas propedades o garatza la smetría. La úca maera de verfcar la smetría es aplcar la defcó, y aalzar s etre los datos meores que X y los mayores que X exste ua correspodeca uo a uo, de maera para cada dato meor que X exsta otro mayor que X gualmete desvado e forma absoluta co relacó a X. ) S algua de estas propedades o se verfca, se llega a la coclusó de que los datos o so smétrcos, es decr. X Med No exste smetría. m r 0 para algú r mpar No exste smetría. Ejemplo Se tee cuatro datos smétrcos respecto del valor 8. S el rago de los datos es, y la varaza 7, determe los cuatro datos. Solucó: X 8 por smetría, y su dstaca a los datos extremos es la mtad del rago, es decr 7. Por tato, los datos extremos so : x 8-7 y x Falta determar los dos datos cetrales x y x, pero como so smétrcos respecto del valor 8, sus desvíos absolutos so guales. Por smetría: x 8 d, x 8 +d, y como la varaza es 7 se obtee: ( 8) ( x 8) ( 8) ( 5 8) x 9 d d 9 7 r

10 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 0 Por lo tato: 98 + d 8 d 5 d 5. E cosecueca: x 8 5,y x Los cuatro datos buscados so etoces {,,, 5 } Meddas de deformacó : Cuado u cojuto de datos o es smétrco, se dce que es deforme o sesgado, y el objetvo de estas meddas es aalzar su grado de deformdad. U problema que va a cofrotar estas meddas es que el grado de deformdad de u cojuto de datos es u cocepto algo subjetvo, y por ello dfícl de medr de maera precsa. E las meddas de dspersó ocurre que cuado los datos so todos guales, todas ellas se aula, y vceversa cuado cualquera de las meddas de dspersó se aula, la coclusó es que todos los datos so guales. Co las meddas de deformacó o va a ocurrr esta crcustaca, y por lo tato cuado exsta smetría se aula, pero el hecho de que se aule algua de ellas o garatza la smetría. Las prcpales meddas de deformacó so: ) Coefcetes de sesgo o de asmetría: Estas meddas propuestas por Carl Pearso so exclusvas para dstrbucoes umodales, y se fudameta e la cocdeca etre moda, medaa y meda cuado la dstrbucó es smétrca. També recbe el ombre de Coefcetes de asmetría de Pearso. er coefcete de sesgo de Pearso ó Sesgo S.K X Moda coefcete de sesgo de Pearso S.K (X Med) Auque estos dos coefcetes so úmeros reales s udades, cuyo valor umérco es práctcamete gual como cosecueca de la relacó empírca X - Moda ( X - Med), su terpretacó es dferete. El prmer coefcete represeta la dstaca relatva etre la meda y la moda expresada e térmos de la desvacó típca; y así por ejemplo, s su valor es 0,5, esto sgfca que la meda se ecuetra a la derecha de la moda, a 0,5 desvacoes típcas de ella. El sgo del prmer coefcete dca s la meda está a la derecha o a la zquerda de la moda, segú sea postvo o egatvo respectvamete. Cuado es postvo, se dce que la curva de frecuecas está sesgada haca la derecha es decr, que la cola a la derecha de la moda es más larga que la cola a su zquerda; metras que cuado el sgo es egatvo, se dce que está sesgada haca la zquerda, lo que se terpreta como la cola a la zquerda de la moda más larga que a su derecha. La abrevatura S.K vee del glés Skewess que se traduce como Sesgo.

11 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. El segudo coefcete de sesgo, expresa la poscó de la meda co relacó a la medaa, de maera que cuado resulta postvo dca que la meda es mayor que la medaa, y que por lo tato más del 50% de los datos so meores que la meda; metras que cuado resulta egatvo, señala que la meda es meor que la medaa, y que más del 50% de los datos so mayores que la meda, tal como puede aprecarse e la sguete fgura: Sesgo > 0 Meos del 50 % de datos mayores que X. Sesgo < 0 Mas del 50 % de datos mayores que X ) El coefcete mometo de sesgo. Debdo a que todos los mometos mpares respecto de la meda se aula e ua dstrbucó smétrca, otra medda mportate de deformacó propuesta por Fsher, es el tercer mometo m admesoal respecto de la meda dado por: a. El prmer mometo respecto de la meda sempre se aula auque o exsta smetría, y por ello o srve para medr deformacó. De allí que se tome el tercero, que es el sguete mpar, para defr a este coefcete. Se dvde etre para obteer ua cfra relatva s udades, que permta comparar grados de deformdad etre cojutos de datos de dsttas udades. Cuado a >0, los desvíos a la derecha de X predoma sobre los desvíos a su zquerda, metras que cuado a < 0 es justamete lo cotraro. Cuado a 0, puede ser que exsta smetría, pero o puede garatzarse. Alguos textos utlza la omeclatura: b a, y otros g b a, que es ua medda del grado de deformacó, s dcar e cual dreccó.

12 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. ) El Coefcete de sesgo cuartílco: E ua dstrbucó smétrca, el prmero y el tercer cuartl so smétrcos respecto del segudo o medaa, y por lo tato debe verfcarse: Q Q Q Q. De allí que A. L. Bowley haya propuesto como medda de deformacó al sguete coefcete admesoal: g Q ( Q Q ) ( Q Q ) Q Q Q. ( Q Q ) ( Q Q) Q Q Su valor esta sempre compreddo etre y +. Cuado resulta postvo, se terpreta que la dstaca del segudo cuartl al tercero es mayor que del segudo al prmero, y cuado resulta egatvo que es meor. Segú Bowley, cuado la asmetría es leve este coefcete debe estar etre 0,0 y + 0,0, metras que valores absolutos de 0,0 ó más, refleja ua fuerte asmetría. Los casos extremos + ó - revela ua asmetría ta fuerte que el prmero o el tercer cuartl cocde co la medaa respectvamete. ) El coefcete de sesgo percetílco 0-90: E forma aáloga al ateror, puede decrse que e ua dstrbucó smétrca, la dstaca desde la medaa o percetl 50 hasta el percetl 90, debe ser gual a la dstaca hasta el percetl 0, y por lo tato para dstrbucoes smétrcas: P 90 P 50 P 50 P 0. g P ( P90 P50 ) ( P50 P0 ) P 90 P 50 P0 ( P90 P50 ) ( P50 P0 ) P90 P0 Al gual que el ateror, es u coefcete admesoal, cuyo valor oscla etre y +, y que debe aularse para dstrbucoes smétrcas. Ejemplo 5 Los sguetes datos correspode al área de u cojuto de apartametos expresada e metros cuadrados. Area 0 a a a a 0 0 a 0 0 a a a 00 Frecueca Calcular los coefcetes de sesgo, el coefcete mometo de sesgo, y los coefcetes cuartílco y percetílco de sesgo. Solucó : Se comeza calculado la meda, la medaa, la moda, percetles y cuartles, para lo que se ecesta la tabla acumulada de frecuecas: Area < 60 < 80 < 00 < 0 < 0 < 60 < 80 < 00 Frecueca P Q Q Med 80 + Moda ,86 ; P ,55 ; Q ,9 ; (06-5) +(06-0) 0 86, , 0 0,0

13 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. A cotuacó, se calcula los mometos. Area f * L (L * ) f (L * ) f (L * ) f Sumatora X 9,60 ; - (9,60 ) 657, ,65 Para calcular el tercer mometo respecto de X, resulta más cómodo aplcar la detdad ya demostrada, segú la cual : m X X X ( X ) m ( 9,60 ) + (9,60) 0.0, Ua vez hechos estos cálculos, se procede a determar las dferetes meddas de deformacó. 9, 60 86, 58 coefcete de Pearso S.K 0,7 5, 65 ( 9, 60 90, 9) coefcete de Pearso S.K 0,6 5, 65 Coefcete mometo de sesgo a 0.0, 0,60 ( 5, 65) 0,0 - ( 90,9 ) + 7,55 Coefcete cuartílco de sesgo g Q 0, 0, 0 7, 55,- ( 90,9 ) + 6,86 Coefcete percetílco de sesgo g P 0,9, 6,86 Todas las meddas de asmetría resulta postvas, por lo que evdetemete se trata de ua dstrbucó sesgada haca la derecha, e dode más de la mtad de los datos so meores que la meda. Cometaros co relacó a las meddas de deformacó : Es mportate hacer las sguetes advertecas co relacó a las dferetes meddas de deformacó propuestas aterormete: a) Como cada ua de ellas mde la deformdad desde putos de vsta dferetes, estas meddas o so comparables. Por lo geeral, cuado la dstrbucó es marcadamete asmétrca e cualquera de los dos setdos, los sgos de las dferetes meddas de deformacó

14 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. cocde, pero cuado es el grado de deformdad es leve, ocurre e muchos casos que alguas de las meddas resulta postvas y otras egatvas. b) Por lo explcado e la seccó, o debe olvdarse que la mplcacó: Smetría Medda de deformacó 0 es e u solo setdo, y que su recproco o es certo. Por lo tato, o es váldo coclur que s ua medda de deformacó resulta dar cero, etoces la dstrbucó es smétrca. La úca coclusó válda, es que s la medda de deformacó o se aula, etoces la dstrbucó o es smétrca. Para demostrar la smetría hay que verfcar que se cumple la defcó, dada e la seccó. Toda esta cofusó que se preseta alrededor de las meddas de deformacó es producto, de que s be es certo que la ocó de smetría es clara y defda, o lo es tato la de grado o tesdad de la asmetría, ya que alguos casos podemos referros al grado de asmetría respecto de la meda, e otros co respecto a la medaa, etc. Gráfcos de Caja: E el Capítulo aterores, se estudó el Gráfco de tallo y hoja desarrollado por el estadístco Joh Tukey e su trabajo Exploratory Data Aalyss. El Gráfco de caja deomado por alguos autores Box ad whskers Plot, es decr gráfco de caja y bgotes, es també ua ueva técca del Aálss Exploratoro de datos, y costtuye ua ovedosa maera de represetar los datos, e dode se puede ver, etre otras cosas s exste o o smetría. Para costrurlo es ecesaro calcular los sguetes valores: La medaa. El cuarto feror y el cuarto superor. El límte feror y el límte superor. El térmo cuarto vee de ua traduccó del glés hge (bsagra) o també fourths, y correspode aproxmadamete a cuartl ; de maera que el cuarto feror es aproxmadamete el prmer cuartl y el cuarto superor el tercer cuartl. Alguos autores també los llama gozes. Estos cuartos se desga por H el feror, y por H s el superor, y la forma de calcularlos exactamete, se dejará como tema de vestgacó para el lector. Sempre que o exsta valores atípcos o fuera de escala, el límte feror es el meor valor de los datos y se desga por L ; metras que el límte superor es el mayor valor de los datos, y se desga por L s. Ua vez calculados estos valores, se procede a costrur el gráfco, tal como se explca e el sguete ejemplo: Ejemplo 6 : Represetar e u dagrama de caja, las calfcacoes obtedas por u grupo de estudates e u exame de greso a la Uversdad, e ua escala sobre00 putos

15 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L Solucó: Al calcular la medaa, los cuartos y los límtes, se obtee: Med 65, H 56, H s 7, L, L s 9 Los datos compreddos etre el cuarto feror y el superor queda empaquetados detro de la caja, la que a su vez queda dvdda e dos partes por la líea gruesa teror que represeta a la medaa. El acho de la caja o tee gua terpretacó, y su altura es aproxmadamete el rago tercuartl, o logtud del tervalo 50% cetral. Los brazos o colas de la caja represeta la dstaca etre el meor de los datos y el cuarto feror, y etre el cuarto superor y el mayor de los datos. El eje horzotal o tee sgfcado alguo, y solo se usa se usa para señalar categorías e caso de que exsta más de ua. E este ejemplo hay ua sola categoría, pero es posble que exsta dos o más, como sería por ejemplo el caso e que los alumos que presetaro este exame de admsó sea clasfcados por sexo, o por zoa de procedeca, etc., y se quera hacer ua comparacó etre las calfcacoes obtedas por estos grupos. E estos casos, el gráfco se llama Gráfco de Cajas Múltples, y será aalzado más adelate, e u próxmo captulo.

16 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 6 Cuado exste smetría e los datos, la medaa dvde a la caja e dos partes guales, y la logtud de los dos brazos o colas del dagrama so guales. Cuado e el cojuto de datos exste valores atípcos o fuera de escala, sobre los cuales podría pesarse que exste algú error de medcó o de trascrpcó, el gráfco de caja suele represetarlo aparte, y lo desga como outsde (lejao) o far outsde (muy lejao), segú se ecuetre fuera de la cerca tera o de la cerca extera respectvamete. La forma como se calcula estas cercas, se deja como tema de vestgacó para el lector. E el caso de exstr valores atípcos, los brazos de la caja va desde el cuarto hasta el últmo valor detro de la cerca tera, el cual se deoma valor adyacete, y estos valores atípcos aparece señalados co símbolos especales, para alertar que se trata de valores lejaos, o muy lejaos. 5 Meddas de Aputameto: Cuado se tee u cojuto de datos, resulta muy mportate verfcar s su comportameto sgue ua Dstrbucó Normal, pues sobre esta hpótess de ormaldad se apoya la valdez de muchos procedmetos, utlzados prcpalmete e Ifereca Estadístca. A lo largo de este capítulo y també de los precedetes, hemos vsto dversas propedades descrptvas de la curva ormal, tales como la smetría, el porcetaje de datos compreddo e los tervalos μ, μ, etc. Otra propedad de la curva ormal es: m m, m Cuarto mometo respecto de la meda m ( X X) Segudo mometo respecto de la meda o Varaza ( X X) Basado e esta propedad, surgó la dea de tomar al cuarto mometo admesoal respecto de la meda, defdo por : a m como ua medda de m la ormaldad para los datos, pues e ese caso debería verfcarse a. A este coefcete a se le do el ombre de coefcete mometo de curtoss, se aplca exclusvamete a dstrbucoes umodales, y lo que hace es comparar la frecueca de los valores cetrales e la dstrbucó cosderada, co la frecueca que debería teer ua dstrbucó ormal co gual meda e gual varaza e la msma zoa, de maera que s a >, esto podría terpretarse como ua mayor cocetracó de los datos e su zoa cetral, por lo tato la curva de frecuecas resultate es más putaguda que la curva ormal; metras que cuado a < ocurre justamete lo cotraro, exste ua meor cocetracó Ver la demostracó N del Aexo.

17 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 7 e la zoa cetral, y la curva de frecuecas es mas aplastada que la curva ormal. El térmo curtoss es dervado de la arqutectura grega, y se utlzaba para comparar la esbeltez de ua columa co otra que servía de patró o de refereca que era llamada cúrtca ; de maera que s la columa e cuestó era más esbelta que aquella, se llamaba leptocúrtca, y s o era, se llamaba platcúrtca. De la msma maera, e Estadístca, la curva ormal es ua refereca para las demás curvas de frecueca, y cuado ésta resulta gual de putaguda que la ormal se deoma mesocúrtca, más putaguda que la ormal se le llama leptocúrtca, y cuado resulta mas achatada platcúrtca, tal como puede aprecarse e la sguete fgura: Para o teer que recordar el valor como refereca para la curva ormal, alguos autores sugere el uso del coefcete de curtoss defdo como: g a - de maera que g > 0 para curvas leptocúrtcas, g < 0 para platcúrtcas, y g 0 para mesocúrtcas. Otra medda de aputameto, es el coefcete percetílco de curtoss dado por: Q Q ( ) P90 P0 La sguete gráfca terpreta esta medda: Cuado la dstrbucó tee la mayoría de sus observacoes cocetradas e el cetro, la curva de frecuecas es muy putaguda, el rago tercuartílco Q Q

18 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 8 y el percetílco P 90 P 0 tede a ser cas guales, la relacó Q P Q P 90 0 aproxmadamete gual a, y por lo tato lgeramete meor que 0,5. Por el cotraro, cuado la curva es aplastada, el rago percetílco P 90 P 0 es cosderablemete mayor que el rago cuartílco Q Q, y por tato la relacó Q Q es cercaa a cero. P90 P0 Puede demostrarse medate el uso de las tablas ormales que se estudara posterormete, que para la curva ormal 0,60, que es aproxmadamete la meda etre los valores extremos 0 y 0,5, y de allí que: Para curvas leptocúrtcas: > 0,60 Para curvas mesocúrtcas: 0,60 Para curvas platcúrtcas: < 0,60 E la fórmula de se toma ( Q Q ) també llamado rago sem-tercuartl y o drectamete el rago tercuartl Q Q, pues o ecesaramete la dstrbucó es smétrca, y esta es ua maera de promedar las dstacas Q Q y Q Q. Ejemplo 7 : Calcularle el coefcete mometo de curtoss y el coefcete percetlco de curtoss, a los datos del Ejercco 5. Solucó: Como se trata de datos agrupados, el cuarto mometo respecto de la meda debe ser calculado a través de la expresó: m k * ( L X) f k f, que a su vez resulta más secllo de calcular e fucó de sus mometos respecto al orge, segú lo explcado e la seccó 8. m X X X 6 X ( X ) ( X ) E los cálculos hechos e el ejemplo 8.5, se ecotró: X ; X ,67 ; X 9, Sólo falta hallar: X k ( L ) k * ueva columa co los valores de (L * ) f : f f, para lo cual hay que añadr a la tabla ua Ver Demostracó N del Aexo.

19 Frecueca Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 9 Area f * L (L * ) f Sumatora De dode : X , Susttuyedo se obtee : m.70.57,00, y dado que 657,7, se obtee que: a.70.57,00,7, lo que sgfca que la curva de (657,7) frecueca correspodete a estos datos es lgeramete más putaguda que ua curva ormal de gual meda e gual varaza, debdo a que preseta ua mayor cocetracó de datos e su zoa cetral, e comparacó co la curva ormal, tal como puede aprecarse e el hstograma correspodete: ,0 75,0 00,0 5,0 50,0 75,0 00,0 Area de los Apartametos E este gráfco puede aprecarse que la dstrbucó a pesar de teer gual meda e gual varaza que ua ormal, preseta mayor frecueca que aquella, tato e la zoa cetral como e las zoas extremas, y ua meor frecueca e las zoas termedas. Las zoas extremas tee mayor flueca e el cálculo de a, pues sus desvíos aparece elevados a la cuarta poteca, y de allí a >.

20 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 0 E cuato al coefcete percetílco de curtoss, segú los cálculos del ejemplo 8.5, se tee: P 0 6,86 ; P 90, ; Q 7,55 ; Q 0,0 ( 0, 0 7, 55) 0,6 < 0,6, 6, 86 E este ejemplo, se cofrma los cometaros hechos co relacó a la subjetvdad de estas meddas, pues por u lado la curva resulta lgeramete leptocúrtca, y por el otro lgeramete platcúrtca. La cotradccó se debe a que se está mdedo el grado de aputameto desde dos putos de vsta dferetes. E casos como este, e dode exste dudas acerca de la ormaldad de los datos, hay que recurrr a las llamadas pruebas de bodad del ajuste, que se estuda e Ifereca Estadístca. EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 8 La sguete dstrbucó de frecuecas, represeta la duracó de las llamadas telefócas hechas desde ua ofca Mutos 0 a a a 6 6 a 8 8 a 0 0 a a Frecueca Determe los coefcetes de asmetría y de aputameto. Comete los resultados. Solucó: Es coveete orgazar los cálculos e la sguete tabla: Clase f * L (L * ) f (L * ) f (L * ) f (L * ) f 0 a a a a a a a Sumatora Los dferetes mometos respecto al orge so: X ; X ; X ; X Los mometos respecto de la meda resulta: m X - X.88 (.89) 6.75 m X X X ( X ) 56.5 (.88) (.89) + (.89) 8.9 m X X X 6 X ( X ) ( X ) 8.6

21 Frecueca Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L y por lo tato: a.08 ; a ( 6. 75) ( 6. 75) Por el resultado a.08, se puede coclur que se trata de ua dstrbucó fuertemete sesgada haca la derecha, tal como puede verse e su correspodete polígoo de frecuecas: 80 Polgoo de Frecuecas Duraco de las llamadas E cuato a los demás coefcetes, se tee: 77 8 Moda +.8 Medaa + (77 8) (77 7) 00 8 Q Q P P S.K X Moda > 0 Sesgada haca la derecha S S.K ( X Med) ( ) 0.6 > 0 S Por tato, mas del 50 % de las llamadas dura meos de X.89 Q Q Q 5. 5 (.5).05 g Q 0, > 0 Q Q g P P 90 P 50 P (. 5) > 0 P P

22 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. E ambos casos, los coefcetes de Bowley resulta postvos, lo que revela ua asmetría haca la derecha. El coefcete percetílco de curtoss resulta: Q Q ( ) P P 90 0 ( ) 0, No es posble llegar a ua coclusó deftva acerca de la esbeltez de la curva de frecueca, pues a > y < 0,6. Ejemplo 9: De u cojuto de datos se sabe que la medaa es, el segudo coefcete de asmetría de Pearso es,5, y la desvacó típca. a) Puede ser smétrca esta dstrbucó?. b) Cual es su meda?. c) A qué coclusó se puede llegar, acerca del porcetaje de datos que so mayores que la meda?. Solucó : a) Cuado e ua dstrbucó exste smetría, todas las meddas de deformacó debe aularse, y dado que e este caso ua de ellas como lo es S.K 0, se cocluye que esta dstrbucó o puede ser smétrca. b) Para hallar X, basta co despejarla de la expresó: S.K ( X Med), de dode se obtee : X Med + S (S.K ) + (,5) c) La dstrbucó es sesgada haca la derecha pues X > Med, y por lo tato meos del 50% de los datos so mayores que X. Ejemplo 0 Aalce s e los datos {,,,,,,,,, } exste o o smetría. Solucó : Se cumple X Med,50 ; s embargo, esto o garatza la smetría. Hay que aplcar la defcó, a ver s se cumple las dos codcoes de smetría: La prmera codcó se cumple, pues exste cco datos meores que,5, y també cco mayores que,5. Para cada dato meor que,5 exste otro mayor que,5, co el msmo desvío absoluto, y por tato se cumple la seguda codcó. E coclusó, el cojuto es smétrco co respecto al valor,5. Ejemplo : De ua dstrbucó smétrca de frecuecas para 00 datos, e cco tervalos de clase co gual ampltud, se tee la sguete formacó: Rago 50 Medaa 75 Frecueca del tercer tervalo doble de frecueca del segudo, y ésta a su vez doble del prmero. a) Costruya la tabla de frecuecas. b) Qué porcetaje de los datos cae e el tervalo X ±? c) S se elmara los datos ferores al percetl 5, y los superores al percetl 9, cual sería la meda de los datos resultates?. S

23 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. Solucó: Por smetría se tee f f, y f 5 f, y segú las codcoes del problema : f f, y f f. Además f + f + f + f + f 5 00 f + f +( f )+ f + f 00 0 f 00 f 0 f 0 y f 80. No se cooce los límtes de clase, la ampltud. Sea : L Límte Real feror de la prmera clase, y c Ampltud La dstrbucó de frecuecas es etoces: Clase L a L +c L+ c a L + c L+c a L + c L+c a L + c L+c a L + 5c Frecueca Acumulada Rago L + 5c L 5c 50 c Med L +c + c L +,5 c L 75,5 (0) 50 La dstrbucó de frecuecas es por cosguete: Clase 50 a a a a a 00 Frecueca Por smetría X 75, y al hacer los demás cálculos, se obtee: 0,95, P 5 6,50 y P 9 9,00 Para hallar el porcetaje de datos compreddo e el tervalo X ± S, que correspode a 75,00 ± 0,95 [ 6,05 ; 85,95], se determa el porcetaje de datos por debajo de cada límte, ecotrádose: p % por debajo de 85,95 00 F 85, I K J 8,90 % HG F HG p % por debajo de 6, , ,0 % 00 0 E el tervalo [ 6,05 ; 85,95] se ecuetra 8,90% - 8,0% 6,80 %. S se elma os datos ferores a P 5 6,50 y los superores a P 9 9,00, los tervalos de 60 a 70 y de 90 a 00 resulta trucados, y hay que hallar la frecueca proporcoal que les correspode. Al tervalo 6,50 a 70 le correspode ua frecueca de : I K J 70 6, Y a 90 a 9 ua frecueca de : 0 0 La dstrbucó recortada resultate es : Clase 6,50 a a a a 9 Frecueca cuya meda es: X 5 9 6, ( 80) 85( 0) 76, Ejemplo : Se tee dos dstrbucoes de frecueca, de las cuales se tee la sguete formacó:

24 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. Segudo mometo respecto de la meda: 9 y 6 Tercer mometo respecto de la meda: -8. y -.8. Cuál de las dos preseta ua mayor asmetría?. Solucó : A partr del segudo y tercer mometo respecto de la meda, se puede calcular el coefcete mometo de sesgo, pues : a Para la prmera dstrbucó se tee : a 8, -0,0. ( 9) m m (m ),8 Para la seguda dstrbucó se tee : a -0,0. ( 6) Ambas dstrbucoes so sesgadas haca la zquerda, pero la prmera preseta u mayor grado de deformdad, pues el valor absoluto de su coefcete mometo de sesgo es mayor. Ejemplo : Hallar el coefcete cuartílco de sesgo para los sguetes datos s agrupar:,, 5, 5,,,, 5. Iterprete el resultado. Solucó: Los datos se ecuetra ya ordeados de meor a mayor, y como so ocho, Q 5 ; Q Med 5 8 y Q Q Q Q (8) g Q 0 Q Q Por el resultado, se podría pesar que exste smetría, pero al aplcar la defcó, ecotramos que e realdad o lo es, pues o cumple la seguda codcó. Ejemplo : Hallar el sesgo o er coefcete de sesgo de Pearso para los sguetes datos s agrupar: {, 5, 9, 9, 9, 0 }. Iterprete el resultado. Solucó: Para estos datos: X 9, Moda 9, S 5.57 Sesgo S.K X Moda S embargo, o exste smetría al o verfcarse gua de las dos codcoes. Pregutas de Revsó ) Puede ua dstrbucó bmodal ser smétrca?. S su respuesta es postva de u ejemplo, y s es egatva justfíquela. ) Es posble que alguo de los mometos de orde par, respecto de cualquer orge de trabajo sea egatvo? ) S todos los datos so guales, qué ocurre co las dferetes meddas de deformacó y aputameto?..

25 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 5 ) Por qué se toma al tercer mometo admesoal respecto de la meda, como medda de asmetría? 5 ) Aalce s al multplcar u cojuto de datos por ua costate, se altera los coefcetes mometo de sesgo, y de curtoss. Se altera esos msmos coefcetes, s los datos se somete a ua trasformacó leal?. 6 ) E qué caso, los coefcetes de asmetría de Bowley o puede ser calculados, y por lo tato o exste?. E caso de exstr, etre qué valores puede varar?. 7 ) Puede garatzarse la smetría, cuado ua de las meddas de deformacó se aula?. Justfque su respuesta. 8 ) Cual es la dfereca etre escrbr X r y ( X) r?. 9 ) Para qué se utlza los mometos de orde mpar respecto de la meda?. 0 ) E qué casos los coefcetes de asmetría de Pearso o exste?. ) Obtega ua expresó para el tercer mometo respecto de u orge de trabajo A, m, A ( X A), e fucó de los tres prmeros mometos respecto del orge, y e fucó de los tres prmeros mometos respecto de la meda. ) A qué coclusó puede llegarse s e ua dstrbucó, los mometos respecto de la meda so guales a los mometos respecto del orge?. ) Qué puede decrse de ua dstrbucó cuyo cuarto mometo respecto de la meda sea ulo?. ) S e ua dstrbucó, más del 50% de los datos so meores que su meda, qué tpo de deformacó preseta?. 5 ) E ua dstrbucó que sólo presete dos valores, qué codcó debe cumplrse para que sea smétrca?. Cuál es el eje de smetría?. 6 ) S se tee dos dstrbucoes co segudo coefcete de sesgo S.K, ambos egatvos, pero dferetes. E cual de las dos exste u meor porcetaje de datos ferores que la meda?. 7 ) E qué caso el coefcete percetílco de curtoss o exste?. E caso de exstr, etre qué valores puede varar?.

26 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 6 8 ) Supoga que e la sguete dstrbucó, que solo preseta dos valores: X x x se ecuetra S.K 0. f f f Se puede coclur que es smétrca?. 9 ) Supoga que e ua dstrbucó, ua de las meddas de deformacó se aula y otra o. Exste duda acerca de su smetría?. Temas complemetaros para vestgar ) Ivestgue la forma exacta de costrur u Gráfco de Caja. Qué sgfca el térmo Profuddad de u dato?. Qué so los valores letra?. Como se halla los cuartos, las cercas teras y exteras, etc.?. ) Ivestgue acerca de las correccoes de Sheppard, su fudameto, y las fórmulas para corregr el cálculo de los mometos e el caso de datos agrupados. ) Ivestgue acerca de los métodos abrevados para calcular los dferetes mometos de ua dstrbucó, e especal cuado se trata de datos agrupados. Ivestgue el fudameto teórco de estos métodos, y aplíquelos e el cálculo de a y a, e los ejerccos 8.5, 8.7 y 8.8. Problemas Propuestos I. Nvel Elemetal 5) Dado el cojuto de datos {,,7,8,0}. Halle sus cuatro prmeros mometos respecto de: a) el orge. b) la meda. c) el úmero. Aalce s exste smetría. Solucó: a) 6, 5., 78 y 8.8 b) 0, 9., -.6 y. c),., 59.6 y 0 8.6) Ecuetre la meda de u cojuto de datos, sabedo que el prmer mometo respecto del úmero es. Solucó: X 6 6) La sguete dstrbucó, represeta el úmero de asstecas durate u año, para los empleados de ua empresa: Itervalo 0 a 5 a 9 0 a 5 a 9 0 a 5 a 9 frecueca Calcule los coefcetes mometo de asmetría y de curtoss. Solucó: a. a 5.6 7) La sguete dstrbucó, represeta el úmero de aparatos de T.V e ua ecuesta etre vvedas. Use métodos abrevados. Aparatos 5 6 frecueca Calcule los coefcetes mometo de asmetría y de curtoss. Solucó: a 0.8 a 5.

27 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 7 8) La sguete tabla de frecuecas se refere a la logtud e mlímetros de ua certa peza mecáca: Logtud 9. a a a a.. a.7.8 a.. a.7.8 a. Frecueca Calcule todas las meddas de deformacó y de aputameto. Iterprete los resultados. Solucó: a S.K 0.00 S.K 0.07 g q 0.0 g p 0. a.9 0, 9) Para ua dstrbucó se tee que su meda es 0, y su coefcete de varacó del 0%. Halle su segudo mometo respecto del orge y respecto del úmero, es decr ( X ). Solucó : 6 y 5 0) Para la dstrbucó del ejercco ateror, halle la moda y la medaa, s sabe que los coefcetes de sesgo de Pearso, tee u valor de 0,0 y 0,5 respectvamete. Solucó. Moda 9.0. Medaa 9.70 ) De ua dstrbucó co meda 5 y moda 8, se sabe que sus coefcetes de sesgo de Pearso tee u valor de y de 0,80. Ecuetre la medaa. Solucó: Medaa 5,80 ) Aalce s e los datos {6, 0,,, 5, 6, 7,, } exste smetría. ) Dados los sguetes datos s agrupar: 5, 0, 7, 0, 0,, 9, 9, 7, 5,, 8,,, 0, 9,, 5,,7 Calcule los coefcetes de sesgo de Bowley, y de Pearso. Iterprételos. Solucó: g q 0, g p 0, S.K 0.6 S.K 0.5 ) E la sguete tabla de frecuecas para datos s agrupar, calcule los dferetes coefcetes de asmetría: Valor 5 0 Frecueca Solucó : S.K -0., S.K -.5 g q -0. g p - 0. ; a - 0,68 5) a) Sabedo que la meda y el coefcete mometo de sesgo so ambos guales a cero, complete la sguete tabla de frecueca para datos s agrupar: X - 5 f?? b) Es realmete smétrca la dstrbucó?. Justfque Solucó: a) f() ; f(-) b) No 6) Calcule el coefcete mometo de sesgo para la sguete dstrbucó: X - 6 Aalce s exste smetría. f Exste cotradccó etre los dos resultados aterores?. Solucó: a 0. No es smétrca.

28 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 8 7) E ua dstrbucó, el tervalo que cotee al 50% cetral tee ampltud 8, y el tervalo que cotee al 80% cetral tee ampltud 6. Calcule el coefcete percetílco de curtoss. Solucó: ) E ua dstrbucó, la medaa es 0, el tervalo 50% cetral tee ampltud 5, y el coefcete cuartílco de sesgo es 0.0. Halle el prmer y tercer cuartl. Solucó: Q 5 Q 50 II. Nvel Itermedo 9) Supoga que e u cojuto formado por 5 datos, se sabe que es smétrca, que su meda artmétca es 0, que su rago es y que su varaza es 9,60. Determe los 5 datos que lo tegra. Solucó:, 5, 0, 5 y 7. 0) De ua dstrbucó de frecuecas smétrca, que cosdera cco clases de gual ampltud, se tee la sguete formacó: Número total de datos 00 Meda 00 Rago tercuartl Q - Q 80 La frecueca del tercer tervalo es el doble de la del prmero. La frecueca del cuarto tervalo es 80. a) Costruya la tabla de frecuecas. b) Calcule el porcetaje de datos que cae e el tervalo [ ; 58] Solucó: a) c 0. Límte feror 00. f 60,80,0,80,60 b) 7,50% ) Se tee ua dstrbucó smétrca de frecuecas co cco tervalos, de la cual se sabe que : X 50, 00, f 00, f f + 0, D a) Costruya la tabla de frecuecas. b) Calcule el porcetaje de observacoes que cae e el tervalo: X ±. Solucó: a) c 0. Límte feror 00. f 0,0,00,0,0 b) 66,6 % ) S los dos prmeros mometos de u cojuto de datos respecto al úmero 5 so : - y respectvamete. Determe los dos prmeros mometos de ese cojuto de datos, respecto de : a) la meda, b) el umero. c) el orge.d) Calcule també la varaza. Solucó : a) 0 y 6, b) - y 0. c) y 7. d) S 6. ) Cuál debe ser el cuarto mometo respecto de la meda, de ua dstrbucó smétrca co desvacó típca 5, para que sea: a) leptocúrtca, b) mesocúrtca, c) platcúrtca. Solucó : a) mayor que b) gual a c) meor que 5875

29 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 9 ) Se tee la sguete dstrbucó smétrca, que cosdera 50 valores putuales de la varable "X": Valores de "X"? 8? 5 Frecueca 5? 70?? a) Complete la tabla de frecuecas. b) Calcule la desvacó típca de la dstrbucó. c) Ecuetre los percetles 0 y 90 de la dstrbucó. d) Calcule el 5º mometo respecto de la meda. Solucó: b) S,89 c) P 0 8 P 90,50 d) m 5 0 5) De ua dstrbucó de frecuecas smétrca, que cosdera 7 tervalos de gual ampltud para agrupar 00 datos, se tee la sguete formacó: Itervalo 80% cetral [70 ; 0 ] Frecueca de la clase modal 8 La frecueca de la sexta clase es sete veces la de la prmera clase. La frecueca de la tercera clase es 68. a) Costruya la tabla de frecuecas. b) Ecuetre el porcetaje de observacoes e el tervalo X ± S. Solucó: a) c 0. Límte feror 0. f 5,5,68,8,68,5,5 b) 67, % 6) Ua dstrbucó smétrca de frecuecas para 0 datos, empeza e 00, terma e 50, cosdera cco tervalos de gual ampltud, su tercer cuartl es 70, y además la frecueca del tercer tervalo es gual a la suma de las frecuecas del prmero y del segudo. a) Costruya la tabla de frecuecas. b) Calcule el porcetaje de datos que se ecuetra e el tervalo [5 ; 6]. Solucó: a) c 50.. f 0,50,80,50,0 b) 8,7 % 7) E ua dstrbucó de frecuecas smétrca, para 00 datos agrupados e cco tervalos de gual ampltud, se tee : f f + f ; P 0 66 ; P 90 0 ; h 5 0 %. a) Costruya la tabla de frecuecas. b) Calcule el porcetaje de datos que cae e el tervalo X D.M. c) Calcule la meda de la cuarta parte superor. Solucó: a) c 0. Empeza e 00. f 0,70,00,70,0 b) 50.% c)0, 8) Ecuetre el prmero y segudo mometo respecto al valor 6, para ua dstrbucó de frecuecas que tega meda 8 y varaza. Solucó: y 6 9) E ua dstrbucó, la medaa es,0, el tervalo 80% cetral tee ampltud 8, el coefcete cuartílco de sesgo 0,60, y el coefcete percetílco de curtoss 0,5. Determe el prmer y tercer cuartl. Solucó: Q Q 6 0) De u cojuto co 0 datos cuattatvos, se sabe que la suma es 50, la suma de sus cuadrados 860, y la suma de sus cubos 500. Puede afrmarse que la meda y la medaa so guales?.

30 Meddas de Deformacó Agel Fracsco Arvelo L. 0 Solucó: Es posble pues m 0, pero o ecesaramete se puede llegar a esa coclusó. III. Nvel Avazado ) Demuestre que a. E qué caso a?. ) Demuestre que: < S.K < + ) Ecuetre el tercero y cuarto mometo respecto de la meda, para datos que se ecuetra e progresó artmétca: a, a +r, a +r,..., a + ( -)r. Exste smetría?. Sugereca : ( ) ( ) ( ) 0 Solucó: m 0, m ( ) ( 7 ) r 0. S exste smetría ) E u cojuto de datos, m de ellos so guales a, y los restates m so guales a 0. Ecuetre los cuatro prmeros mometos respecto de la meda. Solucó: m m ( - m) ; m m ( - m) ( - m) ; m m ( - m) (m + - m) 5) S e ua dstrbucó se verfca: X X + X X + 6X X Determe los coefcetes mometo de sesgo, y de curtoss. Solucó: a 0, a.