Capítulo 7. Distribución Binomial y de Poisson. 7.1 Distribución Binomial

Transcripción

1 Caítulo 7 Distribució Biomial y de oisso 7. Distribució Biomial E la física exerimetal, la distribució de Gauss es la más imortate de las distribucioes límites, si embargo existe otras distribucioes ue tiee gra imortacia ráctica y teórica. Tal es el caso de la distribució biomial, ue or su simlicidad es ua excelete itroducció a muchas roiedades de las distribucioes. Suogamos ue realizamos u exerimeto ue cosiste e arrojar dados y llamamos E (éxito) cuado se obtiee u y F (fracaso) cuado se obtiee cualuier otro úmero. Es bie coocido ue la robabilidad de obteer cada uo de los úmeros al arrojar u dado es /.Los resultados osibles de este exerimeto so: - ue o salga igú : FFF - ue salga u : EFF, FEF, FFE - ue salga dos : EEF, EFE, FEE - ue salga tres : EEE Si reetimos el exerimeto muchas eces, ecotraremos ua distribució límite ue os dará la robabilidad ue e ua tirada obtegamos tres co 0,, o Calculemos etoces la robabilidad de obteer cada uo de estos resultados. Comecemos rimero co la robabilidad de obteer tres arrojado tres dados. Como los dados so ideedietes la robabilidad de obteer tres será: ( ) 0.4%

2 Calculemos ahora la robabilidad de obteer dos. Cómo imos más arriba hay tres formas de obteer dos. Calculemos la robabilidad de ue ocurra ua de ellas, or ejemlo EEF. La robabilidad de ue el rimer dado muestre u es / y lo mismo ale ara el segudo. La robabilidad de ue el tercero o muestre u es 5/. Luego: ( ) %. 5 EEF La robabilidad ara las otras dos ocioes es la misma: ( ) ( ) %. 5.% 5 EFE EFE or lo tato la robabilidad de obteer dos será: ( ) %.9 5 De la misma maera odemos calcular la robabilidad de obteer u solo o iguo: ( ) % ( ) %

3 roiedades: Este exerimeto es u ejemlo de la distribució biomial orue osee las siguietes a- El exerimeto costa de esayos idéticos ( dados idéticos) b- Cada esayo tiee dos resultados osibles (ue salga el úmero ue uiero (E) o ue o salga(f)) c- La robabilidad de teer éxito es costate de u esayo a otro y la robabilidad de u fracaso es (- ) d- Los esayos so ideedietes (lo ue sale e u dado o deede de lo ue sale e otro) e- La ariable aleatoria es el úmero de éxitos ue se obtiee e esayos. or ejemlo el lazamieto de moedas es tambié u exerimeto biomial orue satisface las roiedades euciadas ateriormete. Deduzcamos etoces la distribució de robabilidad biomial. Imagiemos ue realizamos ideedietes ruebas tal como arrojar dados o moedas. Cada rueba uede teer arios resultados. U dado uede mostrar úmeros del al, las moedas uede mostrar la cara o seca. Vamos a llamar éxito (E) al resultado ue os iteresa y fracaso (F) a cualuier otro resultado. De este modo e el ejemlo aterior u éxito era obteer u, e las moedas el éxito uede ser obteer cara. Llamaremos a la robabilidad de éxito y ( ) a la robabilidad de falla. U resultado osible se uede reresetar de la siguiete maera: EEFFEEEFEEEE FFF osicioes Nos regutemos ahora cuál es la robabilidad de obteer éxitos e ruebas. Ua reresetació articular de esa situació es: EEEE..EEEE FFF..FFFF exitos - fracasos

4 Como los esayos so ideediete y la robabilidad de éxitos () es costate, la robabilidad de esta situació es: térmios - térmios Cualuier otra situació co éxitos aarecerá como u re-arreglo de letras E y F y tedrá la robabilidad ue acabamos de calcular. La reguta es etoces cuátos arreglos de letras E y ( - ) letras F so osibles. La resuesta es:!!( )! ue rereseta el úmero de formas e ue se uede extraer u subcojutos a artir de u cojuto dado. Resulta etoces ue la distribució de robabilidad biomial está dada or la siguiete exresió: ) B, ( ) ( () Esta distribució recibe el ombre de biomial or su coexió co la bie coocida exasió biomial. El coeficiete biomial aarece e la exresió biomial: ( + ) 0 Obsérese ue como +, la distribució de robabilidad biomial satisface la codició de ormalizació.

5 7. Valor medio y desiació estádar Si reetimos uestro exerimeto ue cosiste e ruebas muchas eces, es atural regutarse cual será el úmero romedio de éxitos. ara obteer este alor medio sumamos sobre todos los osibles alores de cada uo multilicado or su robabilidad. B 0 Como el rimer térmio de la suma es 0:!, ( ) 0 ( )!! ( )! (! ) (! ) ( )! (! ) (! ) y 0 ( y)! y!! y y De la misma forma se uede calcular la ariaza: σ ( ) caso: Cuado /, el úmero romedio de éxitos es / y es fácil demostrar ue e este ( ) ( ) B B,/,/ Esto uiere decir ue e este caso la distribució es simétrica. Alrededor del alor medio /. E geeral, es decir cuado, la distribució biomial o es simétrica. Esto sigifica ue, e geeral, o es el alor más robable.

6 Ejemlo: Suoga ue u comercio ue ede roductos electróicos recibe 000 fusible de A y sabe ue u 5 % so defectuosos. Si se toma aleatoriamete fusibles, cual es la robabilidad ue de ellos sea defectuosos? Es claro ue la robabilidad de éxito, es decir ue u fusible sea defectuoso es 0.05, or lo tato debo calcular: ( ) B 4 ( ) ( 0.05) ( 0.95) 0. 4,0.05 or lo tato hay ua robabilidad del 4, % de ue de los fusibles sea defectuosos. 7. Aroximació Gaussiaa a la distribució biomial B,05 () B,0.5() 0. A esar de sus diferecias, la distribució ormal y la biomial tiee ua coexió imortate. E la Figura 7. se muestra ua distribució biomial co /4 y tres alores distitos de (,, 48). E cada caso se muestra tambié, sueruesta, la corresodiete distribució ormal co la misma media y desiació estádar. Se obsera ue ara 48 las dos distribucioes so casi idistiguibles. Esto uiere decir ue ara u alor fijo de, cuado es grade, la biomial se aroxima a la ormal co el mismo alor medio y la misma desiació estádar: ( ) G ( ) lim B, X, σ B 48,05 () X σ ( ) Figura 7.: Distribució Biomial

7 Esta roiedad es muy útil ya ue hacer cálculos co la distribució biomial ara > 0 es bastate tedioso, mietras ue los cálculos co la fució Gaussiaa so siemre más simle. Ejemlo: Se uiere coocer la robabilidad de obteer 5 caras al arrojar 40 moedas, debemos calcular: B 40,/ 40! 5 5!5! ( ) 40 Que desués de u cálculo tedioso da. %. or el otro lado si ueremos usar la aroximació Gaussiaa sabemos ue: x 40 0 y σ 40, ( 4.5 < X < 5.5) (.4 < Z <.74).9% ara todo fi ráctico esta aroximació es excelete. 7.4 Distribució de oisso Suogamos ue se cueta co ua muestra radiactia y u detector caaz de cotar el úmero de artículas de decaimieto exulsadas e u iteralo de tiemo t. Si el detector es cofiable, o tedrá icertidumbre asociada. ero si se reite el exerimeto, seguramete se obtedrá u alor diferete de. Esta ariació e el úmero o refleja icertidumbres e el coteo sio ue refleja el carácter aleatorio del roceso de decaimieto radiactio. Cada úcleo radiactio tiee ua robabilidad defiida de decaimieto e cualuier iteralo de tiemo t. Si coociéramos esta robabilidad y el úmero de úcleos e la muestra se odría calcular el úmero romedio de decaimietos eserados e el tiemo t. Si embargo cada úcleo decae e u tiemo aleatorio y or lo tato e u dado iteralo de tiemo t el úmero de decaimietos uede diferir del úmero medio eserado.

8 Uo se reguta etoces ue asa si reetimos el exerimeto muchas eces. Es de eserar ue la distribució de resultados sea la distribució biomial. Si hay úcleos y la robabilidad de ue cada uo decaiga es, etoces la robabilidad de obteer decaimietos es la robabilidad de éxitos e ruebas. E estos exerimetos es muy grade ( ~ 0 0 ue es el úmero de úcleos) y la robabilidad de éxitos (decaimietos) es muy chica ( << ), lo ue hace muy difícil la ealuació de la distribució biomial. eor aú, e geeral i el úmero de eetos osibles i la robabilidad so coocidas. Lo ue se uede coocer usualmete es el úmero medio de eetos eserados () e u iteralo de tiemo o su estimació Calculemos etoces el límite de la distribució biomial cuado es ifiitamete grade, << y > 0 ermaece costate: B ( ),!!! ( )!! ( )! ( ) ( ) ara el segudo factor de este roducto se tiee: lim! ( ) lim! ( )( )...( x ) ues << e la regió de iterés. ara el cuarto factor resulta: lim 0 ( ) ( ) lim 0 ara el último factor: lim 0 / ( ) ( ) ( ) lim 0 / ( ) e lim 0 e

9 Combiado estas aroximacioes, ecotramos ue la distribució biomial tiee como límite a la distribució de oisso: lim B, 0!! ( ) ( ) e e ( ) La distribució de oisso es ua distribució límite ue describe los resultados de exerimetos e los cuales es ecesario cotar eetos ue ocurre de maera aleatoria ero a ua tasa romedio defiida. Obiamete esa fució distribució cumle co la codició de ormalizació: 0! ( ) e e e e 0! Valor medio y desiació estádar ara establecer el sigificado del arámetro, calculemos el úmero medio de coteo, ue se eseraría obteer desués de reetir el exerimeto muchas eces. e 0 0! ( ) El rimer térmio de esta suma es cero, or lo tato: ero: ( ) e ( )! e!!!

10 resultado fialmete: Esto uiere decir ue el arámetro ue caracteriza la distribució de oisso es el úmero medio de coteo eserado si se reite el exerimeto muchas eces. Calculemos ahora la desiació estádar asociada a los coteos. Se sabe ue: σ ( ) ( ) De la misma maera ue se calculo, es osible calcular + ue: σ, resultado fialmete Se uede demostrar ue si uo realiza u solo exerimeto y obtiee u alor ara el úmero de eetos e u iteralo T, la resuesta ara el coteo medio eserado e ese iteralo es: ± Alguas eces se cooce la tasa media R a la cual los eetos ue estamos cotado debería ocurrir. E este caso, el úmero medio de eetos eserados e u tiemo T es: tasa xtiemo RT Ejemlo: Decaimieto radiactio. Suogamos ue u cotador Geiger detecta a ua razó romedio de ulsos or miuto. Nos regutamos: - Cuál es el alor medio eserado ara el úmero de artículas emitidos e medio miutos? Como coocemos R, resulta: RT

11 - Cuál es la robabilidad de obserar a lo sumo artículas? 0! ( ) e e + e + e ! - Cuál es la robabilidad de obserar al meos artículas? ( ) ( ) Aroximació Gaussiaa a la distribució de oisso () Es fácilmete obserable de la Figura 7. ue a medida ue crece, la distribució de oisso aduiere ua forma de camaa, bastate simétrica alrededor de su alor medio Recuerde ue la fució solo está defiida ara alores eteros y ue las líeas ue coecta los utos so ua guía ara su ojo. De hecho se uede demostrar ue cuado tiee a ifiito, la distribució de oisso se aroxima a la Gaussiaa co el mismo alor medio y desiació estádar. Esto es: ( ) G ( ) lim X, σ X y σ Figura 7.: Fució distribució de oisso ara distitos. Esta aroximació, como e el caso de la distribució biomial, es útil ara realizar cálculos ue de otra maera sería tediosos.

12 Ejemlo: Tomemos 4 y calculemos Co la aroximació Gausiaa: 4 ( ) e.9% 7! G ( 7.5 X 7.5) G(0.97 Z.0) 0.0 % 4,8 7.7 Comaració de las distribucioes de oisso y biomial co la distribució ormal Biomial oisso Gaussiaa Variable Discreta Discreta Cotiua Simetría Sólo cuado / Es siemre asimétrica alrededor de su alor Siemre alrededor del alor medio medio Valor más No es el alor medio, No es el alor medio Siemre el alor medio robable exceto cuado ½ Queda esecificada or Dos arámetros: y U arámetro: Dos arámetros: y σ