Función descriptiva. Función descriptiva p.1/20

Transcripción

1 Función descriptiva En análisis de sistemas lineales el método de respuesta en frecuencia permite en forma simple: Análisis del comportamiento del sistema (estabilidad, respuesta a entradas sinusoidales). Representación gráfica (facilita el diseño). Interpretación física de los fenómenos. La complejidad aumenta muy poco con el orden del sistema. Desafortunadamente para sistemas no lineales no existe un método de análisis equivalente. Sin embargo, El método de la función descriptiva es una extensión de la respuesta en frecuencia. Es un método aproximado que hereda ciertas propiedades del método de respuesta en frecuencia. No obstante, en sistemas no lineales no existen métodos generales de análisis Los métodos aproximados son útiles. Función descriptiva p.1/20

2 Quasilinealización Linealización (Taylor) y Aproximacion linealizada: y = K x Punto de operacion nominal x Sólo es válida localmente. El elemento no lineal se modela mediante una ganancia K (lineal). Quasilinealización Ganancia linealizada Κ Linealizacion Quasilinealizacion Se modelan características de la no linealidad como la dependencia entre la ganancia y la amplitud de entrada. 0 Amplitud de entrada Función descriptiva p.2/20

3 Linealización Desarrollo en series de Taylor Si las condiciones normales de operación son: x, ȳ para y = f(x), y = f(x) y = f( x) + df dx (x x) + 1 x= x 2! d 2 dx 2 (x x) x= x Si las variaciones (x x) 0, y = ȳ + K(x x) con ȳ = f( x). Ejemplo: Motor D.C. v(t) R + sl i(t) N.L T=f 1 (i) + T L - X - f 2 (θ) Js N.L θ(t) s θ(t) v = Ri + L di dt T = f 1 (i) T = J θ + f 2 ( θ) + T L Función descriptiva p.3/20

4 Linealización Asunciones en el motor DC, T = f1(i) Pendiente K2 f2(θ) T L + K1θs Pendiente K1 i 0 θs θ T L v(t) R + sl i(t) K2 T + - X Js s θ(t) K1 θ(t) Función descriptiva p.4/20

5 Función descriptiva R(s) + G1(s) N.L. G2(s) C(s) - H(s) Una no linealidad genera armónicos. Si realimentación, los armónicos se propagan. se considera que G 1, G 2 y H reducen suficientemente los armónicos tal que la entrada al sistema N.L. es sinusoidal. F.D. = Componente fundamental de salida Sinusoidal de entrada Función descriptiva p.5/20

6 Función descriptiva Ejemplo: (Ecuación de Van der Pol) ẍ + µ(x 2 1)ẋ + x = 0 Existe oscilación mantenida? De qué amplitud y frecuencia? Definiendo u = x 2 ẋ el sistema es, r= x (.) 2 x 2 x -x d/dt u µ s 2 -µs+1 Bloque no lineal x Suponiendo que existe oscilación sostenida (ciclo límite), x(t) = Asin ωt ẋ = Aω cos ωt u = x 2 ẋ = A3 ω 4 (cos ωt Filtrado { }} { cos 3ωt) Función descriptiva p.6/20

7 Función descriptiva u U(s) = A3 4 ω cos ωt = A2 4 A2 4 s( X(s)) d A2 ( Asin ωt) = dt 4 d dt ( x) Llevando al sistema aproximado, Aprox. Cuasilineal r=0 -x u µ ---- s + - A s 2 -µs+1 x Autovalores, λ 1,2 = µ(a2 4)± 64 µ2 (A 2 4) 2 1 Que son imaginarios puros para A = 2 λ 1,2 = ±j ω = 1. Luego existe ciclo límite en ω = 1 con amplitud A = 2. Función descriptiva p.7/20

8 Evaluación de una F.D. Considere el sistema: e(t) N.L c(t) e(t) = A sin ωt c(t) = f(asin(ωt + 2π)) = f(asinωt) c(t) generalmente es periódica pero no sinusoidal. Descomponiendo en series de Fourier, c(t) = a n=1 [a n cos nωt + b n sinnωt] donde, a 0 = 1 π a n = 1 π b n = 1 π π π π π π π c(t) d(ωt) c(t) cos nωt d(ωt) c(t) sinnωt d(ωt) Función descriptiva p.8/20

9 Evaluación de una F.D. Si la N.L. tiene simetría impar a 0 = 0. Si solo se considera la fundamental, c(t) c 1 (t) = a 1 cos ωt + b 1 sin ωt = M sin(ωt + φ), M(A, ω) = a b2 1 φ(a, ω) = tan 1 a 1 b 1 Asin(ωt) N.L c(t) Asin(ωt) N(A,ω) M sin(ωt+φ) M e j(ωt+φ) La F.D. puede considerarse como una extensión de la noción de respuesta en frecuencia. Un elemento N.L. se puede tratar como si fuese lineal con una respuesta en frecuencia N(A, ω). N(A, ω) = Mej(ωt+φ) Ae j(ωt) = M A ejφ = 1 A (b 1 + ja 1 ) Función descriptiva p.9/20

10 Características de la F.D. La F.D. depende de la amplitud de entrada. La F.D. depende del sistema no lineal. La F.D. puede depender de la frecuencia. Si la no linealidad es univaluada y tiene simetría impar, N(A, ω) es real e independiente de ω. (a 1 = 0; b 1 es independiente de ω). Supuestos básicos de utilización: La entrada a cada N.L. se puede suponer sinusoidal. (detrás de cada N.L. hay un elemento lineal que filtra armónicos) G(jω) >> G(jnω) n = 2,3,... La no linealidad es invariante con el tiempo. Si la no linealidad es simétrica impar, no existen ni término estacionario ni nivel de continua. Función descriptiva p.10/20

11 Características de la F.D. La F.D. es una aproximación lineal de un elemento no lineal. Es la mejor aproximación (posee el menor error cuadrático medio). Depende de la amplitud y frecuencia de entrada. Depende de la forma de la no linealidad. Ejercicio: En el siguiente esquema se supone que la N.L. es univaluada con simetría impar. Calcule el error cuadrático medio y encuentre el valor de K que lo minimiza. Muestre entonces que N(A, ω) = K es la mejor aproximación de la N.L. x=acos(ωt) y(ωt) N.L. + Aproximación - e K Kx Función descriptiva p.11/20

12 Aplicaciones de la F.D. Análisis de la respuesta en frecuencia. Análisis de estabilidad. Diseño de sistemas de control. Respuesta en frecuencia de sistemas lineales La respuesta en frecuencia permite: Análisis del comportamiento del sistema. Estabilidad. Respuesta a entrada sinusoidal. Representación gráfica. (facilita el diseño). Interpretación física de los fenómenos. Su complejidad aumenta muy poco con el orden del sistema. El método de la función descriptiva es una extensión del método de la respuesta en frecuencia. Es un método aproximado que hereda ciertas propiedades del método de respuesta en frecuencia. Función descriptiva p.12/20

13 Análisis de estabilidad (R. en frecuencia) Sistemas lineales - R(s) + G(s) H(s) C(s) T(s) = G(s) 1 + G(s)H(s) En el dominio de la frecuencia si G(s) (planta) es estable, los polos inestables de T(s) deben satisfacer 1 + GH = 0. En particular, el cruce del LGR por el eje jω implica G(jω)H(jω) = 1 o: G(jω) H(jω) = 1 y G(jω)H(jω) = 180. Criterio de Nyquist (planta estable) Si # semivueltas en CW > #semivueltas en CCW alrededor del punto (,0) del plano complejo, el sistema en lazo cerrado es inestable. Función descriptiva p.13/20

14 Análisis de estabilidad (R. en frecuencia) Im Estable Im Margin. Estable Im Inestable Re Re Re GH(jω) GH(jω) GH(jω) Im Im Im Inestable Estable Inestable Re Re Re GH(jω) GH(jω) GH(jω) Función descriptiva p.14/20

15 - Análisis de estabilidad Sistemas no lineales R(s) + G 1 (s) x N.L. H(s) y G 2 (s) C(s) C(jω) R(jω) = G(jω) = G 1 (jω)g 2 (jω) N(x)G(jω) 1 + N(x)G(jω)H(jω) El cruce con el eje imaginario implica GH(jω) = 1 N(x) Solo es válido para entradas sinusoidales a N.L. El criterio de Nyquist se aplica alrededor del punto ( 1 N(x),0). x infty N x= N(x) G x 0 φ Im Estable ω= infty ω=0 Re GH(jω) Para amplitud x 0 : Márgen de fase = φ Márgen de ganancia = 20log ON OG Función descriptiva p.15/20

16 Análisis de estabilidad x infty N(x) x=0 C (x 0,ω 0 ) Im Ciclo l mite Estable ω=0 ω= infty Re GH(jω) ω=0 + x= N(x) Im Inestable ω= infty ω=0 Re GH(jω) x infty x 0 C D Im 2 Ciclos l mite ω=0 ω= infty Re GH(jω) Exactitud del análisis por F.D. La exactitud de la amplitud y frecuencia de un ciclo límite predicho por F.D. es buena o mala dependiendo de la característica pasa-bajo de G(jω). Además, Si los diagramas de 1/N y G(jω) se cortan casi perpendicularmente, la exactitud generalmente es buena. Si los diagramas anteriores son tangentes o casi tangentes, puede haber o no ciclo límite. Depende de G(jω). Función descriptiva p.16/20

17 Ejemplo: Saturación Salida -S S Pendiente k Entrada S 0 X θ 1 π/2 y(θ) x(θ)=x sin(θ) π ks θ=ωt Dado que y(t) tiene simetría impar de cuarto de onda, y(t) = { kx sinθ 0 θ < θ1 ks θ 1 θ < π 2 Y 1 = 4 π π 2 0 y(t) sinθdθ Función descriptiva p.17/20

18 Ejemplo: Saturación Resolviendo se obtiene, Y 1 = 2kX π N(x) = 2k π sin 1 ( S X sin 1 ( S X ) ) + S ( ) 2 S 1 X X + S ( ) 2 S 1 X X Consideremos la estabilidad del sistema, N -- k S -- X G(s) Función descriptiva p.18/20

19 Ejemplo: Saturación Se presentan dos posibilidades: Ciclo límite estable y operación estable. Im Im 1 Ν X=X 1 1 Ν X infty X=0 0 Re X infty X=0 0 Im G(jω) ω=ω 1 G(jω) Ciclo limite estable Operacion estable Función descriptiva p.19/20

20 No linealidades múltiples Si la combinación de elementos lineales y no lineales es tal que la entrada a cada N.L. es aproximadamente sinusoidal, entonces cada N.L. puede reemplazarse por una función descriptiva. Señal senoidal N.L Señal no senoidal Filtro pasa-bajas Señal senoidal N.L Si dos N.L. están en serie sin elemento pasabajos entre ellas, debe obtenerse una N.L. equivalente y analizarla. En general, la F.D. de una serie de N.L. no es el producto de las F.D. de cada elemento. x n1(x) N.L n1 y N.L n2 z x N.L n z n2(y) n(x) x z x Función descriptiva p.20/20