MUESTREO ESTRATIFICADO MUESTREO ESTRATIFICADO MUESTREO ESTRATIFICADO MUESTREO ESTRATIFICADO

Transcripción

1 El muestreo estratificado cosiste e dividir la població e subcojutos o estratos, y de cada uo de ellos seleccioar ua muestra probabilística; de maera idepediete de u estrato a otro. Existe tres razoes importates para utilizar este tipo de muestreo: i. estadísticas, ii. marcos; y de iii. costos. i. a razó estadística stica ocurre cuado la població está costituida por uidades eterogéeas y podemos teer ua idea previa de los grupos de uidades más omogéeas etre sí, etoces es coveiete formar estratos. os estratos so subcojutos de la població que agrupa uidades omogéeas eas, auque sea eterogéeas etre estratos. Cada estrato se muestrea por separado y se obtiee los estimadores de parámetros (totales, medias, proporcioes) para cada estrato. Se supoe que se cooce uidades e cada estrato ( ). el úmero de Auque esto se verá después, es importate señalar que si se usa estimadores de razó o de regresió o si el muestreo se ace co probabilidad proporcioal al tamaño, los estratos se forma co subcojutos de uidades dode sea costate la proporcioalidad de Y a X, auque esa proporcioalidad cambie de estrato a estrato. Como ejemplos de la razó estadística para usar estratos, cosidérese: (a) E u muestreo dode iteresa coocer algua característica de los ogares e la Ciudad de México (por ejemplo: gastos e alimetos, ropa, igresos, tipo de casa abitació, años de escolaridad del padre, úmero de ijos, etcétera). Se sabe que esas características depede fuertemete del ivel socioecoómico de las familias, por lo tato coviee acer estratos cosiderado áreas de la ciudad co iveles socioecoómicos semejates.

2 Así, las coloias se puede clasificar a priori co relació al ivel socioecoómico como: muy alto, alto, medio, medio bajo y bajo, formado de esta maera cico estratos. a ecuesta se plaea para cada estrato por separado. El efecto de formació de estratos es reducir la variabilidad de los estimadores. a variabilidad de Y se puede reducir muco si los estratos so muy omogéeos detro de cada uo de ellos y eterogéeos etre los mismos. (b) E u muestreo para estimar la coseca total de café e México, se coocía que el estado fisiológico, edad y estado de saidad de los árboles ifluye muco e su producció. Etoces, se tomaro como estratos, categorías de árboles bie defiidas y omogéeas e lo que respecta a edad, estados fisiológicos y de saidad. Además, los predios se agruparo e estratos de acuerdo a la regió ecológica dode estaba ubicados. Esto es porque la productividad del café varía segú las codicioes ecológicas como altura sobre el ivel del mar, vietos, temperaturas extremas, etcétera. (c) E ua ecuesta para estimar el cosumo de eergía eléctrica es coveiete agrupar las fábricas e estratos, así quedaría agrupadas e: fábricas grades, fábricas pequeñas, empresas de producció familiar y u estrato fial costituido por casaabitació. Esto, porque sabemos que el cosumo de electricidad va a ser muy variable etre estratos, y esperamos que sea meor detro de estos. ii. Otra razó poderosa para formar estratos es la dispoibilidad de marcos. Si para ua parte de la població se tiee u bue marco, éste se usa para el muestreo de esa parte y la o las otras partes de la població se muestrea usado otros marcos más imprecisos y, posiblemete distitos esquemas (diseños) de muestra.

3 Por ejemplo, e ecuesta de ogares se cueta co u bue marco para la zoa urbaa de costrucció atigua; pero las zoas rurales y las urbaas de costrucció reciete o tiee u marco adecuado. Etoces se utiliza plaos catastrales para las zoas urbaas atiguas (u estrato), se usa fotografías aéreas para zoas rurales (otro estrato) y las áreas de posible ueva urbaizació (otro estrato) se delimita como otro marco; se muestrea áreas y se ivestiga las uevas urbaizacioes (muestreo e etapas o coglomerados). iii. Otra razó más para costruir estratos puede ser el costo de localizar y levatar la iformació de las uidades, por ejemplo: si e ua ecuesta de predios agrícolas ay ua regió cuyo acceso es difícil (por avió o a caballo úicamete), esa regió puede costituir u estrato, que será muestreado co u tamaño de muestra pequeño. o más frecuete es que los tres criterios para formació de estratos coicida, de modo que los estratos forme uidades omogéeas co u mismo tipo de marco y co costos de localizació y captació de iformació semejates. Se puede utilizar diferetes formas de muestreo e los diferetes estratos, si embargo, se cosiderará e este escrito como ua itroducció al tema, aquel e el cual cada estrato se muestrea usado mas. Más adelate se cosidera las muestras complejas, dode se amplia el uso de estratos.

4 Cosidérese la siguiete otació: úmero de uidades e estrato -ésimo;,,...,; Valores Poblacioales Y i valor de la medició e el elemeto i-ésimo del estrato -ésimo. total de uidades e la població. úmero de estratos. Y i Y i media poblacioal del estrato -ésimo. Y Y Y S i i i ( ) Yi Y total poblacioal del estrato -ésimo. variazas poblacioales del estrato -ésimo. i total de toda la població. i Y Y Y Y Y Y Y media de los valores Y i e toda la població.

5 W W proporció del tamaño del estrato -ésimo. Valores muestrales E esta parte se cosidera cualquier estrategia de muestreo probabilístico e cada estrado, icluso puede ser diferetes de u estrato a otro. Supógase que de maera idepediete se toma muestras de cada estrato. Sea el tamaño de muestra e el estrato -ésimo. a muestra total es Supógase que se quiere estimar el total de la població, esto es i Para esto co la muestra de cada estrato se estima el total, sea Y el estimador isesgado o co sesgo despreciable para el caso de estimadores de razó o de regresió, su variaza VY ( ), además, sea VY ( u estimador ) de esa variaza. Y Y Y i

6 El estimador del total es Y Y la suma de los estimadores de los totales de los estratos (es u estimador isesgado). Esto es válido co cualquier diseño de muestra y estimadores por estrato, los que puede ser distitos e los diferetes estratos. a variaza del estimador del total es VY ( ), VY ( ) que es la suma de las variazas de los estimadores de los totales de estratos. Esto es por teer muestras idepedietes e los estratos. Además el estimador de la variaza del estimador del total es: VY ( ) VY ( ) Supoiedo distribució ormal de P Y Y <.96 V( Y).95 Y se tiee: PY.96 VY ( ) Y Y+.96 VY ( ).95 &

7 Si o se puede supoer ormalidad úsese el valor 4.4 e lugar de.96 (T. Tcebyceff). Estas expresioes para Y so válidas para cualquier forma de muestrear estratos. a primera aproximació al uso de estratos es cosiderar que se usa mas e cada estrato etoces: yi i Y y Y dode y i so los valores observados e la uidad i-ésima de la muestra (tamaño ) del estrato -ésimo. El estimador del total poblacioal es: Y Y y Y dode de las i i i y y i (6.) correspode al factor de expasió, uidades obteidas e cada estrato. Su variaza teórica es: VY ( ) VY ( ) V( y) S (6.) Esta variaza se estima al sustituir S por su estimador e cada estrato.

8 El estimador isesgado de S es ( ) yi y S i ótese que S es la misma expresió que S, pero la primera es co valores de la muestra y la seguda co los valores de todo el estrato -ésimo.. Recurriedo al Teorema cetral del límitel mite, para cada estrato y, se tedrá ~ [ Y, V( y)] que Y~ [ Y, V( Y)]. Esto es muco más factible auque cada o tega distribució ormal, si se tiee mucos estratos. Se puede decir que los errores de estimació tiede a cacelarse de u estrato a otro. y Si se estima VY ( ), se puede costruir u itervalo de cofiaza aproximado para el total de la població: [ ] P Y.96 V( Y) < Y < Y+.96 V( Y) & 0.95 (6.3) Al dividir cada térmio de (6.3) etre, teemos el itervalo de cofiaza para Y, la media de la població. Si se cosidera que la muestra es grade e cada estrato, la muestra total será mayor aú. Esto justifica el uso del valor.96 e lugar del valor de las tablas de t. ótese que: S VY ( ) (6.4)

9 6. 6. Si lo que se quiere estimar es Y, se tedrá que, Y Y y Wy dode W -ésimo. y (6.5) proporció del tamaño de estrato ótese que (6.5) es u promedio poderado de los promedios muestrales y su variaza es: S V ( Y) W (6.6) la que se estima co: ( ) S VY W (6.6a) 6. De maera semejate, el itervalo de cofiaza aproximado para Y es el siguiete: PY.96 VY ( ) Y Y+.96 VY ( ) 0.95 & Aú co muestras cicas e cada estrato (,3,4) si se tiee mas de 0 estratos se puede teer ormalidad para Y, esto e virtud de la compesació de errores. 6. Proporcioes Si lo que se requiere estimar es P, la proporció de elemetos de la població que tiee ua característica determiada, se usa las equivalecias dadas por Y P, y p, P Wp, VY VP W p ( ) ( ) ( p )

10 6. 6. Estas equivalecias surge al cosiderar que Sólo si las P so muy diferetes de estrato a estrato, vale la pea estratificar. Y i Si la uidad i-ésima del estrato tiee la característica Si. P.8 estratos., o coviee usar los 0 De otro modo 6. Distribució (afijació) de la Muestra a los Estratos 6... Distribució Proporcioal Ates de cosiderar el problema de la determiació del tamaño de muestra, se discute la forma de distribuir el tamaño de muestra total,, a los diferetes estratos. U criterio es lo que se le llama distribució (afijació) proporcioal, dode la muestra se divide de maera proporcioal a los tamaños de los estratos.

11 6... Distribució Proporcioal 6... Distribució Proporcioal Se busca que se cumpla la relació: W. De esta relació se tiee: W (6.7) Esta distribució de la muestra total se usa cuado o se tiee iformació sobre la magitud de las S, o que esas S sea semejates; se usa además cuado los costos de muestrear las uidades e los diferetes estratos so semejates Distribució Proporcioal 6... Distribució Proporcioal Tambié se emplea cuado el muestreo o ecuesta va a determiar varias características (varias medicioes) e cada uidad de la població, icluso cuado se quiere que sea autopoderado, es decir, todos los elemetos de la muestra tiee u mismo factor de expasió. Co esta distribució proporcioal se tiee: Y Y y yi k i i y i dode k.

12 Cuado se tiee costos muy diferetes para el muestreo de uidades e los diferetes estratos, se usa la distribució (afijació) óptima. Si el costo para obteer iformació de ua uidad e el estrato -ésimo es C, el costo total será: C C0 C (6.8) C Distribució Óptima + es costo admiistrativo, de istalació, etcétera, geeral. 6.. Distribució Óptima a miimizació (variado las, si cambiar otras codicioes), de la variaza del estimador (6.) co costo fijo (6.8) o viceversa, produce la distribució óptima que es: (6.9) Esto es para muestreo mas e todos los estratos. S S C C S C 6.. Distribució Óptima Para cualquier diseño de muestreo e los estratos, la variaza del estimador del total se podrá expresar como: ( A VY) + ( cte. que o ivolucra ) 6. Tamaño de Muestra Total Si lo que se quiere es ecotrar aquel valor de que produce la míima m variaza para u costo total fijo C 0, se deberá usar la expresió (6.9) y sustituir e (6.8). Etoces la distribució óptima es:, A A A C C C

13 6. Tamaño de Muestra Total Etoces teemos: ( C C0 ) Esto es usado la distribució óptima. S S os valores de S se deberá obteer co base e muestras piloto de cada estrato, o bie por coocimieto previo de la forma de la distribució e cada estrato y el rago de variació. C C (6.0) 6. Tamaño de Muestra Total Si lo que se quiere es ecotrar el valor de que produce el costo míimom para u error de estimació δ determiado, etre el estimador del total y el verdadero total, etoces se tiee δ.96 VY ( ). Si se sustituye la variaza de la expresió (6.) co distribució óptima, se obtiee: S S C C (6.) δ + S.96 ( ) 6. Tamaño de Muestra Total as expresioes (6.0) y (6.) se refiere a la estimació del total. Para estimar u promedio, Y, la expresió (6.0) sigue siedo válida pero la (6.) debe modificarse: P Y.96 VY ( ) Y Y.96 VY ( + ) & δ ( ) δ.96 V Y 6. Tamaño de Muestra Total Sustituyedo la variaza por la expresió (6.6) y co óptimo se tiee: S S C C (6. ) δ + S (.96) Dode aora δ es el error máximo permisible, co cofiaza del 95%, etre el estimador del promedio Y, y el promedio poblacioal Y. ótese que las δ e expresioes (6.) y (6. ) so muy diferetes.

14 6. Tamaño de Muestra Total as expresioes (6.0), (6.) y (6. ) se usa cuado se quiere optimizar algo que ivolucra el costo. Si el costo o es determiate y si se usa la distribució óptima para C costate, (6.0) o deberá usarse. Es importate efatizar que e (6.0), (6.) y (6. ) se usa la distribució óptima. 6.3 Distribució Proporcioal Si se va a usar la distribució proporcioal se puede recurrir a la expresió de la variaza que es: VY ( ) S S (6.) Si se sustituye se tiee: VY ( ) S S (6.) 6.3 Distribució Proporcioal 6.3 Distribució Proporcioal Co este valor e lugar de las S, se puede usar las expresioes (5.3) y (5.4) para obteer. Si se quiere teer u coeficiete de variació fijo (CV o ), si tomar e cueta el tipo de distribució del estimador Y, se tedrá : VY ( ) CV0, Y de dode: S ( 0 ) + Y CV S (6.3)

15 6.3 Distribució Proporcioal 6.3 Distribució Proporcioal Si se cosidera que Y~ Y, V( Y) [ ] de aquí se tiee que [ ] P Y Y < δ α, z y se desea teer: δ VY ( ) α / de dode a partir de debe de ser: S δ + z α / VY ( ) S se obtiee que (6.4) 6.3 Distribució Proporcioal Es relativamete secillo modificar las expresioes (6.3) y (6.4) para cosiderar la estimació de Y. El cambio fudametal está e que se debe sustituir Y por Y que es Y, etoces: VY ( ) VY ( ) S S. 6.4 Coclusioes Si se cosidera que el costo es importate, esto es, ay costos difereciales e los estratos, coviee usar la distribució óptima (6.9) y determiar el tamaño de muestra co expresioes (6.0), (6.) o (6. ). Si o ay costos difereciales muy marcados y se decide usar la distribució proporcioal (6.7) para determiar el tamaño de muestra total, se usará (6.3), si se quiere fijar el coeficiete de variació, si cosideracioes sobre la distribució de los estimadores.

16 6.4 Coclusioes 6.4 Coclusioes Si se quiere fijar la precisió (δ ) y la cofiabilidad (-α) cosiderado distribució ormal para el estimador, se usará la expresió (6.4). Debe teerse cuidado al señalar que todas las expresioes ateriores determia el tamaño de muestra para estimadores globales de toda la població. as iferecias o so para cada estrato co esas muestras. Si lo que se desea es estimar media o totales e cada estrato, las expresioes ateriores o se debe usar, lo que se debe emplear so fórmulas (5.3) y (5.4) para cada estrato por separado y así determiar las a usarse e cada uo de ellos. Por supuesto que e este último caso la muestra total es muco más grade. Esto es de esperarse, puesto que aora se está aciedo iferecias por separado para poblacioes.