Enfoque práctico de los elementos necesarios para la estimación del tamaño de la muestra

Transcripción

1 Capítulo 7 Efoque práctico de los elemetos ecesarios para la estimació del tamaño de la muestra Arturo Redig Beral Jua Carlos López Alvarega Itroducció Las exigecias e la ivestigació actual ha creado la ecesidad de profudizar e muchos aspectos estadísticos. Es práctica comú pedir a los alumos de maestría y doctorado que calcule el tamaño de la muestra del estudio que realiza. Para ello debe escoger las variables que ha utilizado para la hipótesis de trabajo y debe difereciar las variables de respuesta (depedietes) y las predictoras (idepedietes). Para realizar u cálculo adecuado del tamaño de muestra, el ivestigador debe coocer co amplitud las variables que debe aalizar. Cada variable tiee su propia distribució probabilística y alguas cueta co formas muy particulares. Por ejemplo, las cocetracioes e suero de triglicéridos y leptia tiee distribucioes sesgadas a la derecha (cosúltese el capítulo 15, El sesgo e la ivestigació) y es comú que la desviació estádar tega u valor muy parecido al promedio respectivo. La trasformació logarítmica es muy utilizada co estas variables. Este coocimieto cotribuye a que los cálculos se haga de maera adecuada co los logaritmos y o co las variables origiales. Estas técicas estadísticas para la ivestigació se utiliza e casi todas las áreas del coocimieto, co u auge importate e salud. Existe varias razoes para seleccioar ua muestra; el objetivo fudametal es hacer iferecias estadísticas (estimacioes de uo o más parámetros acerca de ua població fiita de iterés). Esta població es la que se desea ivestigar y a la que se le deomia població de iterés, població blaco o població diaa. Para que la extrapolació (iferecia estadística) tega validez, la muestra debe ser represetativa y la represetatividad alude a que el estimador muestral de las variables de iterés debe teer ua distribució co comportamieto similar a las

2 66 Metodología de la ivestigació, bioestadística y bioiformática e ciecias médicas y de la salud de la població de las que proviee. 1 Para cumplir co este supuesto de represetatividad es deseable que la muestra sea probabilística y para calcular su tamaño se debe tomar e cueta varios factores: estructura de la hipótesis, error tipo I (error alfa), error tipo II (error beta), poder estadístico deseado, variabilidad, pérdidas e el seguimieto del estudio, diferecia clíicamete sigificativa y tipo de estudio epidemiológico utilizado e determiada ivestigació. Aspectos básicos e el proceso de muestreo Població es el cojuto total de elemetos del que se puede seleccioar la muestra y está coformado por elemetos deomiados uidades de muestreo o uidades muestrales, co cierta ubicació e espacio y tiempo. A estas uidades se les llama elemetales si so el objeto último del que se pretede obteer iformació y o elemetales si está costituidas por grupos de uidades elemetales. 1 Las uidades de muestreo puede ser idividuos, familias, compañías, etcétera. Muestra de la població de iterés Es deseable que la població de iterés se ecuetre registrada e u medio físico, coocido como marco de muestreo o marco muestral. Éste puede ser u directorio, u mapa, u listado, u archivo o cualquier otro material aceptable, que cotega todas las uidades de muestreo debidamete idetificadas y actualizadas, 3,4,5 porque la muestra se obtiee de él. Se dice que se cueta co u marco utilizable cuado los elemetos de éste coicide co la població de iterés. 3 La iformació de ua població se obtiee mediate cesos o métodos de muestreo. E u ceso se registra las características de iterés de todos los elemetos de la població. E este caso, se cooce perfectamete la distribució de las variables de iterés y o es ecesario hacer iferecia estadística, porque el parámetro se calcula de maera directa. Si embargo, el ceso es muy costoso; por ello, el ivestigador opta por recurrir a ua muestra. Ua muestra o es más que u subcojuto de la població que se obtiee mediate u proceso o estrategia de muestreo. 1,3 Este capítulo se cocetra sobre todo e el diseño y la determiació del tamaño de la muestra para lograr represetatividad o validez extera e las coclusioes (figura 7-1). Por la forma como se seleccioa las uidades de muestreo, ua muestra puede ser o probabilística o probabilística. E ua muestra de este último tipo, la selecció de sus elemetos se realiza mediate cuotas, criterios o a coveiecia del ivestigador. E este tipo de muestreo, las uidades tiee distitas probabilidades de ser seleccioadas y, por tato, o se puede determiar la validez i la cofiaza de los resultados y tampoco se puede aalizar los errores cometidos e la estimació i fijar los tamaños de muestra. U caso muy comú so las ecuestas de opiió, que casi siempre tiee poca credibilidad (por ello, se les cooce como muestras erráticas o circustaciales). 1,4 U muestreo es probabilístico cuado cada elemeto de la població tiee ua probabilidad coocida mayor que cero de ser seleccioado e algua muestra y el proceso de selecció de los elemetos se realiza mediate mecaismos aleatorios, lo que permite medir y cotrolar los errores del muestreo. 1,3,4

3 Efoque práctico de los elemetos ecesarios para la estimació del tamaño de la muestra 67 Muestra probabilística Població de iterés Estimador muestral Extrapolació Parámetro de la població Represetatividad: Distribució de frecuecias similar etre la muestra y la població Figura 7-1. Represetatividad de ua muestra probabilística. Muestras para estudios clíicos cotrolados. Cuál es la diferecia? U aspecto diferete del muestreo es el caso de los estudios clíicos para determiar la eficacia y seguridad de algú medicameto, e comparació co los tratamietos estádar o placebo. E ellos, el iterés o reside e sacar iferecias sobre ua població blaco e u setido expuesto, sio e cotrastar hipótesis sobre u tratamieto (o ua maiobra) que iteresa al ivestigador. Por tato, el muestreo suele ser a coveiecia. Ua vez que se ha seleccioado a los sujetos de estudio, se hace ua aleatorizació para asigar el tratamieto que recibe cada uo. E este caso es adecuado que la aleatorizació se haga por bloques aleatorios. Si el ivestigador cooce de atemao la existecia de factores que modifica la variable depediete, es recomedable hacer estratos para cotrolar a la variable cofusora y, e este caso, cada estrato se aleatoriza e forma idepediete para lograr grupos balaceados e el tratamieto. Obsérvese que lo que se prueba es la efectividad de los tratamietos, reflejada e las variables depedietes escogidas por el ivestigador. El compoete probabilístico está e la asigació aleatoria del tratamieto y o e la selecció de los sujetos que participa e el estudio. Factores para la determiació del tamaño de la muestra E la ivestigació clíica y epidemiológica existe factores que codicioa el tamaño de la muestra; puede ser de orde logístico o estadístico. Etre los de orde logístico se ecuetra las limitates fiacieras de u estudio determiado, o la dispoibilidad de pacietes e u estudio de efermedades poco frecuetes. 6 Por otra parte, los factores de orde estadístico que determia el tamaño de muestra se mecioa a cotiuació.

4 68 Metodología de la ivestigació, bioestadística y bioiformática e ciecias médicas y de la salud Hipótesis De acuerdo co el tipo de estudio de ivestigació, tal vez sea ecesario formular ua o más hipótesis. Si se trata de u estudio de tipo descriptivo, esto o es ecesario, porque sólo se busca ua caracterizació de la població de iterés. E cambio, e los estudios de tipo comparativo, e que se emplea pruebas de sigificació estadística, sí es ecesario establecer ua o más hipótesis. Por lo geeral, e la formulació de ua hipótesis el ivestigador platea a priori el posible resultado, mietras que co los estudios descriptivos se puede establecer propuestas de hipótesis a posteriori. E ambos casos, es ecesario cotrastar las hipótesis y determiar si se acepta o se rechaza. Para realizar este cotraste, las hipótesis toma el ombre de ula (H 0 ) o alterativa (H 1 ). E casi todos los casos, la hipótesis que el ivestigador desea probar se platea e la hipótesis alterativa; es decir, el ivestigador espera que se rechace la hipótesis ula (cuadro 7-1). El tipo de cotraste de hipótesis puede ser uilateral (ua cola) o bilateral (dos colas). Ua hipótesis uilateral se platea cuado se especifica la direcció de la asociació (mayor o meor) de las variables; e la hipótesis bilateral, se puede afirmar la existecia de asociació etre las variables, pero o se especifica la direcció. Por lo geeral, se recomieda que el cotraste de hipótesis sea bilateral, porque ofrece la estimació más robusta, a pesar de que el tamaño de muestra es más grade. El cotraste uilateral sólo debe utilizarse cuado existe evidecia suficiete para limitar las hipótesis a ua direcció (ua cola). Auque esto es posible, la mayoría de los revisores de protocolos de ivestigació tiee la costumbre de exigir cotrastes a dos colas. Cabe mecioar que el valor de Z de ua distribució ormal cambia depediedo del tipo de cotraste de hipótesis. Así, para la probabilidad de α aceptada, e u cotraste uilateral, se tedría Z α y para el bilateral se tedría Z α/. E cuato al valor correspodiete a la probabilidad de β aceptada e ambos cotrastes es Z β. 6 Error tipo I o error α E u cotraste de hipótesis, al valor α (error tipo I) se le cooce como la probabilidad de que se rechace H 0 (se acepte H 1 ) cuado H 0 es cierta. Es decir, P(aceptar H 1 H 0 es cierta) = α. Al valor (1 α)*100 se le cooce como el ivel de cofiaza de la prueba. El costo para el ivestigador de reducir el error tipo I y, por tato, de teer u mayor ivel de cofiaza e los resultados requiere u tamaño de muestra mayor. Etoces, el valor de α varía de- Cuadro 7-1. Decisió Posibles errores e el cotraste de hipótesis. Realidad H 0 es cierta H 1 es cierta Se acepta H 0 1 α β (error tipo II) Se acepta H 1 α (error tipo I) 1 β Al valor α (error tipo I) se le cooce como la probabilidad de que se rechace H 0 (se acepte H 1 ) cuado H 0 es cierta. Al valor β se le cooce como la probabilidad de que se acepte H 0 cuado es falsa (H 1 es cierta).

5 Efoque práctico de los elemetos ecesarios para la estimació del tamaño de la muestra 69 pediedo del ivel de cofiaza que se quiera para la prueba; el criterio más usado e la literatura biomédica cosiste e aceptar u riesgo de α < Error tipo II o error β A la probabilidad de que se acepte H 0 cuado es falsa (H 1 es cierta) se le cooce como error tipo II o error β, es decir: P(aceptar H 1 H 0 es cierta) = β. Al igual que co el error tipo I, cuato meor sea la probabilidad de cometer el error tipo II mayor debe ser el tamaño de muestra requerido. El valor de β tolerable de mayor aceptació e la comuidad cietífica va de 0.1 a 0.; icluso se ha isistido e que el error β debe ser igual que el error α. Poder estadístico E el cotraste de hipótesis, el poder o la potecia estadística equivale a la probabilidad de aceptar H 1 cuado es cierta. Se defie como 1 β. Es decir, Poder estadístico = P (aceptar H 1 H 1 es cierta) = 1 β Este cocepto está viculado muy de cerca co el error tipo II y su valor depede del error tipo II que se acepte. De esta maera, si β = 0., se tiee ua potecia de 1 β = 0.8. E térmios porcetuales, se dice que la prueba tiee ua potecia de 80%. Si se quisiera u poder estadístico mayor, se ecesitaría ua muestra de mayor tamaño. E geeral, el poder estadístico míimo aceptado e la literatura biomédica es de 80%. Cuado el poder es meor a esta cifra, alguos autores, como Heeckes, 7 sugiere que estos trabajos o se tome como cocluyetes cuado o se haya podido rechazar la hipótesis ula (cuado se haya aceptado la hipótesis alterativa). Variabilidad Es la dispersió esperada de los datos. La variabilidad se evalúa depediedo de la variable de iterés. Si éstas so cotiuas, el tamaño de muestra está determiado por la variable co el mayor coeficiete de variació [CV(Y )=(S Y /Y )], dode S Y es la desviació estádar y Y es la media. Cuato mayor sea el CV, el tamaño de muestra es mayor. Por otra parte, cuado las variables de iterés so categóricas, debe utilizarse la estimació de la proporció que más se acerque a 0.5. E caso de que exista hipótesis co ambos tipos de variables, el tamaño de muestra se debe calcular de acuerdo co la variable categórica, porque ésto garatiza ua mayor catidad de elemetos o idividuos y, por tato, resultados más robustos. 6 Por lo geeral, la variabilidad se obtiee de estudios previos reportados o de estudios piloto. Por medio de la estadística, se ha demostrado que cuato más agrupados esté los valores alrededor de u eje cetral, la variabilidad es meor y, por tato, el tamaño de muestra tambié resulta meor. Pérdidas e el seguimieto del estudio Durate la realizació del estudio, puede haber pérdidas de los sujetos bajo aálisis por diversas razoes, como retiros del estudio (drop-outs). Por ello, se debe predecir la catidad

6 70 Metodología de la ivestigació, bioestadística y bioiformática e ciecias médicas y de la salud esperada de pérdidas y cotemplar u aumeto e el tamaño de muestra e esta proporció, porque el tamaño míimo de muestra ecesario para obteer resultados estadísticamete sigificativos está pesado de acuerdo co el úmero de sujetos al fial del estudio y o e los icluidos al pricipio. 6 Diferecia clíicamete sigificativa La magitud de la diferecia del efecto que se desea detectar etre los grupos evaluados es la codicioate más importate para el cálculo del tamaño de la muestra. Muchas veces, la obteció de ua diferecia estadísticamete sigificativa o resulta clíicamete sigificativa. Por ejemplo, tal vez exista diferecia estadísticamete sigificativa al comparar el efecto de dos medicametos. El ivestigador clíico o epidemiólogo debe determiar si la magitud de esa diferecia es clíicamete relevate, si importar que haya resultado estadísticamete sigificativa. Este criterio es sólo clíico. Cuato mayor sea la diferecia de esta magitud, meor es el tamaño de muestra requerido; e cambio, si se desea detectar diferecias pequeñas, el tamaño de la muestra debe ser mayor. No obstate, cualquier diferecia de relevacia clíica, tambié debe ser estadísticamete sigificativa. Tamaños de muestra de acuerdo co distitos diseños de muestreo Para determiar el tamaño de muestra, o basta co tomar e cueta los factores expuestos e la secció aterior, tambié hay que cosiderar el tipo de diseño empleado e la ivestigació. Existe diseños de tamaño fijo (los más usados e estudios clíicos y epidemiológicos) y variable. E los primeros, la estimació del tamaño de muestra se fija desde el iicio de la ivestigació; e los estudios de tamaño variable, el úmero de sujetos se va icremetado hasta obteer u tamaño predetermiado (diseño secuecial) o el diseño experimetal que ivolucra u solo caso. E este capítulo sólo se hace referecia a diseños de tamaño fijo y se muestra el cálculo para determiar el tamaño de muestra de ua proporció, u promedio, ua diferecia de proporcioes y ua diferecia de promedios. Cálculo del tamaño de muestra de ua media El itervalo de cofiaza para estimar la media poblacioal a partir de ua muestra es IC = ± δ dode es la media estimada a partir de la muestra y δ = Z a/ * s, dode, a su vez, y y i i 1( ) = y Z α/ es el valor del eje de las abscisas de la fució ormal estádar e que s = 1 se acumula la probabilidad de (1 α). Cuado es muy pequeña, Z α/ podría sustituirse por t ( 1),α/. Etoces, al despejar se tiee = Z a/ *S. E muestras fiitas dode la població es iferior a u milló, la fórmula para el cálculo del tamaño de la muestra se δ

7 Efoque práctico de los elemetos ecesarios para la estimació del tamaño de la muestra 71 suele multiplicar por el factor de correcció por fiitud 1, quedado la estimació N del tamaño de muestra como = Z *S α / * 1. E geeral, el error de estimació o δ N error absoluto (δ) se obtiee de ua muestra piloto o de estudios de ivestigació previos. Cálculo para determiar el tamaño de muestra de ua proporció El tamaño de muestra de ua proporció se calcula mediate = Z * p(1 p) α / δ 1 N dode δ = Z p(1 p) α *, y se le cooce como precisió del muestreo o error de la estimació. 1 es el factor de correcció por fiitud de la població, que suele aplicarse N cuado ésta es iferior a u milló de elemetos. 6 E este caso, p es la proporció estimada del parámetro poblacioal y Z α/ es el valor del eje de las abscisas de la fució ormal estádar e dode se acumula la probabilidad de (1 α). E geeral, el error de estimació (δ) se obtiee de ua muestra piloto o de estudios ateriores. E caso de que o se pueda determiar esta proporció, se toma p = 0.5, porque este valor garatiza el mayor tamaño de muestra. El ivel de cofiaza (1 α)*100 que suele utilizarse e estas pruebas, por lo geeral es de 95%. El itervalo de cofiaza para ua proporció queda defiido como IC = p ± δ = p ± Z α * ( ) p 1 p. Cálculo para el tamaño de muestra de la diferecia de dos medias idepedietes La fórmula para el cálculo de muestra de la diferecia de dos medias es c = e * S = * Z * Z D ( α β ) dode c es el tamaño de muestra para el grupo de referecia y e lo es para el grupo co ua iterveció alterativa; D = (M c M e ) (dode M c es la media del primer grupo y M e es la del segudo); S es la variaza de ambas distribucioes, que se supoe iguales; Z β es el valor del eje de las abscisas de la fució ormal estádar e dode se acumula la probabilidad de (1 β). Esta fórmula para estimar c = e se emplea cuado se trata de u cotraste de hipótesis bilateral; e caso de u cotraste uilateral, se sustituye Z α/ co Z α.

8 7 Metodología de la ivestigació, bioestadística y bioiformática e ciecias médicas y de la salud Cálculo para el tamaño de muestra de la comparació de dos medias pareadas (medidas repetidas) e u solo grupo La fórmula del tamaño de muestra para cada uo de los grupos que habrá de compararse es c = = e α β d Z + Z * S dode d es el promedio de las diferecias idividuales etre los valores basales y posteriores, S es la variaza de ambas distribucioes, que se supoe iguales, Z α/ es el valor del eje de las abscisas de la fució ormal estádar e dode se acumula la probabilidad de (1 α) para u cotraste de hipótesis bilateral y Z β es el valor del eje de las abscisas de la fució ormal estádar, e dode se acumula la probabilidad de (1 β). 6 Cálculo para el tamaño de muestra de la comparació de dos medias pareadas (medidas repetidas) e dos grupos distitos de sujetos Este diseño se utiliza cuado se quiere comparar el cambio etre ua medida basal y otra posterior de dos grupos distitos de sujetos. Es posible que exista ua correlació etre ambas medidas; e este caso, se corrige por el coeficiete de correlació (ρ), que, al igual que la desviació estádar, se estima a partir de pruebas piloto o de experiecias previas. La fórmula para la estimació del tamaño de muestra de los grupos es c * Z + Z *(1 ρ)* S α β = e= M M dode M dc es la diferecia etre los valores iiciales y los fiales e el grupo de los cotroles y M de es la diferecia etre los valores iiciales y fiales e el grupo co tratamieto. 6 Cálculo para estimar el tamaño de muestra de la diferecia de dos proporcioes La fórmula para estimar el tamaño de muestra para la diferecia de dos proporcioes es de p1(1 p1) + p(1 p) c = e = * ( Zα + Zβ ) p p ( 1 ) dode p 1 es la proporció del primer grupo, p es la del segudo grupo a comparar y (p 1 p ) es la diferecia de las proporcioes etre los grupos e estudio, Z α/ es el valor del eje de las abscisas de la fució ormal estádar e dode se acumula la probabilidad de (1 α) para u cotraste de hipótesis bilateral y Z β es el valor del eje de las abscisas de la fució ormal estádar e dode se acumula la probabilidad de (1 β). dc Cálculo para el tamaño de muestra de la comparació de dos proporcioes idepedietes Cuado se tiee ua tabla de cotigecia de dos por dos y las codicioes se cumple para aplicar ua prueba χ, se puede utilizar esta aproximació para el cálculo del tamaño

9 Efoque práctico de los elemetos ecesarios para la estimació del tamaño de la muestra 73 de la muestra de la comparació de proporcioes idepedietes. Siguiedo este plateamieto, la fórmula que Marragat y colaboradores propoe para la diferecia de proporcioes idepedietes es c c e e Zα * * P* Q+ Z * P * Q + P * Q c = e= β ( P P ) dode P es la proporció media de la proporció de evetos de iterés del grupo cotrol (c) y el grupo e tratamieto (e), Q = 1 P, P c es la proporció de evetos de iterés e el grupo cotrol, Q c = 1 P c, P e es la proporció de evetos de iterés e el grupo expuesto o e tratamieto, Q e = 1 P e y (P e P c ) es la diferecia de las proporcioes etre el grupo cotrol y la proporció del grupo de expuestos. 6 Cálculo para el tamaño de muestra e que se tiee ua hipótesis de bioequivalecia y se quiere demostrar la hipótesis ula e la comparació de dos proporcioes E este caso, la fórmula para el cálculo del tamaño de muestra del grupo cotrol y del expuesto es P * Q * c c Z + Z α β c = e= P P e c ( c e) dode P c es la estimació de la proporció de evetos de iterés e el grupo cotrol, Q c = 1 P c y P e es la proporció de evetos de iterés e el grupo tratado, Z α/ es el valor del eje de las abscisas de la fució ormal estádar e dóde se acumula la probabilidad de (1 α) para u cotraste de hipótesis bilateral y Z β es el valor del eje de las abscisas de la fució ormal estádar e dóde se acumula la probabilidad de (1 β). 6 E la actualidad, co el uso de iteret se facilita la obteció del tamaño de muestra empleado programas e líea u otros que se descarga. La diversidad es tal que se puede obteer el tamaño específico de ua muestra para el diseño de experimetos y de los factores determiates para el tamaño de muestra. Etre los programas más usuales e la epidemiología está EPIDAT, GPOWER y EPIINFO, que puede obteerse si costo. Referecias 1. Cid Cid A.I., Delgado Maríquez C.A., Leguey Galá S. Muestreo e poblacioes fiitas. E: Leguey Galá S (coord). Itroducció al muestreo e poblacioes fiitas. Madrid, España: ENE, Nuevas estructuras, Pérez Media A., Gómez Restrepo C., Sáchez Pedraza R., Deis R., Ruiz Morales A. Selecció de la muestra y factores determiates para el cálculo de su tamaño. E: Ruiz Morales A., Gómez Restrepo C., Ledoño Trujillo D. (ed). Ivestigació clíica: Epidemiología clíica aplicada. Bogotá, Colombia: Cetro Editorial Javeriao, ceja, 001.

10 74 Metodología de la ivestigació, bioestadística y bioiformática e ciecias médicas y de la salud 3. Médez Ramírez I., Eslava Gómez G., Romero Mares P. Coceptos básicos de muestreo (serie moográfica), México, D.F.: Istituto de Ivestigacioes e Matemáticas Aplicadas y e Sistemas, Uiversidad Nacioal Autóoma de México, 004, Vol 1, Núm Martíez Becardio C. Estadística y muestreo, 1a. ed. Bogotá, Colombia: Ecoe Edicioes, Cochra W.G. Samplig Techiques, 3a. ed. Nueva York: Joh Wiley & Sos, Marrugat J., Vila J., Pavesi M., Saz F. Estimació del tamaño de muestra e la ivestigació clíica y epidemiológica, Uidad de Lípidos y Epidemiología Cardiovascular. Barceloa, España: Istituto Muicipal de Ivestigació Médica (imim), Medicia Clíica, 1998;111: Heeckes C.H., Mayret S.L. Epidemiology i Medicie. Bosto: Little Brow ad Compay, 1987.