Unidad 4. Capitalización compuesta y descuento compuesto

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1 Unidad 4. Capitalización compuesta y descuento compuesto 0. ÍNDICE. 1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Concepto Cálculo de los intereses totales y del interés de un período s Cálculo del capital inicial, del tipo de interés y del tiempo. 2. COMPARACIÓN ENTRE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y CAPITALIZACIÓN COMPUESTA. 3. CONVENIO EXPONENCIAL Y CONVENIO LINEAL Convenio exponencial Convenio lineal. 4. TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA. 5. DESCUENTO COMPUESTO Descuento racional compuesto Descuento comercial compuesto. 6. EQUIVALENCIA DE CAPITALES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Sustitución de varios capitales por uno único Vencimiento común Vencimiento medio. ACTIVIDADES FINALES. 48

2 1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Concepto. Decimos que un capital C 0 se presta a interés compuesto, cuando periódicamente (cada año, semestre, trimestre, etc.), se acumulan los intereses producidos al capital, siendo el montante así formado, el capital que generará nuevos intereses. Según esta definición, la expresión del montante transcurridos n años, se obtendrá de la siguiente forma: C 1 = C 0 + I 1 = C 0 + C 0 i = C 0 (1 + i ) C 2 = C 1 + I 2 =C 1 + C 1 i = C 1 (1 + i ) = C 0 (1 +i ) 2... C n = C 0 (1 + i ) n i representa el tanto de interés efectivo anual compuesto La representación gráfica del montante en función del tiempo, es la siguiente: MONTANTE C n = C 0 (1 + i ) n C n C 2 I = C n - C 0 C 1 C 0 I 1 = C 1 - C 0 I 2 = C 2 - C n TIEMPO 49

3 Ejemplo 1. Una persona deposita en una entidad bancaria , en una operación que durará 5 años a un interés compuesto anual del 3%. Qué cantidad obtendrá cuando transcurran los 5 años?. Qué cantidad se habrá generado a los 3 años?. C 5 = C 0 (1 + i ) 5 = (1 + 0,03) 5 = ,81 C 3 = C 0 (1 + i ) 3 = (1 + 0,03) 3 = , Cálculo de los intereses totales y del interés de un período s. Los intereses totales I generados en una operación a interés compuesto de duración n períodos, se obtendrán por diferencia entre el montante final C n y el capital inicial C 0. Ejemplo 2. Halla los intereses totales generados en la operación a 5 años del ejemplo 1. I = C n - C 0 = , = ,81 Por su parte, el interés de un período s, se calcula de las siguientes maneras: I s = C s - C s-1 ; I s = C s -1 x i Ejemplo 3. Partiendo de los datos del ejemplo 1, calcula el interés del tercer año. I 3 = C 3 - C 2 C 3 = C 0 (1 + i ) 3 = (1 + 0,03) 3 = ,4 C 2 = C 0 (1 + i ) 2 = (1 + 0,03) 2 = I 3 = , = 6.365,4 De igual forma: I 3 = C 2 x i = x 0,03 = 6.365,4 50

4 1.3. Cálculo del capital inicial, del tipo de interés y del tiempo. A partir de la expresión C n = C 0 (1 + i ) n, se puede calcular: C n C n 1/n log C n - log C 0 C 0 = i = - 1 n = (1 + i ) n C 0 log (1 + i ) Ejemplo 4. Determina el capital inicial que, colocado a un 6% compuesto anual durante 5 años, produce un montante o capital final de , ,64 C 0 = = (1 + 0,06 ) 5 Ejemplo 5. Calcula el tanto de interés compuesto anual al que estuvieron colocados durante 7 años, si se convirtieron en i = /7-1 = 0, Ejemplo 6. Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de a un tanto de interés compuesto anual del 4,6%, si el montante final que se obtuvo fue de ,34?. log ,34 log n = log 1,046 = 10 años 51

5 2. COMPARACIÓN ENTRE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y CAPITALIZACIÓN COMPUESTA. Si se comparan los montantes obtenidos en capitalización simple y en capitalización compuesta: C n (cap. simple) = C 0 (1 + i n ) C n (cap. compuesta) = C 0 (1 + i ) n Se puede concluir que el montante de capitalización es mayor en la capitalización simple para períodos inferiores al año, igual para un año y menor para períodos superiores al año. Por lo tanto, las operaciones financieras superiores a un año utilizarán el interés compuesto, las operaciones inferiores al año emplearán el interés simple, y en las operaciones a un año será indiferente el uso de uno u otro interés. TIEMPO MONTANTES n = 0 C n (cap. simple) = C n (cap. compuesta) n = 1 C n (cap. simple) = C n (cap. compuesta) 0 < n < 1 C n (cap. simple) > C n (cap. compuesta) n > 1 C n (cap. simple) < C n (cap. compuesta) 52

6 MONTANTE C n (cap. Compuesta) = C 0 (1 + i ) n C 1 = C 0 (1 + i ) C n (cap. simple) = C 0 (1 + i n ) C TIEMPO Ejemplo 7. Calcula el montante en capitalización simple y compuesta de colocados a un tipo de interés anual del 5%: a) para un período de capitalización de 6 meses; b) para un período de capitalización de un año; c) para un período de capitalización de 5 años. a) Período de capitalización de 6 meses: C n (cap. simple) = C 0 (1 + i n ) = (1 + 0,05 0,5 ) = C n (cap. compuesta) = C 0 (1 + i ) n = (1 + 0,05 ) 0,5 = ,51 b) Período de capitalización de 1 año: C n (cap. simple) = C 0 (1 + i n ) = (1 + 0,05 1) = C n (cap. compuesta) = C 0 (1 + i ) n = (1 + 0,05) 1 = c) Período de capitalización de 5 años: C n (cap. simple) = C 0 (1 + i n ) = (1 + 0,05 5) = C n (cap. compuesta) = C 0 (1 + i ) n = (1 + 0,05) 5 = ,16 53

7 3. CONVENIO EXPONENCIAL Y CONVENIO LINEAL. Si, dado el tanto de interés efectivo anual i, el tiempo n no es entero, sino fraccionario (n = a + p/m, con a entero y p < m), el montante se podrá calcular con arreglo a cualquiera de los siguientes criterios: 3.1. Convenio exponencial. El montante se obtendrá a partir de la expresión exponencial C n = C 0 (1 + i ) n, que en el caso de ser n fraccionario, adopta la forma C n = C 0 (1 + i ) a + p / m Convenio lineal. Consiste en capitalizar a interés compuesto por el número entero de años que contenga el tiempo, y capitalizar después el montante así obtenido a interés simple, por la fracción de año restante. De este modo: C n = C 0 (1 + i ) a (1 + i p/m). Ejemplo 8. Calcula el montante de al 5% de interés compuesto anual para un período de capitalización de 5 años y 7 meses. Convenio exponencial y lineal. CONVENIO EXPONENCIAL: C n = C 0 (1 + i ) a + p / m = (1 + 0,05 ) 5 + 7/ 12 = 7.878,77 CONVENIO LINEAL: C n = C 0 (1 + i ) a (1 + i p / m) = (1 + 0,05 ) 5 (1 + 0,05 7 / 12) = 7.881,04 4. TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA. En capitalización compuesta, los tantos equivalentes no son proporcionales. Dado el tanto de interés efectivo anual i, cualquier tanto proporcional generará un montante superior al montante producido durante el mismo tiempo con el tanto i. 54

8 Ejemplo 9. Calcula el montante que se obtendrá a partir de un capital de 1.000, invertido durante 2 años: a) si el tipo de interés compuesto es el 12% anual; b) si el tipo de interés compuesto es el 1% mensual. C n = (1 + 0,12 ) 2 = 1.254,4 C n = (1 + 0,01) 24 = 1.269,73 Por lo tanto, el 12% anual no es equivalente al 1% mensual (como sucedía en capitalización simple) Si queremos obtener un tanto de frecuencia m i m equivalente al tanto anual i, debemos plantear la igualdad de los montantes unitarios para cualquier período de tiempo, por ejemplo, un año. De esta forma: (1 + i m ) m = 1 + i, de donde i m = (1 + i ) 1/m - 1 Ejemplo 10. Calcula el tanto de interés compuesto semestral equivalente a un tanto de interés compuesto anual del 10%. i 2 = (1 + 0,1 ) 1/2 1 = 0,0488 Ejemplo 11. Calcula el tanto de interés compuesto cuatrimestral equivalente a un tanto de interés compuesto anual del 8%. i 3 = (1 + 0,08 ) 1/3 1 = 0, Ejemplo 12. Calcula el tanto de interés compuesto anual equivalente a un tanto de interés compuesto semanal del 0,3%. i = (1 + i m ) m 1 = (1 + 0,003) 52 1 = 0,16855 Una vez fijado el concepto de tanto de frecuencia m i m equivalente al tanto anual i, se introduce en el cálculo financiero el concepto de tanto nominal j m o tanto teórico anual que se obtiene al multiplicar la frecuencia de capitalización m por el tanto i m. 55

9 Ejemplo 13. Calcula el tanto nominal anual correspondiente al 5% efectivo cuatrimestral. j 3 = i 3 3 = 0,05 3 = 0,15 Ejemplo 14. Calcula el tanto nominal anual correspondiente al 13% efectivo anual. Capitalización mensual. Como sabemos que j m = i m m, tendremos que calcular en primer lugar i m, que en nuestro caso es i 12, ya que la capitalización es mensual. i 12 = (1 + 0,13 ) 1/12 1 = 0, Por lo tanto, j 12 = i = 0, = 0, COMO SE PUEDE COMPROBAR i > j m Ejemplo 15. Halla el montante de colocados al 3% de interés compuesto semestral con capitalización mensual durante cuatro años. Al establecer el ejemplo una capitalización mensual, debemos expresar el tanto de interés y el tiempo en términos mensuales. Cuatro años son 48 meses. Por otro lado, debemos calcular el tanto compuesto mensual equivalente al 3% de interés compuesto semestral. En capitalización compuesta, estos tantos no son proporcionales. Para ello, debemos plantear la igualdad de los montantes unitarios, por ejemplo, para un año: (1 + i 2 ) 2 = (1 + i 12 ) 12 (1 + 0,03) 2 = (1 + i 12 ) 12 Despejando, obtenemos que: i 12 = 0, En estos momentos, ya podemos calcular el montante: C n = (1 + 0, ) 48 = 5.067,07 56

10 5. DESCUENTO COMPUESTO. Al igual que en el descuento simple, existen dos clases de descuento compuesto: el descuento racional y el descuento comercial. En cualquiera de los dos casos, el descuento será igual a la diferencia entre C n (nominal o importe del capital que se pretende adelantar) y C 0 (valor efectivo o cantidad efectivamente adelantada) El descuento racional compuesto. El descuento racional compuesto se deriva de la operación inversa a la de interés compuesto. Más concretamente, el descuento racional compuesto será igual a: D rc = C n - C 0 = C 0 (1 + i ) n - C 0 = C 0 [ (1 + i ) n 1] Sustituyendo en esta fórmula C 0, por su valor en función del nominal C 0 = C n (1 + i ) n, nos queda la siguiente expresión del descuento racional compuesto: D rc = C n [ (1 - (1 + i ) n ] Ejemplo 16. Una empresa dispone de una letra de cambio de nominal con vencimiento dentro de tres años. Calcula el efectivo que recibirá por dicha letra en caso de que quiera descontarla en una entidad bancaria que trabaja al 6,3% anual de descuento racional compuesto. Podemos resolver este ejercicio de dos formas: A) Sabiendo que el descuento racional compuesto se deriva de una operación inversa a la de interés compuesto, aplicaremos la siguiente expresión: C 0 = C n (1 + i ) n = (1 + 0,063 ) -3 = 2.497,59 B) Teniendo en cuenta que: D rc = C n [ (1 - (1 + i ) n ] = [ (1 - (1 + 0,063 ) 3 ] = 502,41 Y sabiendo que: C 0 = C n - D rc = ,41 = 2.497,59 57

11 5.2. El descuento comercial compuesto. El descuento comercial compuesto, que también se aplica en la negociación de efectos comerciales, pero con menos frecuencia que el simple, se caracteriza porque su importe se calcula en función del nominal C n. Dado un nominal C n, al que se le aplica un descuento comercial por período en tanto por uno i, en el momento n-1 ese nominal habrá disminuido C n i. Por lo tanto, podemos establecer las siguientes relaciones: C n-1 = C n C n i = C n (1 i ) C n-2 = C n-1 C n-1 i = C n-1 (1 i ) = C n (1 i ) 2... C 0 = C n ( 1 - i ) n, expresión que representa el importe del nominal descontado n años. El descuento comercial compuesto será pues, igual a: D cc = C n C 0 = C n C n ( 1 i ) n = C n [1 ( 1 i ) n ] Ejemplo 17. Resuelve el ejemplo 15, suponiendo que la entidad bancaria trabajase al 6,3% anual de descuento comercial compuesto. C 0 = C n ( 1- i ) n = ( 1 0,063 ) 3 = 2.467,97 Por lo tanto, el descuento comercial compuesto D cc será igual a: ,97 = 532,03 Ejemplo 18. Qué tanto de descuento compuesto se aplicó a una operación de descuento que duró tres años y que supuso un descuento comercial de para un montante de 5.000?. A través de la expresión: D cc = C n [ 1 ( 1 i ) n ], obtenemos que: = [ 1 ( 1 i ) 3 ], y que por lo tanto i = 0,

12 6. EQUIVALENCIA DE CAPITALES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Sustitución de varios capitales por uno único. Dos conjuntos de capitales son financieramente equivalentes cuando tienen el mismo valor actual, al calcularse al mismo tanto. En el tema anterior, planteamos la equivalencia de capitales aplicando el descuento comercial simple y el descuento racional simple. En este tema, aplicaremos el descuento racional compuesto. Si se desea sustituir una serie de capitales C 1, C 2, C 3,..., C h, con vencimientos en n 1, n 2, n 3,..., n h, por uno equivalente C n y vencimiento en n, bastará con que la suma de los valores actuales de los primeros sea igual al valor actual de este último. La equivalencia financiera en el origen implica, pues: C 01 + C 02 + C 03 + C C 0h = C 0n Donde C 01, C 02, C 03,... C 0h representan el valor actual de los capitales C 1, C 2, C 3,..., C h Por otro lado, C 0n representa el valor actual del capital C n C 01 + C 02 + C 03 + C C 0h C 1 C 2 C 3... C h C n = C 0n 0 n 1 n 2 n 3...n h n 59

13 Aplicando el descuento racional compuesto y suponiendo que el tanto de valoración anual es el mismo para todos los capitales: C 1 C 2 C 3 C 4 C h C n = ( 1 + i ) n1 ( 1 + i ) n2 ( 1 + i ) n3 ( 1 + i ) n4 ( 1 + i ) nh ( 1 + i ) n O lo que es lo mismo C 1 ( 1 + i ) -n1 +C 2 ( 1 + i ) -n2 + C 3 ( 1 + i ) -n3 + C 4 ( 1 + i ) -n4 +.+C h ( 1 + i ) nh =C n ( 1 + i ) -n Abreviando y despejando: C n = C j (1 + i ) -nj ( 1 + i ) -n Ejemplo 19. Se desean sustituir tres capitales de 3.000, y 6.000, con vencimiento a los dos, tres y cuatro años, respectivamente, por un único capital con vencimiento a los cinco años. Tanto de descuento anual: 5% (descuento racional compuesto). Calcular el importe del capital único. C j (1 + i ) -nj C j (1 + i ) -nj , , , , , , ,65368 C j (1 + i ) -nj ,65368 C n = = = ,88 ( 1 + i ) n 0,

14 6.2. Vencimiento común. El vencimiento común es el momento o fecha en que vence el capital que sustituye a los capitales iniciales. A partir de las expresiones del apartado anterior y tomando logaritmos, se puede despejar n para obtener su valor, que en este caso es lo que queremos averiguar: Log C n = Log C j (1 + i ) -nj ( 1 + i ) -n Log C n = Log C j (1 + i ) -nj - Log ( 1 + i ) -n Log C n - Log C j (1 + i ) -nj = - Log ( 1 + i ) n Log C n - Log C j (1 + i ) -nj = n Log ( 1 + i ) n = Log C n - Log C j (1 + i ) -nj Log ( 1 + i ) Ejemplo 20. Se desean sustituir tres capitales de 3.000, y 7.000, con vencimiento a los tres, cuatro y cinco años, respectivamente, por un único capital de Tanto de descuento anual: 4% (descuento racional compuesto). Calcular el vencimiento del capital único (vencimiento común). C j (1 + i ) -nj C j (1 + i ) -nj , , , , , , ,49978 Log C n - Log C j (1 + i ) -nj Log Log ,49978 n = = = 7,44618 años Log ( 1 + i ) Log 1,04 61

15 6.3. Vencimiento medio. El vencimiento medio constituye una variante del vencimiento común, caracterizada porque el nominal C n del capital único es igual a la suma de los nominales de los capitales que pretende sustituir: C n = C j Por lo tanto, el vencimiento medio vendrá dado por la siguiente expresión: n = Log C j - Log C j (1 + i ) -nj Log ( 1 + i ) Ejemplo 21. Partiendo de los datos del ejemplo anterior, calcular el vencimiento medio. C j (1 + i ) -nj C j (1 + i ) -nj , , , , , , ,49978 Log C j - Log C j (1 + i ) -nj Log Log ,49978 n = = = 4,25493 años Log ( 1 + i ) Log 1,04 62

16 ACTIVIDADES FINALES 1. Calcular el montante que se obtiene al invertir al 6% de interés compuesto anual durante 6 años y 4 meses. Convenio exponencial. 2. Realizar el ejercicio anterior utilizando el criterio lineal. 3. Si sabemos que el montante de un capital (mediante convenio lineal) al cabo de 2 años y 4 meses asciende a 3.514,84, y que se aplica un interés compuesto anual del 7%, calcular cuál será el montante del mismo capital y durante el mismo tiempo si utilizamos el convenio exponencial. 4. Cuál es el tanto de interés compuesto trimestral equivalente al 6% semestral?. 5. Durante cuántos meses estuvo invertido un capital de al 4% de interés compuesto anual si alcanzó un montante de ,20?. 6. Cuál es el tanto de interés compuesto semestral equivalente al 12% anual?. 7. Una persona recibe un premio de lotería de con el que decide realizar las siguientes operaciones: a) Deposita en una entidad bancaria una determinada cantidad al 8% de interés compuesto anual, y al cabo de 5 años, con el montante obtenido, salda una deuda que tiene con dicho vencimiento, de b) Compra una finca por que vende al cabo de 5 años a un precio equivalente al montante de invertir el importe de compra de la finca al 6% de interés compuesto anual durante esos años. c) Invierte el resto a plazo fijo durante 5 años a un 4% de interés simple semestral. Los intereses los va gastando a medida que los va cobrando. Determinar: 1. Cuánto invirtió en a). 2. Cuánto invirtió en c) y qué intereses semestrales obtiene. 3. Cuánto dinero tendrá al cabo de 5 años si realiza todas las operaciones descritas y sólo dichas operaciones. 63

17 8. Un padre que tiene 3 hijos de 9, 12 y 15 años, quiere repartir una determinada cantidad a cada uno de tal manera que colocándoles dichas cantidades al 8% de interés compuesto anual, cada uno de ellos pueda disponer de cuando cumpla los 25 años de edad. Qué cantidad total tendrá que repartir?. 9. Disponemos de cierto capital que decidimos invertir de la siguiente manera: a) Su cuarta parte al 6% de interés compuesto anual. b) El resto al 8% de interés simple anual. Sabiendo que al cabo de 5 años el montante total obtenido fue de ,12 euros, determinar el capital de que disponíamos y los montantes parciales obtenidos. 10. Cuántos años tiene que estar invertido una capital de al 3% de interés compuesto cuatrimestral para obtener un montante de ,05?. 11. Calcular el montante que se obtiene al invertir un capital de al 12% nominal capitalizable por cuatrimestres, durante 2 años?. Cuál es el tanto de interés efectivo anual correspondiente a ese tanto nominal?. 12. Hallar el montante de capitalización de colocados al 2% de interés semestral con capitalización mensual durante cuatro años. 13. La empresa Salsa S.A. tiene en este momento una letra de cambio de 5.000, pendiente de pago, con vencimiento dentro de tres años. Cuál será el importe que recibirá esta empresa en caso de que se quisiera descontar dicha letra en un Banco que trabaja al 6% anual de descuento?. Aplicar el descuento comercial compuesto y el descuento racional compuesto. 14. El descuento de una letra de nominal que vencía a los 2 años y 4 meses, ascendió a 140. Se desea saber el tanto anual de descuento comercial compuesto (si la operación se hubiese hecho aplicando este tanto) y el tanto anual de descuento racional compuesto (si la operación se hubiese realizado con este otro). 15. Cuatro capitales de 5.000, , y se invierten durante 6 años al 5%, 6%, 7% y 8% de interés compuesto anual respectivamente. Calcular el tanto medio de colocación de dichos capitales i. 64

18 16. Si la sociedad F tiene tres capitales de 400, 800 y 1.000, con vencimiento a los dos, tres y cuatro años, respectivamente, y se desean sustituir por un único capital con vencimiento a los cinco años. Cuál deberá ser el importe del mismo si el tanto de descuento racional compuesto aplicado es el 6% anual?. 17. Cuál será el vencimiento medio de tres capitales de 1.000, y 5.000, con vencimiento a tres, cuatro y cinco años respectivamente, aplicando un tanto de descuento racional compuesto del 4,75% anual?. i Dados los capitales C a, C b y C c, colocados respectivamente a un interés compuesto anual i a, i b, i c, transcurrido un tiempo n, la suma de los montantes obtenidos será: C n (a) + C n (b) + C n (c). Pues bien, el tanto medio de colocación de estos capitales (i med ) será aquél que si se aplicase a los mismos durante el tiempo n se obtendría un montante total igual a: C n (a) + C n (b) + C n (c). 65