Recordar las principales operaciones con expresiones algebraicas.

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1 Capítulo 1 Álgebra Objetivos Recordar las principales operaciones con expresiones algebraicas Números Los números naturales se denotarán por N y están constituidos por 0, 1, 2, 3... Con estos números podemos hacer sumas, multiplicaciones y potencias, pero al hacer restas aparecen los números negativos. Por ello hay que definir un nuevo conjunto de números. Los números enteros, que denotaremos por Z, son los naturales y sus respectivos negativos, 0, ±1, ±2, ±3... Con los números enteros y naturales no podemos hacer todas las divisiones, ya que hay cocientes que no son enteros. Por ello hay que extender los números enteros. Los números racionales, que denotaremos por Q, incluyen, además de los enteros, las fracciones de la forma a/b, donde a, b son enteros. Aún así, hay números que no son racionales, como las raíces, y números como π o e. Esto requiere una extensión adicional, para formar el conjunto de números reales, R, que incluye a los números racionales, de modo que a cada número real se le asocia un único número sobre la recta. Muchas veces denotaremos la recta real como un intervalo (, ), donde quiere denotar una magnitud infinita que sería mayor que cualquier real. Del mismo modo, es menor que cualquier real, aunque ninguno es un número en sentido estricto Operaciones elementales Múltiplos y divisores Todo número se puede dividir, sin dejar un resto, por sí mismo o por la unidad, al menos. 1

2 2 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA Los números naturales que sólo son divisibles por ellos mismos y la unidad se llaman números primos. Ejemplo Son primos 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, Todo número natural se descompone en producto de sus factores (divisores) primos. Ejemplo = = 2 3 3, 35 = 5 7, 64 = = 2 6. Dos números se dicen primos entre sí si no tienen factores comunes. Ejemplo y 16 son primos entre sí, pero 9 y 12 no lo son, ya que ambos son divisibles por 3. Los números pares, los que acaban en 0, 2, 4, 6 u 8, son divisibles por dos. Los números cuyas cifras suman 3 o múltiplo de tres son divisibles por tres. Los números cuyas dos últimas cifras son un múltiplo de cuatro (00, 04, 08, 12, 16, 20, 24...) son divisibles por cuatro. Los números que terminan en 0 ó 5 son divisibles por cinco. Los números cuyas tres últimas cifras son un múltiplo de ocho (000, 008, 016, 024, 032, 040, ) son divisibles por ocho. Los números cuyas cifras suman 9 o múltiplo de nueves son divisibles por nueve. Ejemplo es divisible por tres (sus cifras suman = 12 = 3 4), pero no por nueve. Ejemplo es divisible por cuatro ( 20 = 4 5), y por ocho (120 = 8 15). La descomposición en factores primos se obtiene dividiendo primero tantas veces como sea posible por dos, luego por tres, luego por cinco, siguiendo con la lista de números primos, hasta llegar a un número primo. Ejemplo Descomposición de 360 en factores primos. Comenzamos por 2: 360 = 2 180, 180 = 2 90, 90 = Seguimos por 3: 45 = 3 15, 15 = 3 5 y cinco es primo ya. Por tanto, 360 = Llamamos máximo común divisor de un conjunto de números naturales al mayor número natural que divide a todos ellos. Se obtiene descomponiéndolos en factores primos y multiplicando los factores comunes con el menor exponente.

3 1.2. OPERACIONES ELEMENTALES 3 Ejemplo Máximo común divisor de 24, 36 y = 2 3 3, 36 = , 30 = 2 3 5, mcd (24, 36, 30) = 2 3 = 6. Obviamente, el máximo común divisor de un conjunto de números primos entre sí es la unidad. Ejemplo El máximo común divisor de 35 y 16 es mcd (35, 16) = 1. Una manera sencilla de calcular directamente el máximo común divisor de dos números a, b es el algoritmo de Euclides. Para ello, dividimos a, el mayor, por b, el menor y nos quedamos con el resto r 1. Luego dividimos b por r 1 y nos quedamos con el resto, r 2. Luego dividimos r 1 por r 2 y nos quedamos con el resto r 3. Iteramos el proceso hasta llegar a restos r i, r i+1 tales que el resto de su cociente r i /r i+1 es nulo. El máximo común divisor es precisamente el último divisor, mcd (a, b) = r i+1. Ejemplo Máximo común divisor de 135 y 75. Aplicamos el algoritmo de Euclides. a = 135, b = 75, a = b + 60 r 1 = 60, b = 75, r 1 = 60, b = r r 2 = 15, r 1 = 60, r 2 = 15, r 1 = 4r 2, de donde concluimos que mcd (135, 75) = r 2 = 15. El algoritmo de Euclides se puede usar para calcular el máximo común divisor de más de dos números, a 1,...,a N. Sólo hay que calcular el máximo común divisor de dos de ellos, b 1 = mcd (a 1, a 2 ), b 2 = mcd (b 1, a 3 ), b 3 = mcd (b 2, a 4 ),..., hasta llegar al último, b N 1 = mcd (b N 2, a N ), que es precisamente el máximo común divisor de todos ellos. Ejemplo Máximo común divisor de 24, 36 y 30. Calculamos primero el máximo común divisor de a = 36 y b = 30, a = b + 6 r 1 = 6, b = 5r 1 mcd (36, 30) = 6. Repetimos el proceso para c = 24, d = 6, pero como c = 4d, obtenemos directamente que mcd (24, 36, 30) = 6. Llamamos mínimo común múltiplo de un conjunto de números al menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Se obtiene descomponiéndolos en factores primos y multiplicando los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. Ejemplo El mínimo común múltiplo de 24, 36 y 30. mcm(24, 36, 30) = = 360. Si los números son primos entre sí, el mínimo común múltiplo es el producto de los números.

4 4 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA Ejemplo El mínimo común múltiplo de 35 y 16 es mcm(35, 16) = = 560. Una propiedad interesante de las factorizaciones es que el producto del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números es igual al producto de los números, Fracciones mcd (a, b) mcm(a, b) = a b. Una fracción es un cociente a/b de dos números naturales, llamados numerador, a, y denominador, b. Si el numerador es menor que el denominador la fracción se llama propia. Si, por contra, el numerador es mayor que el denominador, la fracción se llama impropia. Ejemplo /5 es una fracción propia, pero 3/2 es una fracción impropia. Obviamente, existen infinitas maneras de representar una fracción, ya que si multiplicamos numerador y denominador por el mismo número c, obtenemos la misma fracción, (ac)/(bc) = a/b. Todas estas fracciones se dicen equivalentes. Dos fracciones a/b, c/d son equivalentes, a/b = c/d, si y sólo si ad = bc. Ejemplo /3 y 4/6 son dos fracciones equivalentes, pero 2/3 y 3/5 no lo son. Una fracción se llama irreducible cuando numerador y denominador no se pueden dividir a la vez por ningún número natural, es decir, no se pueden simplificar más. Ejemplo /3 es una fracción irreducible, pero 4/6 no lo es, ya que podemos simplificar numerador y denominador, dividiéndolos por dos Operaciones con fracciones Para sumar o restar fracciones hay que reducirlas a denominador común, a b + c b = a + c, b a b c b = a c. b Ejemplo /3 + 4/3 = 5/3. Un denominador común puede ser el mínimo común múltiplo de todos ellos. Ejemplo /15 + 1/9 3/5 = 6/45 + 5/45 27/45 = 16/45. También es útil reducir a denominador común para comparar fracciones. Una fracción a/b es menor que otra fracción c/b si a < c. Es decir, con igual denominador, es mayor la fracción con mayor numerador. Ejemplo Quién es mayor 3/5 o 7/11?

5 1.2. OPERACIONES ELEMENTALES 5 Como 3/5 = 33/55 y 7/11 = 35/55, obtenemos que la fracción mayor es 7/11, ya que su numerador es mayor, una vez reducidas a común denominador. Más sencillo es multiplicar o dividir fracciones, a b c d = ac bd, a/b c/d = ad bc. En el fondo, dividir es multiplicar por el inverso del divisor, ( c d ) 1 = d c, a/b c/d = a ( c ) 1 b ad = d bc Potencias Elevar un número a una potencia natural (exponente) es multiplicarlo por sí mismo tantas veces como indica el exponente. a n = a } {{ a }. n veces De aquí se infiere que a m a n = a m+n. Nótese que a = a 1 y que a 0 = 1, si a 0. Ejemplo = = 81 = = Una propiedad importante de los exponentes es (a n ) m = a (n m) = a nm. Ejemplo ( 2 4) 3 = 2 12 = Definimos la potencia negativa, como la inversa de la correspondiente potencia positiva, a n = 1/a n. Ejemplo = 1/8. Con estas reglas, es fácil simplificar cocientes de potencias, Ejemplo /2 5 = 2 2 = 1/4. a n a m = an a m = a n m. Los productos y cocientes de potencias con el mismo exponente se pueden agrupar, a n b n = (ab) n a n ( a ) n, b n =. b Ejemplo = 6 2 = 36.

6 6 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA Raíces La raíz n-ésima es la operación inversa de la potencia n-ésima. y = n x si y n = x. El número x se denomina radicando, y n es el índice. La raíz cuadrada, n = 2, se denota x := 2 x. Un número complejo tiene n raíces n-ésimas distintas, pero si el número es real, la situación es distinta: Si n es par y x es real positivo, tiene dos raíces reales, una positiva y una negativa. Si n es par y x es real negativo, no tiene raíces reales. Si n es impar, x tiene una única raíz real. Ejemplo tiene dos raíces cuadradas, 3, 3. En cambio 8 tiene por raíz cúbica 2, ya que 2 3 = 8. Las raíces se pueden expresar como potencias fraccionarias, n x = x 1/n, con las mismas propiedades que las potencias enteras, x 1/n = 1/ n x, n x n y = n xy, n x x = y n y, n n m x = mn x. Esto nos permite definir potencias con cualquier exponente fraccionario, a m/n = n a m. Y simplificar índices y exponentes, n am = kn a km. También podemos agrupar raíces o potencias si los exponentes no son iguales, tomando un exponente común. Ejemplo a 6 b = 12 a 3 b 2. También es útil reducir raíces o potencias a un índice común para poder compararlas. Una raíz n a es menor que otra raíz n b si a < b. Es decir, con igual índice, es mayor la raíz con mayor radicando. Ejemplo Cuál es mayor 3 3 o 2? Como 3 3 = 6 9 y 2 = 6 8 está claro que 3 3 es el mayor. Para simplificar cocientes en los que aparecen raíces cuadradas, es conveniente eliminar las raíces del denominador, multiplicando y dividiendo por el radical conjugado. El radical conjugado de a + b c es a b c. Ejemplo Simplificar ( 2 1)/(2 3) = =

7 1.3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Expresiones algebraicas Polinomios Una expresión algebraica es cualquier combinación de letras, variables, y números, coeficientes, ligados por las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones con las variables son la multiplicación y la potencia con exponente natural. Un polinomio está formado por sumas y restas de varios monomios. Ejemplo xy 3 x 2 es un polinomio, pero 3 x 4x 2 no lo es. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios. El monomio de grado cero se denomina término independiente. El grado de una variable de un monomio es el exponente de esa variable. El grado de una variable de un polinomio es el mayor de los grados de la variable de sus monomios. Ejemplo El grado del polinomio 3x 2 y + 5x 6y es tres. El grado de la variable x es dos y el de la variable y, uno. La suma, resta, multiplicación y potencia de polinomios sigue las mismas reglas que las correspondientes operaciones con números. Sólo que hay que agrupar y simplificar los términos que tengan las mismas variables con los mismos exponentes. Ejemplo (2xy x)(y 2) = 2xy 2 5xy + 2x. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, (a + b)(a b) = a 2 b 2, (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3, (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc División de polinomios Dividir dos polinomios, p(x), q(x), consiste en hallar dos polinomios, d(x), el cociente, y r(x), el resto, de modo que p(x) = q(x)d(x) + r(x). El grado del resto tiene que ser inferior al grado del dividendo. Para calcular la división, se procede de manera análoga a la división numérica. Si el resto es cero, se dice que p(x) es divisible por q(x). Ejemplo División de p(x) = 5x 4 + 3x 3 2x + 1 y q(x) = x 2 1.

8 8 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA 5x 4 + 3x 3 2x + 1 x 2 1 = 5x 2 + 3x x + 6 x 2 1. El proceso de división se simplifica si el divisor es de la forma x + a. En este caso podemos aplicar la regla de Ruffini. Escribimos los coeficientes de los monomios del dividendo, ordenados en grado decreciente, incluyendo los que sean nulos. A la izquierda, escribimos el término independiente del divisor, cambiado de signo. Bajamos el primer coeficiente, lo multiplicamos por el número que hemos escrito a la izquierda y se lo sumamos al siguiente coeficiente. Repetimos el proceso hasta agotar los coeficientes. El último número proporciona el resto. Los restantes números son los coeficientes del cociente, que es de grado una unidad inferior al del dividendo. Ejemplo División de p(x) = 5x 3 + 3x 2 2x + 2 por q(x) = x , de donde leemos el cociente, 5x 2 7x + 12 y el resto, 22. Este procedimiento es muy práctico para encontrar divisores de un polinomio p(x) con coeficientes enteros, ya que los únicos divisores de la forma x+a tienen que tener una a que divida al término independiente de p(x) Ecuaciones y divisores de polinomios Una ecuación es una expresión matemática con variables y números en la que interviene el signo igual, que sólo se verifica para ciertos valores de las variables. En esta sección hablaremos de ecuaciones polinómicas, en las que la expresión es un polinomio. Por contra, una identidad es una expresión matemática con variables y números en la que interviene el signo igual, que se verifica para todos los valores de las variables. Ejemplo x 3 3x 2 +1 = 0 es una ecuación polinómica de grado tres, pero (x 1) 2 = x 2x + 1 es una identidad. Para manejar los polinomios, es preferible expresarlos como producto de polinomios de grado bajo. Con coeficientes reales es posible expresar un polinomio como producto de polinomios de grados uno y dos. Con coeficientes complejos, bastan polinomios de grado uno. Llamamos cero o raíz de un polinomio p(x) a un número a que verifique la ecuación p(a) = 0. Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces distintas. Un número a es raíz de un polinomio p(x) si y sólo si (x a) es divisor de p(x), es decir p(x) = (x a)q(x). Por tanto, hallar raíces de un polinomio es un procedimiento para factorizarlo. La única raíz de un polinomio de grado uno es fácil de obtener. ax + b = 0 x = b/a.

9 1.3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 9 Las dos raíces, complejas o reales, de un polinomio de grado dos son también conocidas, ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac. 2a Si el discriminante, b 2 4ac, es positivo, tenemos dos raíces reales. Si es nulo, tenemos una única raíz real, doble. Si es negativo, tenemos dos raíces complejas. Las ecuaciones bicuadradas, de la forma ax 4 + bx 2 + c = 0, se reducen a ecuaciones de segundo grado, ay 2 + by + c, mediante el cambio y = x 2 y se pueden, por tanto, resolver, primero en y, y luego en x = ± y. Se pueden resolver exactamente por radicales todas las ecuaciones de grado cuatro o menor. Por tanto, para factorizar polinomios de grado superior, tendremos que buscar factores de grado uno por otros métodos, como la regla de Ruffini, que nos permite hallar las raíces enteras de un polinomio. Si un polinomio de grado n, p(x) = a n x n + a 1 x+a 0 tiene n raíces b 1,...,b n, entonces lo podemos factorizar como p(x) = a n (x b 1 ) (x b n ). Ejemplo Factorizar el polinomio 2x 5 8x 4 + 2x x 2. Sacamos factor común 2x 2 (x 3 4x 2 + x + 6) y factorizamos por la regla de Ruffini el polinomio restante, p(x) = x 3 4x 2 + x + 6. Como las raíces enteras de un polinomio tienen que ser divisores del término independiente, sólo pueden ser raíces enteras los divisores enteros de 6, es decir, ±1, ±2, ±3, ±6. Como p( 1) = 0, p(2) = 0, p(3) = 0, está claro que las raíces son -1, 2, 3 y, por tanto, el polinomio se puede factorizar como 2x 5 8x 4 + 2x x 2 = 2x 2 (x + 1)(x 2)(x 3). Otra manera hubiera sido recurrir a la regla de Ruffini, que nos va dando las factorizaciones, , de donde obtenemos que 1 es una raíz y que p(x) = (x + 1)(x 2 5x + 6). Este último polinomio lo podemos seguir factorizando por la regla de Ruffini o con la fórmula de la ecuación de segundo grado. En cualquier caso, 2x 5 8x 4 + 2x x 2 = 2x 2 (x + 1)(x 2)(x 3). La regla de Ruffini se puede extender a raíces fraccionarias. Un polinomio con coeficientes enteros p(x) = a n x n + + a 0 sólo puede tener raíces fraccionarias de la forma a/b donde a es divisor del término independiente, a 0, y b es divisor del coeficiente del término de mayor grado, a n. Ejemplo Factorizar el polinomio p(x) = 12x 3 20x 2 + x + 3. Los numeradores de la raíces fraccionarias sólo pueden ser ±1, ±3, los divisores enteros de 3. Los denominadores de las mismas sólo pueden ser divisores de 12, es decir, ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 ±12.

10 10 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA Las raíces posibles son, pues, ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/4, ±1/6, ±1/12, ±3/2, ±3/4, ±3. Evaluando el polinomio en estos valores podemos obtener las raíces fraccionarias, p(1/2) = 0, p( 1/3) = 0, p(3/2) = 0, con lo cual, p(x) = 12(x 1/2)(x + 1/3)(x 3/2). O bien aplicando la regla de Ruffini a estos números. Obviamente, pueden existir raíces que no sean ni enteras ni fraccionarias, pero no las podemos obtener por estos métodos elementales. Ejemplo La ecuación x 2 +6x+1 = 0 tiene por raíces 3 ± 8, ninguna de ellas fraccionaria Inecuaciones Una aplicación práctica de la factorización es la resolución de inecuaciones. Una inecuación es una expresión matemática con variables y números en la que interviene el signo mayor o menor, que sólo se verifica para ciertos valores de las variables. Nos ocuparemos ahora de las inecuaciones polinómicas. Para ello, es preciso factorizar el polinomio y averiguar en qué región es positivo cada uno de los factores. Un término x a es positivo si x > a y negativo si x < a. Un término x 2 + ax + b sin raíces reales es siempre positivo, así que no afecta a la inecuación y se puede eliminar. Recordar que al multiplicar una inecuación por un número negativo, se intercambian los signos mayor y menor. Como notación, escribiremos (a, b) para denotar el intervalo abierto de números comprendidos entre a y b, excluidos ambos, a < x < b. Del mismo modo [a, b] denota el intervalo cerrado de números comprendidos entre a y b, incluidos ambos, a x b. Las expresiones (a, b] y [a, b) se interpretan de manera análoga. Ejemplo Resolver la inecuación 2(x 3)(x + 1)(x 2 + 1) > 0. La inecuación es equivalente a p(x) = (x 3)(x + 1) < 0, ya que el término x es siempre positivo. Vemos las regiones en las cuales son positivos los factores. El polinomio es positivo donde el producto de los factores es positivo. Intervalo (, 1) ( 1, 3) (3, ) x x p(x) Por tanto, la inecuación p(x) < 0 se verifica en el intervalo ( 1, 3) tan sólo. Un tipo especial de inecuaciones es aquel en el que aparece la función valor absoluto, a = Ejemplo = 2, 2 = 2. { a a 0 a a 0.

11 1.3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 11 El valor absoluto puede aparecer en inecuaciones de la forma x a < b, con b positivo, que en el fondo es un sistema de dos inecuaciones en una, b < x a < b a b < x < a + b, es decir, la solución es x (a b, a + b).