Capítulo 3: Los Dieléctricos y los Campos

Transcripción

1 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho Capítulo : os Dilécticos y los Campos.. Intoducción.. Dscipción micoscópica d los matials dilécticos 7.. Ecuacions lctostáticas n psncia d dilécticos.4. Condicions d fonta o d bod 4.5. Buscando la nomal adcuada 7.6. Aplicacions Esfa diléctica unifommnt cagada n volumn Conducto cagadodiléctico dscagadovacío.6.. Conducto cagado diléctico dscagadodiléctico dscagadovacío_

2 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho.. OS DIEÉCTICOS Y OS CAMOS EÉCTICOS Hasta ahoa stuvimos vindo cómo influyn los campos lécticos n los matials qu tinn cagas libs d movs, s dci, n los conductos. En llos, las cagas s muvn d foma tal qu spondn a los campos lécticos hacindo qu san nulos n su intio n condicions V d V b d Fig..a Capacito con vacío nt placas, b con un conducto lctostáticas. Supongamos un capacito d placas plano paallas d dimnsions tals qu s pudan dspcia los fctos d bod conctado a una batía V. as placas s cagaán con una dnsidad supficial d foma tal qu V d d A sindo A l áa d la placa dl capacito. a capacidad cospondint sulta, ntoncs A C d ué ocu si colocamos un conducto dscagado nt las placas dl capacito qu había sido cagado con caga a tavés d la batía habindo sacado la batía? Como l campo léctico db s nulo dnto d los conductos n situación lctostática, los lctons libs dl conducto s dsplazaán como indica la figua. D sta mana l campo léctico tndá un valo n las zonas d vacío y co n los conductos. Cuál sá la difncia d potncial nt las placas oiginals? Cuál s la capacidad d st dispositivo? Como la difncia d potncial s la ciculación dl campo léctico, sulta ΔV d b, s dci, l voltaj disminuy. a capacidad sulta C ΔV A A d b b d b d A d 4 En conscuncia, la capacidad C s mayo qu la qu tnía ants d colocal l conducto. Es intsant obsva qu sta capacidad s indpndint dl luga dond s coloqu l conducto.

3 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho Si l conducto s d spso dspciabl fnt a la spaación nt placas, sulta C Co, s dci, la capacidad no s v siamnt afctada po una lámina conductoa dlgada colocada paallamnt a las placas. Ahoa discutimos qué ocu cuando matials qu no conducn la lcticidad s colocan n campos lécticos. Faaday dscubió qu los matials aislados an afctados po los campos lécticos a psa d qu no podía hab conducción. Faaday s basó n l siguint hcho xpimntal: Cagaba un capacito vacío stablcindo una V nt las placas tiaba la batía y colocaba un aislant nt las placas n todo l spacio nt placas. Mdía l voltaj. a difncia d potncial nt placas simp sultaba mno qu V. Como la caga sob cada placa no había vaiado y C, la capacidad aumntaba. o qu Δ V aumntaba dpndía dl matial. Así stablció la lación nt la capacidad n vacío C y la capacidad con matial aislant C: C κ C dnominando a κ como la constant diléctica lativa al vacío. Esta constant dpndía dl matial xclusivamnt. Así, n un capacito d placas planopaallas sulta A C κ, sindo d V 5 C κ C Al obsva la xpsión paa la capacidad, pacia qu s pud disminui d todo lo qu s ds pudindo almacna toda la caga qu s quia. Así V V d paalla a V constant d Fig..Capacito con placa plano A CV κ V d A CV κ V d si d d Sin mbago, xist un límit paa d dado V qu dpnd dl matial. O dicho d ota foma, paa cada matial y cada d xist un V máximo y, n conscuncia, un máximo qu s puda almacna. Si s aplica una tnsión 6 mayo qu la máxima paa s matial y spaación d s Una notación más habitual y cómoda s asignal l símbolo a la constant diléctica lativa al vacío κ

4 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho poduc lo qu s llama uptua diléctica, l diléctico pid sus popidads d aislant y s vulv conducto. Como V Ed, s habla d qu cada matial admit un campo léctico máximo E máximo. o jmplo Mdio κ E máximo V/m Ai,59 6 Tflón, 6 6 Myla, 7 6 apl,7 6 6 Vmos, ntoncs, qu agga un matial diléctico tin algunas vntajas admás d binda sopot mcánico: aumnta la capacidad y pmit sisti mayos tnsions. o, aumnta la capacidad significa acumula más ngía? Vamos pimo un capacito sin y con diléctico con la misma caga. a ngía acumulada ΔV /C ΔV/C n l capacito vacío s U 7 C mintas qu cuando todo l spacio nt placas stá llno d diléctico sulta U 8 C d d Fig..aCapacito vacío con caga, b a constant, con diléctico V V V V Fig.4. acapacito a constant cagado a tavés d una batía con V.b S mid la difncia d potncial. cs va intoducindo un diléctico y s midn difncias d potncial qu dpndn d cuánto s intodujo l matial d Capacito con diléctico y caga cuando l diléctico ha sido intoducido n su totalidad 4

5 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho D sta mana U U C. Es dci, la ngía qu almacna n vacío s mayo qu la qu C almacna con un diléctico Cómo s ntind sto? Si la caga s mantuvo constant, los pasos sguidos fuon: Si disminuyó la ngía potncial lctostática, l campo db hab alizado un tabajo W tal qu Walizado po l campo ΔU 9 Expimntalmnt s ncunta qu l diléctico s ataído, s dci, actúa una fuza sob él qu lo tia hacia adnto. El análisis dtallado s bastant complicado; las línas d campo no son ctas cca dl límit dl diléctico aunqu hayamos considado al capacito como infinito. Justamnt la dfomación d las línas d campo s la qu pmit dscibi cualitativamnt la fuza. o paa dtmina su valo s pudn hac considacions ngéticas xclusivamnt. F x Fig.5. Engía d un capacito d capacidad vaiabl Analicmos l poblma: Es d spa qu la ngía potncial U vaya disminuyndo a mdida qu s intoduc l diléctico, s dci, qu dpnda d x únicamnt. Como ΔU n un capacito stá dado po U ΔU V C C indpndintmnt d la foma dl capacito, la fuza sob l diléctico staá dada po v U F U x x ya qu no pud hab dpndncia n las otas coodnadas po tatas d planos infinitos. la caga total s mantin constant n cada placa, s dci, n todo momnto Cada conducto s una quipotncial, po lo tanto, n todo instant x x V C x C x Si dspciamos los fctos d bod, las placas dl capacito son d áa D x, y l diléctico fu intoducido una distancia x, tndmos C κ C κ Dx d C D x κ d 5

6 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho Est sistma sá quivalnt a un capacito con capacidad C, difncia d potncial nt placa V y caga, s dci, VC VC VC V C 4 C D y 4 s obtin D C κx x d Como d 4 sulta C C C 6 C s tin κx x 7 κx x κx x s dci las dnsidads supficials d caga sultan distintas n la zona dond hay o no hay diléctico. κ 8 D κx x D κx x sulta así qu. Analizamos dspués st sultado. D, y 5 sulta s pud aliza a Vct o a ct D D F κ C d d κ x V x Es dci, s sulta una fuza d atacción sob l diléctico como ocu xpimntalmnt 5 9 Vamos ahoa un capacito sin y con diléctico mantnido a potncial constant V Figua 6. a ngía potncial acumulada n l capacito sin diléctico sá V V Fig.6. Capacito a V constanta con diléctico bsin diléctico U V C y con diléctico d pmitividad lativa κ U V C κ V C Es dci, sulta U U. a ngía potncial lctostática dl sistma aumntó. Esto s db a qu s hizo tabajo sob l sistma. 6

7 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho uién hizo s tabajo? a batía, ya qu s una funt adicional d ngía. Y qué pasó con la caga n las placas conductoas? D 8, y U U ' ' ' κ C C C κ C D sta xpsión s fácil dduci qu ' κ O sa qu aumntó la caga sob la placa conductoa al intoduci l diléctico. Est sultado sá también analizado más adlant.. Dscipción micoscópica d los matials dilécticos Cuando Faaday dscubió l compotaminto d los matials dilécticos al colocalos nt las placas d un capacito, no s conocía l modlo atómico como una agupación d lctons y potons l lctón s dscubió n 897. a toía atómica n s ntoncs povnía d la uímica modlo d Dalton dond cada átomo a una sfa maciza indivisibl. El sultado xpimntal d Faaday a qu la difncia d potncial nt las placas disminuía al intoduci l diléctico nt placas cagadas y aisladas nt sí, con lo qu la capacidad dbía aumnta po su dfinición. o si l voltaj difncia d potncial a mno, como ΔV v E dl l campo léctico tnía qu hab disminuido aunqu la caga sob las placas no había cambiado. Cómo s xplica st compotaminto? Sabmos d la y d Gauss qu l flujo dl campo léctico stá dictamnt lacionado con la caga ncada. Como l campo s duc, la caga ncada n l volumn db s mno!! a Figua nos da la pista paa hac un modlo: l campo s mno po no nulo; la única posibilidad s qu n la supfici xtna al conducto haya S cagas d signo opusto como s musta n la Fig.7. s dci, l fnómno s pud xplica considando qu s induc una cita cantidad d caga n la supfici intscción nt l conducto y l diléctico. S dic qu xist Fig.7. Caga inducida n un diléctico una caga inducida o caga d polaización, 4 cuya dnsidad supficial stá notada como p. 7

8 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho En l capacito d placas planopaallas aislado s dci s mantin la caga constant con dnsidad supficial d áa A y spaación nt placas d, habá una difncia d potncial nt las placas dada po Δ V E d 5 vacio vacio Δ V E d 6 dilctic o E dilctico dilctico quivalnt D 5, 5 y 6 ΔV ΔV dil Edil E κ p vacio vacio d lo qu s dduc qu la dnsidad supficial d caga d polaización stá dada po 8 κ Como κ, la dnsidad d caga supficial d polaización p sulta d distinto signo y mno n módulo qu la dnsidad d caga n l conducto qu llamamos d ahoa n más dnsidad supficial d caga lib. o... cómo s gna sa distibución d caga d polaización? Un modlo atómico o molcula qu considaa qu hay cagas positivas y ngativas sulta muy adcuado. o qué? nsmos n moléculas n las cuals l cnto d cagas ngativas no coincid con l d ngativas s tipo d molécula s llama pola. Como modlo más sncillo, sía un dipolo. Vamos pimo las caactísticas dl campo léctico gnado po un dipolo. Habíamos calculado la xpsión dl campo léctico n todo l spacio: y q q δ Fig.8. Esquma d un dipolo 7 z 8

9 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho Ex x, y, z qx 4π δ δ x y z x y z 9 Ey x, y, z qy 4π δ δ x y z x y z δ δ z z E,, z x y z q 4π δ δ x y z x y z Como xist simtía d volución alddo dl j z, studiamos l campo n l plano yz s dci, n x. sulta, ntoncs E x, y, z Ey, y, z qy 4π δ δ y z y z δ δ z z E,, z y z q 4π 4 δ δ y z y z y a lo lago dl j y s dci, n z l campo léctico solamnt tin componnt z ya qu 9

10 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho E x, y, 5 E y, y, 6 δ E z, y, q 7 4π δ y D 7 s fácil dduci qu paa puntos dl spacio a lo lago d la mdiatiz y aljados dl dipolo y δ l campo disminuy como y. o la simtía d volución l mismo sultado cospond a cualqui punto aljado dl dipolo sob l plano xy. Analicmos ahoa cuál s la dpndncia dl campo con la distancia al dipolo cuando s consida un punto sob l j z s dci, xy δ δ z z E z, y, z q q 8 4π 4π δ δ δ δ z z. z z. Como paa z δ ± z δ z δ ± z δ m z z l campo léctico sulta E z,,z q q 4 π 4 π z δ Es dci, l campo léctico ljos dl dipolo vaía como y dpnd dl poducto qδ. A st 9 4 p F q δ q q F q Figua 9 E xt poducto s lo dnomina momnto dipola. S lo dfin como un vcto n la dicción d la cta qu un a las cagas y cuyo sntido s dsd la caga ngativa hacia la positiva sntido contaio a un campo léctico. Así, n nusto caso p qδ x 4 aa qué dfinimos l momnto dipola? o ahoa y n FII, poqu nos simplificaá algunos

11 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho cálculos. o jmplo... ué ocu cuando un dipolo ígido s pusto bajo la acción d un campo léctico unifom? Está clao qu la fuza total sob l dipolo s nula. En conscuncia, l toqu τ sá indpndint dl punto dsd l cual s lo calcul. Como p τ q q Fq δ qext p E 4 p D lo cual s dduc qu l dipolo tind a ointas d foma tal qu la dicción y sntido dl momnto dipola p sa la dl campo E xt.. Volvamos, ntoncs, al modlo atómico d cagas positivas y ngativas. Si los matials dilécticos fuan dipolos s dic qu tinn un momnto dipola pmannt, al colocalos n un campo léctico xtno como l poducido po un capacito los dipolos s ointaían paallos al campo léctico xtno. Entoncs un modlo d st tipo podía xplica l compotaminto d los capacitos con matial diléctico. Cuando un matial s colocado nt las placas d un capacito, los dipolos pasan d tn una distibución al aza a una ointación paalla al campo. l gado d paallismo dpndá dl diléctico, d la tmpatua, d la magnitud dl campo. o sabmos qu hay matials no polas, s dci, matials dond l cnto d cagas positivas coincid con l d ngativas. odmos pnsa qu l campo léctico xtno ca una cita spaación nt l cnto d las cagas positivas y d las ngativas; s habla d momnto dipola inducido. Estos momntos también tindn a alinas con l campo léctico xtno. Como conclusión: tanto paa moléculas polas como no polas tndmos momntos dipolas pmannt o E xt inducido y los matials qudan E polaiz p polaizados n un campo xtno. Fig.. adiléctico dsodnado, Figua bodnado n un campo, cesquma macoscópico dl campo. ac azonabl pnsa qu l momnto dipola inducido va a dpnd dl valo dl campo léctico xtno. Es dci, un campo intnso dsplazaá al cnto d cagas positivas y ngativas más qu uno lv. Sin mbago, si l campo léctico s muy intnso pudn omps las

12 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho moléculas y s podía tansfoma n un matial conducto. Supongamos qu n un átomo o molécula hay cagas q y q, cuyos cntos stán spaados una distancia δ. El momnto dipola d cada molécula sá, ntoncs, qδ. Si hay n pomdio N moléculas po unidad d volumn con momnto dipola con la misma dicción y sntido, l momnto dipola total po unidad d volumn sá, Nqδ 4 En gnal, vaiaá d un punto a oto d un diléctico homogéno. o valdá lo mismo n todos los puntos dnto dl diléctico dond l campo xtno sa l mismo. a constant d popocionalidad dbía dpnd dl matial y ct E xt χe xt 44 En l caso dl capacito d placas planopaallas, sá unifom. Es dci, n cada unidad d volumn tndmos N dipolos, no habá ninguna gión dond haya más cagas positivas qu ngativas y la dnsidad d dipolos sá la misma n pomdio. ué ocu n la supfici dl diléctico? os lctons s han spaado una distancia δ d los núclos y, n conscuncia quda una caga fctiva sob la supfici dl diléctico: dnsidad supficial d cagas d polaización. En l volumn VA δ, hay N moléculas po unidad d volumn y n total NAδ moléculas dipolos, cada V Fig.. Dipolos molculas uno con una caga sob la supfici q. a dnsidad supficial d caga sá p Nq δ N p. En st caso l vcto s ppndicula a las placas. D no slo, la foma más gnal s p n p sindo n la nomal a la supfici dl diléctico l sntido d la n lo studiamos más adlant. Fig..Dipolos Figua molculas n una gomtía sféica Habá moléculas ointadas n otas diccions poducto, po jmplo, d la agitación témica lo qu da una ointación al aza con momnto dipola nulo n pomdio. o n psncia d un campo léctico habá una dicción pfncial y una cita cantidad d moléculas po unidad d volumn N qu s alinaán con l campo.

13 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho Si s unifom no habá ninguna gión dl spacio dond haya más dnsidad d cagas positivas qu ngativas ni la invsa, s dci tndmos la misma dnsidad pomdio como n l capacito d placas plano paallas. o jmplo, n la Figua s musta un capacito sféico cáscaas conductoas con cagas y con un matial diléctico. El campo gnado po s adial, los dipolos s acomodaán n pomdio como indica la figua, apacindo una dnsidad supficial d polaización n las supficis intio y xtio d la cáscaa diléctica tn cuidado: las dnsidads d cagas d polaización son distintas n cada supfici, lo qu son iguals son las cantidads d caga positiva y ngativa. a dnsidad d cagas d polaización n l volumn s nula, s dci, si s toma un volumn, la cantidad d línas d qu saln d s volumn sá igual a la cantidad d línas qu ntn. o si no s unifom, dpndindo d cómo sa l vcto polaización pud hab zonas dond haya más acumulación d cagas positivas qu ngativas o vicvsa. En st caso, como la dnsidad volumética d cagas d polaización no s nula, si s toma un volumn, la cantidad d línas d qu saln d s volumn sá distinta a la cantidad d línas qu ntn. Es po so qu s tin ρ polaizacion 46 El signo ngativo povin d la dfinición dl momnto dipola su sntido s d a. Vmos más adlant scción.6 algunos jmplos dond la dnsidad volumética d caga d polaización s nula a psa d qu no s unifom.. Ecuacions lctostáticas n psncia d dilécticos Cuando studiamos distibucions d caga n l vacío, a pati dl Toma d la divgncia, obtuvimos qu E ρ Ahoa, n psncia d dilécticos cospondá consida TODA la caga: la lib y la d polaización coda Fig.7 y c.6, s dci, ρ ρ lib ρ polaizaci on. En conscuncia lib polaizacion lib E ρ ρ ρ D 48 ρ E lib

14 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho o, paa la mayoía d los matials linals isótopos ctext χ E χ E ρlib E E χ E xt v c.44, y 5 o azons históicas, s dfinió como vcto dsplazaminto léctico D como D E 5 En l caso d cumplis la lación 44 tndmos v Nota al pi D Ë χ E κe E 5 dond dfinimos como constant diléctica a. Entoncs, paa mdios linals isótopos valdá D 49 y 5 s obtin D ρ lib D E 5 Si bin hmos dducido la c.5 a pati d matials dilécticos isótopos, linals y homogénos, sta cuación s una d las cuacions más gnals dl Elctomagntismo. Es po llo qu la c.5, llamada y d Gauss Gnalizada s una d las Ecuacions d Maxwll n foma difncial, válida paa todo tipo d matials n condicions lctostáticas o lctodinámicas incluso n situacions lativistas. a foma intgal d la y d Gauss Gnalizada sulta, ntoncs, D ds q lib ρ dv S ncada po S vol lib a ota ly la d iotacionalidad dl campo léctico o, dicho d ota foma, qu s consvativo sigu valindo n condicions lctostáticas cuando hay matials, s dci, n foma difncial s tin qu E y scita n foma intgal E dl C Aclaación: Si stamos n condicions lctostáticas, la y d Coulomb sigu valindo

15 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho E ρ ' dv 4π V ' ' dv po ρ ' db s la dnsidad d caga TOTA lib más inducida. Si los mdios son linals isótopos, como ' lib D ' dv 4 ρ π ' V ρ D E, sulta ρ T y.4 Condicions d fonta o d bod as dos cuacions difncials 5 y 55 y las dos intgals 54 y 56 no son útils solamnt paa dtmina los campos lécticos gnados po distibucions d caga conocidas, sino qu pmitn stablc algunas popidads d los campos a ambos lados d una intfaz fomada po dos mdios d popidads dilécticas conocidas. Supongamos qu tnmos dos mdios dilécticos d constants dilécticas y tal qu n la intfaz supfici d spaación hay una dnsidad d caga lib supficial dada po Figua. Tommos un cilindo d altua h mucho mno qu su adio, s dci, h más ápidamnt qu su adio. Si aplicamos la y d Gauss Gnalizada, tomando como supfici cada al cilindo, tndmos uu uu uu uu D.dS q D.dS D.dS D.dS 57 ib ncada n S S A A Sup lxatal && Si s hac tnd a co la altua h s dci, tomamos un volumn infinitsimal alddo d la intfaz podmos consida qu l campo sob la intfaz s unifom y val D con cualqui dicción y sntido, dbajo d la intfaz val D con cualqui dicción y sntido y n la supfici latal tndá oto valo D con cualqui dicción y sntido. Conscuntmnt S D ds A D n ds A lat D n ds h Dlat πdl D nπ h 58 D n π D πh El tc témino dl tc mimbo tndá más ápidamnt a co qu los dos pimos y, paa un cilindo infinitsimal, valdá D ds D nπ D nπ D n D n π 59 S En conscuncia, d 57 y 59 D ds D n D n π π S 6 5

16 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho Como n n n, sulta d 6 D D n 6 Así, si n una supfici d discontinuidad no hay caga IBE, la componnt nomal dl Vcto dsplazaminto tin l mismo valo d un lado qu dl oto. S dic qu s consva. Si, n cambio, hay una dnsidad supficial d caga IBE, la situación sá la d la Figua 4a Es dci, nos sá útil sta condición si sabmos qu no hay caga IBE SUEFICIA poqu si sabmos cuánto val l vcto dsplazaminto a un lado, ya sabmos cuánto val una componnt dl oto lado. Y mucho mjo sía si l vcto dsplazaminto tuvia solamnt una componnt nomal a la intfaz!! Buno, nos ocuiá muchas vcs... Y lo intsant s qu si stamos considando mdios isótopos, linals y homogénos y l vcto dsplazaminto tin solamnt componnt nomal a la intfaz, como D D d la c.5 dducimos qu n la intfaz l campo léctico solamnt tndá componnt nomal y staá lacionado po E E. Es dci con solo tn intfaz. D y las constants dilécticas sabmos cuánto val l campo léctico a cada lado d la da uuu n Mdio diléctico uu dl da uuu n Mdio diléctico Fig.. Condicions d Figua bod nt dilécticos o sto no s todo. Ahoa vamos si podmos dtmina alguna ota popidad, po sta vz d la iotacionalidad dl campo léctico. Tommos una cuva cada como la d la Figua dond la altua h tind a co más ápidamnt qu las longituds d la cuva paallas a la intfaz. Calculmos la ciculación dl campo léctico v c.56 6

17 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho E dl E dl E dl E tan g lt E tan g l t 6 dond qu C l l t s un vso tangncial a la supfici n la dicción d la cuva. D la c. 6 s dduc E tan g E tan g 6 lo qu significa qu la componnt tangncial dl campo léctico n condicions lctostáticas no cambia ni n módulo ni n sntido n una intfaz. Dicho d oto modo, la componnt tangncial s continua. Esto stá squmatizado n la Fig.4b, ya qu la componnt tangncial d E cuando la nomal a la intfaz s l vso x s scib E x. D x D x D D E x E E x E E E x E x a b x x Fig.4.a Condición paa Figua D nomal 4 b paa E tangncial a la intfaz.5 Buscando la nomal adcuada... o un lado, tnmos la lación gnal nt los vctos dsplazaminto léctico D, campo léctico E y polaización léctica c. 5 D E 64 Vamos qué obtnmos si tomamos la divgncia d 64 D E 65 El mimbo d la izquida d 65 cospond a D ρ, l pim témino dl sgundo ρ mimbo E y l sgundo ρ polaizacion, s dci, obtnmos ib 7

18 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho ρ ρ ib ρ polaizacion 66 Ahoa hagamos l poducto s scala con la nomal a una supfici n dspués discutimos qué s sta nomal D n E. n n 67 El pim mimbo stá lacionado con dnsidad supficial total d caga y l sgundo con p, s dci T, l pim témino dl sgundo mimbo con la 68 Como D D n 69 Si D E y D E tndmos qu s D D n Ë E n n T 7 Así l pim témino dl sgundo mimbo s podá laciona con la dnsidad supficial total d caga y l sgundo con la d polaización. n 7 ué significa? Vamos ahoa algunos casos paticulas n intfacs dilécticoconducto y dilécticodiléctico paa v cómo usa la condición d contono 69 y la dducida 7..6 Aplicacions.6. Ejmplo : z y ρ x Fig.6. Distibución sféica d dnsidad d caga ρ unifom n Considmos qu tnmos una distibución sféica d caga ρ, po no n l vacío sino distibuida unifommnt n un cupo d matial diléctico d constant diléctica d foma sféica. Est cupo stá n l vacío. umos dtmina l campo léctico n todo l spacio. Como simp, dibujamos un sistma d coodnadas aunqu s indistinto po ahoa usa tna dcha o izquida dbmos acostumbanos a usa tna dcha poqu cuando studimos l campo magnético no sá lo 8

19 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho mismo una qu ota. Como simp plantamos l poblma vindo si podmos solvlo a tavés d la y d Gauss y no a tavés d la y d Coulomb gnalizada paa mdios dilécticos. codmos: dbmos nconta una supfici cada dond podamos conoc la dicción dl campo y qu s constant sob lla. D sta mana, si conocmos la caga ncada, podmos calcula l campo a tavés d la y d Gauss. o, podmos usa la y d Gauss? O dbmos usa la y d Gauss gnalizada? Si quisiéamos usa la y d Gauss la dl campo léctico dbíamos conoc no solamnt las cagas libs las qu stán pustas sino también las d polaización poqu la xpsión qu cospond s S q E ds total nc. po S V S ρ total dv En pincipio, l campo y l vcto dsplazaminto podían dpnd d las ts coodnadas usamos sféicas y tn ts componnts también usamos las sféicas. o, hacindo los mismos azonamintos qu hacíamos cuando no había mdio matial una distibución sféica d caga con dnsidad volumética unifom, l campo no pud dpnd d ϕ ni d θ. Tampoco pud tn componnts ϕ ni θ v Capítulo I. Tanto E como D solamnt pudn tn componnt adial y podían dpnd únicamnt d la coodnada. En conscuncia, si tomamos como supfici paa aplica la y d Gauss Gnalizada una sfa d adio cntada n l oign d coodnadas d la Fig.5, tndmos la sguidad qu n todos los puntos d la supfici d la sfa dl vcto dsplazaminto tndá l mismo módulo y sá paallo a la nomal a la supfici. Si bin podíamos sab cualitativamnt cómo s acomodan las cagas d polaización, no lo sabmos cuantitativamnt. Cómo lo podmos sab? Cualitativamnt podmos pnsa qu si ρ s unifom y positivo, las cagas positivas d las moléculas sán plidas y, n conscuncia, tatan d is lo más ljos posibl d la sfa cagada positivamnt y, las ngativas son ataídas. o, como no s un matial conducto s dci, los lctons no pudn movs libmnt, no s indpndizan las cagas positivas d las ngativas ni las cagas pudn scapas d la sfa, habá una dnsidad nta positiva d caga n la supfici d la misma. asmos al cálculo y compobmos nusto azonaminto. Considamos la zona I intio a la sfa; < y la zona II l vacío, y usmos c.54 Zona I S D ds q lib dv nc. po S ρlib V S 9

20 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho dond S sá una sfa d adio concéntica a la distibución d cagas. a caga lib ncada n dicha supfici sá la pat popocional d caga qu cosponda, s dci, sindo la caga total lib n la sfa poqu ρ s unifom Cuál 4 qncada ρ π sía si ρ dpndia d? S podía calcula l vcto dsplazaminto a tavés d la y d Gauss gnalizada?. Sob la supfici d la sfa D D y 4π d lo qu s dduc qu D S uu D.dS D Zona II paa < 4π En st caso paa cualqui supfici sféica con, la caga ncada sá y D 4π Como la constant diléctica dl matial s y la d afua s y como D E 4π D 4π < 4π E 4π < También podmos calcula l vcto polaización, ya qu d 5 DE. S tin, ntoncs, 4π < El vcto polaización tin, ntoncs sntido adial Como va d cagas ngativas a positivas, las x z ρ n y Fig.6. Dipolos n una gomtía sféica moléculas s alinan como indica la Fig. 6. ué significa l co n la polaización? El sultado s cocto poqu n hay vacío y, po lo tanto, no hay moléculas. También vmos qu, la componnt nomal dl vcto dsplazaminto s consva n la intfaz lo qu stá bin poqu no hay caga supficial lib n lla. Es dci, d 6 s obtin D D Cuánto val la dnsidad supficial d caga d

21 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho polaización? ué nomal tomamos? a xtio o la intio? a spusta s la xtio aunqu dbmos tn cuidado si n luga d vacío hay oto matial Entoncs p 4π Cuánto val la dnsidad volumética d cagas d polaización n l diléctico? Como n coodnadas sféicas, paa vctos qu solamnt dpndn d la coodnada, la divgncia stá dada po A A a pati d la xpsión paa vcto polaización, s tin 4π π 4 ρ polaizacion con lo qu la dnsidad volumética d caga d polaización sulta ngativa, indpndintmnt d la supfici cada qu s tom, la cantidad d línas d qu ntan s mayo qu la cantidad qu saln. El sultado d suma las cagas supficials multiplicando p po la supfici d la sfa diléctica y las voluméticas intgando la ρ polaizacion n l volumn d la sfa, s co lo qu s acod al postulado inicial. Y la caga total cospondá a la caga lib la intgal d ρ n l volumn.6. Conducto cagadodiléctico dscagadovacío conducto Considmos un conducto sféico d adio cagado con una caga s dci, con. 4π Si s positivo, los dipolos pmannts o inducido s acomodaán d foma tal qu apacá una dnsidad supficial d caga inducida ngativa n dl lado dl diléctico y ota positiva n dl lado dl Fig.7. Conducto cagadodiléctico dscagadovacío diléctico. En l vacío no hay matia y no habá nada qu s polaic. solvamos analíticamnt. A pati d la y d Gauss

22 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho gnalizada y tnindo n cunta la simtía dl poblma ya discutida ampliamnt n l apunt d Elctostática, s obtin < 4 4 D π π < 4 4 E π π < 4 v π Como a d spa, n l vcto dsplazaminto no s v altado, ya qu s nomal a la supfici d spaación y no hay caga lib supficial n sa intfaz. En cambio, n hay dnsidad supficial d caga lib y l vcto dsplazaminto no sá continuo pus. n D D. Acá sabmos qu,. Si s l conducto y l diléctico, D y D tin SENTIDO. Entoncs la nomal db tn l sntido d paa qu s dci, s la nomal xtio a la supfici sféica. Como D E, d 7 sulta qu n la intfaz n ué significa qu? Como l signo había sido pusto d ppo n c.6, s db intpta qu la dnsidad supficial d polaización n s ngativa como s había dducido concptualmnt. En la sgunda intfaz s dci n la intfaz dilécticovacío, tndmos aunqu y E D < n o qu significa qu n la supfici intio d la sfa diléctica n la dnsidad d caga supficial d polaización s positiva. Con spcto a la caga volumética d polaización, dbmos calcula ρ polaizacion tndmos

23 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho ρ polaizacion A pati d las dnsidads supficials d caga d polaización n l matial diléctico, s fácil dduci fácilmnt qu la caga total d polaización s nula lo qu s cohnt con los postulados inicials sob l concpto d polaización..6. Conducto cagado diléctico dscagadodiléctico dscagadovacío a solución d st poblma s análoga a la dl poblma antio n cuanto a la obtnción d los campos lécticos, vctos dsplazaminto y vctos polaización. El poblma qu aquí s psnta s qu, n pincipio, podíamos dci qu n n l diléctico, la dnsidad d caga supficial d polaización sá ngativa si, n po dnto dl diléctico la caga supficial d polaización sá ngativa; n po dnto dl diléctico la caga supficial d polaización sá Fig.8. Conducto cagado, positiva; y n po dnto dl diléctico la caga diléctico dscagadodiléctico supficial d polaización sá positiva; y n po n l dscagadovacío vacío la caga supficial d polaización sá nula. o cómo sá la dnsidad d caga nta d polaización n? ositiva o ngativa? En st caso dbmos aplica con cuidado 7. Si tomamos como n a, cospondá al vcto polaización n l mdio con constant diléctica y cospondá al vcto polaización n l mdio con constant diléctica. conducto Tndmos 4π D 4π 4π <

24 Guillmo Santiago, iliana z y Eduado Sancho < E π π π < 4 4 π π Entoncs, la dnsidad d caga supficial NETA n sá n Si y sulta <, lo qu significa qu la dnsidad supficial nta s ngativa. Esto s ntind d la siguint mana: si la dnsidad supficial nta s ngativa, hay más cagas ngativas dl lado dl diléctico qu positivas dl lado dl diléctico, lo qu significa qu l diléctico s pudo polaiza más y so s lo qu significa tn una constant diléctica mayo. Taa: consida los otos casos spcto al signo d y distinta lación d constants dilécticas. 4