OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -5 0

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 014 MODELO 1 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea las matrices B = y C = (0 5 putos) Determie la dimesió que debe teer ua matriz A para que se verifique la igualdad A B = C t. ( putos) Halle la matriz A aterior, sabiedo que de ella se cooce los elemetos a 31 =, a 1 = -3 y a = 1. Solució Sea las matrices B = y C = Determie la dimesió que debe teer ua matriz A para que se verifique la igualdad A B = C t Como C =, su traspuesta es C t = x3-1 6 Sabemos que para poder multiplicar matrices, el úmero de columas de la 1ª debe coicidir co el úmero de filas de la ª, y el resultado del producto tiee filas de la 1ª y columas de la ª. E uestro caso: A 3x B x = C t 3x. E uestro caso la matriz A tiee de orde 3x. Halle la matriz A aterior, sabiedo que de ella se cooce los elemetos a 31 =, a 1 = -3 y a = 1. x x La ecuació es A B = C t -5 0, es y 1 = -8 3 z 4 6-5y+4 6 = z 6z - 1 Igualado térmio a térmio teemos: -5x - 1 = -; -18 = -18; -5y + 4 = -16; 6 = 6; z = -; 6z = 1. Co lo cual: -5x - 1 = = 5x x = -. -5y + 4 = = 5y y = 4. 6z = 1 z = La matriz pedida es A = 4 1 EJERCICIO (A) Sea la fució f(x) = -x 3 + a e -x + b x - 1. (1 5 putos) Halle los valores de a y b sabiedo que la fució tiee u míimo e x = 0 y que la gráfica de la fució pasa por el puto (0,0). (1 puto) Para a = 0 y b = 1, determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució e el puto de abscisa x = 1. Solució Sea la fució f(x) = -x 3 + a e -x + b x - 1. Halle los valores de a y b sabiedo que la fució tiee u míimo e x = 0 y que la gráfica de la fució pasa por el puto (0,0). Como f pasa por el puto (0,0), teemos f(-4) = -5. Como f tiee u míimo e el puto de abscisa x = 0, teemos f (0) = 0. f(x) = -x 3 + a e -x + b x - 1; f (x) = -6x - a e -x + b. De f (0) = 0 - a e 0 + b = 0 - a + b = 0, de dode a = b. De f(0) = 0 a e 0-1 = 0 a - 1 = 0, luego a = 1 y b = 1. Para a = 0 y b = 1, determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució e el puto de 3x 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua abscisa x = -1. Para a = 0 y b = 1, f(x) = -x 3 + x - 1; f (x) = -6x + 1 La recta tagete e x = -1 es y - f(-1) = f (-1) (x - (-1)) f(x) = -x 3 + x - 1 f(-1) = -(-1) 3 + (-1) - 1 = - = 0. f (x) = -6x + 1 f (-1) = -6(-1) + 1 = = -5. La recta tagete e x = -1 es y - (0) = -5 (x + 1), de dode y = -5x - 5. EJERCICIO 3 (A) Sea A y B dos sucesos aleatorios idepedietes de los que se cooce que: p(a) = 0 5 y p(b) = 0 3. (0 5 putos) Diga, razoadamete, si A y B so sucesos icompatibles. (1 puto) Cuál es la probabilidad de que suceda A y o suceda B? c) (1 puto) Calcule p(a/b C ). Solució Sea A y B dos sucesos aleatorios idepedietes de los que se cooce que: p(a) = 0 5 y p(b) = 0 3. Diga, razoadamete, si A y B so sucesos icompatibles. Como so sucesos idepedietes p(ab) = p(a) p(b) = = Sabemos que si A y B so sucesos icompatibles, p(ab) = 0; como p(ab) = 0 15, los sucesos o so icompatibles. Cuál es la probabilidad de que suceda A y o suceda B? Pide p(a y ob) = p(ab C ) = p(a) - p(ab) = = c) Calcule p(a/b C ). p A B C p(a/b C p(a) - p A B ) = ;= 0 35/(1 0 3) = 0 5; C p(b ) 1 - p(b) EJERCICIO 4 (A) Ua paadería produce barras de pa cuya logitud, medida e cetímetros, sigue ua distribució Normal co ua desviació típica de 5 cetímetros. (1 puto) A partir de ua muestra de 100 barras de pa se ha calculado el itervalo de cofiaza para la media poblacioal, resultado ser (31, 33 4). Halle la media muestral y el error de estimació. (1 5 putos) Para u ivel de cofiaza del 96%, halle el tamaño muestral míimo ecesario para que el error de estimació máximo sea 1 5. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(, ) o X N(, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. () = x z 1 /,x z1 / dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - / Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 /, para el itervalo de la media, de

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua dode el tamaño míimo de la muestra es = z 1- /. E. Ua paadería produce barras de pa cuya logitud, medida e cetímetros, sigue ua distribució Normal co ua desviació típica de 5 cetímetros. A partir de ua muestra de 100 barras de pa se ha calculado el itervalo de cofiaza para la media poblacioal, resultado ser (31, 33 4). Halle la media muestral y el error de estimació. Datos del problema: = 5; = 100; (a, = x z 1 /,x z1 / = (31, 33 4). Vemos que a + b = = x, luego x = 64 6/ = 3 3. Tambié observamos que Error = E = z1 / = b - x = = 1 1. Para u ivel de cofiaza del 96%, halle el tamaño muestral míimo ecesario para que el error de estimació máximo sea 1 5. Datos del problema: Error = E = 1 5, = 5, ivel de cofiaza = 96% = 0 96 = 1 -, de dode = 0 04, co la cual / = 0 04/ = 0 0. De p(z z 1-α/ ) = 1 - / = = 0 98, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad 0 98 o viee, y la más próxima es , que correspode a z 1-α/ = 05. z De E = z1 /, teemos 1- / E = muestra de libros es de = 47 barras de pa. '05 5 1'5 = 46 69, es decir el tamaño míimo de la OPCION B EJERCICIO 1 (B) U utricioista receta a ua de sus pacietes ua dieta semaal especial basada e lácteos y pescado. Cada kg de lácteos cuesta 6 y proporcioa 3 uidades de proteías y 1 de calorías; cada kg de pescado cuesta 1, aportado 1 uidad de proteías y de calorías. La dieta le exige o tomar más de 4 kg, cojutamete, de lácteos y pescado, y u aporte míimo de 4 uidades de proteías y 3 de calorías. (1 puto) Platee el problema para obteer la combiació de ambos alimetos que tega el coste míimo. (1 5 putos) Dibuje la regió factible y determie la solució óptima del problema Solució U utricioista receta a ua de sus pacietes ua dieta semaal especial basada e lácteos y pescado. Cada kg de lácteos cuesta 6 y proporcioa 3 uidades de proteías y 1 de calorías; cada kg de pescado cuesta 1, aportado 1 uidad de proteías y de calorías. La dieta le exige o tomar más de 4 kg, cojutamete, de lácteos y pescado, y u aporte míimo de 4 uidades de proteías y 3 de calorías. y Platee el problema para obteer la combiació de ambos alimetos que tega el coste míimo. Dibuje la regió factible y determie la solució óptima del problema. Sea x = º de quilos de lácteos. Sea y = º de quilos de pescado. Para determiar las iecuacioes y la fució Beeficio F(x,y), poemos u cuadro de doble etrada que os lo simplificará. Proteía Calorías Precio Lácteos x Pescado y 1 1 Teiedo e cueta lo aterior teemos las siguietes iecuacioes, y la fució beeficio: De La dieta le exige o tomar más de 4 kg, de lácteos y pescado x + y 4. 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua De aporte míimo de 4 uidades de proteías 3x + y 4. De aporte míimo de 3 uidades de calorías x + y 3. De se toma algú lácteo y pescado x 0, y 0. De Cada kg de lácteos cuesta 6 y cada kg de pescado cuesta 1, teemos la fució a optimizar es F(x,y) = 6x + 1y. Resumiedo: Fució a optimizar es F(x,y) = 6x + 1y. Restriccioes: x + y 4; 3x + y 4; x + y 3; x 0; y 0 Las desigualdades x + y 4; 3x + y 4; x + y 3; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, x + y = 4; 3x + y = 4; x + y = 3; x = 0; y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x + 4; y = -3x + 4; y = -x/ + 3/; x = 0; y = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, que es el polígoo coexo limitado por los vértices de los cortes de dichas rectas, cuyos lados so los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = -3x+4, teemos y = 4, y el vértice es A(0,4). De y = -3x+4 e y = -x/+3/, teemos -3x+4 = -x/+3/ -6x+8 = -x+3 5 = 5x, de dode x = 1 e y = -3(1)+4 = 1, y el vértice es B(1,1). De y = -x/+3/ e y = 0, teemos -x/+3/ = 0 -x+3 = 0 x = 3, y el vértice es C(3,0). De y = -x+4 e y = 0, teemos -x+4 = 0 x = 4, y el vértice es D(4,0). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A(0,4), B(1,1), C(3,0) y D(4,0). Veamos la solució óptima de la fució f(x,y) = 6x + 1y e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos f e los putos ateriores A(0,4), B(1,1), C(3,0) y D(4,0). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. f(0,4) = 6(0) + 1(4) = 48; f(1,1) = 6(1) + 1(1) = 18; f(3,0) = 6(3) + 1(0) = 18; f(4,0) = 6(4) + 1(0) = 4. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el míimo absoluto de la fució f e la regió es 18 (el meor valor e los vértices) y se alcaza e los vértices B(1,1) y C(3,0), por tato el míimo se alcaza e todo el segmeto que ue el vértice B co el vértice C. EJERCICIO (B) x - ax + 5 si x < 0 ( 5 putos) Sea la fució f, defiida por f(x) =. -x + b si x 0 Determie los valores que ha de tomar a y b para que la fució f sea derivable e x = 0. 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Solució x - ax + 5 si x < 0 Sea la fució f, defiida por f(x) =. Determie los valores que ha de tomar a y b -x + b si x 0 para que la fució f sea derivable e x = 0. Como me dice que la fució es derivable e x = 0, tambié es cotiua e x = 0. Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x = 0. f(x) es cotiua e x = 0 si f(0) = lim f(x) = x0 f(0) = f(x) = lim x0 lim x0 f(x) = lim f(x) = lim f(x). x0 x0 (x - ax + 5) = (0) - a(0) + 5 = 5; lim (-x + = -(0) + b = b, como so iguales teemos b = 5. x0 x - ax + 5 si x < 0 -x + b si x 0 f(x) es derivable e x = 0 si lim f (x) = x0 lim x0 x - a si x < 0 ; teemos f (x) = -x si x 0 lim f (x) = lim f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x0 x0 (x - = (0) - a = a; lim f (x) = lim (-x) = (0) = 0, como so iguales teemos a = 0. x0 x0 EJERCICIO 3 (B) U estudio estadístico de la producció de ua fábrica de batidoras determia que el 4 5% de las batidoras preseta defectos eléctricos, el 3 5% preseta defectos mecáicos y el 1% preseta ambos defectos. Se escoge al azar ua batidora. (1 puto) Calcule la probabilidad de que o tega iguo de los dos defectos. (1 puto) Calcule la probabilidad de que tega u defecto mecáico sabiedo que tiee u defecto eléctrico. c) (0 5 putos) Justifique si los sucesos teer u defecto eléctrico y teer u defecto mecáico so idepedietes. So icompatibles? Solució U estudio estadístico de la producció de ua fábrica de batidoras determia que el 4 5% de las batidoras preseta defectos eléctricos, el 3 5% preseta defectos mecáicos y el 1% preseta ambos defectos. Se escoge al azar ua batidora. Calcule la probabilidad de que o tega iguo de los dos defectos. Llamamos A y B a los sucesos batidora co defectos eléctricos y batidora co defectos mecáicos. Del problema teemos: p(a) = 4 5% = 0 045, p(b) = 3 5% = y p(ab) = 1% = Sabemos que p(ab) = p(a) + p(b) - p(ab); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(ab) C = {suceso cotrario} = 1 - p(ab); p(ab C ) = p(a) - p(ab). Me pide p(o tega igú defecto) = p(oa y ob) = p(a C B C ) = {Ley de Morga} = = p(ab) C = {suceso cotrario} = 1 - p(ab) = = p(ab) = p(a) + p(b) - p(ab) = = 0 07 Calcule la probabilidad de que tega u defecto mecáico sabiedo que tiee u defecto eléctrico. Me pide p(tega u defecto mecáico. sabiedo que tiee u defecto eléctrico) = p(b/a) Luego p(b/a) = p B A = (0 01)/(0 045) = /9 0. p(a) c) Justifique si los sucesos teer u defecto eléctrico y teer u defecto mecáico so idepedietes. So icompatibles? A y B so idepedietes si p(ab) = p(a) p(b). Como p(ab) =0 01 p(a) p(b) = = , los sucesos A y B o so idepedietes. A y B so icompatibles si p(ab) = 0. Como p(ab) = , los sucesos A y B o so icompatibles. 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 4 (B) Queremos estudiar la proporció de persoas de ua població que usa ua determiada marca de ropa; para ello se hace ua ecuesta a 950 persoas y se obtiee que 15 de ellas usa esa marca. Utilizado u cotraste de hipótesis (H 0 : p 0 5): (1 5 putos) Podemos afirmar co estos datos y co u ivel de sigificació del 5% que al meos el 5% de toda la població usa esa marca de ropa? (1 puto) Y co u ivel de sigificació del 1%? Solució Sabemos que la distribució muestral de proporcioes sigue tambié ua distribució ormal: N( ˆp, p 0.(1-p 0 ) ). Trabajaremos co lo ormal N(0,1) Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. Queremos estudiar la proporció de persoas de ua població que usa ua determiada marca de ropa; para ello se hace ua ecuesta a 950 persoas y se obtiee que 15 de ellas usa esa marca. Utilizado u cotraste de hipótesis (H 0 : p 0 5): y Podemos afirmar co estos datos y co u ivel de sigificació del 5% que al meos el 5% de toda la població usa esa marca de ropa? Y co u ivel de sigificació del 1%? Nos dice el problema si puede afirmarse que ha al meos el 5% de toda la població usa esa marca de ropa, es decir que el porcetaje de votos o es meor del 5%, por tato la hipótesis ula es H 0 : p a iveles de sigificació de = 0,05 y = 0,01. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(0,1). Tambié se puede hacer co la ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. Datos del problema: p 0 = 0 5; = 950; ˆp = 15/950 = 43/ ; regió crítica = = 0,05 = 5% y = 0,01 = 0 1%. El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : p (al meos el 4% vot y H 1 : p 0 < 0 4, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del puto crítico z = - z 1-. Etapa : Calculamos el puto o putos críticos que os dará las regioes críticas y de aceptació. Para el ivel de sigificació es α = 0 05, luego teemos 1 - α = 0,95. De p(z z 1- ) = 1 - α = = 0 95, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que o viee dicha probabilidad,y si viee y que correspode a 1 64 y 1 65, por tato teemos como valor crítico es z = - z 1- = -( ) / = , que separa las zoas de aceptació y rechazo. Para el ivel de sigificació es α = 0 01, luego teemos 1 - α = 0,99. De p(z z 1- ) = 1 - α = = 0 99, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que o aparece e las tablas. El valor más próximo es , que correspode al valor crítico es z = - z 1- = - 33 que separa las zoas de aceptació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. ˆp - p0 E este caso el estadístico de prueba es Z =, que sigue ua ormal tipificada, N(0,1), y el p 0.(1-p 0 ) ˆp - p0 valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = p.(1-p )/ = 43/190-0'5 = '5 0' Recordamos que los putos críticos era y Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = está e la regió de rechazo para el puto crítico que correspode al ivel de sigificació del 5%. Si embargo está e la regió de aceptació para que el valor crítico z = - z 1- = Resumiedo: 1.- Rechazamos la hipótesis ula H 0 : H 0 : p 0 0 5, y aceptamos la hipótesis alterativa H 1 : p 0 < 0 5, para el ivel de sigificació = Co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 5%, afirmamos que meos del 5% de toda la població usa esa marca de ropa?.- Aceptamos la hipótesis ula H 0 : H 0 : p 0 0 5, para el ivel de sigificació = Co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 1%, afirmamos que al meos u 5% de toda la població usa esa marca de ropa? 7