ESTATICA estudia el equilibrio de los cuerpos, es decir que todos los cuerpos se encuentran en reposo de acuerdo a ciertas condiciones.

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1 1 CONCEPTOS DE FISICA MECANICA Introducción La parte de la física mecánica se puede dividir en tras grandes ramas de acuerdo a lo que estudia cada una de ellas. Así, podemos clasificarlas según lo siguiente: ESTATICA estudia el equilibrio de los cuerpos, es decir que todos los cuerpos se encuentran en reposo de acuerdo a ciertas condiciones. CINEMATICA estudia el movimiento de los cuerpos sin importar la causa que lo produce, esto es, un cuerpo se mueve y entonces vemos que pasa de acuerdo a las características de ese movimiento. DINAMICA estudia el movimiento de los cuerpos y la causa que lo produce, esto significa que ahora el cuerpo se mueve y además conocemos la causa por la que se mueve. CINEMATICA Antes de comenzar con el estudio de esta parte de la física, debemos considerar que concepto tenemos de movimiento, esto es, cuando podemos aseverar que un objeto está o no en movimiento. Por ejemplo, si consideramos la calculadora sobre la mesa, podemos afirmar que efectivamente no se mueve? cuál sería la respuesta a la pregunta si se está moviendo? Podemos suponer que, por estar la calculadora en el planeta Tierra y estar éste moviéndose alrededor del Sol la calculadora efectivamente se está moviendo, pero con respecto a una cartuchera en la misma mesa, no lo hace. Cuántas veces hemos estado sentados sobre un vehículo, y notamos que cuando se mueve otro a la par nuestra y estando quietos nosotros, pareciera que somos nosotros los que nos movemos. Con este simple ejemplo podemos darnos cuenta que para saber si un objeto se encuentra o no en movimiento necesitamos establecer un patrón o punto de referencia y ver que ocurre con el objeto respecto de este punto. Entonces podemos afirmar que: UN OBJETO ESTA EN MOVIMIENTO SI CAMBIA DE POSICIÓN CON RESPECTO A UN PUNTO CONSIDERADO COMO FIJO O REFERENCIA. (relacionar con lo comentado anteriormente) prestar atención a que decimos CAMBIO DE POSICIÓN y no de distancia, pues, por ejemplo, si consideramos un caballito en una calesita, con respecto al centro de la misma el caballito siempre está a la misma distancia, pero no siempre en la misma posición a medida que está girando. Consecuentemente con ello, surge un nuevo concepto, el de TRAYECTORIA, que se define como la línea o vector que une el principio y el fin del movimiento. Cuidado que TRAYECTORIA y CAMINO RECORRIDO pueden o no coincidir pero NO SON LO MISMO. 1 1

2 2 Ejemplo: TRAYECTORIA CAMINO RECORRIDO La trayectoria es la línea llena, mientras el camino recorrido es la línea punteada. Insistimos, pueden o no coincidir pero no son lo mismo. Así, se distinguen en física tres tipos de trayectorias: RECTILÍNEA ES UNA LÍNEA RECTA (como la del ejemplo anterior) CIRCULAR calesita) ES UNA CIRCUNFERENCIA (como el ejemplo de la PARABOLICA ES UNA PARABOLA Además debemos considerar que existe un factor fundamental en nuestras vidas que lamentablemente no podemos manejar a nuestro antojo al menos en lo que respecta a su retroceso, que es el TIEMPO, por lo que este factor ha de ser el condicionante en todo lo que veremos de ahora en adelante. IMPORTANTE: NO EXISTEN TIEMPOS NEGATIVOS (PARA RECORDAR...) Teniendo en cuenta lo anterior, podemos distinguir ahora distintos tipos de movimientos. 2 2

3 3 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Como parte integrante de la física debemos considerar que este tipo de movimiento responde y cumple determinadas leyes siempre: 1- LA TRAYECTORIA ES UNA LINEA RECTA 2- LAS DISTANCIAS RECORRIDAS SON PROPORCIONALES A LOS TIEMPOS EMPLEADOS EN RECORRERLAS 3- LA VELOCIDAD ES CONSTANTE Apliquemos las leyes en la siguiente gráfica: 10 m 20 m 30 m 40 m x 1 x 2 x 3 x 4 t 1 t 2 t 3 t 4 1 seg 2 seg 3 seg 4 seg Observando la gráfica anterior, que describe cómo se ha ido moviendo un objeto indicando sus posiciones y los tiempos respectivos, vemos las aplicaciones de las leyes anteriores. A ver: La trayectoria es una línea recta En 1 segundo ha recorrido 10 m, a los 2 segundos ha recorrido 10 metros más, es decir un total de 20 m, así sucesivamente...es decir que, las distancias recorridas son proporcionales a los tiempos empleados en recorrerlas. Ahora bien, el cociente de las distancias y los tiempos SIEMPRE DA LO MISMO, es decir se mantiene CONSTANTE. A ese cociente de distancia y tiempo se lo llama VELOCIDAD, y se define como: VELOCIDAD = DISTANCIA TIEMPO Es decir que, entonces, la velocidad es la relación que existe entre una distancia recorrida y el tiempo utilizado para recorrerla. En fórmulas sería: V = x t si tomamos un intervalo de distancias, también tendremos un intervalo de tiempos, por lo tanto otra fórmula aplicable será: V = x f - x i t f - t i 3 3

4 4 Obviamente x f y x i representan las distancias final e inicial respectivamente, en forma similar ocurre con t f y t i. Las unidades de velocidad serán entonces una unidad de distancia sobre una unidad de tiempo. Así, por ejemplo, las unidades de velocidad podrán ser: m km cm m hm mm cm km seg hora seg min hora seg min min Entonces, qué significa que un objeto posea una velocidad de 30 m/seg? Qué en un segundo recorre 30 metros. Observemos que en la fórmula el tiempo se ha colocado en el denominador, principalmente por ser un factor preponderante para la física (recordemos que no puede retroceder...) Así, vemos que aunque transcurra el tiempo, si el objeto no modifica su posición no recorre ninguna distancia, por lo tanto, no se mueve, es decir que su velocidad es 0. Lás fórmulas derivadas son: x = v. t y t = x v IMPORTANTE: El movimiento rectilíneo uniforme es un movimiento IDEAL, no real, pues supone que la velocidad es constante, es decir que el objeto NUNCA SE DETIENE (de lo contrario la velocidad variaría, pues al detenerse sería 0). Ni siquiera la tierra mantiene una velocidad constante, pero el objeto del estudio de este movimiento es introducirnos en movimientos más complejos teniendo al menos un punto de partida. GRAFICOS DEL M.R.U. Ya vimos que contamos con tres parámetros principales en este tipo de movimiento que son: TIEMPO, DISTANCIA Y VELOCIDAD. De los tres, el que no manejamos como quisiéramos es el tiempo, por lo tanto es el que representaremos siempre en el eje de las x positivas, los demás los representaremos sobre el eje y. Por este motivo podremos tener dos tipos de gráficos en este movimiento: uno de distancia en función del tiempo y otro de velocidad en función del tiempo. Es decir, como varía la distancia a medida que varía el tiempo, y como lo hace la velocidad. En el primer caso, distancia tiempo, recordemos la segunda ley: LAS DISTANCIAS RECORRIDAS SON PROPORCIONALES A LOS TIEMPOS EMPLEADOS EN RECORRERLAS 4 4

5 5 Es decir que se trata de un función lineal, una recta. Por lo tanto, los gráficos podrán ser: x x 4 gráfica 1 x 3 x 2 x 1 t 1 t 2 t 3 t 4 t gráfica 2 Porqué dos gráficas? Analicemos la gráfica 1. Vemos que a medida que transcurre el tiempo, el objeto AUMENTA la distancia que recorre, es decir que a medida que el tiempo aumente también lo hace la distancia recorrida (recordemos que lo hacen en forma proporcional, es decir que a iguales incrementos de tiempo, iguales incrementos de distancia). Podríamos decir que el objeto se aleja del punto de partida tomando como referencia el inicio de los ejes cartesianos. En matemática se trata de un función creciente que tiene una pendiente positiva. En la gráfica 2 observamos que a medida que el tiempo transcurre el objeto se acerca al punto 0 del gráfico, es decir que se acerca a un punto determinado, viene acortando las distancias, e incluso traspasa el eje horizontal. Podríamos decir que el objeto se ACERCA al punto de referencia que es el inicio de los ejes cartesianos. Cuando traspasa el eje horizontal empieza a alejarse del punto de referencia, el tiempo sigue aumentando y ahora la distancia también lo hace. En matemática se trata de un función decreciente que tiene una pendiente negativa. Pero bien, EN AMBOS CASOS SE TRATA DE UNA RECTA, es decir una función lineal, con una pendiente o inclinación que bien puede calcularse matemáticamente. 5 5

6 6 Veamos ahora cómo referenciar más rápidamente esta situación. Si tomamos como referencia un intervalo de tiempo y otro de distancia tendremos un gráfico ampliado de la siguiente forma: x 2 x 2 - x 1 x 1 ángulo (pendiente) t 2 - t 1 t 1 t 2 Como vemos, tenemos dibujados incluso los segmentos de los lados del triángulo rectángulo formado por los puntos (x 1,y 1 ) y (x 2,y 2 ), y la pendiente o inclinación de la recta respecto de la horizontal. Si utilizamos la función tangente podemos relacionar ambos lados, por lo tanto podemos escribir: Tangente del ángulo = opuesto = x 2 - x 1 adyacente t 2 - t 1 es decir que la pendiente de la recta graficada es igual a una distancia x 2 - x 1 sobre un tiempo t 2 - t 1, lo que equivale a decir VELOCIDAD. Entonces: EN UN DIAGRAMA DE DISTANCIA EN FUNCION DEL TIEMPO PODEMOS OBTENER LA VELOCIDAD DEL MOVIMIENTO. Vimos que los gráficos podía adoptar dos formas, que la recta sube (la pendiente es positiva) o que la recta baje (la pendiente es negativa). SI LA VELOCIDAD ES POSITIVA IMPLICA QUE EL OBJETO SE ALEJA DEL PUNTO DE REFERENCIA. SI LA VELOCIDAD ES NEGATIVA IMPLICA QUE EL OBJETO SE ACERCA AL PUNTO DE REFERENCIA. IMPORTANTE: EN UN DIAGRAMA DE DISTANCIA EN FUNCIÓN DEL TIEMPO, x= f ( t ) PODEMOS CONOCER LA VELOCIDAD EN CADA TRAMO CONSIDERADO 6 6

7 7 Veamos ahora un diagrama de velocidad en función del tiempo. El gráfico correspondiente sería de la forma: V V 1 grafica 1 t 1 t 2 t 3 t 4 t V 2 gráfica 2 Obviamente la velocidad NO VARIA con el tiempo, por lo tanto se trata de una recta paralela al eje del tiempo, es decir que a medida que éste transcurre, la velocidad se mantiene constante. Como la velocidad puede ser negativa (recordar lo graficado anteriormente) podremos tener una velocidad positiva V 1 y/o una velocidad negativa V 2. En forma análoga a lo anterior tomemos una velocidad cualquiera y un intervalo de tiempo cualquiera. Por lo tanto, tendremos: V V t 1 t 2 t Nos queda un rectángulo sombreado del cual conocemos sus lados: el lado horizontal es t 2 t 1 y el lado vertical el valor de V. Si calculamos la superficie de ese rectángulo tenemos: Sup. = b. h = (t 2 t 1 ). V = t. V En definitiva tiempo por velocidad da como resultado distancia, por lo tanto: EN UN DIAGRAMA DE VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO, v= f( t ), PODEMOS OBTENER LA DISTANCIA RECORRIDA EN EL INTERVALO DE TIEMPO CONSIDERADO. 7 7

8 8 Conversión de unidad de velocidad Puede darse el caso de que conozcamos una velocidad en km/h pero como debemos trabajar siempre CON LAS MISMAS UNIDADES necesitemos pasar esa velocidad a m/s. Para ello usamos el razonamiento que sigue: Pasar 90 km/h a m/s debemos hacer que en lugar de km aparezcan m y en lugar de horas aparezca segundos, por lo tanto usamos los equivalentes en cada caso de km y m, y horas y segundos, multiplicando para no afectar la igualdad por dichos equivalentes de la forma que sigue: 90 km. 1 hora m = 25 m h 3600 seg 1 km s De esta forma pueden simplificarse unidades quedando aquellas que necesitamos después de la conversión. Si tuviésemos el paso inverso, es decir pasar de m/s a km/h tendríamos: Pasar 16 m/s a km/h 16 m seg. 1 km = 57,6 km s 1 h 1000 m h Ahora veremos otro tipo de movimiento. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Al igual que el anterior cumple siempre las siguientes leyes: 1- LA TRAYECTORIA ES UNA LINEA RECTA 2- LAS DISTANCIAS RECORRIDAS SON PROPORCIONALES AL CUADRADO DE LOS TIEMPOS EMPLEADOS EN RECORRERLAS (esto significa que a mayor tiempo mucha mayor distancia recorrida) 3- LAS VARIACIONES DE VELOCIDAD SON PROPORCIONALES AL TIEMPO 4- LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE Dijimos que el MRU era un movimiento ideal pues es muy complicado mantener por siempre una velocidad constante. La velocidad varía, y ello conlleva a pensar en otro tipo de movimiento, que es el que consideraremos ahora. 8 8

9 9 Haremos un razonamiento similar al caso anterior. Apliquemos las leyes en la siguiente gráfica: x1=10 m x2=20 m x3=45 m x4=80 m v 1 =10 m/s v 2 =20 m/s v 3 =30 m/s v 4 =40 m/s t 1 t 2 t 3 t 4 1 seg 2 seg 3 seg 4 seg Observamos que las variaciones de velocidad son proporcionales con el tiempo, es decir que, a iguales tiempos corresponden iguales variaciones de velocidad (en el gráfico cada 1 segundo la velocidad aumenta 10 m/s), mientras que las distancias aumentan mucho más cada vez que aumenta el tiempo. De acuerdo a la tercera ley, las variaciones de velocidad son proporcionales al tiempo, por lo tanto dichas variaciones se mantienen constantes. A ver: v 1 = v 2 = v 3 = v 4 = constante t 1 t 2 t 3 t 4 a esa VARIACION DE VELOCIDAD constante se la llama ACELERACION. Por lo tanto: En símbolos será: ACELERACIÓN = VARIACIÓN DE VELOCIDAD VARIACIÓN DE TIEMPO a = V f - V i t f - t i Las unidades de aceleración, por lo tanto, serán una unidad de velocidad sobre una unidad de tiempo, es decir por ejemplo: m : seg = m seg seg 2 O sea que en definitiva será una unidad de distancia sobre una unidad cuadrada de tiempo (lo que cumple con la segunda ley enunciada). 9 9

10 10 Así tendremos entonces las siguientes unidades, entre otras: m km cm m hm mm cm km s 2 h 2 s 2 min 2 h 2 s 2 min 2 min 2 Si consideramos que siempre t 2 t 1 será un intervalo de tiempo entre un estado inicial y otro final, tenemos la siguiente fórmula reducida: a = V f - V i t V f 2 V i 2 = 2. a. x de la cual, por simples despejes salen otras derivadas: V f = V i + a. t V i = V f - a. t t = V f - V i a La distancia que va recorriendo el objeto en este movimiento está dada por la ecuación: x = x i + V i. t + ½. a. t 2 Obsérvese que si la velocidad no varía no existe aceleración, por lo tanto a=0, y vemos en la tercera parte de la fórmula anterior que obviamente la distancia se calcula igual que en el MRU. El término x i de la fórmula indica alguna distancia inicial si la hubiere, es decir si ya ha estado marchando o no. Ahora bien, como la velocidad varía, podemos considerar dos situaciones: 1- QUE LA VELOCIDAD INICIAL SEA MENOR QUE LA VELOCIDAD FINAL, es decir que la velocidad AUMENTO, o 2- QUE LAS VELOCIDAD INICIAL SEA MAYOR QUE LA VELOCIDAD FINAL, es decir que la velocidad disminuyó. En símbolos: V i menor V f V i mayor V f VELOCIDAD AUMENTO VELOCIDAD DISMINUYO Si observamos la fórmula de aceleración, veremos que estas dos cuestiones inciden DIRECTAMENTE en la parte superior de la misma

11 11 Si ocurre la primer situación LA VELOCIDAD RESULTANTE de la cuenta será POSITIVA. Si ocurre la segunda situación LA VELOCIDAD RESULTANTE de la cuenta será NEGATIVA. Si tenemos en cuenta, como dijimos anteriormente, que el TIEMPO NUNCA SERA NEGATIVO, entonces nos encontramos con esta nueva situación: V i menor V f VELOCIDAD AUMENTO ACELERACION POSITIVA V i mayor V f VELOCIDAD DISMINUYO ACELERACIÓN NEGATIVA O sea que: Si la aceleración es negativa, la velocidad disminuyó, mientras que si la aceleración es positiva, la velocidad aumentó. Ahora bien, qué significa entonces una a= + 3 m/s 2? Que la velocidad aumenta 3 m/s cada segundo que trasncurre. Esto es muy importante, porque si alguien nos indica que está variando su velocidad, nos dice que tiene aceleración. En el caso de que la aceleración sea positiva se dice que el movimiento es ACELERADO. En el caso de que la aceleración sea negativa se dice que el movimiento es DESACELERADO o RETARDADO. El signo de la aceleración es IMPORTANTE TENERLO EN CUENTA EN TODAS LAS FÓRMULAS DONDE ELLA APARECE. El MRUV es un movimiento real. Si un objeto arranca desde el reposo, su velocidad inicial será 0 e irá incrementado su velocidad de acuerdo a la aceleración que posea, mientras que si un objeto se encuentra en movimiento y se detiene, la velocidad final al detenerse será 0 mientras que la velocidad inicial será la que poseía al momento en que comenzó a frenarse. En este caso pueden combinarse los dos movimientos, es decir que un objeto puede arrancar desde el reposo, y luego de un determinado tiempo mantener una velocidad constante por algún tiempo, para luego volver a acelerar o frenar. Resulta MUY IMPORTANTE conocer que tipo de movimiento realiza el objeto para aplicar las ecuaciones correspondientes, para ello, es necesario tener en claro los conceptos vistos anteriormente

12 12 GRAFICOS DEL MRUV En este caso tenemos cuatro variables: distancia, velocidad, aceleración y tiempo. Ello implica que entonces tendremos tres gráficas, considerando como siempre al tiempo como el elemento que marca el camino. Las gráficas serán: distancia en función del tiempo, x= f( t ) velocidad en función del tiempo, v= f( t ) aceleración en función del tiempo, a= f( t ) Veamos la primera de ellas. X x3 x2 x1 t1 t2 t3 t Si nos detenemos a observar la fórmula de la distancia: x = x i + V i. t + ½. a. t 2 veremos la analogía de la misma con respecto a la fórmula de la función cuadrática: y = ax 2 + bx + c donde queda en evidencia que: 1- la x de la función sería el t de la fórmula de distancia 2- el término a de la función equivale a ½. a de la fórmula 3- el término b de la función equivale a V i de la fórmula 4- el término c de la función equivale a x i de la fórmula Resulta obvio entonces que el gráfico de distancia en función del tiempo de cómo curva una parábola, similar a la de la figura, que apoya en un todo lo indicado en la segunda ley del movimiento

13 13 En el caso de la velocidad, sabemos que la misma varía proporcionalmente con el tiempo, por lo tanto la gráfica será: Vi V gráfica 1 gráfica 2 t 1 t 2 t 3 t 4 t En el caso de la gráfica 1 observamos que la recta sube, es decir que a medida que aumenta el tiempo también lo hace la velocidad. Como el vector inicia desde el punto de origen del sistema cartesiano, podemos decir que su velocidad inicial ha sido 0, es decir que ha partido del reposo. En este caso, obviamente, la aceleración ha de ser positiva. En el caso de la gráfica 2 se ve que la velocidad disminuye a media que transcurre el tiempo, ha comenzado a disminuir a partir de una velocidad inicial determinada e incluso en el instante t 4 ha llegado a 0, es decir que se ha detenido, entonces la aceleración ha sido negativa, por lo tanto la recta baja. Veamos en detalle una de estas situaciones teniendo en cuenta que se cumple para ambos casos. V v 2 v 1 t 2 t 1 v 2 v 1 ángulo(pendiente de la recta) t 1 t 2 t En forma análoga a lo visto en el movimiento anterior hemos indicado los lados del triángulo formado por los puntos coordenados de velocidad y tiempo. Así, si calculamos la pendiente de la recta, es decir la tangente del ángulo considerado en base a los datos del gráfico, tenemos: Tang. del ángulo = opuesto = V 2 - V 1 = velocidad = aceleración 13 13

14 14 adyacente t 2 - t 1 tiempo Es decir que, en un diagrama de velocidad en función del tiempo, v=f( t ) podemos obtener la aceleración que posee el cuerpo si utilizamos correctamente los datos que nos proporciona el gráfico. Por último, nos queda el diagrama de aceleración en función del tiempo, que al ser la misma constante, resulta de la siguiente forma: a gráfico 1 t 1 t 2 t 3 t 4 t gráfico 2 El gráfico 1 refiera a una aceleración positiva, mientras el gráfico 2 refiere a una aceleración negativa. En forma análoga a lo visto anteriormente podemos hacer: a a t 1 t 2 t Superf. = b. h = (t 2 t 1 ). a = velocidad Por lo que en un diagrama de aceleración en función del tiempo, a=f( t ) podemos obtener la velocidad final de un tramo determinado. OTROS TIPOS DE MOVIMIENTOS Un movimiento característico y conocido es la caída de los cuerpos

15 15 Si un objeto que se encuentra a determinado altura es soltado de su amarra, se dirige en su caída directamente hacia la tierra (excepto casos de globos aerostáticos o similares que son objeto de estudio de otra parte de la física...) Este movimiento recibe el nombre de CAIDA LIBRE y tiene las siguientes características: CAIDA LIBRE objeto h - altura a la que se encuentra piso nivel de referencia Si el objeto se encuentra a una altura determinada en reposo, es evidente que su velocidad inicial ha de ser 0, y una vez que empiece su caída irá aumentando su velocidad hasta que, en un instante muy pero muy pequeño antes de llegar al piso la velocidad será máxima. Por lo tanto, se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente variado del tipo acelerado, es decir que su aceleración es positiva. El cuerpo cae hacia la tierra en virtud de la atracción que ésta ejerce gracias a una fuerza que más adelante estudiaremos. Al caer, la velocidad varía uniformemente en forma aproximada 9,81 m/s cada segundo que trasncurre, por lo que resulta una aceleración de 9,81 m/s 2. Esta aceleración se denomina aceleración de la fuerza de gravedad terrestre, y simplificadamente se expresa como: g = 9,81 m/s 2 TODOS LOS CUERPOS QUE CAEN LIBREMENTE LO HACEN CON ESTA ACELERACION Por lo tanto, las ecuaciones de este movimiento corresponden a las vistas anteriormente para el MRUV acelerado, con la ventaja que conocemos de antemano la aceleración y que, normalmente por dejarse caer, la velocidad inicial del objeto es 0. Es muy importante, como mencionamos al principio del estudio de los movimientos, tener en claro cuál es nuestro punto de referencia inicial, es decir adonde nos paramos para estudiar el movimiento, que en este caso, lo situaremos al lado del objeto, por lo tanto, a medida que transcurra el tiempo el mismo se irá alejando de nosotros con una aceleración de la gravedad positiva. Además reemplazaremos la x de distancia por la letra h para significar la altura que va recorriendo el objeto

16 16 Entonces, las ecuaciones que tenemos serán: (recordar lo mencionado anteriormente, pues por ejemplo la Vi figurará pero generalmente ha de ser 0...) V f = g. t t = V f h = ½. g. t 2 g t = 2. h g h = V f 2 2. g V f 2 = 2. g. h Los gráficos de este movimiento han de ser los mismos que para MRUV. TIRO VERTICAL En este caso se trata de arrojar hacia arriba en forma vertical un objeto. Es evidente que, para que ello suceda, debe existir si o si una velocidad inicial. También es observable que, a medida que el objeto asciende verticalmente, cuando llega al punto de máxima altura, en ese mismo instante, su velocidad final es igual a 0, por lo tanto se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente variado desacelerado. La aceleración negativa es la misma que en el caso anterior, es decir 9,81 m/s 2, pues la fuerza de atracción de la tierra siempre es la misma. Las ecuaciones de este movimiento entonces responden a las características del movimiento antes mencionado. Por lo tanto: Siendo la velocidad final igual a 0 cuando alcanza la altura máxima, podemos calcular cuanto tarda en llegar a esa altura conociendo la velocidad inicial con la que fue lanzado. De la fórmula V f = V i g. t Tenemos que al ser V f =0 Entonces 0 = V i g. t 16 16

17 17 Por lo tanto t = V i g Usando el mismo razonamiento, si conocemos cuanto tiempo tardó en llegar a la máxima altura podemos calcular con que velocidad inicial fue lanzado. V i = g. t La distancia (altura) que el objeto irá recorriendo la podremos obtener con la ecuación: h = V i. t ½. g. t 2 Si reemplazamos en esta fórmula el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima conociendo la velocidad inicial que obtuvimos en los pasos anteriores, tendremos la ecuación de altura máxima en el caso de que conozcamos la velocidad inicial. Haciendo el reemplazo de t = V i g en la ecuación h = V i. t ½. g. t 2 2 tenemos h = V i. V i ½. g. V i g g 2 simplificando y operando h = V 2 2 i ½. V i g g de donde h max = Vi 2 2. g que también permite obtener la velocidad inicial con que fue lanzado conociendo la altura máxima a la que llegó. V i = 2 h max g 17 17

18 18 Utilizando el mismo tipo de razonamiento podemos reemplazar en la fórmula de altura la velocidad inicial, obteniendo entonces: h = g. t. t ½. g. t 2 resolviendo h = g i. t 2 ½. g. t 2 quedando por lo tanto una ecuación de la altura en función del tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima: h max = ½. g. t 2 y despejando el tiempo tenemos: t = 2. h max g IMPORTANTE. UN CUERPO TARDA EN SUBIR EL MISMO TIEMPO QUE EN BAJAR DADO QUE LA ACELERACIÓN AN AMBOS CASOS ES LA MISMA Hasta aquí hemos visto los movimientos rectilíneos de la física