MATEMATICA III Carácter: Obligatoria

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1 UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO DECANATO DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA III Carácter: Obligatoria PROGRAMA: Ingeniería Civil DEPARTAMENTO: Ciencias Básicas CODIGO SEMESTRE DE CREDITO HT HP HS UCS THS/SEM PRE- REQUISITO III Ciclo-básico PROFESOR(ES): Lic. Fidel Angudo Orta Ing. Mario Sánchez SELLO Y FIRMA AUTORIZADA Página 1 de 11

2 INTRODUCCIÓN La Carrera de Ingeniería Civil exige que sus estudiantes dispongan tanto de las herramientas básicas necesarias como la capacidad de razonamiento fundamental que le permitan entender los principios por los cuales se rigen las asignaturas profesionales. Con este programa se pretenden ampliar los conocimientos, que sobre cálculo diferencial e integral para funciones de una variable poseen los estudiantes, a funciones de dos o más variables. De esta manera los estudiantes podrán apreciar y analizar grafica y analíticamente sólidos; lo cual les va a proporcionar una valiosa información. Cada tema será enfocado destacando el aspecto grafico, sin descuidar en ningún momento el rigor matemático necesario. Además, se incluye una unidad sobre series, debido de la importancia del mismo en cálculo numérico, solución a ecuaciones diferenciales ordinarias y otros tópicos propios del campo de la Ingeniería. OBJETIVOS GENERALES 1.- Lograr que el estudiantes, mediante una ejercitación adecuada, amplié su campo de conocimiento de dos a tres dimensiones..- Dotar al estudiante de una serie de conocimientos fundamentales que le servirán como instrumento para la solución de los diversos problemas que se le puedan presentar en su carrera Página de 11

3 I Coordenadas Polares Al finalizar la unidad debe ser capaz de: Dada una pareja (r, 0) ubicar el punto correspondiente en un plano polar. Dado un punto en coordenadas polares determinar coordenadas cartesianas del punto y viceversa. EVALUACION Dada una ecuación polar de la forma r=f (0) graficarla en el plano polar. Identificar las curvas polares notables a partir de la 5% característica de una ecuación dada. Determinar todos los puntos de intersección entre dos gráficos en coordenadas polares. El sistema coordenado polar. El plano polar. Ubicación de un punto en coordenados polares. Equivalencia entre los sistemas polar y cartesiano. Grafica de ecuaciones en coordenadas polares. Aspectos a considerar en a grafica: o Intersección con los ejes. o Simetrías. o Extensión o Rectas tangentes en el polo o Tablas de valores o Trazado de la curva o Ecuación equivalente en coordenadas cartesianas Curvas polares notables: tabla. Intersección de graficas en coordenadas polares Leithold, Lois. El calculo con geometría analítica. Edit. Harper y Row Latinoamericano, ª Ayres, Frank. Calculo Diferencial e Integral. Colección Schaum. Mc Graw Hill. Panamá Página 3 de 11

4 I Formas indeterminadas integrales impropias EVALUACION 5% (Evaluación) Describir analíticamente una región en el plano polar. Calcular el área de una región plana en coordenadas polares. Calcular, utilizando el teorema de L`Hopital, el límite de una función que presenta una forma indeterminada. Determinar si una integral impropia es convergente o divergente. Calcular áreas planas y volúmenes de sólidos utilizando integrantes impropias. Regiones cerrada y abierta en el plano polar. Ubicación de un punto en una región polar utilizando desigualdades. Área de coordenadas polares utilizando la integral definida Ejercitación: o Formas indeterminadas 0 e o La regla de L`Hopital o Formas indeterminadas de funciones exponenciales: 1ºº, ºº. 0. o Formas indeterminadas: ºº x o e ºº-ºº. Integral impropia con límites infinitos. Integrales impropias con puntos de discontinuidad en el intervalo. La integral impropia como área y como volumen. 4 Leithold, Lois. El calculo con geometría analítica. Edit. Harper y Row Latinoamericano, ª Spiegel, Murray R. Calculo Superior Página 4 de 11

5 II Grafica R 3 funciones de varias variables EVALUACION 5% Al finalizar la unidad el alumno será capaz de: Graficar superficies en R 3. Reconocer si una superficie es un cilindro o una cuadrica. graficar cilindros y cuadricas dada una relación entre n+1 variables reconocer si es una función. determinar dominio y rango de funciones de o 3 variables independientes. graficar una función de o 3 variables independientes. graficar una función de o 3 variables independientes a base de sus curvas o superficies a base de sus curvas o superficies de nivel. El espacio R 3. Sistema cartesiano. Puntos en R 3. Superficies: Definición. Grafica. Superficies cilíndricas y cuadráticas. Intercepciones. Trazas. Simetría. Secciones planas transversales. Función de n variables independientes. Funciones f: R R y f: R 3 R. Dominio y rango de F: R R y f: R 3 R Grafica del dominio Representación gráfica de una función Curva de nivel de una función de variables independientes. Superficies de nivel de una función de 3 variables independientes. Interpretaciones geométricas y física de un mapa de curvas o superficies de nivel. Leithold, Lois. El calculo con geometría analítica. Edit. Harper y Row Latinoamericano, ª Página 5 de 11

6 II Funciones de varias variables Interpretar geométricamente la definición de límite de una derivadas parciales función de o 3 variables independientes. Dada una función, demostrar que su límite es un valor dado, utilizando la definición. Dada una función y un punto de su dominio determinar si EVALUACION el límite existe. Dada una función de o 3 variables y una región de su 5% dominio, determinar si es continua sobre la región. Dada una función de o 3 variables y una región de su dominio, determinar si es continua sobre la región. Limite de una función de varias variables: Definición. Interpretación grafica Interpretación analítica de la definición de límite. Punto de acumulación de un conjunto. Limite a lo largo de una trayectoria. Condición de unicidad. Continuidad: definición de continuidad en un punto. Continuidad esencial y removible. Álgebra de funciones continúas. Continuidad de funciones polinominales y racionales. Composición de funciones. Limite de la función compuesta. Continuidad de una región. Definición Leithold, Lois. El calculo con geometría analítica. Edit. Harper y Row Latinoamericano, ª Página 6 de 11

7 II Derivadas parciales diferencial total EVALUACION 5% Dada una función f: R n R, calcular sus derivadas parciales en un punto de su dominio si existen. Dada una función f: R R y un punto de su dominio, interpretar geométricamente sus derivadas parciales en ese punto, si existen. Dada f: R R o f: R 3 R, determinar si F es diferenciable en un punto. Aplicar la diferencial total en la solución de problemas físicos y geométricos. Aplicar las técnicas usuales de derivación parcial en función de varia variables. Dada una función f: R R o f: R 3 R, interpretar geométrica y físicamente la derivada de la función en cualquier dirección. Derivadas parciales de f: R n R. Derivadas parciales de f: R R. Definición, pendiente de la recta tangente a la superficie en un punto de ella. Incremento. Función diferenciable en un punto. Diferenciabilidad en un punto. Condición necesaria y suficiente de Diferenciabilidad en un punto. Aplicar la diferencial total en la solución de problemas físicos y geométricos. La regla de la cadena. Derivación implícita. Derivada parciales de orden superior al primero. La derivada parcial como derivada según una dirección. Definición, interpretación geométrica. Aplicaciones físicas. Leithold, Lois. El calculo con geometría analítica. Edit. Harper y Row Latinoamericano, ª Página 7 de 11

8 II Derivadas Direccionales Interpretar el vector gradiente a una superficie en un punto. Determinar si un vector es gradiente de una función f: DE EVALUACION R R o f: R 3 R. 5% (Evaluación) Vector gradiente: definición para F: R R y F: R 3. Derivada direccional y gradiente. Aplicaciones: plano tangente y recta normal a una superficie. Condición necesaria y suficiente para que un vector dado sea gradiente. Leithold, Lois. El calculo con geometría analítica. Edit. Harper y Row Latinoamericano, ª Página 8 de 11

9 Integral doble. Sólido en R3. Al finalizar la unidad el estudiante será capaz de: III Dibujar sólido limitados por superficie integral triple Interpretar geométricamente la integral de f : R R. Calcular integrales doble Aplicar la integral doble a problemas geométricos Interpretar geométricamente la integral triple DE EVALUACION Calcular integrales triple Aplicar la integral triple a problemas geométricos 5% (Evaluación) Simplificar el cálculo de una integral múltiple mediante un cambio de variables. Dibujo de sólidos. Puntos y curvas de intersección entre superficies. Sólidos acotados por o mas superficie La integral doble: definición. La integral doble como volumen. Propiedades. La integral doble iterada. Inversión del orden de integración. Calculo de volúmenes, áreas de superficies por integrales dobles. La integral doble de coordenadas polares. La integral triple. Definición. La integral triple como volumen. Propiedades. La integral triple iterada. Inversión del orden de integración. Calculo de volúmenes por integrales triples. Transformación de coordenadas. Jacobiano de una transformación. Cambio de variables en integrales dobles. Cambio de variables en unja integral triple. Coordenadas cilíndricas y esféricas. 6 Leithold, Lois. El calculo con geometría analítica. Edit. Harper y Row Latinoamericano, ª Página 9 de 11

10 IV Series sucesiones Al finalizar la unidad el alumno será capaz de: Determinar si una sucesión converge o diverge Dada una serie infinita de números reales, calcular su suma si existe. DE EVALUACION Dada una serie, distinguir si es geométrica, hiperarmònica o telescópica. Dada una serie de terminas positivos, determinar si converge o diverge utilizando los criterios respectivos. 5% Dada una serie reconocer si es altamente. Dada una serie altamente, determinar su convergencia. Determinar si una serie es absolutamente convergente o condicionalmente convergente. Sucesión infinita de números reales: definición. Limite. Sucesión convergente. Sucesión divergente. Sucesiones monótonas y acotadas. Condición necesaria y suficiente para convergencia de sucesiones. Serie infinita de número reales: definición. Sucesión de sumas parciales asociadas a la serie. Serie convergente. Serie divergente. Teorema propiedades. Series notables: series geométricas, armónicas y telescópicas. Convergencia. Serie de término positivos: definición. Teoremas. Criterios de comparación por límites. Criterio de la integral. Series alternantes: definición. Criterio de convergencia para series alternantes Convergencia absoluta y convergencia condicional. Teoremas. Criterios de la razón 4 4 Leithold, Lois. El calculo con geometría analítica. Edit. Harper y Row Latinoamericano, ª Página 10 de 11

11 IV Series Sucesiones Determinar el Intervalo de Convergencia de una serie de potencias. Representar funciones como desarrollos en serie de DE EVALUACION potencias. 5% (Evaluación) Serie de potencias: definición. Radio. Convergencia. Intervalo de convergencia. 4 Teoremas. Representación de funciones sencillas por series de potencias. Derivación e integración 6 de series de potencias. Desarrollo en serie de Taylor y de Mac-Laurin Leithold, Lois. El calculo con geometría analítica. Edit. Harper y Row Latinoamericano, ª Página 11 de 11