Los objetivos del aprendizaje de esta unidad temática son los siguientes:

Transcripción

1 Probabilidad - Introducción Introducción. Tema 1. Análisis de datos univariantes. Tema 2. Análisis de datos bivariantes. Tema 3. Correlación y regresión. Tema 4. Series temporales y números índice. Descripción de variables y datos socioeconómicos 1 Tema 5. Probabilidad. Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales. Tema 7. Modelos probabilísticos discretos. Tema 8. Modelos probabilísticos continuos. Tema 9. Variables aleatorias multidimensionales. Modelización de la incertidumbre en las variables socieconómicas Los objetivos del aprendizaje de esta unidad temática son los siguientes: Entender los conceptos básicos de suceso, espacio muestral, independencia, etcétera. Calcular probabilidades utilizando las reglas elementales y resultados teóricos simples de la probabilidad. Conocer los siguientes modelos probabiĺısticos discretos: Bernoulli, binomial, geométrico y Poisson. Conocer los siguientes modelos probabiĺısticos continuos: Exponencial, uniforme, y normal.

2 2 Tema 5. Probabilidad Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes: Experimentos aleatorios. El espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva. Propiedades de la probabilidad. La regla de multiplicación. Independencia. La ley de la probabilidad total. El teorema de Bayes. Lecturas recomendadas: Capítulos 13 y 14 del libro de Peña y Romo (1997) y el Capítulo 3 de Newbold (2001).

3 Probabilidad - Introducción 3 Habitualmente usamos frases como: Es probable que el equipo de Getafe juegue la UEFA el año próximo. Se espera que la inflación no alcance el 3 %. El recién constituido partido Vientos del Pueblo espera obtener tres escaños en las próximas elecciones municipales. Todas estas frases, contienen un sentido de incertidumbre sobre sucesos cuyos resultados finales no pueden predecirse exactamente. De estos sucesos conocemos todos los resultados posibles y algunos resultados nos parece que son más probables que otros. En este tema estudiaremos como formalizar la idea de suceso aleatorio y de probabilidad.

4 Probabilidad - Conceptos básicos 4 En primer lugar, definimos el concepto de un experimento aleatorio y sus posibles resultados. Definición 1. Un experimento aleatorio es el proceso de observar un fenómeno cuyos posibles resultados son inciertos. Se supone que se saben todos los posibles resultados del experimento de antemano y que se puede repetir el experimento en condiciones idénticas. Ejemplo 1. Lanzar una moneda y observar si sale cara o cruz. Ejemplo 2. Los resultados de los partidos de football de la próxima jornada. Ejemplo 3. Los resultados de las próximas elecciones municipales. Ejemplo 4. Los valores, al final del año, de la inflación, la tasa de paro, etcétera. No son experimentos puesto que no se pueden repetir en condiciones idénticas. Pero es una simplificación que se utiliza frecuentemente.

5 Probabilidad - Conceptos básicos 5 Definición 2. El espacio muestral, que denotamos por Ω, es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento. Ejemplo 5. Si el experimento es lanzar la moneda una vez, el espacio muestral es Ω = {C, X} donde C denota cara y X denota cruz. Si el experimento es lanzar la moneda dos veces, el espacio muestral es Ω = {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)} donde, por ejemplo, (C, X) es el suceso de que la primera tirada sea cara y la segunda cruz. Definición 3. Los posibles resultados del experimento o componentes del espacio muestral, que denotaremos por e i, se llaman sucesos elementales y Ω = {e 1,..., e k }. Ejemplo 6. En el caso de lanzar la moneda dos veces, los sucesos elementales son e 1 = (C, C), e 2 = (C, X), e 3 = (X, C) y e 4 = (X, X).

6 Probabilidad - Conceptos básicos 6 Definición 4. Un suceso es un conjunto de sucesos elementales. Ejemplo 7. En el caso de lanzar la moneda dos veces, el suceso A = sale exactamente una cara es A = {(C, X), (X, C)}. El suceso B = la primera tirada es cara es B = {(C, C), (C, X)}. Dos sucesos importantes son: El suceso seguro = Ω, es decir, todo el espacio muestral. El suceso imposible =, es decir, el conjunto vacío. Definición 5. Para cada suceso A, se define el suceso complementario o contrario a A como Ā = Ω \ A = {e i : e i / A}. Ω = A Ā y A Ā =.

7 Probabilidad - Conceptos básicos 7 Ejemplo 7. En el caso de lanzar la moneda dos veces: A = {(C, X), (X, C)} B = {(C, C), (C, X)} Ā = {(C, C), (X, X)} B = {(X, C), (X, X)} Definición 6. Para dos sucesos, A y B, se define el suceso A y B como el conjunto de sucesos elementales contenidos en A y en B, es decir, A y B = A B. Si ocurre el suceso A y B, sabemos que se han ocurrido ambos sucesos. Dos sucesos A y B que no pueden ocurrir a la vez (A B = ) se llaman sucesos incompatibles. Dos sucesos incompatibles no comparten sucesos elementales.

8 Probabilidad - Conceptos básicos 8 Definición 7. Para dos sucesos, A y B, se define el suceso A o B como el conjunto de sucesos elementales contenidos en A o en B, es decir, A o B = A B. Si ocurre el suceso A o B, sabemos que ha ocurrido al menos uno de dos sucesos. Ejemplo 7. En el caso de lanzar la moneda dos veces: A y B = {(C, X)} A y B son sucesos incompatibles? A o B = {(C, C), (C, X), (X, C)} Con este experimento, defina un suceso (no trivial) que sea incompatible con el suceso A y B. Múltiples soluciones

9 Diagramas de Venn Una manera visual Diagramas de ver de Venn los distíntos sucesos es a través del diagrama de Venn. 9 Ω A B Podemos representar a A y B, A o B y al suceso complementario.

10 2 Diagramas de Venn Ā 10 Ω Ω A A y B Ā Ω Cómo podemos representar dos sucesos incompatibles?

11 11 Tema 5. Probabilidad Experimentos aleatorios. El espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva. Propiedades de la probabilidad. La regla de multiplicación. Independencia. La ley de la probabilidad total. El teorema de Bayes.

12 Interpretaciones de la probabilidad 12 Interpretación clásica de la probabilidad: En algunas situaciones, la definición del experimento asegura que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir. En este caso, se dice que el espacio muestral es equiprobable. Si el espacio muestral es equiprobable y contiene k sucesos elementales, Ω = {e 1,..., e k } luego se tiene Pr(e i ) = 1 k para i = 1, 2,..., k. Para cualquier suceso A entonces, la probabilidad de A es Pr(A) = 1 k número de sucesos elementales en A.

13 Ejemplo 7. Supongamos que se lanza una moneda equilibrada dos veces. Luego hay cuatro sucesos elementales, (C, C), (C, X), (X, C), (X, X) y cada uno tiene probabilidad igual a La probabilidad de observar exactamente una cara (suceso A) es Pr(A) = Pr({(C, X), (X, C)}) = = 1 2 La probabilidad de que la primera tirada sea cara (suceso B) es Pr(B) = 2 4 = 1 2.

14 Interpretaciones de la probabilidad 14 Interpretación frecuentista de la probabilidad: Ejemplo 8. Definimos el experimento de tirar una moneda una vez. Repetimos el experimento un número n de veces y calculamos las frecuencias relativos de cada suceso elemental. Excel f 1 n = 1 f n = 10 1,5,5 0 f 1 C 0 X C X f n = n = 1000,5,5 0 C X 0 C X

15 Interpretaciones de la probabilidad 15 Interpretación frecuentista de la probabilidad: En el ejemplo, se ve que las frecuencias relativas se acercan a un ĺımite cuando se repite el experimento muchas de veces. El valor ĺımite de la frecuencia es la probabilidad del suceso. Para un suceso A se escribe Pr(A) para representar su probabilidad. Utilizando las propiedades de frecuencias se puede deducir las siguientes propiedades básicas de las probabilidades: Para cualquier suceso A, 0 Pr(A) 1. Pr(A) = i:e i A Pr(e i) Pr(Ω) = 1 Si A y B son sucesos incompatibles (es decir que A y B = φ) entonces Pr(A o B) = Pr(A) + Pr(B).

16 16 De estas tres propiedades, se deduce que si Ā es el suceso complementario a A, Pr(Ā) = 1 Pr(A) Como consecuencia y dado que = Ω, tenemos que Pr( ) = 0, es decir que el suceso imposible es improbable. Ejemplo 9. Supongamos que un experimento tiene 4 sucesos elementales, e 1, e 2, e 3, e 4 y que Pr(e 1 ) = 0,2 Pr(e 2 ) = 0,3 Pr(e 3 ) = 0,4 1. Cuál es Pr(e 4 )? 2. Si A = e 1 o e 2, hallar Pr(A) y Pr(Ā). 3. Si B = e 3, hallar Pr( B) 4. Calcular Pr(A o B).

17 Interpretaciones de la probabilidad 17 Interpretación subjetiva de la probabilidad: Se han visto anteriormente dos ideas para definir probabilidades: frecuencias relativas y espacios equiprobables. Existe otro enfoque completamente distinto que define la probabilidad como una medida subjetiva de incertidumbre sobre la aparición de un suceso. Así nuestras probabilidades para algún suceso pueden ser distintas, ya que tenemos diferentes cantidades de información. Cuál es la probabilidad de las interpretaciones de la probabilidad salgan en el examen de junio? En este caso, se pueden definir probabilidades para experimentos irrepetibles.

18 18 Tema 5. Probabilidad Experimentos aleatorios. El espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva. Propiedades de la probabilidad. La regla de multiplicación. Independencia. La ley de la probabilidad total. El teorema de Bayes.

19 La probabilidad P (A o B) Propiedades de la probabilidad Si A y B son sucesos incompatibles, tenemos La probabilidad de A o B: el siguiente diagrama de Venn. Si A y B son sucesos incompatibles, tenemos el siguiente diagrama de Venn: 19 Ω A B El área de A o B es igual a la suma de las dos áreas. Entonces, interpretando probabilidad como área, concluimos que La área en A o B es igual a la suma de las dos áreas. Pr(A Entonces, o B) = Pr(A) interpretando + Pr(B). probabilidad como área, concluimos que P (A o B) = P (A) + P (B).

20 Diagramas de Venn Propiedades de la probabilidad Una manera visual de ver los distíntos sucesos es a través del diagrama de Venn. En el caso más general, tenemos el siguiente diagrama Venn: 20 Ω A B El área de A o B es igual a el área de A más el área de B menos el área de A y B. Entonces, tenemos la ley de adición: Pr(A o B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A y B) 229

21 Ejemplo 10. En una ciudad hay 15 empresas constructoras. De ellas, 6 no cumplen las reglas de contratación y 8 no cumplen los requisitos de seguridad en el trabajo. 5 empresas no cumplen ni los requisitos de seguridad ni las reglas de contratación. Si se elige al azar una empresa para inspeccionar, cuál es la probabilidad de que cumpla ambos reglamentos? Sea A el suceso la empresa cumple las reglas sanitarias y B la empresa cumple los requisitos de seguridad. Pr(A y B) Si elegimos una empresa al azar, tenemos: Pr(Ā) = Pr( B) = 8 15 Pr(Ā y B) = 5 15

22 Deducimos que Pr(A) = 1 Pr(Ā) = 9 15 y también que Pr(B) = 1 Pr( B) = Ω 22 A o B Ā y B Del diagrama deducimos que (A o B) (Ā y B) = Ω y que son incompatibles, por tanto: Observamos que (A o B) (Ā y B) = Ω y también los dos sucesos son incompatibles. y B) = Pr(A o B) = 1 Pr(Ā Luego Y si utilizamos la ley de la adición obtenemos: P (A o B) = 1 P (Ā y B) = Pr(A y B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A o B) = = 6 15 = 2 5 Ahora necesitamos calcular P (A y B).

23 23 Ejemplo 11. Una empresa de venta por correo ofrece un regalo sorpresa a todos los clientes que hacen compras 20 euros o más. Hay cinco tipos de regalo sorpresa que se eligen al azar: 1. llavero y navajita 2. boĺıgrafo y linterna 3. abrecartas y linterna 4. navajita y abrecartas 5. bloc de notas y abrecartas Si un cliente hace dos compras de más de 20 euros y recibe dos regalos, cuáles son el espacio muestral y los sucesos elementales? Si se denota por i cuando el cliente recibe el regalo sorpresa número i con i = 1, 2, 3, 4, y, 5. El espacio muestral es Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (4, 5), (5, 5)}, donde el par (i, j) significa que con el primer pedido recibe el regalo i y con el segundo pedido recibe el regalo j.

24 24 Ejemplo 11. Hallar las probabilidades de los siguientes sucesos: A: el cliente recibe (por lo menos) una linterna. B: el cliente recibe (por lo menos) una abrecartas. A y B: el cliente recibe (por lo menos) una abrecartas y una linterna A A 1 B B B 2 A A A A A 2 B B B 3 A A A A A 3 B B B B B 4 A A 4 B B B B B 5 A A 5 B B B B B Qué es más fácil de calcular Pr(A) o Pr(Ā)? Pr(B) o Pr( B)? Una vez se tienen Pr(A) y Pr(B), qué es más fácil de calcular Pr(A o B) o Pr(A y B)? Ley de adición

25 Propiedades de la probabilidad Una extensión P (A o B o C) Extensión de la ley de la adición: 25 Ω C A B Pr(APensamos o B o C) en = probabilidad Pr(A) + Pr(B) como + Pr(C) si fuera area. Pr(A y B) Pr(B y C) Pr(A y C) + Pr(A y B y C) P (A o B o C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A y B) P (B y C) P (A y C)

26 26 Tema 5. Probabilidad Experimentos aleatorios. El espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva. Propiedades de la probabilidad. La regla de multiplicación. Concepto clave: Probabilidad condicional Independencia. La ley de la probabilidad total. El teorema de Bayes.

27 Probabilidad condicional 27 Ejemplo 12. Se clasifica un grupo de 100 ejecutivos en acuerdo con su peso y si tienen hipertensión. La tabla de doble entrada muestra el número de ejecutivos en cada categoría. Insuficiente Normal Sobrepeso Total Hipertenso Normal Total Si se elige un ejecutivo al azar, cuál es la probabilidad de que tenga hipertensión? Hay 20 ejecutivos con hipertensión, por tanto, Pr(H) = = 0,2. Se elige una persona al azar del grupo y se descubre que tiene sobrepeso. Cuál es la probabilidad de que tenga hipertensión? Es la misma que antes? Miramos en la misma columna?

28 Escribimos Pr(H S) para representar la probabilidad de que sea hipertenso sabiendo que tiene sobrepeso. Para calcular Pr(H S), las primeras dos columnas de la tabla no son relevantes. Hay 25 ejecutivos con sobrepeso y de ellos, 10 son hipertensos, por tanto, Pr(H S) = = 0,4. Otra manera de obtener Pr(H S) es: Calculamos Pr(H y S), la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hipertenso y tenga sobrepeso: Pr(H y S) = = 0,1. Calculamos Pr(S), la probabilidad de que tenga sobrepeso: Pr(S) = = 0, Observamos que Pr(H S) = Pr(H y S). Pr(S)

29 Probabilidad condicional y Ley de multiplicación 29 Definición 8. Para dos sucesos A y B, se define la probabilidad condicionada de A dado B como Pr(A B) = Pr(A y B). Pr(B) Se entiende la expresión como la probabilidad de A suponiendo que B haya ocurrido. A menudo se escribe esta fórmula de otra manera Pr(A y B) = Pr(A B) Pr(B). En este caso, se le llama la ley de multiplicación.

30 30 Ejemplo 13. Se dan dos cartas de una baraja española. Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean copas? Sea A (B) el suceso de que la primera (segunda) carta sea copa. Queremos calcular Pr(A y B). Usamos la ley de multiplicación. Pr(A y B) = Pr(B A) Pr(A) Tenemos que Pr(A) = y Pr(B A) = 9 39 porque si la primera carta es copa, quedan 39 cartas y nueve de ellas son copas. Por tanto, Pr(A y B) = = 3 52.

31 31 Tema 5. Probabilidad Experimentos aleatorios. El espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva. Propiedades de la probabilidad. La regla de multiplicación. Independencia. La ley de la probabilidad total. El teorema de Bayes.

32 Independencia 32 Definición 9. Se dicen que dos sucesos A y B son independientes si Pr(A y B) = Pr(A) Pr(B). Utilizando la ley de multiplicación, tenemos que A y B son independientes si Pr(A B) = Pr(A) o si Pr(B A) = Pr(B). Ejemplo 13. Los sucesos, H: tiene hipertensión y S: tiene sobrepeso no son independientes pues Pr(H y S) = 0,1 Pr(H) Pr(S) = 0,2 0,25 = 0, 05. También lo sabemos por Pr(H S) = 0,4 Pr(H) = 0,2.

33 En el Ejemplo 122, hemos aplicado otra regla útil de la probabilidad. Ley de la probabilidad total 33 Teorema 8 Para dos sucesos A y B, se tiene P Teorema (A) = P (A B)P 1. Para(B) dos sucesos + P (A A B)P y B, ( B). se tiene Demostración Pr(A) = Pr(A B) Pr(B) + Pr(A B) Pr( B). Ω Vemos que A = (A y B) (A y B) A y B A y B Por tanto, A B Pr(A) = Pr(A y B) + Pr(A y B) = Pr(A B) Pr(B) + Pr(A B) Pr( B) Mirando el diagrama Venn, vemos que A = (A y B) (A y B)

34 Ejemplo 14. El 42 % de la población activa de cierto pais está formada por mujeres. Se sabe que un 24 % de las mujeres y un 16 % de los hombres están en el paro. Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de la población activa en esta pais esté en el paro? Cuál es la probabilidad de que tenga trabajo? Sea P el suceso de que la persona esté en el paro. Sea M el suceso de que sea mujer y H el suceso de que sea hombre. Entonces, Pr(P ) = Pr(P M) Pr(M) + Pr(P H) Pr(H) = 0,24 0,42 + 0,16 0,58 = 0, Ahora Pr( P ) = 1 Pr(P ) = 0,8064 es la probabilidad de que tenga trabajo.

35 Una descomposición más general Ley de la probabilidad total Consideramos el siguiente diagrama de Venn. Consideramos el siguiente diagrama de Venn: 35 Ω B 1 B 3 B 2 B 4 Los sucesos B 1,..., B 4 dividen el espacio muestral en 4 partes distintas. Definición 10. Los Un sucesos conjunto B 1, de... sucesos, B 4 dividen B 1,... el, Bespacio k tales que mues- j yen 4 partes distíntas. B i B j = para todo i tral Ω = B 1 B 2... B k se llama unadefinición partición del 28 espacio Unmuestral. conjunto de sucesos B 1,..., B k donde B i B j = φ para todo i j y

36 Ley de la probabilidad total Ahora supongamos que introducimos otro suceso A Supongamos que introducimos otro suceso A 36 Ω B 1 A B 3 Tenemos: A = (A B 1 ) (A B 2 ) (A B 3 ) (A B 4 ) y los B i son incompatibles, B 2 B 4 Tenemos Pr(A) = Pr(A B 1 ) + Pr(A B 2 ) + Pr(A B 3 ) + Pr(A B 4 ) y usando la ley de multiplicación, A = (A B 1 ) (A B 2 ) (A B 3 ) (A B 4 ) Luego como los B i son incompatibles, P (A) = P (A B 1 ) + P (A B 2 ) + P (A B 3 ) + P (A B 4 ) y usando la ley de multiplicación, Pr(A) = 4 Pr(A B i ) Pr(B i ) i=1 P (A B i ) = P (A B i )P (B i ) para i = 1,..., 4 4

37 Ley de la probabilidad total 37 Teorema 2. Para un suceso A y sucesos B 1,..., B k, donde B 1 B 2... B k = Ω y B i B j = φ para todo i j, entonces Pr(A) = k Pr(A B i) Pr(B i ) i=1 Ejemplo 15. En una fábrica se embalan galletas en 4 cadenas de montaje: A 1, A 2, A 3 y A 4. El 35 % de la producción total se embala en la cadena A 1, el 20 %, 24 % y 21 % en A 2, A 3 y A 4, respectivamente. Los datos indican que no se embalan correctamente un porcentaje pequeño de las cajas: el 1 % en A 1, el 3 % en A 2, el 2.5 % en A 3 y el 2 % en A 4. Cuál es la probabilidad de que una caja elegida al azar de la producción total sea defectuosa (suceso D)? Pr(D) = 4 Pr(D A i) Pr(A i ) i=1 =,01,35 +,03,20 +,025,24 +,02,21 =,0197

38 El teorema de Bayes 38 Teorema 3. Para dos sucesos A y B, se tiene Pr(A B) = Pr(B A) Pr(A) Pr(B) Demostración Por la regla de multiplicación, se tiene Pr(A y B) = Pr(A B) Pr(B) e igualmente Pr(A y B) = Pr(B A) Pr(A) Pr(A B) Pr(B) = Pr(B A) Pr(A) y despejando obtenemos Pr(A B) = Pr(B A) Pr(A) Pr(B)

39 Ejemplo 16. Volvemos al Ejemplo 14. Supongamos que se elige un adulto al azar para rellenar un formulario y se observa que no tiene trabajo. Cuál es la probabilidad de que la persona elegida sea mujer? Necesitamos calcular Pr(M P ). Mediante el teorema de Bayes, tenemos Pr(M P ) = = Pr(P M) Pr(M) Pr(P ) 0,24 0,42 0,1936 0,5207 Ejemplo 17. Volviendo al Ejemplo 15, supongamos que descubrimos que una caja es defectuosa. Calcule la probabilidad de que la caja provenga de la cadena A 1. Pr(A 1 D) = Pr(D A 1) Pr(A 1 ) Pr(D) =,01,35,0197,

40 40 Ejemplo 18. Tres prisioneros, Alfredo, Bruno y Carlos han solicitado la libertad condicional. Se sabe que el gobernador va a poner en libertad a uno de los tres pero él no va a decir quien hasta finales del mes. El gobernador dice a Alfredo que puede informarle del nombre de un solicitante sin éxito dadas las siguientes condiciones. 1. Si se va a liberar a Alfredo, el gobernador dirá Bruno o Carlos con la misma probabilidad (1/2). 2. Si se libera a Bruno, dirá el nombre de Carlos. 3. Si Carlos es el que se va a liberar, dirá Bruno. Alfredo pide al gobernador que le diga el nombre y el gobernador creyendo que su información es inútil le dice que Bruno se va a quedar en la cárcel. Alfredo piensa mi probabilidad de que me pongan en libertad ha cambiado de 1/3 a 1/2. Estoy muy contento. Tiene razón?

41 Sean A, B,C los sucesos de que Alfredo, Bruno y Carlos respectivamente estén puestos en libertad. Sea b el suceso de que el gobernador diga el nombre de Bruno. 41 Se tiene: Pr(A) = Pr(B) = Pr(C) = 1/3. Además, sabiendo que el gobernador ha dicho el nombre de Bruno, se tiene Pr(b A) = 1/2, Pr(b B) = 0, Pr(b C) = 1. Entonces, mediante el teorema de Bayes, Pr(A b) = = = Pr(b A) Pr(A) Pr(b) Pr(b A) Pr(A) Pr(b A) Pr(A) + Pr(b B) Pr(B) + Pr(b C) Pr(C) 1/2 1/3 1/2 1/ / /3 = 1/3.

42 Recapitulación 42 Tema 5. Probabilidad Experimentos aleatorios. El espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva. Propiedades de la probabilidad. Conceptos básicos Interpretación y propiedades básicas La regla de multiplicación. Independencia. La ley de la probabilidad total. Probabilidad condicional y reglas de cálculo El teorema de Bayes.

43 43 Tema 5. Probabilidad Conceptos básicos. Interpretación y propiedades básicas Probabilidad condicional y reglas de cálculo. Generalización Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones.