Propuesta de situaciones didácticas para la enseñanza del Teorema de Probabilidad Total

Transcripción

1 ropuesta de stuacoes ddáctcas para la eseñaza del Teorema de robabldad Total M.Sc. Gova Saabra Brees, Isttuto Tecológco de Costa Rca, Costa Rca Dr. Kyrakos etakos, Academa Turístca de Rodos, Greca Resume El presete trabaja preseta ua aplcacó de la Teoría de las Stuacoes Ddáctcas, establecda por Brousseau (Brousseau, 997), a la eseñaza del Teorema de robabldades Totales a vel uverstaro. Así se preseta ua propuesta co ua sere de stuacoes problema cuyo solucó permtrá al estudate adqurr el coocmeto preteddo. alabras clave: Ddáctca, probabldad, robabldad Total, Teoría de Stuacoes. Itroduccó A vel uverstaro, la teoría de probabldades es estudada por múltples carreras, y e cada uo de los dferetes cursos es esecal el estudo del Teorema de robabldad Total y de la Regla de Bayes. Usualmete, este teorema es presetado como parte de la regla de Bayes. Las dfcultades que preseta los estudates e estos tópcos ha sdo evdecadas por alguas vestgacoes, así como su clasfcacó y el plateameto de posbles solucoes (Díaz & de la Fuete, 2006; Díaz & de la Fuete, 2007). ero, la mayoría de propuestas que se preseta para mejorar la eseñaza de estos tópcos teta efretar el problema como uo solo: Cómo eseñar la regla de Bayes? S embargo, dcho problema puede ser dvdo e dos sub-problemas: Cómo eseñar el Teorema de robabldad Total?, Cómo eseñar la Regla de Bayes? Más específcamete, geeralmete La Regla de Bayes es presetada de la sguete forma: Camo usual: S Ω smbolza el espaco total de u expermeto y A es ua secueca de evetos mutuamete excluyetes, cuya uó forma Ω, etoces por cada posble eveto B se tee que ( A B) = = ( B A ) ( A ) ( B A ) ( A ) La eseñaza de esta regla se puede abordar e dos mometos:

2 2 Camo propuesto: S Ω smbolza el espaco total de u expermeto y A es ua secueca de evetos mutuamete excluyetes, cuya uó forma Ω, etoces por cada posble eveto B se tee que I. (robabldad Total) ( B) = ( B A ) ( ) = A II. (Regla de Bayes) ( A B) = ( B A ) ( A ) ( B) El lector puede observar que el camo propuesto preseta ua Regla de Bayes más smple, meos complcada de asmlar por parte del estudate. El camo usual es poco atural, trata de abordar dos problemas (hallar (B) y (A B)) e uo solo, emascara el teorema de probabldades totales, brda u algortmo o fórmula para dar solucó a los problemas usuales dejado de lado el razoameto deductvo ( Debo hallar (A B), para hallarla utlzado Bayes se debo teer (B), Cómo la halló? R/ robabldad Total ) que os lbera del peso de los grades algortmos. Así, bajo el camo propuesto, u problema tradcoal sobre Regla de Bayes decr ser resuelto e dos etapas: Etapa I: Aplcacó del Teorema de robabldad Total para hallar (B) ecesara para la sguete etapa. Etapa II: Aplcacó de la Regla de Bayes para hallar (A B) y resolver el problema Desde esta óptca, se debe revalorar las dfcultades que ha sdo dadas a la Regla de Bayes, pues os podemos llevar la sorpresa de que muchas de estas se ecuetra e el Teorema de robabldad Total y quzás la Regla de Bayes, segú el camo propuesto, o presete problemas. El presete trabajo brda ua propuesta para abordar la eseñaza de laprmera etapa de u problema bayesao: el Teorema de robabldad Total. osterormete e otro trabajo se abordará ua propuesta para la II etapa. Segudamete se preseta los fudametos teórcos de la propuesta, luego se descrbe la propuesta, y falmete se evdeca los resultados de la aplcacó de la propuesta a u grupo de estudates.

3 3 2 Fudameto Teórco 2. Fudameto matemátco Teorema (robabldad Totales) Sea A₁,A₂,...,A evetos que forma ua partcó del espaco muestral Ω. Sea B u eveto cualquera, etoces ( B) = ( B A ) ( ) = A rueba. Note que ( B) = ( A B) = = = = U = ( A B) (Evetos dsjutos) ( B A ) ( A ) (probabldad codcoal) 2.2 Fudameto pedagógco Toda propuesta ddáctca debe estar fudametada e ua cocepcó epstemológca. La presete propuesta se basa e la teoría de Stuacoes de Brousseau (986). Bajo esta perspectva el profesor debe dseñar stuacoes problema cuya solucó sea el coocmeto que se quere eseñar. Así, se platea uo o varos problemas al estudate (stuacó a-ddáctca), el cuál de ser motvado para que por medo de sus coocmetos prevos logre resolverlos y así lograr la devolucó de la stuacó, dode le devuelve la resposabldad de su apredzaje al profesor. Esta stuacó es a-ddáctca, puesto que el docete le oculta al estudate la tecó ddáctca de los problemas. E la resolucó de esta stuacó estudate vve stuacoes de formulacó y valdacó, e busca de la solucó para obteer u coocmeto cotextualzado y persoalzado. Cuado se logra la devolucó de la stuacó, el profesor toma este coocmeto para sttucoalzarlo, es decr el profesor relacoa este coocmeto co el saber formal preteddo. or otro lado, sobre los problemas bayesaos Díaz & de la Fuete (2006) señala: Ua ueva tedeca e la vestgacó sugere que los cálculos co problemas bayesaos so más secllos cuado la formacó se da e formato de frecuecas absolutas, e lugar de usar probabldades, porcetajes o frecuecas relatvas Además está autora sugere el uso de dagramas para materalzar las partcoes del espaco muestral. Estas cosderacoes so parte esecal de la propuesta.

4 4 3 roceso metodológco para el desarrollo de la propuesta El desarrollo de la propuesta, su valoracó y mejorameto estuvo a cargo de los autores del presete artículo. Los autores so vestgadores y docetes uverstaros co ampla expereca e la eseñaza de la probabldad y preocupados por su mejorameto. La propuesta fue motvada por la dfcultad que preseta alguos estudates e la compresó del Teorema de robabldad Total tato e Greca (Europa) como e Costa Rca (Amerca). La propuesta es fruto de su expereca e el aula, su coocmeto y de la revsó bblográfca sobre la eseña del tema. El desarrollo de propuesta sguó los sguetes pasos: # Descrpcó Ecargado. Revsó bblográfca sobre la eseñaza de la Regla de Bayes y el Teorema de robabldades Totales M.Sc. Gova Saabra Brees, Dr. Kyrakos etakos 2. ropuesta cal de las etapas para abordar la eseñaza del tema y elaboracó de las stuacoes M.Sc. Gova Saabra Brees problemas de cada etapa. 3. Valoracó de la propuesta cal, observacoes y Dr. Kyrakos etakos recomedacoes. 4. Mejorameto de la propuesta e base al paso ateror. M.Sc. Gova Saabra Brees 5. Edcó de la propuesta fal M.Sc. Gova Saabra Brees, Dr. Kyrakos etakos Como se puede observar el proceso vestgatvo culma co la elaboracó de la propuesta. Es ecesaro, como etapa sguete, realzar la valdacó de la propuesta para aalzar sus alcaces e la eseñaza del tema y retroalmetarla. Se espera hacer esta valdacó y comucar los resultados obtedos. El presete trabajo tee como faldad dar a coocer la propuesta cocebda apartr de los pasos descrtos aterormete.

5 5 4 ropuesta: Eseñaza del Teorema de robabldad Total Alguas cosderacoes sobre la propuesta: La propuesta va drgda a estudates uverstaros como coocmetos báscos sobre los sguetes tópcos de probabldad: espaco muestral, evetos, probabldad de u eveto y la regla de Laplace, reglas adtvas, probabldad codcoal, reglas multplcatvas. S embargo, la propuesta es fáclmete adaptable a veles ferores, sempre que los alumos tega los coocmetos prevos señalados Se recomeda que los estudates trabaje las stuacoes problema plateadas, e la propuesta, e grupos de 3 a 5 persoas y que se promueva la asertvdad bajo los sguetes prcpos (Hare, 2000): o Setrse coveete e partcpar e la clase haca la meta propuesta o Cosegur u ambete socal e la clase, que aleta el tercambo de opoes etre los estudates y també el profesor e u setdo productvo o Coservacó y s fuera posble aumeto de la autoestma. La propuesta se dvde e 7 etapas. Dchas etapas so motvadas por ua o varas stuacoes problemas ecamadas haca la compresó y aplcacó adecuada del teorema. El docete debe buscar estrategas que permta que los estudates obtega solucoes smlares a las plateadas para cada stuacó problema de la propuesta, por ejemplo: exposcó de solucoes plateadas por los grupos, dscusó de la solucó. La dea es que el docete motve a los estudates a que busque la solucó más efcete al problema, s caer e el efecto Topaze. Las stuacoes problema so cales, es decr ejemplfca u modelo de problema cal cuyo solucó permta el domo persoalzado de la etapa e la se ecuetre. Es resposabldad del profesor sttucoalzar el domo de cada ua de las etapas propoedo problemas smlares y despersoalzado el coocmeto adqurdo. Ua vez resuelto cada problema y dscutda su solucó, el profesor, como parte de su labor de sttucoalzacó del coocmeto, debe presetar la solucó ofcal y evdecar su estrecha relacó co la solucó fal propuesta por los estudates. Segudamete se preseta las etapas de la propuesta obteda.

6 6 I etapa: Acercameto cocreto (Valores absolutos umércos) Recuerde que de acuerdo a la Teoría de Stuacoes, se debe platear al estudate stuacoes problemas, cuya resolucó geere parcalmete el coocmeto preteddo. Así la propuesta ca co la sguete stuacó. roblema #. E ua escuela de músca hay 200 alumos. El 30% recbe clases de pao y el 70% restate va a clases de gutarra. El 5% de los estudates que recbe pao les gusta comer esalada al gual que el 40% de los que recbe gutarra. Qué porcetaje de los estudates les gusta comer esalada? Este problema troductoro puede ser resuelto co los coocmetos prevos que tee el estudate sobre porcetajes. Se debe star a estos que trate de represetar co u dagrama o esquema la solucó al problema: Dagrama de Valores absolutos ao 30% 60 estudates 5% come esalada 9 estudates 200 estudates Gutarra 70% 40 estudates 40% come esalada 56 estudates Así, e total hay 65 estudates de la escuela que come esalada, lo cual equvale al = 32.5% II etapa: Valores absolutos algebracos El sguete problema es semejate al ateror, pero agrega ua ueva dfcultada, smbolza la catdad total e lugar de brdarla. roblema #2. E ua escuela de músca hay M alumos. El 20% recbe clases de pao y el 80% restate va a clases de gutarra. El 25% de los estudates que recbe pao les gusta comer esalada al gual que el 30% de los que recbe gutarra. Cuátos estudates, e térmos de M, les gusta comer esalada? Qué porcetaje de los estudates les gusta comer esalada?

7 7 Solucó: Dagrama de Valores absolutos M estudates ao 20% 0.2M estudates 25% come esalada M estudates Gutarra 80% 0.8M estudates 30% come esalada M estudates E total, el úmero de estudates que les gusta comer esalada es M M = ( ) M = 0.29 M, 0.29M Lo cual equvale a u 00 = 29% M Co este problema se pretede que el estudate descubra que o es ecesaro coocer la catdad total para hallar el porcetaje e este tpo de problemas. Este coocmeto es reafrmado medate el sguete problema: roblema #3. E ua ecuesta, el 60% de los ecuestados dca que el país debe teer relacoes co Cha, por el cotraro, el otro 40% dca que se debe establecer relacoes co Tawa. El 20% de los ecuestados que prefere relacoes co Cha practca algú deporte, al gual que el 35% de los ecuestados que prefere relacoes co Tawa. ara determar el porcetaje de ecuestados que practca algú deporte, es ecesaro coocer la catdad total de ecuestados? Justfque su respuesta. III etapa Valores relatvos (porcetajes) E esta etapa se busca que el estudate pase de la resolucó algebraca a la resolucó umérca co valores relatvos, para ello se platea el sguete problema: roblema #4. La sguete muestra el porcetaje de hombres y mujeres estudates de cada uos de los colegos volucrados. Además se dca para cada colego, el porcetaje de hombres que tee sobrepeso co respecto al total de hombres, al gual que el porcetaje de mujeres que tee sobrepeso co respecto al total de mujeres. Determe el porcetaje de estudates de cada colego co sobrepeso.

8 8 Colego % de hombres: % de mujeres: De los hombres, el % co sobrepeso es: De las mujeres, el % co sobrepeso es: A 20% 80% 40% 55% B 5% 85% 70% 70% C 40% 60% 25% 20% D 65% 35% 35% 0% E 85% 5% 5% 30% F 90% 0% 25% 55% % de estudates co sobrepeso: Se pretede que el estudate, ate la resolucó repetda de u esquema de problema, abadoe la resolucó algebraca optado por ua resolucó más smple y sstemátca. ara lograr esto, se recomeda el trabajo e grupos por parte de los alumos dode: se estmule el trabajo cooperatvo, se solcte la búsqueda de ua solucó sstemátca del problema y se expoga dchas solucoes. Se espera que el estudate ote que el resultado buscado se obtee sumado los productos obtedos al multplcar los porcetajes ubcados e certas columas, por ejemplo el resultado para el colego A es: = 0.52 El sguete problema se troduce co el f de geeralzar el coocmeto adqurdo a ua partcó mayor de la catdad total y de establecer u dagrama para valores relatvos. roblema #5. Las pezas fabrcadas por certa empresa so el elaboradas por las máquas A,B y C. La máqua fabrcó el 50% de las pezas, la máqua B el 30% y el restate 20% es fabrcado por la máqua C. El 25% de las pezas fabrcadas por la máqua A so defectuosas, al gual que el 5% de las pezas fabrcadas por B y el 40% de las fabrcadas por C. Qué porcetaje de las pezas fabrcadas so defectuosas? Represeta la resolucó del problema por medo de u dagrama. Solucó: Dagrama de Valores relatvos (porcetajes) Máqua A 50% 25% so defectuosas = 2. 5% defectuosas ezas fabrcadas Máqua B 30% 5% so defectuosas = 4. 5% defectuosas Máqua C 20% 40% so defectuosas = 8% defectuosas

9 9 El porcetaje de pezas defectuosas es: 2.5% + 4.5% + 8% = 25% es decr, la cuarta parte de las pezas so defectuosas. Se debe buscar que los estudates logre represetar este tpo de problemas por medo de dagramas de árbol, el cual puede facltar la resolucó de problemas. IV etapa: Valores relatvos (probabldad) El paso de lo relatvo o frecuecal a la probabldad mplca u gra cambo de paradgma. El porcetaje está lgado sempre a ua catdad total coocda o o, es u cocepto estátco, e cambo la probabldad de u eveto o está determada por ua catdad total de repetcoes del eveto, esta ocó lleva mplícto el cocepto de aleatoredad, es u cocepto dámco. Ejemplo: Cosdere el expermeto de lazar u dado. orcetaje: S se laza el dado 60 veces y e 9 de ellas sale el ses, etoces el porcetaje 9 de lazametos e los que se obtuvo u ses es 00 = 5%. Note que este valor es 60 sumamete estátco, depede de los tros realzados. robabldad: La probabldad de sacar 6 e u dado es o 6.6% aproxmadamete. Esto 6 o sgfca que s se laza el dado certa catdad de veces, e u sexto de los lazametos se obtuvo u ses. El cocepto de probabldad es más complejo, establece que etre más lazametos se realce el porcetaje de lazametos co resultado ses se va r acercado a 6.6% aproxmadamete. ara efectos del presete trabajo, se asume que el estudate tee u cocepto adecuado de probabldad y ha adqurdo los coocmetos prevos aterormete mecoados. Cotuado co la propuesta, se preseta el sguete problema: roblema #6. U desperfecto e el servco eléctrco de certa comudad puede deberse a: falla e el equpo eléctrco co ua probabldad del 40%, problemas e el equpo electróco co ua probabldad de 25%, ó por errores humaos co ua probabldad del 35%. Además la probabldad de que desperfecto pueda solucoarse e meos de ua hora es: del 30% s sucedó por errores e el equpo eléctrco, del 60% s el error se presetó e el equpo electróco y del 20% s fue ocasoado por error humao. Supoga que ocurre u desperfecto al azar.

10 0 a. Descrba el espaco muestral, deote los evetos volucrados y utlce esta otacó para smbolzar las probabldades dadas. b. Cuál es la probabldad de que u desperfecto sea solucoado e meos de ua hora? Represeta la resolucó del problema por medo de u dagrama. Solucó: a. Ω es el cojuto de posbles desperfectos. Dada u desperfecto escogdo al azar cosdere los sguetes evetos: A : el desperfecto se debe a u fallo eléctrco. A 2 : el desperfecto se debe a u fallo electróco. A 3 : el desperfecto se debe a u fallo humao. B : el desperfecto se solucoó e meos de ua hora. Se tee que: ( A ) = 0.4 ( B A ) = 0.4 ( A2 ) = 0.25 ( B A2 ) = 0.6 ( A ) = 0.35 ( B A ) = Es mportate hacer éfass al estudate e que descrba el espaco muestral e u problema de probabldad, pues al hacerlo descubre la aleatoredad y le da setdo a las probabldades volucradas. Además, e cuato a la ocó, ote que la solucó propuesta deota certos evetos por A, A 2 y A 3, lo cual sugere ua partcó. S embargo, esto o tee que ser la orma y el estudate posblemete calmete deote este evetos de maera depedete por A,C y D, lo cual o es para ada correcto. Se espera que, co el cotacto e este tpo de problemas, el estudate eduque la tucó y obtega otacoes smlares a la propuesta y se coveza de que la otacó propuesta es la mejor pues tee ua doble fucó: deotar los evetos y establecer ua relacó etre ellos (forma ua partcó del espaco muestral), facltado la solucó del problema.

11 b. Se espera que los estudates obtega u dagrama smlar al sguete: Dagrama de Valores relatvos (probabldades) Causas (B A ) robabldad de solucó e meos de ua hora A 40% 40% = 0.6 Desperfecto A 2 25% 60% = 0.5 A 3 35% 20% = 0.07 TOTAL : 00% 0.38 V etapa: Isttucoalzacó roblema #7. Sea A₁, A₂, A 3 evetos que forma ua partcó del espaco muestral Ω, y B u eveto cualquera. Supoga que las probabldades ( A ), ( A ), ( A ), ( B A ), ( B A ) y ( B A ) so coocdas. Determe la probabldad de B 3 Solucó: Dagrama de Valores relatvos (probabldades) Causas A ( A ) (B A ) (A ) (B A ) Ω A 2 ( A 2 ) (B A 2 ) (A 2 ) (B A 2 ) A 3 ( A 3 ) (B A 3 ) (A 3 ) (B A 3 ) TOTAL : 00% (B) Así ( B) = ( A ) ( B A ) + ( A ) ( B A ) ( A ) ( B A )

12 2 osteror a la solucó y dscusó del problema #7, el profesor procede a eucar formalmete el Teorema de robabldad Total y s procede (esto depede del tpo de curso de probabldades que se mparta) realza su demostracó. Teorema (robabldad Totales) Sea A₁,A₂,...,A evetos que forma ua partcó del espaco muestral Ω. Sea B u eveto cualquera, etoces ( B) = ( B A ) ( ) = A rueba. Dado que Espaco muestral Ω A A 2 B A Note que A 3 ( A B) ( A B) U ( A B) U ( A B) B = U U 2 3 Dado que los cojutos de la forma ( A B) so dsjutos etoces ( B) = ( A B) = ( A B) U = y como ( A B) = ( B A ) ( A ) se obtee que ( B) = ( B A ) ( ) = =. A Luego el profesor propoe el sguete problema para que aplque lo apreddo: roblema #8. La probabldad de que u jugador de futbol se lesoe e u partdo competeca es de 0.05 s hace bue tempo y de 0.5 s el tempo es malo. El meteorólogo proostca que para el próxmo partdo hay ua probabldad de que llueva del 30% y de que exsta bue tempo es de 70%. Cuál es la probabldad de que u jugador se lesoe e el próxmo partdo? Solucó: Smlar al ateror. La respuesta es 8%.

13 3 Es mportate otar que la aplcacó de lo apreddo es muy dstto a la aplcacó del teorema. Cuado profesor euca el teorema, sttucoalza el coocmeto ya adqurdo por el estudate a partr de la resolucó de los problemas aterores. Es decr, el teorema se euca formate después de haberlo apreheddo. VII etapa: Cudado co el complemeto! Hasta el mometo los problemas tratados dca la probabldad de cada ua de las partes e que se dvde el espaco muestral. or lo geeral, e u problema de probabldades totales se omte la probabldad de ua de las partes, pues el estudate la puede adqurr por complemeto. S embargo, la expereca os ha dcado que esto añade ua dfcultad mayor al problema que muchas veces el estudate o supera, e especal s el espaco muestral es dvdo e solo dos partes. Lo ateror a motvado a que e esta propuesta se le brde u tratameto especal al complemeto, o más cocretamete a la deteccó de la partcó. Así se platea el sguete problema: roblema #9. La probabldad de que ua persoa de Cartago adquera ua efermedad es de 0%. S ua persoa de Cartago tee la efermedad, la probabldad de que el exame de sagre para detectar la efermedad sea postvo es de 95%. S ua persoa de Cartago está saa, la probabldad de que el exame de sagre para detectar la efermedad sea postvo es de 5%. S ua persoa de Cartago ( que se descooce s posee o o la efermedad) se realza el exame de sagre, Cuál es la probabldad de que el resultado sea postvo? ara el resolver el problema, sga los sguetes pasos: a) Descrba el espaco muestral b) Dscuta co tus compañeros sobre la partcó correcta que se debe defr para resolver el problema. c) Deote los evetos volucrados. d) Determe la probabldad de cada parte e que se dvde el espaco muestral e) Utlce la otacó establecda para smbolzar las probabldades dadas. f) S ua persoa de Cartago ( que se descooce s posee o o la efermedad) se realza el exame de sagre, Cuál es la probabldad de que el resultado sea postvo?

14 4 Solucó: Como se ha señalado es mportate que los estudates pueda descrbr el espaco muestral, pues es este el que va a dvdr e partes. E este caso, s se elge ua persoa al azar de Cartago el espaco muestral (cojuto de posbles resultados) es el cojuto de persoas de Cartago. Cómo realzamos la partcó del espaco muestral? Es bueo que los estudates por medo de la dscusó logre determar dos maeras de partr el espaco muestral:. ersoas saas y efermas. 2. ersoas que da postvo e el exame de sagre y las que o. Es mportate que el profesor, después de la dscusó de los estudates dque estas dos maeras de partr el espaco muestral y les solcte a los estudates que determe s ambas maeras srve para solucoar el problema. La dea es que, de acuerdo a Brousseau, el alumo vestgue las opcoes que tee para resolver el problema, y el profesor o le sugera el camo a segur, el alumo lo debe descubrr. Así se cosdera correcto tervecoes del profesor tales como: La partcó 2 o les va a permtr resolver el problema, ua de las partcoes o permte resolver el problema. Se espera que el alumo, a partr del aálss del problema, descarte la seguda partcó. Al smbolzar los evetos volucrados, es posble que el alumo cosdere los evetos: la persoa está eferma y la persoa está saa, como depedetes y los smbolce por ejemplo co A y A 2 respectvamete. S embargo al hallar la probabldad de A y A 2 se espera que detecte su depedeca: A 2 es el complemeto de A. Así, (A ) = 0. y (A 2 ) = 0.9. Icluso dcha depedeca puede ser vsta desde la Teoría de cojutos y desde la probabldad: Teoría de Cojutos A = 2 A robabldad (A ) = 0. (A A 2 ) =0 Como (A ) o es gual a (A A 2 ) A y A 2 so depedetes

15 5 E caso de que el estudate o logre obteer (A 2 ) y se egue a recoocerla, el profesor para garatzar el avace de la clase y sacar al alumo de la stuacó de bloqueo, puede proceder recordado que A A 2 = Ω. or otro lado, al smbolzar co B: la persoa saló postva e el exame, se tee que (B A ) = 0.95 y (B A 2 ) = 0.05 or lo tato la probabldad solctada es ( B) = ( A ) ( B A ) + ( A ) ( B A ) = VI etapa: Qué se debe averguar? Como ua etapa fal se propoe problemas e los cuales la probabldad del eveto B es dada y se solcta averguar algua de las otras ormalmete dadas. Este tpo de problemas tee ua dfcultad mayor, y exge del alumo el domo de todos los procesos volucrados e el Teorema de robabldad Total: deteccó de la partcó, terpretacó correcta de las probabldades codcoales dadas y de la probabldad a averguar, solucó de problema. Además, e esta etapa se pasa del cálculo umérco (etapas aterores) a lo algebraco (las ecuacoes), lo que evdetemete aumeta la dfcultad. E esta etapa se busca evtar que el estudate cometa el error de reducr el Teorema de robabldad Total a u algortmo s setdo: solo se multplca las prmas probabldades respectvamete por las otras y se suma los resultados. roblema #9.. La probabldad de que ua peza fabrcada por la empresa X tega defectos es del 45%. Las pezas so elaboradas por dos máquas, la maqua fabrca el 60% de las pezas, y la probabldad de que ua peza elaborada por la maqua tega defectos es de 30%. Cuál es la probabldad de que ua peza elaborada por la maqua 2 tega defectos? Solucó: Se pretede que el profesor presete el problema como u ejercco más, es decr que o lo señale co u problema de mayor dfcultad, lo cual podría desmotvar a los estudates. Se espera que el domo de las etapas aterores sea herrametas sufcetes para resolver el problema.

16 6 Note que Ω es el cojuto de pezas fabrcadas por la empresa X. Cosdere los sguetes evetos: A : la peza es fabrcada por la máqua A 2 : la peza es fabrcada por la máqua 2 B : la peza es defectuosa De acuerdo a los datos: (B) = 0.45 (A ) = 0.6, (B A ) = 0.3 (A 2 ) = 0.4, (B A 2 ) = x or el Teorema de robabldad Total se tee la ecuacó: 0.45 = x or lo tato (B A 2 ) = x = 67.5% 5 Coclusó Tomado co referecas la Teoría de las Stuacoes Ddáctcas, establecda por Brousseau (Brousseau, 997), se propusero 9 stuacoes problema para la eseñaza del Teorema de robabldades Totales. Dcha propuesta puede ser abordada o solo a vel uverstaro, so puede ser adaptada para secudara. Se espera valdar la propuesta e u grupo de estudates co el f de determar su mpacto e la eseñaza de la probabldad total y retroalmetarla. 6 Bblografìa Barbers, F.; Ròdeas, E.; Bosch, I (2006). La evaluacó cotua e matemátcas e la Uversdad. XIV Joradas de ASEUMA. Recuperado de Devore, J. (998). robabldad y Estádstca para Igeería y Cecas. Méxco: Iteratoal Thomso Edtores, 4a ed. Saabra, G. & Núñez, F. (200). Ua propuesta para troducr el estudo de las probabldades: robabldad Frecuecal. E Facultad de Cecas Naturales, Uversda Estatal a Dstaca. Memoras III Ecuetro de Eseñaza de la Matemátca UNED, realzado e el INBo arque, Hereda, Costa Rca, 3 y 4 de setembre 200. IBo arque, Hereda, Costa Rca. Walpole, R, Myers, R, Myers, S. (999). robabldad y estadístca para geeros. USA: retce- Hall Hspaoamercaa. S.A, Sexta Ed.

17 7 Díaz, C. y de la Fuete, I. (2007). Dfcultades e la resolucó de problemas que volucra el Teorema de Bayes. U estudo exploratoro e estudates de pscología. Educacó Matemátca, 8(2), Díaz, C. y de la Fuete, I. (2006). Eseñaza del teorema de Bayes co apoyo tecológco. E. Flores y J. Lupáñez (Eds.), Ivestgacó e el aula de matemátcas. Estadístca y Azar. Graada: Socedad de Educacó Matemátca Thales. ISBN: CD ROM. Feller, W (968). A Itroducto to robablty Theory ad ts Applcatos. Wley. Hare, B (2000). Sea asertvo. Bueos Ares: Edcoes Gestó. Kaga, S (994). Cooperatve Learg. Kaga ublshg. Lefracos, G (99). sychology for Teachg. Wadsworth ublshg. Gagatss, A. & apastavrds, S (2003). roceedgs of the 3 rd Medterraea Coferece o Mathematcs Educato. Sàbato, E (948). El Túel. Bueos Ares, Letras Hspácas. Saabra, G (200). Ua propuesta para la eseñaza de los Elemetos de Aálss Combatoro. Revsta dgtal Matemátca, Educacó e Iteret. Saabra, G (202). Comprededo las probabldades. Costa Rca. Edtoral tecológca de Costa Rca.