TRABAJO PRÁCTICO N 5 Respuesta en Frecuencia

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1 TRABAJO PRÁCTICO N 5 Respuesta en Frecuencia OBJETIVOS: Comprender el concepto de respuesta en frecuencia. Familiarizarse con la respuesta en frecuencia de elementos simples y su representación gráfica. Obtener respuestas en frecuencia de sistemas más complejos y representarlos en diagramas logarítmicos. Identificar sistemas a partir de su respuesta en frecuencia. Entender y manejar los conceptos de frecuencia crítica y márgenes de estabilidad. Aplicar el criterio de estabilidad de Bode en la sintonización de controladores y para evaluar el efecto de la incertidumbre. Aplicar el criterio de estabilidad de Bode para elegir la característica de Flujo de las válvulas PROBLEMA 5.1 En la figura se observa un Tanque Agitado Continuo que actúa por rebosamiento (volumen constante) y es calentado con vapor condensante en un serpentín. F 1 T 1 F T Wv Tv VAPOR CONDENSADO Se va a estudiar el efecto que tiene en la temperatura de salida cambios periódicos en el caudal de vapor. Las características del equipo son: Página 1/14

2 Caudal procesado: litros/hora Retención del Tanque: 0.5 m 3 Temperatura de ingreso del líquido: 0 C Densidad del líquido: 1 Kg/dm 3 Calor específico del líquido: 1 Kcal/Kg/ C Temperatura del vapor: 10 C Condición de ingreso del vapor: Saturado y seco Condición del condensado que sale: Saturado Rendimiento de transferencia de calor: 95 % de lo transferido Encontrar la respuesta transitoria de la temperatura de salida si el caudal de vapor (en kg/h) varía temporalmente según la función: Ws sen( t) siendo la frecuencia circular. Analice los componentes de la respuesta y represente los transitorios de entrada y salida para dos valores distintos de. PROBLEMA 5. Encontrar la respuesta en frecuencia para las siguientes funciones de transferencia: (a) (b) K s( s K ( s ( 1 s PROBLEMA 5.3 Encontrar y representar en diagrama logarítmico, analíticamente y por asíntotas, la respuesta en frecuencia de las siguientes funciones de transferencia: (a) (b) ( K 1s K ( 1s ( s PROBLEMA 5.4 Hacer un bosquejo por asíntotas de los diagramas de Bode de las siguientes funciones de transferencia: K (a) ( s ( 1 s Página /14

3 (b) G( s) ( Ls Ke 1s ( s (c) G(s) s( 4s (d) ( s s(10s (e) G( s) Kc 1 1 T s I (f) (g) 3s 4s 1 (4s (0s Verificar que se cumplan las condiciones asintóticas de Bode. PROBLEMA 5.5 La caracterización de un sistema inherente de segundo orden dio como resultado la siguiente función de transferencia: y( s) x( s) 0.5s 0.s (a) Cuál es la mayor relación de amplitudes que tendrá el sistema? A qué frecuencia se obtiene? (b) Cuánto vale la relación de amplitudes y la fase a una frecuencia 1.5 veces la frecuencia natural? (c) A qué frecuencia será menor de 0.05 la relación de amplitudes entre la salida y la entrada? (d) Cuál será la máxima frecuencia a aplicar para que la salida no difiera más de 5% de la amplitud de la señal sinusoidal de entrada? (e) Bosquejar el diagrama de Bode. Contrastar con el diagrama obtenido empleando el utilitario CC. Verificar el cumplimiento las condiciones asintóticas de Bode. 1 PROBLEMA 5.6 Considerar la función de transferencia: G(s).0 (s ( 10s (a) Hacer un bosquejo por asíntotas del Diagrama Logarítmico. (b) Encontrar analíticamente el mínimo adelanto de fase y la frecuencia correspondiente. Página 3/14

4 (c) Construir el diagrama de Bode con la asistencia del utilitario CC. Verificar si es correcto el resultado obtenido en el punto anterior. PROBLEMA 5.7 La gráfica siguiente muestra la Respuesta en Frecuencia de un sistema que se desea identificar. Encontrar los parámetros estáticos y dinámicos de la función de transferencia PROBLEMA 5.8 Las siguientes funciones de transferencia corresponden al sisterma en serie de elemento final de control, proceso, transmisor y controlador proporcional con ganancia Kc unitaria. G 1 ( s) G 3 4 ( s) 3 ( s (s s( s 3 ( s 4( s e 4s 1 s Página 4/14

5 (a) Calcular la frecuencia crítica y la relación de amplitud correspondiente. (b) Evaluar los márgenes de ganancia y de fase. (c) Calcular el valor límite de ganancia que asegure estabilidad con controlador proporcional (ganancia última). PROBLEMA 5.9 Usando el criterio de estabilidad de Bode, encontrar los valores de Kc que hacen que el sistema bajo control proporcional (Ganancia Última) del Problema 4.7 tenga un comportamiento estable. (a) Comparar el resultado con los obtenidos en el Problema 4.7. Qué se puede cconlcuir? (b) Evaluar cuál sería el margen de ganancia si el margen de fase con controlador proporcional es de 30º. PROBLEMA 5.10 Procesos que tienen una estructura compleja y cuyos modelos dinámicos (funciones de transferencia) podrían ser muy complicados (número excesivo de parámetros) se describen en forma aproximada como un tiempo muerto más una constante de tiempo: G(s) K exp( Ls) τ s 1 Esto permite analizar el comportamiento de un lazo de control y sintonizar el controlador con muy buena aproximación. (a) Considere un sistema donde K = 1.5; L = 1 min. y = 10 min. Calcule la ganancia última y la frecuencia natural del sistema. Para esto, bosqueje el diagrama de Bode y vea si es aplicable la simplificación de Shisnkey. Calcule ambos parámetros usando las expresiones exactas, con la simplificación de Shinskey y usando la fórmula propuesta por Fuentes y Luyben. (b) Reitere el punto anterior para un proceso caracterizado por K = 1.5, L = 10 min. y = 10 min. (c) Resuma en una tabla los resultados obtenidos en los puntos anteriores, calculando los errores cometidos con las fórmulas aproximadas. Extraiga conclusiones. PROBLEMA 5.11 Encontrar la expresión de cálculo explícito de la frecuencia natural y la ganancia última de los siguientes sistemas: K (a) ( 1s ( s ( 3s K (b) s( s ( 1 s Comparar con los resultados del Problema 4.6. Página 5/14

6 PROBLEMA 5.1 Analizar el Problema 4.3 (lazo de control de temperatura de tres tanques en serie con controlador proporcional). Construir el diagrama de Bode con los cuatro ajustes del controlador y evaluar los márgenes de ganancia. Relacionar las respuestas temporales que se obtuvo con los parámetros de la Respuesta en Frecuencia. TIC T T LÍQUIDO VAPOR CONDENSADO (Problema resuelto en el sitio Web de Control de procesos). PROBLEMA 5.13 Para el sistema de control de temperatura del Problema anterior. Se desea analizar el efecto de las acciones integral y derivariva. Con este fin se considerará el comportamiento controladores P, PI y PD ajustados con los parámetros que se detallan en la tabla: Controlador Kc T I T D P PI PD (a) Usando el programa CC construir los Diagramas logarítmicos de los elementos del lazo para controladores P, PI y PD y superpóngalos. Obtener la respuestas temporales a un cambio escalón en la temperatura de entrada de 0 a 40 C. Relacionar respuesta en Frecuencia con la respuesta temporal. (b) Qué se puede concluir acerca de la acción integral comparando P vs. PI? (c) Qué se puede concluir acerca de la acción derivativa comparando P vs. PD?. (Problema resuelto en el sitio Web de Control de procesos). Página 6/14

7 PROBLEMA 5.14 (a) Encuentrar la Respuesta en Frecuencia de un controlador PID paralelo ideal. Bosqueje el diagrama de Bode, considerando T I = 4 T D (relación muy difundida en la práctica). (b) Analizar virtudes y defectos que aportarían las acciones integral y derivativa instaladas en forma conjunta. (c) Compare la Respuesta en Frecuencia entre controlador ideal y real (con α = 0. usando el utilitario CC. Proponer valores apropiados de Kc, T I y T D. Qué se puede concluir? PROBLEMA 5.15 Considerar el sistema de control del Problema Para los estados de carga allí considerados realizar las siguientes tareas: (a) Representar el diagrama logarítmico del sistema. (b) Calcular el margen de ganancia y la frecuencia natural. Relacione estos parámetros con los transitorios obtenidos. (c) Calcular el valor de caudal alimentado límite para el que sistema deje de tener margen de ganancia. PROBLEMA 5.16 Se quiere sintonizar un controlador PI de un lazo de composición. Para eso se realiza un ensayo en lazo abierto y se obtiene la Curva de Respuesta (válvula + proceso + transmisor) ante escalones de +10 % en la señal de control. Esto se hace para tres valores de caudal alimentado que es la variable manipulada registrándose la Figura Luego de colocar un filtro de primer orden a la salida del transmisor se obtiene la figura a partir de la cual se identificarán las características estáticas y dinámicas de la planta a controlar. (a) El sistema presenta un comportamiento no lineal? En caso afirmativo, de qué tipo? Justifique adecuadamente. (b) Sintonizar el controlador (c) Será muy distinto el período de oscilación del lazo con el controlador PI cuando el caudal es 100 que cuando vale 300? (d) Ídem anterior respecto de la atenuación de la respuesta ante perturbaciones. (e) Calcule el valor del tiempo integral que llevaría al sistema a oscilaciones sostenidas considerando la sintonización del punto (b). Página 7/14

8 Salida del transmisor [%] señal de salida del transmisor [%] tiempo[min] Figura F=00 F=100 F= tiempo[min] Figura Página 8/14

9 Señal del Transmisor de Composición (%) PROBLEMA 5.17 Se desea controlar la composición a la salida en un reactor tanque con un lazo de control que manipula el flujo de una de las corrientes de entrada por medio de un controlador PI. Un ensayo en lazo abierto proporcionó la curva de respuesta de la variable medida cuando la señal de control se cambia en forma escalón de 45 % a 55 %. (ver Problema.19) F AT AR AC tiempo (min) (a) Se comprobó que los parámetros estáticos y dinámicos de la planta a controlar pueden variar en 5 %. Teniendo en cuenta este hecho, sintonizar el controlador con acción proporcional para asegurar estabilidad robusta. (b) Encontrar los márgenes de ganancia extremos. Indicar como espera que varíe la atenuación de la respuesta de la variable controlada de acuerdo a los márgenes de ganancia. (c) Qué combinación de parámetros estáticos y dinámicos hará que el período de oscilación sea el más extendido? (d) Sintonizar un controlador PI. Con el utilitario CC encuentre la respuesta a un escalón de perturbación considerando una función de transferencia de la perturbación idéntica a la de la planta. Grafique los transitorios correspondientes a las condiciones de estabilidad extremas. Página 9/14

10 PROBLEMA 5.18 Un líquido es calentado en un tanque antes de ser usado en otra parte de la planta. La temperatura del líquido en el tanque es medida con una termocupla. Un controlador PID es usado para mantener la temperatura alrededor del valor deseado. La respuesta en frecuencia para los elementos del lazo abierto (Elemento Final de Control + Proceso + Transmisor) se obtuvo luego de realizar numerosos experimentos y se presentan en el Diagrama de Bode de la figura. (a) Realizar el diagrama en bloques del sistema de control. (b) Usar el diagrama de Bode para encontrar la función de transferencia de la planta a controlar. (c) Analizar si la planta a controlar es autorregulada. (d) Ajustar el controlador con acción proporcional para asegurar margen de ganancia de. Cuánto vale el margen de fase? Página 10/14

11 PROBLEMA 5.19 Un lazo de control nivel como el de la figura tiene un transmisor de presión diferencial. Las caídas de presión mínima y máxima en la válvula son respectivamente 5 psig y 50 psig. Analice cuál es la característica de flujo la más adecuada para este lazo. F LT LIC LV PROBLEMA 5.0 Un Tanque Agitado Continuo que actúa por rebosamiento (volumen constante) y es calefaccionado con vapor condensante en un serpentín. Tiene un lazo de temperatura (ver diagrama P&I) con las siguientes características: PROCESO. Se emplea vapor saturado seco y la salida es líquido en su punto de saturación. Las pérdidas de calor son despeciables. Las propiedades fisicoquímicas y termodinámicas de los fluidos pueden considerarse esencialmente constantes. TRANSMISOR. Termocupla tipo J con transmisor electrónico y salida 4-0 ma. El conjunto puede considerarse lineal con dinámica despreciable. El sensor está insertado en una corriente de by-pass a la salida que genera un tiempo muerto constante. Este tiempo muerto nunca supera la décima parte del tiempo de residencia del tanque. VÁLVULA. Tipo globo, con actuador de cabezal neumático y transductor electroneumático incorporado (entrada 4-0 ma). La dinámica puede ser despreciada. La línea absorbe como máximo en 3 % de la diferencia de presión disponible. Se dispone de obturadores que permiten establecer tres tipos de característica de flujo: igual porcentaje, parabólica y lineal. VAPOR F T 1 Wv Tv Elija la característica de flujo de la válvula que resulte más conveniente. TIC F T CONDENSADO TT Página 11/14

12 PROBLEMA 5.1 Considere el Problema Escriba la Función de transferencia de la planta a controlar que ya fue encontrada, tomando en cuenta la sintonización del controlador proporcional y vuélquela en un diagrama en bloques. (a) Calcule el Margen de Ganancia y la frecuencia crítica en los tres estados de carga usando fórmulas explícitas. Complete la tabla. (b) Compare los parámetros de la respuesta en frecuencia con los índices de la respuesta temporal. Son consistentes los resultados? (c) Es adecuada la característica de la válvula? Planificaría un cambio de válvula o de línea? Especifique y justifique. PARÁMETRO CAUDAL[l/h] RA MG p (min) w P (min -1 ) w C (min -1 ) PROBLEMA 5. Se ha instalado un sistema de control de nivel de agua a temperatura ambiente como el mostrado en el diagrama P&I. El objetivo es mantener el nivel de agua en el tanque en 1. m ± 0.1. Se usa un transmisor diferencial electrónico y las tomas de alta y baja se ubican a 0.5 y.0 m medidas desde el fondo del tanque. La dinámica del transmisor es de segundos. El caudal de descarga (F c ) queda fijado por una unidad aguas abajo del tanque acumulador. Los caudales normales varían entre 500 y 500 litros/min. Es conveniente que el tanque no se vacíe en ninguna circunstancia. La sección transversal del tanque es de 1.5 m La válvula es neumática. La dinámica del actuador (lineal) es de 1 segundo. La característica de flujo de la válvula instalada es la que se muestra en el gráfico. Página 1/14

13 . F LV LT LIC A consumidores Fc El controlador es electrónico PID con señales de entrada salida estándar entre 4 y 0 ma. (a) Escriba la Función de transferencia de la planta a controlar (ya la encontró en el problema 4.16). (b) Sintonice el controlador PI. (c) Realice el diagrama en Bode de la planta con el controlador para los dos estados de carga y analice la respuesta temporal cuando el caudal de los consumidores aumenta en forma de escalón unitario. Concluya en cuanto a atenuación, período de oscilación, error de estado estacionario, en los distintos estados de carga (d) Es adecuada la característica de la válvula? Planificaría un cambio de válvula o de línea? Especifique y justifique PROBLEMA 5.3 Considere el problema 4.18 con controlador PI sintonizado de acuerdo con la receta dada. (a) Calcule el Margen de Ganancia del sistema anterior (b) Analice si para las condiciones extremas cambiará la atenuación de la respuesta a la misma perturbación ya analizada. (c) Ídem respecto del período de oscilación (d) Tabule los parámetros de la respuesta en frecuencia y temporal y analice si hay consistencia entre ellos. PROBLEMA 5.4 Se está analizando un sistema cuya función de transferencia para VÁLVULA + PROCESO + TRANSMISOR tiene la forma: Página 13/14

14 - 3.1 G(s) 5 ( 8s Para esta planta descripta se empleará controlador PI. (a) Elegir la acción del controlador (b) Sintonizar el controlador. (c) Encontrar los parámetros críticos. (d) Calcular los márgenes de estabilidad. Explicar su significado (e) Se obtendrá una sustancial mejora en el desempeño del sistema de control si se emplea un controlador PID? Esgrima argumentos teóricos que apoyen su respuesta. (f) Simule la respuesta a un escalón considerando una función de perturbación igual a: Gd(s) ( 8s CONCEPTOS INTRODUCIDOS EN EL TEMA 5 Respuesta en Frecuencia. Diagrama Logarítmico (de Bode) Bosquejo por asíntotas. Criterio de estabilidad de Bode. Frecuencia Crítica. Margen de Ganancia. Margen de Fase. Compensación de no linealidades Característica de flujo adecuada de la válvula Página 14/14