1.4. Integral de línea de un campo escalar.

Transcripción

1 .4. Integrl de líne de un cmpo esclr. L integrl de líne tiene vris plicciones en el áre de ingenierí, y un de ls interpretciones importntes pr tles plicciones es el significdo que posee l integrl de líne de un cmpo esclr..4.. Definición de l integrl de líne de un cmpo esclr f sobre un curv suve como un sum de Riemnn. Es posible relizr un nlogí entre l integrl definid pr un intervlo [ b, ] (o integrl de Riemnn), y l integrl de líne, y que, sí como en l integrl de Riemnn se integr sobre un intervlo [,b], en el cso de l integrl de líne se integr sobre un curv. f(t) P i ti * t i t i * P i t b Pi Figur 7. Integrl de líne de un cmpo esclr. Se l curv suve, en el plno xy, definid por ls ecuciones prmétrics x xt () e y y() t con t b, esto es equivlente decir que l curv est

2 definid por l función vectoril g : / g( t) ( x( t), y( t) ) primers derivds de x() t e y( t ) son continus pr t b prtición del intervlo del prámetro [,b], con n subintervlos [ t t ] * * * * longitud, de mner que xi xt ( i ) e yi y( ti ) R R, en donde ls *, donde t [ t t ], i i i. Se tom hor un, i i de igul quedndo sí dividid l curv en n subrcos de longitudes s, s, s,..., sn. Se elige hor un * * * punto genérico i ( i, i ) * P x y del i-ésimo rco que se corresponde con t [ t t ]., i i i Ahor bien, se f un función culquier de dos vribles en cuyo dominio est * * incluid l curv, obteniendo l imgen de l función f pr el punto ( i, i ) multiplic est por l longitud x y, se si del subrco, relizndo este procedimiento pr todos los puntos sobre l curv se puede generr l siguiente sum n ( * *,,,...,, ) f x y s + f x y s + f x y s + + f x y s f x y s n n n i i i i Siendo ést un sum de Riemnn pr l función f ( x, y) s. Tomndo el límite de est sum cundo n se define l integrl de líne de un cmpo esclr de l siguiente mner Definición. Se l función f : R R un cmpo esclr continuo en un región D que contiene l curv suve, tl que viene definid en form prmétric por ( ) [ ] : /,,, g R R g t x t y t t b, entonces l integrl de líne del cmpo esclr f sobre l curv es n (, ) ( *, * ) f xyds Lim f x y s n i i i i

3 omo se mencionó nteriormente, l longitud de un curv, definid en el plno en form prmétric por l g : / g( t) ( x( t), y( t) ), t [, b] prtir de l integrl definid R R, se determin b b dx dy L ds + Y por tnto l evlución de un integrl de líne se puede relizr trvés de l siguiente fórmul: (, ) b dx dy f xyds f( xt, yt ) + Es importnte señlr que l integrl tendrá un vlor diferente si se recorre l curv tomndo el prámetro t desde hci b, orientción definid como positiv, que si se recorre desde b hci, por propiedd de ls integrles definids, l invertir los límites de integrción, esto es b dx dy dx dy ( (), ()) + ( (), ()) + b f xt y t f xt y t Definición. Si es un curv en el espcio definid prmétricmente por ( ) [ ] g : / g t x t, y t, z t, t, b R R, y f : R R es un cmpo esclr continuo en un región D que contiene l curv, entonces l integrl de líne del cmpo esclr f sobre l curv está dd por (,, ) b dx dy dz f xyzds f( xt (), yt (), zt ()) + + A l integrl de líne de l form f (,, ) líne de f con respecto l longitud de rco de l curv. xyzds, tmbién se le llm integrl de

4 EJEMPLO 9. Evlúe l siguiente integrl de líne f ds, si (,, ) f xyz x+ y+ z donde l curv está definid por g: / g( t) ( sent,cos t, t), t [,π ] R R. Solución. Pr clculr est integrl utilizmos l definición de l integrl de líne con respecto l longitud de rco de tl mner que l integrl, en form generl se puede escribir en función del prámetro t de l siguiente mner Así pues, b dx dy dz f ( x() t, y () t, z() t ) + + fds x+ y+ z ds ( cos ) ( cos ) π sent + t + t t + sent + π sent + cost + t t cost+ sent+ π π EJEMPLO. Evlúe l siguiente integrl de líne f ds, si (,, ) f xyz x+ y+ z donde l curv está dd prmétricmente por g :, [ ] / g() t ( t,, t t) R. Solución. Al igul que en el cso nterior, utilizmos l definición de l integrl de líne con respecto l longitud de rco. Así pues,

5 fds x+ y+ z ds ( ) t+ t+ t + + ( t) 6 4 4t 4 4 EJEMPLO. Demuestre que l integrl de f (, ) definid en coordends polres por r r( θ ) θ dr f ( rcos θ, rs enθ) r + dθ θ. dθ xy lo lrgo de un curv, con θ θ θ, es igul Solución. omo l tryectori r, está dd en coordends polres se puede sustituir est prmetrizción en l función f ( xy, ) como ( xy, ) ( r( θ ) cos ( θ), r( θ) s en( θ) ), θ θ θ, pr obtener el diferencil de longitud dy dy ds + dθ dθ dθ, se clcul dx r sen + r dθ dy r + r sen dθ ( θ ) ( θ) '( θ) cos( θ) ( θ ) cos ( θ) '( θ) ( θ) Al sustituir ests expresiones en l formul del diferencil de longitud se obtiene dr ds ( r ( θ )) + dθ, y con esto qued demostrdo que l integrl de líne dθ pr est tryectori dd en coordends polres, es igul

6 θ θ dr f ( r( θ ) cos ( θ), r( θ) sen( θ) ) ( r( θ) ) + dθ dθ L integrl de líne tmbién puede evlurse, no solo con respecto l longitud de l curv, sino con respecto ls vribles x e y. Así pues, se f (, ) xy un cmpo esclr, y se un curv dd prmétricmente por g : / g() t ( x() t, y() t ) R R, entonces l integrl de líne de f lo lrgo de l curv con respecto x, (, ) f xydx, y l integrl de líne de f lo lrgo de l curv con respecto y, (, ) f xydy, se plnterín en términos del prámetro t de l curv, respectivmente, de l siguiente mner y (, ) b d f xydx f( xt, yt ) ( xt ()) (, ) b d f xydy f( xt, yt ) ( yt ()) De mner nálog, si f (,, ) xyz es un cmpo esclr, y se un curv dd prmétricmente por g : / g( t) ( x( t), y( t), z( t) ) R R, entonces l integrl de líne de f lo lrgo de l curv con respecto x, f (,, ) de f lo lrgo de l curv con respecto y, f (,, ) f lo lrgo de l curv con respecto z, f (,, ) xyzdx, l integrl de líne xyzdy, y l integrl de líne de xyzdz se plnterín en términos del prámetro t de l curv, respectivmente, de l siguiente mner (,, ) b d f x y z dx f ( x() t, y() t, z() t ) ( x() t )

7 (,, ) b d f x y z dy f ( x() t, y() t, z() t ) ( y() t ) (,, ) b d f x y z dy f ( x() t, y() t, z() t ) ( z() t ) EJEMPLO. Se [ ] () f xy, x+ y, y l curv dd prmétricmente por h:, R / h t, t t, clcule ls integrles de líne f dx y f dy Solución. Pr clculr l primer integrl utilizmos l definición de l integrl de líne con respecto l vrible x de tl mner que l integrl, se puede escribir de l siguiente mner: Así pues, (, ) b d f xydx f( xt, yt ) ( xt ()) fdx x + y dx + t 5 4 t 5 ( ) t t De mner similr l integrl de líne de f con respecto y, lo podemos escribir de l siguiente mner Así que, (, ) b d f xydy f( xt, yt ) ( yt ())

8 5 64t fdy x + y dy t + t t 6 t EJEMPLO. Evlúe l siguiente integrl de líne f dx, si (,, ) f x y z xyz sbiendo que l curv viene dd prmétricmente por l función t t t [ ] : R R /,,,, g g t e e e t Solución. Al igul que en el cso nterior, utilizmos l definición de l integrl de líne con respecto l vrible x. Así pues, fdx xyz dx t t t t ( ee e ) t e t e ( e ) e EJEMPLO 4. Evlúe integrl π R ydx + zdy + xdz, siendo l curv dd prmétricmente por g :, / g () t sen() t, sen() t, sen () t Solución. Pr clculr el vlor de est integrl podemos reescribir l integrl de líne de l siguiente mner.

9 b d d d ydx+ zdy+ xdz y() t ( x() t ) + z() t ( y() t ) + x() t ( z() t ) b d d d y() t ( x() t ) z() t ( y() t ) x() t ( z() t ) + + De tl mner que, π π ()( ()) ()( ()) ()( () ()) ydx + zdy + xdz sen t cos t + sen t cos t + sen t sen t cos t ()( ()) () () sen t cos t + 4sen t cost 4 + () () sen t sen t 7 π EJERIIOS PROPUESTOS.4.. ) Determine el vlor de l siguiente integrl de líne f ds, si f ( xy, ) y donde l curv está dd prmétricmente por [ ] () ( ()) ( ()) g :, π R / g t t sen t, cost. ) Evlúe l siguiente integrl de líne f ds, si (,, ) f xyz zdonde l curv está dd prmétricmente por g :, [ k] / g( t) ( tcos ( t), tsen( t), t) ) Evlúe l siguiente integrl de líne f ds el l porción de l curv y R., si f ( xy, ) y x que v desde el punto donde l curv es, 4 hst el punto,..4.. Aplicciones de l integrl de líne de un cmpo esclr f. A continución se presentrn dos plicciones relcionds con l integrl de líne de un cmpo esclr, como lo son el cálculo del áre de un cerc o un vll de ltur vrible y l ms de un lmbre de densidd linel vrible.

10 .4... Áre de un cerc de ltur vrible. Si se recuerd l interpretción geométric de l integrl definid f b x dx, como el límite de l sum de los rectángulos de bse x y ltur f ( x ) pr un intervlo de x [ b, ], nálogmente se puede decir que l integrl de líne f (, ) x y ds se corresponde l límite de l sum de los rectángulos de bse s y ltur z f ( x, y) pr un curv cuyo recorrido esté sobre el plno xy. Est interpretción comprtiv se puede observr en l Figur 8. y f ( x) () (b) Figur 8. () Interpretción geométric de f (b) Interpretción geométric de f (, ) b x dx y xyds

11 Por supuesto, que si f ( x), x [, b], entonces f b x dx represent geométricmente el áre bjo l curv y f ( x) en el intervlo de integrción [, ] mismo si f ( xy, ), ( xy, ), entonces f (, ) b, sí xyds represent el áre de l superficie (de un de ls crs) de l región que es generd por los segmentos verticles desde los puntos pertenecientes l curv en plno xy hst l gráfic de l función z f ( x, y). Se observrá con un ejemplo como trvés de l integrl de líne es posible l determinción el vlor del áre de un pred, vll o cerc, cuy ltur se vrible. EJEMPLO 5. Un genci de publicidd ofrece sus clientes un vll cuy ltur y es vrible y viene dd por l función f ( x, y ) +, si l bse de l vll coincide g: R R / g t cos t, sen t,, t π, tl como se ilustr con l tryectori en l Figur 9. Determine cunto debe cobrr mensulmente l genci de publicidd, si se sbe que l vll v estr ubicd de tl mner que puede ser observd por mbos ldos, y el lquiler mensul de l vy publicitri es de 4 Bs/m.

12 Figur 9. Vll de ltur vrible. Solución. Aprovechndo l simetrí de l curv clculemos l superficie de l vll lo lrgo de l longitud ubicd en el primer cudrnte del plno crtesino, luego multiplicmos este por dos debido que l vll se observ por mbos ldos, y luego este vlor resultnte lo multiplicmos por dos pr obtener l superficie totl visible de l vll. Determinemos l superficie con l integrl de líne definid con respecto l longitud de rco:

13 y fds + ds π sen t + ( 9cos tsent) + ( 9sen t cost) π 4 9 sent + sen t cost π 5 sen t sen t Multiplicmos el vlor obtenido, 6 m, por dos, obtendrímos el áre de mbos ldos de l vll, 6 5 m, y luego por dos nuevmente pr obtener 6 5 m que es el vlor de l superficie visible totl de l vll. Por lo que el costo de rrendmiento del espcio publicitrio seri de.8 Bs. EJEMPLO 6. Determine el áre de un cerc cuy ltur es vrible y viene dd por l función g ( xy, ) descrit por l circunferenci xy, si l bse de l cerc viene dd por l tryectori x + y 9, en el primer cudrnte. g xyds, Solución. El áre de l cerc se determin medinte l integrl de líne (, ) donde l curv se puede prmetrizr como π f : R R / f () t ( cos t, sent), t,

14 Figur. erc de ltur vrible del Ejemplo 6. Determinemos l superficie de ést cerc con l integrl de líne definid con respecto l longitud de rco: f ds π π ( cos() ()) ( cos ) () cos() π sen t xyds t sen t sent + t sen t t.4... Ms de un lmbre. L interpretción físic que se le pued dr l integrl de líne f (, ) xyds dependerá del significdo físico que teng l función f. Si l función ρ ( x, y) represent l densidd linel de un punto ( x, y ) de un lmbre muy delgdo en form

15 de l curv y si se divide l curv en n subrcos de longitudes s, s, s,..., sn, con si Pi Pi P hst i i, entonces l ms del lmbre que v desde * * P se puede proximr medinte l siguiente expresión ρ (, ) n tnto l ms del lmbre completo vendrí ddo por ρ ( *, * ) i i i i x y s ; por i i i x y s. Pr tener un proximción más cercn l vlor verddero de l ms del lmbre se puede incrementr el número de subrcos n en el que se dividió inicilmente l curv. Al estudir el límite de ests proximciones cundo n, se obtiene el vlor excto de l ms del lmbre: n i n ρ( *, * i i ) i ρ(, ) m Lim x y s x y ds Pr elementos como espirles, muelles o lmbres cuy densidd linel pued ser vrible, l integrl de líne permite el cálculo de l ms de estos elementos poydos en l definición de l mism con respecto l longitud de rco, como se observrá en los siguientes ejemplos. EJEMPLO 7. Hllr l ms de un lmbre formdo por l intersección de l superficie esféric está dd por x + y + z y el plno x y z + + si l densidd en ( x, yz, ) ρ x, yz, x grmos por unidd de longitud del lmbre. Solución. El lmbre vendrí ddo por l intersección de l superficie esféric y el plno, l cul gener l curv que se observ en l Figur, es conveniente quí prmetrizr l curv de l siguiente mner 4 g :, / g sen, cos sen, cos sen [ π ] R ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ)

16 x + y + z 4 z+ x+ y Figur. Representción del lmbre del Ejemplo 7. L ms del lmbre se clcul medinte l siguiente integrl de líne (,, ) f ds ρ x y z ds x ds, en donde el diferencil de longitud de l curv, definid en form prmétric viene ddo por l expresión 4 ds cos( θ ) + sen( θ) cos( θ) + sen( θ) cos( θ) dθ Y l sustituir x sen( θ ) 4 y ds y simplificr en l integrl de líne se obtiene 6 fds (,, ) xds ( θ) π sen π ρ xyz ds 6 sen ( θ) 4dθ dθ 6 6 sen( θ) cos( θ) + θ π π

17 L ms totl del lmbre es igul π uniddes. EJEMPLO 8. Determinr l ms de un lmbre que tiene l form de l hélice circulr dd por l curv g: / g( t) ( ksen( t), kcos ( t), mt), t [,π ] k > y R R con m > si l densidd en el punto (,, ) ( x, yz, ) x y z ρ + + grmos por unidd de longitud del lmbre. x yz está dd por Solución. onocid l función densidd del lmbre y l curv prmétric cuy tryectori describe l form del lmbre observd en l Figur se plnte l integrl de líne de líne correspondiente. Figur. Representción del lmbre del Ejemplo 8.

18 fds (,, ) ( cos ) ( cos ) π π ρ x y z ds x + y + z ds ksent + k t + mt k t + ksent + m ( ) π k + m t k + m k + m k + m t π k + m k t+ m t 8 πk + π m k m + EJEMPLO 9. lculr l ms de un lmbre que tiene l form de elipse dd por l curv h:, [ ] / h( t) ( cos ( t), sen( t), cos( t) ) densidd en el punto ( x, yz, ) está dd por ( xyz,, ) 4 π R con > si l ρ grmos por unidd de longitud del lmbre. Solución. L densidd del lmbre en este cso es constnte, l integrl de líne de l densidd con respecto l longitud de rco de l curv, cuyo recorrido describe l form del lmbre y que se muestr en l Figur, se plnte l integrl de líne que permite clculr el vlor de l ms totl del lmbre.

19 Figur. Representción del lmbre del Ejemplo 9. fds (,, ) ( cos ) ( cos ) π π ρ x y z ds x + y + z ds ksent + k t + mt k t + ksent + m ( ) π k + m t k + m k + m k + m t π k + m k t+ m t 8 πk + π m k m + EJERIIOS PROPUESTOS.4. ) lculr l ms de un lmbre que tiene l form del circulo x + y, con >, si l densidd en el punto (, ) unidd de longitud del lmbre. x y está dd por (, ) ρ x y x + y grmos por

20 ) lculr l ms de un vrill cuy densidd linel está dd por ( x, y) tiene l form de y x con x. ρ x, y ) lculr l ms de un vrill cuy densidd linel está dd por ( x, y) ρ y, y tiene l form de x 4 y con y. 4) Determine l superficie l cerc cuy ltur est dd por l función esclr (, ) z f x y x + y, y cuy bse coincide con el curto de circunferenci que v desde el punto (,, ) hs t el punto (,, ). 5) Determine l superficie l cerc cuy ltur est dd por l función esclr z f x, y 4 x, y cuy bse coincide con l elipse x + 4x 4. 6) Determine l superficie l cerc cuy ltur est dd por l función esclr (, ) 4 z f x y x y, y cuy bse coincide con el curto de circunferenci que v desde el punto (,, ) hs t el punto (,,).