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1 91 Ejempl: En este ejempl verems cóm pdems utilizar un caxial sltted line para calcular la impedancia de carga. Un caxial sltted line tiene una pequeña abertura lngitudinal (i.e. slit) en su cnductr exterir. Un prbe insertad a través del slit ns permite tmar muestras del camp eléctric, y pr l tant, de V(z). Desplazand el prbe a l larg de z, pdems bservar ls pics máxims y mínims de V(z), y las distancias, medidas desde la carga, a las que ésts curren. Ns dan que la impedancia característica del cable caxial es de 50. Desplazand el prbe a l larg de la línea de transmisión, experimentalmente calculams el VSWR. S = VSWR = 3

2 92 Experimentalmente también descubrims que la distancia entre ds mínims de vltaje cnsecutivs es de 30 cm, y el primer mínim de vltaje curre a 12 cm de la carga. Ns piden que utilizand tda la anterir infrmación descubrams cuál es la impedancia de carga. Slución: Cm primer pas, calcularems el larg de nda. Sabems que la separación entre mínims cnsecutivs es de 2 metrs. 2 = 0.3 metrs => = 0.6 metrs = 2 = = 0. 3 = 10 3 rad/metr Ahra utilizarems el valr del VSWR para calcular la magnitud del ceficiente de reflexión de vltaje. S = VSWR = max[ V ( z) ] min[ V ( z) ] 1 = 3 = = 3-3

3 93 4 = 2 = 0.5 Nuestr bjetiv es calcular la impedancia de carga. Si supiérams cuánt es, entnces utilizand la relación = pdríams reslver pr. amentablemente, n tenems el valr de. Tan sól sabems el valr de la magnitud de Sin embarg, si encntrams la fase ángul de entnces pdems reslver el prblema. Cn este bjetiv en mente, utilizarems el cncept de que ls mínims de vltaje curren cuand cs(2 z + r ) = -1 El primer mínim curre en z = -l 2 (-l) + r = - -2 l + r = -

4 ( 3 )l + r = - 20 r = - 3 (0.12) r = -0.8 = -0.2 radianes r = -0.2 rad x 180 rad = -36 j r = e j e 36 = 0.5 cs 36 - j 0.5 sin 36 = j = 50 = 50 ( j 0.294) ( + 50) = j j14.7 = j14.7 = j j14.7 = j / / =

5 95 = / = j 66.63

6 96 Smith Chart s cómputs asciads cn el análisis de líneas de transmisión pueden resultar tediss y cmplicads. Para cmbatir este prblema, en el 1939 el Sr. Smith desarrlló una herramienta que gráficamente resuelve ls prblemas asciads cn las líneas de transmisión. Dicha herramienta es cncida cm el Smith Chart. Aún hy en día cn la prliferación de calculadras prgramables y cmputadras, el Smith Chart cntinúa siend una imprtante herramienta. Más aún, muchs sftware packages e instruments cm el netwrk analyzer l utilizan. a ventaja de la herramienta gráfica es que le da al usuari una idea de ls cmprmiss de diseñ que se pueden realizar. El Smith Chart se encuentra en el plan cmplej del ceficiente de reflexión de vltaje. j r = e cs r + j sin r dnde = r + j i r = cs r i = sin r

7 97 En la siguiente figura el punt A crrespnde al ceficiente de reflexión de vltaje A = j 0.4 = 0.5 / tan = 0.5 / Es imprtante ntar ls siguientes tres cass especiales: = 1 / 0 = 1 + j 0 Este cas crrespnde a circuit abiert, =. El segund cas especial es = 1 / 180 = -1

8 Este cas crrespnde a un crt circuit = El tercer cas especial crrespnde a = 1 Este últim cas crrespnde a tds ls punts en el círcul unitari la circunferencia del Smith Chart. Cm en tda línea de transmisión < 1, siempre ns mantendrems perand dentr del círcul unitari. En el Smith Chart las impedancias siempre estarán nrmalizadas cn respect a la impedancia característica de la línea. a impedancia nrmalizada de carga está dada pr z = y el ceficiente de reflexión de vltaje se puede expresar cm = = 1 1 z 1 = z 1

9 99 Si en la última ecuación reslvems pr z btenems z = 1 1 a impedancia de carga nrmalizada z es un númer cmplej e incluye un cmpnente resistiv nrmalizad, al cual llamarems r, y un cmpnente reactiv nrmalizad, al cual llamarems x. z = r + j x = 1 1 = (1 r ) (1 ) r ji j i r + j x = (1 r ) (1 ) r ji j i x (1 r ) (1 ) r ji j i 2 1 (1 ) r i r + j x = 2 2 r 2 j2i i Pr l tant, (1 ) r i r = 2 2 r i 2 (1 ) i x = 2 2 r i

10 100 Estas últimas ds ecuacines que definen r y x en términs de r y i ns muestran que para cada valr de existe un únic valr de z = r + jx. Aunque n l vams a derivar, de la primera de las últimas ds ecuacines es psible btener r - r 1 r ) i = ( 1 r Esta es la ecuación de un círcul en el plan r - i cn centr en r = r 1 r, i = 0 y radi ) r Pr ejempl, si en el plan r - i graficárams tds ls psibles valres de r y i para ls cuales r = 2 btendríams el círcul marcad cm r = 2 en la siguiente gráfica..

11 101 Para el cas de r =0 la ecuación r - r 1 r ) i = ( 1 r ) 2 se cnvierte en 2 r + 2 i = 1 Est es, el cas especial r = 0 crrespnde al círcul unitari ó = 1, independiente del valr que x pueda llegar a asumir. Haciend un análisis similar es psible demstrar que a partir de es psible btener 2 (1 ) i x = 2 2 r i r 1) 2 + ( i - 1 ) 2 = ( x 1 ) 2 x Esta última ecuación define círculs cn centr en 1 1 r =1, i = x, y radi x. Cm x puede ser psitiva negativa, la última ecuación define ds familias de curvas, una crrespndiente a ls valres psitivs de

12 102 x, y tra crrespndiente a ls valres negativs de x. Veams ahra cóm pdems integrar tds ls anterires resultads: I. Utilización del Smith Chart para calcular el ceficiente de reflexión de vltaje. Asumams una impedancia de carga = 100 j50 y una impedancia característica = 50. Primer nrmalizams la impedancia de carga. z = 100 j50 50 = 2 j Ahra prcedems a marcar z en el Smith Chart. Véase el punt P en la siguiente figura.

13 103 El punt P se encuentra en la intersección del círcul r =2 y el círcul x =-1. Para calcular calculams OP = OR = 0.45 dnde R es un punt arbitrari en la circunferencia del círcul unitari.

14 104 El Smith Chart también ns da que el ángul del ceficiente de reflexión de vltaje es de Pr l tant, = 0.45 / 26.6 Asignación: Utilice el Smith Chart para calcular ls valres de crrespndientes a a) z = 2 + j 0 b) z = 1 j c) z = 0.5 j2 d) z = -j3 e) z = 0 (crt circuit) f) z = (circuit abiert) g) z = 1 (impedancia de carga macheada a impedancia característica) Cntestacines: a) = 0.33 b) = 0.45 / 63.4 c) = 0.83 / 50.9 d) = 1 / 36.9 e) = -1 f) = 1 g) = 0

15 105 II. Utilización del Smith Chart para calcular la impedancia de entrada a una línea de transmisión medida a una distancia de l metrs de la carga. l in Cm de cstumbre, cmenzams nrmalizand la impedancia de carga. z = Ya habíams vist que z = 1 1 Si definims l cm el ceficiente de reflexión de vltaje desfasad 2 l radianes hacia el generadr, entnces z in = 1 l 1 l

16 106 Est es, al desplazarns l metrs hacia el generadr, 2 l radianes hacia el generadr, y z sufren el mism desfase, cnvirtiéndse el primer en l y el segund en z in. De la misma frma que es transfrmad en l, z es transfrmada en z in. En el Smith Chart, transfrmar en l implica mantener cnstante y disminuir la fase r pr 2l radianes, l que crrespnde a una rtación en la dirección de las manecillas del relj (i.e. clckwise) hacia el generadr. Pdems ntar que cm una vuelta cmpleta revlución alrededr del Smith Chart crrespnde a 2 radianes, entnces dicha vuelta crrespnde al siguiente larg de la línea de transmisión: 2 2 l = 2 l = 2 => l = 2 metrs Est es, una vuelta cmpleta alrededr del Smith Chart crrespnde a 2 metrs.

17 107 Si ns preguntams cóm pdems analizar líneas de transmisión cuy larg sea mayr a 2 metrs, verems que la slución es muy sencilla. Tan sl se requiere restarle al larg riginal de la línea de transmisión un múltipl enter de medis largs de nda hasta terminar cn una fracción de larg de nda que n exceda 2 metrs. Una vez hech est, analizams la línea. Veams un ejempl numéric. Cnsiderems una línea de transmisión sin pérdidas de 50 que termina en una impedancia de carga igual a = 100 j50. Ns piden que calculems la impedancia de entrada a una distancia de 0.1 de la carga. Cm de cstumbre, nuestr primer pas es nrmalizar la impedancia de carga. z = 100 j50 50 = 2 j Ahra prcedems a marcar esta impedancia en el Smith Chart. Véase el punt A en el siguiente diagrama.

18 108 Ahra ns desplazams 0.1 metrs hacia el generadr. Est es, a partir de una distancia de 0.287rtams 0.1clckwise hacia el generadr. Esta rtación la hacems utilizand un cmpás de frma que pdams garantizar que mantenems cnstante la magnitud del ceficiente de reflexión de vltaje.

19 109 Al círcul de magnitud de ceficiente de reflexión cnstante también se le cnce cm el círcul de cnstante, el SWR circle (i.e. standing wave rati circle). a impedancia de entrada nrmalizada crrespnde a la lectura en el punt B. Est es, z in = 0.6 j 0.66 Cm pas final, multiplicams z in pr para btener in. Est es, in = 50 (0.6 j 0.66) = 30 j 33 El cnjunt de punts entre A y B crrespnde a ls distints punts a l larg de la línea de transmisión según ns desplazams desde la carga hasta la entrada de la línea de transmisión. Asignación: Para cada un de ls siguientes cass utilice el Smith Chart para calcular la impedancia de entrada nrmalizada para una línea de transmisión sin pérdidas de larg l y que termina en una impedancia de carga nrmalizada z. a) l = 0.25 z = 1 + j0

20 110 b) l = 0.5 z = 1 + j c) l = 0.3 z = 1 j d) l = 1.2 z = j0.5 e) l = 0.1 z = 0 (crt circuit) f) l = 0.4 z = j3 g) l = 0.2 z = (circuit abiert) Cntestacines: a) z in = 1 + j0 b) z in = 1 + j c) z in = j0.84 d) z in = j0.66 e) z in = 0 + j0.73 f) z in = 0 + j0.72 g) z in = 0 - j0.32

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