3. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES

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1 3. CONCEPTO SICOS DE PROILIDDES Dr. Edgar cuña UNIVERSIDD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITRIO DE MYGUEZ

2 3. Espacio Muestral y Evetos 3.. Experimetos leatorios y Espacios Muestrales U experimeto es ua observació de u feómeo que ocurre e la aturaleza. Tipos de experimetos: Experimetos Determiísticos: So aquellos e dode o hay icertidumbre acerca del resultado que ocurrirá cuado éstos so repetidos varias veces. Experimetos leatorios: So aquellos e dode o se puede aticipar el resultado que ocurrirá, pero si se tiee ua completa idea acerca de todos los resultados posibles del experimeto cuado éste es ejecutado. ESM 400 Edgar cuña 2

3 3. Espacio Muestral y Evetos cot. Espacio Muestral: Es el cojuto de posibles resultados de u experimeto aleatorio. Represetaremos el espacio muestral S y cada elemeto de él es llamado u puto muestral. Ejemplo: Exp : Lazar u dado y aotar el úmero que aparece e la cara superior. { } S,2,3,4,5,6 Exp 2: Lazar u par de moedas y aotar el resultado que aparece e cada ua de ellas. S 2 { CC, CX, XC, XX} Exp 3: U vededor de la Eciclopedia ritáica visita tres casas ofreciedo la colecció y se aota V si vede o N si o vede e cada casa. S 3 { VVV, VVN, VNV, VNN, NVV, NVN, NNV, NNN} Exp 4: Se aota el úmero de boletos de lotería que hay que comprar hasta gaarse el premio mayor. S 4 {,2,3,... } Exp 5: Se aota el tiempo que hay que esperar para ser atedidos e u aco. s t : 0 0, { } [ 5 t ESM 400 Edgar cuña 3

4 3. Espacio Muestral y Evetos cot. Tipos de espacios muestrales: Espacios muestrales discretos: So espacios muestrales cuyos elemetos resulta de hacer coteos, y por lo geeral so subcojutos de los úmeros eteros. Espacios muestrales cotiuos: So espacios muestrales cuyos elemetos resulta de hacer medicioes, y por lo geeral so itervalos e la recta Real. ESM 400 Edgar cuña 4

5 3..2. Evetos U Eveto es u resultado particular de u experimeto aleatorio. E térmios de cojutos, u eveto es u subcojuto del espacio muestral. Por lo geeral se le represeta por las primeras letras del alfabeto. Ejemplo: : Que salga u úmero par al lazar u dado. E: Que haya que esperar más de 0 miutos para ser atedidos. Eveto Nulo: Es aquél que o tiee elemetos. Se represeta por φ. Eveto Seguro: Es el espacio muestral que puede ser cosiderado como u eveto. ESM 400 Edgar cuña 5

6 3..3. Relacioes etre evetos Uió de evetos: Dados dos evetos y de u mismo espacio muestral su uió se represeta por y es el eveto que cotiee los elemetos que está e oe, o e ambos. El eveto ocurre si al meos uo de los dos evetos ocurre. Dada ua colecció,... de evetos, su uió deotada por U, i ocurre si al meos uo de los, i ocurre. i i S ESM 400 Edgar cuña 6

7 3..3. Relacioes etre evetos cot Itersecció de evetos: Dados dos evetos y de u mismo espacio muestral su itersecció se represeta por y es el eveto que cotiee los elemetos que está e y al mismo tiempo. El eveto ocurre cuado los evetos ocurre simultáeamete. Dada ua colecció,..., de evetos, su itersecció deotada por I i ocurre si todos los i evetos, i ocurre a la vez. i S ESM 400 Edgar cuña 7

8 3..3. Relacioes etre evetos cot Eveto Complemeto: El complemeto de u eveto se represeta por y es el eveto que cotiee todos los elemetos que o está e. El eveto ocurre si o ocurre. ESM 400 Edgar cuña 8

9 ESM 400 Edgar cuña Relacioes etre evetos cot Propiedades de relacioes etre evetos: Sea, y C elemetos de u mismo espacio muestral S etoces: Propiedad Comutativa:, 2 Propiedad sociativa:, 3 Propiedad Distributiva:, 4 Leyes de De Morga:, Todas estas propiedades se puede aplicar a más de dos evetos. C C C C C C C C

10 3.2 Métodos de asigar Probabilidades 3.2. Método xiomático: La Probabilidad es cosiderada como ua fució de valor real defiida sobre ua colecció de evetos de u espacio muestral S que satisface los siguietes axiomas:. P S 2. Si es u eveto de S etoces P Si, i es ua colecció de evetos disjutos por pares etoces P U i P i. Esta es llamada el axioma de aditividad i i cotable. sumiedo que φ se sigue del axioma 3 que PU i P i, ésta es llamada la propiedad de aditividad i i fiita. ESM 400 Edgar cuña 0

11 Propiedades de la probabilidad. P φ 0 2. P P 3. Si etoces P P 4. La Regla ditiva de la probabilidad P U P + P P ESM 400 Edgar cuña

12 Tabla de doble etrada para relacioar las probabilidades de dos evetos P P P P P P P P ESM 400 Edgar cuña 2

13 Ejemplo.. Jua y Luis está solicitado ser admitidos e ua uiversidad. La probabilidad de que Jua sea admitido es 0.7 y la probabilidad de que Luis sea admitido es 0.6. La probabilidad de que ambos sea admitidos es.45. a Cuál es la probabilidad de que solamete uo de ellos sea admitido? b Cuál es la probabilidad de que al meos uo de ellos sea admitido? c Cuál es la probabilidad de que iguo de los dos sea admitido? Solucio: PJ.7, PL.6 P J L. 45 a P J L + P J b P JUL c P J L L P JUL P JUl.5 ESM 400 Edgar cuña 3

14 S J L Diagrama de Ve para el ejemplo. J No J L No L Tabla de clasificacio cruzada para el ejemplo. ESM 400 Edgar cuña 4

15 Ejemplo.2. Ua empresa tiee dos maeras y de presetar u uevo producto al mercado. Si preseta el producto de la maera la probabilidad de que el producto sea exitoso es 0.44 y si lo preseta de la maera la probabilidad de éxito se reduce a La probabilidad de que el producto fracase co ambas maeras de presetació es Cuál es la probabilidad de que el producto sea exitoso co ambas formas de presetació? Solució: Los evetos so: : Que el producto sea exitoso co la maera y : que el producto seaexitosocolamaera. Teemos que hallar P El problema puede ser resuelto aplicado la Ley de Morga y la regla aditiva pero usaremos e su lugar diagramas de Ve y tabla de clasificacio cruzada. P P P + P P P. ESM 400 Edgar cuña 5

16 S Diagrama de Ve para el ejemplo Tabla de clasificacio cruzada para ejemplo.2 ESM 400 Edgar cuña 6

17 ESM 400 Edgar cuña 7 La regla aditiva de la probabilidad se puede aplicar a mas de dos evetos. si para tres evetos, y C se tiee que C P C P C P P P C P P UUC P Formula de Iclusio-Exclusio: Sea, 2,. evetos de u mismo espacio muestral S, etoces I U i k j i k j i j i j i i i i i i P P P P P... + < < < + +

18 Probabilidades-Método Clásico U espacio muestral fiito S { w,..., w } se dice que es Equiprobable si cada uo de sus elemetos tiee la misma probabilidad de ocurrecia, es decir para todo P w i, i,..., Ejemplo.3. Se laza u par de dados legales y distiguibles, etoces su espacio muestral dado por: S { i, j : i, j,2,3,4,5,6 } tiee 36 resultados, cada uo de ellos co probabilidad de ocurrecia /36. ESM 400 Edgar cuña 8

19 Probabilidades- Método Clásico Defiició. Si u experimeto aleatorio tiee u espacio muestral equiprobable S que cotiee# S elemetos y es u eveto de S que ocurre de # maeras distitas etoces la probabilidad de ocurrecia de es: P # # S Ejemplo.4. Cuál es la probabilidad de que salga suma mayor que 7 al lazar u par de dados? Solució: El eveto : Suma mayor que 7, icluye los resultados que da suma 8, 9, 0, ó 2 y éstos ocurre de 5, 4, 3, 2 y maeras repectivamete. Luego # 5, por lo tato P ESM 400 Edgar cuña 9

20 Ejemplo.5. U oficial de matrícula asiga al azar 2 estudiates: y a 4 seccioes: S, S 2, S 3 y S 4 de u curso. Cuál es la probabilidad de que: a Los dos estudiates sea asigados a la misma secció? b Nigú estudiate sea asigado a la secció S3? c l meos u estudiate sea asigado a la secció S? Solució: La siguiete tabla represeta el espacio muestral del experimeto S S2 S3 S4 S S2 S3 S a Sea el eveto : Los dos estudiates so asigados a la misma secció. # P # S 4 6 ESM 400 Edgar cuña 20

21 bsea el eveto : Nigú estudiate es asigado a la secció S3 # 9 P # S 6 c Sea el eveto C: l meos u estudiate es asigado a la secció S. # C P C # S 7 6 ESM 400 Edgar cuña 2

22 3.2.3 Probabilidades-Método Frecuecial Si u experimeto se repite veces y de esas veces ocurre el eveto, etoces la frecuecia relativa de se defie por f. Se puede otar que: a f S b f 0 c Si y so evetos disjutos etoces f f + f Es decir satisface los axiomas de probabilidad. Defiició. La probabilidad del eveto es el valor al cual se aproxima f cuado el experimeto se ha repetido u gra úmero de veces. O sea: ESM 400 P Edgar cuña 22

23 3.2.5 Probabilidades-Método Subjetivo lguas persoas de acuerdo a su propio criterio geeralmete basado e su experiecia, asiga probabilidades a evetos, éstas so llamadas probabilidades subjetivas. Por ejemplo: La Probabilidad de que llueva mañaa es 40%. La Probabilidad de que haya u terremoto e Puerto Rico ates del 2000 es casi cero. La Probabilidad de que el caballo Camioero gae el clásico del domigo es 75%. ESM 400 Edgar cuña 23

24 3.3. plicació de técicas de coteo al Cálculo de Probabilidades 3.3. Regla Multiplicativa del coteo: Si u experimeto I ocurre de m maeras distitas y u experimeto II ocurre de maeras distitas etoces, el experimeto compuesto de I seguido de II ocurre de maeras. La regla multiplicativa se puede geeralizar de la siguiete maera: Si u experimeto compuesto de k experimetos simples, cada uo de los cuales se puede efectuar de i, i k maeras distitas, etoces el experimeto compuesto se puede efectuar de 2... k maeras distitas. ESM 400 Edgar cuña 24

25 Ejemplo.6 Ua cotraseña para accesar a ua computadora cosiste de 6 caracteres que puede ser letras 26 o úmeros 0. a Cuátas cotraseñas distitas se puede formar? b Cuátas cotraseñas distitas se puede formar coteiedo sólo úmeros? c Cuátas cotraseñas distitas se puede formar si debe teer por lo meos ua letra? Solució: ESM 400 Edgar cuña 25

26 3.3.2 Permutacioes Ua permutació es u arreglo ordeado de objetos distitos. Por ejemplo, las permutacioes de tamaño 2 que se puede hacer co las letras, y C so:, C, C,, C y C. Haciedo uso de la regla multiplicativa del aálisis combiatorio se desprede que: i El úmero de permutacioes de objetos tomados todos a la vez está dado por P,! 2... ii El úmero de permutacioes de objetos distitos tomados de r e r está dado por:! P, r... r + r! Recordar que 0!. ESM 400 Edgar cuña 26

27 Ejemplo.7 Ocho atletas compite e la fial olímpica de los 0 metros co vallas. sumiedo que ellos cruza la meta e distitos istates. Cuátas maeras distitas hay para etregar las medallas de oro, de plata y de broce? Solució: El primer premio puede ser etregado de 8 maeras, el segudo de 7 y el tercero de 6, luego por la regla multiplicativa hay maeras distitas de etregar los premios. Claramete, esto es: P, !! ESM 400 Edgar cuña 27

28 Ejemplo.8 Cuatro turistas llega a u pueblo que tiee 6 hoteles. Si los turistas elige al azar el hotel dode se va a alojar. Cuál es la probabilidad de que: a Todos ellos se hospede e hoteles distitos? b Por lo meos dos de ellos se hospede e el mismo hotel? Solució: Cada uo de los 4 turistas tiee 6 maeras distitas de hospedarse por lo 4 tato, el experimeto puede ocurrir de # S 6 maeras. a Sea el eveto : Que los 4 turistas se hospede e distitos hoteles. Esto puede ocurrir de # maeras. Luego, P 4 b Sea el eveto : Por lo meos dos turistas se aloje e el mismo hotel. Este 3 eveto es simplemete el complemeto del eveto. Luego, P P ESM 400 Edgar cuña 28

29 3.3.3 Combiacioes Ua combiació es ua selecció de objetos dode el orde e que estos ha sido escogidos o iteresa. Por ejemplo, las combiacioes que se puede hacer co los objetos:, y C elegidos de dos e dos so:, C y C. Observe que el úmero de permutacioes obteidas ateriormete fue el doble. El úmero de combiacioes de objetos tomado de r e r está dado por: r! r! r! P, r r! Como 0!, se tiee que 0 ESM 400 Edgar cuña 29

30 Ejemplo.9 Ua señora tiee 8 amigas y desea ivitar a 5 de ellas a ua fiesta. De cuátas maeras puede hacerlo si dos de ellas está eojadas etre si y o puede ser ivitadas jutas? Solució: 6 Hay 20 ivitacioes posibles dode las dos persoas e 3 disputa puede ser ivitadas jutas, y hay u total de 8 56 ivitacioes que se puede hacer. 5 Luego, usado complemeto hay ivitacioes dode las dos persoas eemistadas o aparece jutas. ESM 400 Edgar cuña 30

31 Ejemplo.0 El juego de la LOTTO de Puerto Rico cosiste e acertar 6 úmeros etre el y el 42. El primer premio se otorga a los que acierta los 6 úmeros, el segudo premio a los que acierta 5 de los 6, y el tercer premio a los que acierta 4 de los 6. Si ua persoa compra u boleto de la LOTTO. Cuál es la probabilidad de que se gae: a El primer premio? b El segudo premio? c El tercer premio? Solució: Sea : Total de maeras como puede salir el úmero premiado. Claramete, 42 como el orde o importa # S 5'245,786 6 a Sea el eveto : Sacarse el primer premio. Sólo hay ua maera como puede ocurrir esto, y es cuado los 6 úmeros elegidos e el sorteo so los que el jugador tiee. O sea, #, y e cosecuecia P/5 245, ESM 400 Edgar cuña 3

32 b Sea el eveto : Sacarse 5 de los 6 úmeros. Uo de los 6 úmeros del apostador NO es extraido e el sorteo, luego P '245,786 5'245,786 c Sea el eveto C: Sacarse 4 de los 6 úmeros. E este caso, dos de los 6 úmeros del apostador NO sale e el sorteo, luego y P C '245,786 5'245,786 ESM 400 Edgar cuña 32

33 3.4 Probabilidad Codicioal Sea y dos evetos de u mismo espacio muestral S. La probabilidad codicioal de dado que ha ocurrido esta dado por: Ejemplo.. Se laza u par de dados legales y distiguibles. Cuál es la probabilidad de que solamete uo de los dos dados sea par si se sabe que la suma de los dos es mayor que 8? Solució: Sea los evetos : Que solamete uo de los dos dados sea par y el eveto codicioate : Que la suma sea mayor que 8. Claramete # y # 6. Luego P / 6 0. ESM 400 P / P P 0 # # Edgar cuña 33

34 Ejemplo.2 E ua ciudad se hizo ua ecuesta acerca de la opiió de las persoas adultas co respecto a ua ley del gobiero. La siguiete tabla muestra los resultados de la ecuesta clasificados segú el sexo del etrevistado. ESM 400 favor E cotra bsteidos Total Hombre Mujer Total Se elige al azar ua persoa a Cuál es la probabilidad de que favorezca la ley si resulta ser mujer? b Cuál es la probabilidad de que sea mujer si resulta estar e cotra de la ley? c Cuál es la probabilidad de que sea hombre si la persoa elegida o se abstuvo de opiar? Edgar cuña 34

35 3.4. Regla del Producto. Dados los evetos y de u mismo espacio muestral, la probabilidad de que ambos ocurra esta dado por: P P P / Ejemplo.3. Segú la Comisió Electoral de u país, el 90 por cieto de las esposas vota si sus esposos lo hace, y el 20 por cieto vota si su esposo o lo hace. demás el 70 por cieto de los hombres casados vota. Se elige al azar u matrimoio. Cuál es la probabilidad de que: a ambos esposos vote? b sólo uo de los esposos vote? c vote la esposa? d al meos uo de los esposos vote? ESM 400 Edgar cuña 35

36 . Diagrama de arbol para el ejemplo.3 Esposo Vota Esposo Vota PV V P V V P V V PV V ESM 400 Edgar cuña 36

37 La Regla de la cadea para probabilidades Sea, 2,.. evetos de u mismo espacio muestral S, etoces P 2... P P 2 / P 3 / 2... P /... ESM 400 Edgar cuña 37

38 3.4.2 Probabilidad Total y Regla de ayes Regla de la Probabilidad Total: Sea,, ua colecció de evetos que forma ua partició del espacio muestral S esto es U i S y i j φ para i j. Sea otro eveto defiido i sobre S etoces: P P i P / i Notar que: P U i i S i U i i. plicado la propiedad Distributiva:, la uió es disjuta, y y aplicado el tercer axioma: P i. Fialmete, se aplica la regla del producto a cada i térmio de la suma. Para ua partició de S e dos evetos y se obtiee: P P P / + P P / ESM 400 Edgar cuña 38

39 Ejemplo.4 El 70 % de los pacietes de u hospital so mujeres y el 20% de ellas so fumadoras. Por otro lado el 40 % de los pacietes hombres so fumadores. Se elige al azar u paciete del hospital. Cuál es la probabilidad de que sea fumador? Solució: Sea los evetos F: Que el paciete sea fumador, H: Que el paciete sea hombre y M: Que el paciete sea mujer. Claramete, P F PM PF / M + PH PF / H, luego se tiee: M. 7, P P H. 3 P F / M. 2 y P F / H. 4, sustituyedo estos valores e la fórmula aterior: P F , ESM 400 Edgar cuña 39

40 Diagrama de árbol para el ejemplo.4 ESM 400 Edgar cuña 40

41 La Regla de ayes ajo las mismas codicioes de la regla de probabilidad total, se cumple que: P j / P P / i j P P / i j i P j Por defiició de probabilidad codicioal P j / y P aplicado la regla del producto e el umerador y probabilidad total e el deomiador se obtiee la regla de ayes. La fórmula permite calcular facilmete probabilidades codicioales, llamadas probabilidades aposteriori siempre y cuado se coozca las probabilidades a priori P j, y las probabilidades codicioales P / j ESM 400 Edgar cuña 4

42 Ejemplo.5 Ua prueba para diagosticar cácer lo detecta e el 95% de persoas que efectivamete tiee la efermedad y e el % de las persoas que o tiee la efermedad. Por estudios previos se ha determiado que sólo el.5% de las persoas sometidas a la prueba tiee efectivamete cácer. Si la prueba da u diagóstico positivo, Cuál es la probabilidad de que la persoa tega realmete cácer? Solucio: PC/D+PCPD+/C/[P C PD+/C+PoCPD+/oC] ESM 400 Edgar cuña 42

43 El siguiete diagrama de árbol represeta el problema. Cácer? Diagóstico + D.95 C C.005 D.05 + P CD D D.0 + P CD ESM 400 Edgar cuña 43

44 Ejemplo.6. E u hospital el 98% de los bebés ace vivos. Por otro lado, 40% de todos los partos so por césarea y de ellos el 96% sobrevive al parto. Se elige al azar ua mujer a la que o se va practicar césarea. Cuál es la probabilidad de que su bebé viva? P V P C P V / C + P C P V / C Cesarea ebé Vive P V / C.60 ESM P V / C Edgar cuña.4 * * P V.98.4 * 96.6 / C

45 Ejemplo.7 Ua empresa tiee 3 platas:, y C. La plata produce el 50% de la producció total, produce el 30% y C el 20%. El 3% de la producció de es defectuosa, mietras que el 2% de y el 5% de C tambié lo so. Se elige al azar u artículo producido por la empresa: a Cuál es la probabilidad de que el artículo elegido sea defectuoso? b Si el artículo elegido resulta ser defectuoso, Cuál es la probabilidad de que provega de la plata C? Solucio: a PDPPD/+PPD/+PC PD/C bpc/dpc PD/C/PD.00/.030/3 ESM 400 Edgar cuña 45

46 El siguiete diagrama de árbol represeta el problema. D Plata Defectuoso P D D P D D P CD C.05 ESM 400 Edgar cuña 46

47 3.5 Evetos Idepedietes Dos evetos y so idepedietes si la ocurrecia de uo de ellos o afecta la probabilidad de ocurrecia del otro. O sea: De la defiició de probabilidad codicioal se obtiee la siguiete defiició equivalete: Dos evetos y so idepedietes si: ESM 400 Edgar cuña 47

48 Evetos idepedietes cot Teorema: Si y so dos evetos idepedietes, etoces tambie lo so a y b y c y El cocepto de idepedecia se puede geeralizar a mas de dos evetos. si, si,. so evetos idepedietes. Etoces P... P... P ESM 400 Edgar cuña 48

49 Ejemplo.8 U tirador hace dos disparos a u blaco. La probabilidad de que acierte e el blaco es.8, idepedietemete del disparo que haga. Cuál es la probabilidad de que el tirador: a cierte ambos disparos? b cierte sólo uo de los dos disparos? c cierte por lo meos u disparo? d No acierte iguo de los dos disparos? Solució: Sea los evetos i: Que el tirador da e el blaco e el disparo i i, 2. Por aplicació directa de la propiedad 5 se obtiee: ESM 400 Edgar cuña 49

50 Ejemplo.9. Problema de los ecuetros ESM 400 Edgar cuña 50 Supoga que persoas que asiste a ua fiesta laza sus sombreros al cetro del salo. Luego cada persoa elige al azar u sombrero, cual es la probabilidad de que igua de las persoas elija su correspodiete sombrero? Solucio: Pigua elija su sombrero-pl meos uo elija su sombrero. Sea el eveto i que la i-esima persoa eliga su sombrero correspodiete. Luego, Pl meos ua persoa elija su sombrero correcto Usado ahora la formula de Iclusio-Exclusio de la seccio.2. se tiee U i i P!...,..., 2,,.... P P P P co i P P P P P k j i j i i i k j i k j i j i j i i i i i < < < I U

51 Ejemplo.9 cot si los elemetos de cada suma so costates. La primera sumatoria tiee elemetos. La seguda sumatoria tiee elemetos. La tercera sumatoria 2 2! tiee 2 y asi sucesivamete hasta la ultima sumatoria que tedria u 3 3! solo elemeto Sustituyedo e la ecuacio. se tedria P U i i 2! + 3!... +! P iguo elija su sombrero + 2! 3!...!.2 Cuado tiede a ifiito el lado derecho de la expresio.2 tiede a e -, usado el desarrollo e series de la fucio expoecial. ESM 400 Edgar cuña 5

52 Ejemplo.20 Sea E y F dos evetos mutuamete excluyetes e u mismo espacio muestral. Supoga que el experimeto se repite varias veces y e forma idepediete hasta que ocurra los evetos E o F. Hallar la probabilidad de que el eveto E ocurra ates que el eveto F. Solucio. El problema puede ser resuelto por codicioamieto e el primer reultado, pero aqui usaremos ua solucio mas ituitiva Sea : el eveto que E salga ates que F y sea el eveto G que i E i F sale e ua repeticio. Notar que, P G P E F P EUF P EUF P E P F Luego, E o GE o GGE o GGGE o. Luego, por idepedecia PPE+PGPE+PGPGPE+PGPGPGPE+.. PPE[+PG+[PG] 2 +P[G] 3 + ]PE./[-PG] usado la suma de ua serie geometrica. Sustituyedo PG se obtiee que PPE/[PE+PF] ESM 400 Edgar cuña 52