Ejercicios de Variables Aleatorias

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1 Ejercicios de Variables Aleatorias Elisa M. Molanes-López, Depto. Estadística, UCM Función de distribución y función de densidad Ejercicio. Sea X una variable aleatoria con función de distribución dada por, si < F ) = ), si <, si. a) Determine el valor de para que F ) sea, en efecto, función de distribución Es X una v.a. continua o discreta? b) Si = /4, cuál es la probabilidad del suceso / < X }? c) Si =, cuál es la probabilidad del suceso / < X }? Solución: a) Según la definición, el valor de ha de ser positivo. A la vista de la gráfica, para que F ) sea no decreciente, ha de suceder que + = ). Teniendo en cuenta que >, se deduce que. Con la condición <, F cumple las cuatro propiedades necesarias para ser función de distribución: * F ) = lím F ) =. * F ) = lím F ) =. * F es continua por la derecha. * F es no decreciente Si =, X es una v.a. continua con densidad f) =, si [, ]. Sin embargo, si < <, X es una v.a. mita ya que se comporta como continua en el intervalo, ), siendo su densidad f) =, si, ), y se comporta como discreta en los puntos = y =, siendo su función de probabilidad en dichos puntos, p) = y p) = ).

2 b) Si = /4, resulta que: Pr/ < X }) = F /4) F /) = 4 ) = 8. En este caso X es una v.a. mita. Si hubiésemos utilizado su función de densidad y su función de probabilidad, tendríamos que: c) Si =, resulta que: Pr/ < X }) = Pr/ < X < /4) + PrX = /4) /4 = 4 d + ) = / Pr/ < X }) = F ) F /) = ) =. En este caso X es una v.a. continua. Si hubiésemos utilizado su función de densidad, tendríamos que: Pr/ < X }) = / d =. Ejercicio. Sea X una v.a. con la siguiente función de distribución: F ) = a) Indique si X es continua o discreta. e b) Determine la función de densidad de X., si e, si >. c) Cuál es la probabilidad del suceso X }? d) Cuál es la probabilidad del suceso X = }? Solución: a) X es una v.a. continua dado que su función de distribución es continua por la derecha y por la izquierda. b) La función de densidad de X es c) Utilizando la función de distribución: f) = e, si, si >. Pr X }) = F ) F ) = e e = Utilizando la función de densidad: Pr X }) = e d + e e d = e + ) e =,7484. e + ) e =,7484.

3 d) Para toda v.a. continua sucede que PrX = ) =, para todo número real, de modo que PrX = }) =. Ejercicio. Determine el valor de para que cada una de las siguientes funciones sea función de densidad: a) f) = e, si >. b) f) = /, si < < /. c) f) = / + ), para todo número real. Solución: Las dos condiciones para que una función sea de densidad son las siguientes: * f). * f)d =. a) Por la primera condición se deduce que. De la segunda condición se deduce que: e d =. Resolviendo esta integral por partes u = y dv = e ) y usando la regla de L Hôpital, se verifica que: [ = lím lím e De donde se concluye que =. ] e + e d = e ] = = =. b) Por la primera condición se deduce que. De la segunda condición se deduce que: / d =. ) / Resolviendo esta integral, se verifica que: ] / )/ = = / + = + =,976. De donde se concluye que =,898. c) Por la primera condición se deduce que. De la segunda condición se deduce que: d =. + Resolviendo esta integral, se verifica que: = arctan)] π = π )) De donde se concluye que = /π. = π.

4 Ejercicio 4. El tiempo de retraso, medido en minutos, del AVE Sevilla - Madrid sigue una variable aleatoria continua con función de distribución, si + ) + F ) =, si < + ) +, si <, si >. a) Calcule el valor de. b) Calcule la probabilidad de que el tren llegue con menos de medio minuto de retraso. c) Calcule la probabilidad de que el tren llegue antes de la hora prevista. d) Calcule el tiempo esperado de retraso. e) Calcule la probabilidad de que el tren llegue entre medio minuto de adelanto y un minuto de retraso. f) Sabiendo que el tren ha llegado con retraso, calcule la probabilidad de que lo haya hecho menos de segundos después de lo previsto. Solución: Sea X la v.a. que mide el tiempo de retraso en minutos del AVE Sevilla - Madrid. Notése que cuando X < significa que la llegada del tren se ha producido con antelación a su tiempo de llegada previsto. En cambio, si X >, entonces el tren habrá llegado con retraso. a) Al ser X una v.a. continua, sabemos que su función de distribución, F, ha de ser continua en todo punto. De modo que, lím + F ) = F ) = =. b) PrX <, min) = F,) =, + ),) + = 7 8 =,87 = 87, %. c) PrX < ) = F ) = =, = %. d) En el caso de una v.a. continua su media o esperanza se calcula integrando en todo R su función de densidad, f), multiplicada por, es decir, E[X] = Calculemos en primer lugar, f) = df d Entonces, f) = f)d. ). Se tiene que: +, si <, si <, en caso contrario. E[X] = + )d + )d =. e) Pr, min < X < min) = F ) F,) = 7 8 =,87 = 87, %. f) Para calcular PrX < 4 X > ) hacemos uso de la definición de probabilidad condicionada: Pr X < 4 ) X > = Pr < X < 4 ) PrX > ) = F /4) F ) F ) = 7 =,47 = 4,7 %. 6 4

5 Ejercicio. Un autobús pasa por una cierta parada cada 8 minutos. Si un usuario llega a la parada, el tiempo que debe esperar es una variable aleatoria con función de densidad f t) t en minutos). Sin embargo, si el autobús lleva retraso, el tiempo de espera se distribuye según la función de densidad f t). f t) = /8, si < t < 8, en caso contrario. f t) = e t/, si t >, en caso contrario. Sabiendo que un día de cada tres, el autobús llega con retraso, calcule la probabilidad de que el usuario tenga que esperar más de minutos. Solución: En este ejercicio aplicaremos el Teorema de la Probabilidad Total. Sea R el suceso el autobús lleva retraso un día concreto. Sabemos que PrR) = /, de modo que PrR) = /. Nos piden PrT > min), siendo T la v.a. que mide el tiempo que un usuario de dicho autobús espera en la parada hasta que éste llega. Usando como partición del espacio muestral los sucesos R y R, el Teorema de la Probabilidad Total nos permite escribir PrT > min) como sigue: PrT > min) = PrT > min R) PrR) + PrT > min R) PrR). Calculemos PrT > min R) y PrT > min R): Se concluye que: PrT > min R) = PrT > min R) = 8 f t)dt = e t/] t= = e,, 8 dt = t ] t=8 = 8 t= 8. t= PrT > min) = e, + 8 =,4 = 4, %.

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