Problemas de Electromagnetismo I 2º Grado de Física. L. Soriano

Transcripción

1 Problemas de Electromagnetismo I 2º Grado de Física

2 Tema 1.- CALCULO VECTORIAL 1.1 Usar métodos vectoriales para determinar la ecuación de la recta que pasa por (-1,1,0) y (0,0,1). 1.2 Un ave va volando en línea recta con vector velocidad 10u x + 6u y + u z en km/h. Suponer que (x,y) son sus coordenadas en tierra y z es su altura. a) Si en cierto momento el ave esta en (1,2,3) ) donde estará una hora despues? )cuanto tarda en subir 10 m?. 1.3 Hallar el ángulo entre u x + u y + u z y u x + u y - u z. 1.4 Hallar por métodos vectoriales el área del triángulo con vértices en los puntos (1,1), (0,2) y (3,2). 1.5 Demuestra las siguientes identidades: a) ax(bxc) = (a.c)b - (a.b)c ; b) (axb)xc = (c.a)b - (c.b)a. 1.6 Calcula grad f en el punto (2,3,5) para un campo escalar f dado por f(x,y,z)=2sen x -x 2 y z + x e x. 1.7 Calcular las constantes a,b y c de forma que f= (x+2y+az)u x + (bx-3y-z)u y + (4x+cy+2z) u z sea irrotacional. 1.8 Hallar la derivada direccional de f = x 2 yz + 4xz 2 en el punto (1,-2,-1) y en la dirección y sentido de 2u x - u y - 2u z. 1.9 Calcular la divergencia f y el rotacional f de cada uno de los campos vectoriales: a) f(x,y,z)= xu x + yu y + zu z. b) f(x,y,z)= (x 2 + y 2 + z 2 ) (3u x + 4u y + 5u z ) 1.10 Calcular f en el punto (1,-2,1) para f = x 2 y 2 u x + 2 x y z u y + z 2 u z Demostrar las siguientes identidades: a) rot grad a = 0. b) div rot f = Calcular grad f ( f) en coordenadas cilíndricas para f(x,y,z) = z/(x 2 + y 2 ) Hallar por métodos vectoriales el ángulo que forman las superficies x 2 + y 2 + z 2 = 9 y z = x 2 + y 2-3 en el punto (2,-1,2) Demostrar que ( f ) = - 2 f + ( f) Sea r el campo vectorial r(x,y,z) = (x,y,z) el vector posición y sea r el módulo de r. Calcular r y (rr) Dado f = x y 2 u x + y z 2 u y + 2 x z u z. Calcular la circulación del vector f a lo largo de la recta que une los puntos (0,0,0) y (1,2,3). 2

3 1.17 Evaluar cada una de las integrales de línea siguientes: a) x dy - y dx a lo largo de s(t)=(cost,sent), 0 t 2π. b) yz dx + xz dy + xy dz a lo largo de la trayectoria formada por los segmentos de recta que unen a (1,0,0) a (0,1,0) a (0,0,1). c) x 2 dx - xy dy + dz entre los pumtos (-1,0,1) y (1,0,1) por la parábola z=x 2, y= Dado f = k r n u r. Calcular s f.n da, s f n da y v div A dτ donde s y τ corresponden a la esfera de radio a centrada en el origen Dado f = x y 2 u x + y 3 u y + x 2 y u z. Calcular s f. n da, s f x n da y s rot f.n da, para la superficie de la figura consistente en un cuadrado de lado 2 en el plano xy Evaluar la integral de superficie s f.n da, donde f(x,y,z)=u x + u y + z(x 2 +y 2 ) 2 u z en la superficie del cilindro x 2 + y 2 1, 0 z Comprueba el teorema de la divergencia para un campo eléctrico E = 2 r 2 u r en coordenadas esféricas. Calcula primero la integral de volumen de la divergencia del campo para una esfera de radio r=3 y despues el flujo del campo a través de la superficie que delimita tal volumen Comprueba el teorema de Stokes con f = (x + y) u x - 2 x 2 u y + x y u z y la semiesfera superior x 2 + y 2 + z 2 = Calcular directamente y aplicando el teorema de la divergencia s f.n da siendo f= 4xz u x - y 2 u y + yz u z y S la superficie del cubo limitado por x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 y z=1. 3

4 Tema 2.- CAMPOS ELECTROSTÁTICOS EN VACÍO 2.1 Calcular la carga total en cada una de las distribuciones de la figura: a) distribución uniforme lineal de carga λ 0 en una circunferencia de radio a. b) distribución uniforme superficial de carga σ 0 en un disco circular de radio a. c) distribución lineal de carga infinita a lo largo del eje z con una densidad de carga λ = λ 0 / (1+(z/a) 2 ). d) la nube electrónica alrededor del núcleo cargado Q positivamente en el átomo de hidrógeno representada por una distribución esférica de carga de densidad: ρ(r) = - (Q /πa 3 ) exp (-2r /a) donde a es el radio de Bohr. 2.2 Calcular el campo eléctrico sobre el eje z creado por una distribución lineal de carga con forma circular de densidad λ l = k sin Φ. 2.3 Calcular el campo eléctrico en cada una de las cargas puntuales situadas en los vértices del cubo de la figura. 2.4 Calcular el campo eléctrico sobre el eje z que crea una densidad de carga superficial uniforme σ s distribuida sobre una superficie cilíndrica de radio a y que se extiende desde z=-h hasta z=h. 4

5 2.5 Calcular el campo eléctrico E (x,y,z) creado por una distribución uniforme superficial de carga distribuida en una franja del plano y=0 que se extiende desde x= d/2 a x=d/2 y desde z= hasta z=. 2.6 Calcular la componente x del vector campo eléctrico en el origen para una distribución volumétrica de carga dada por ρ = ( x 2 + y 2 +z 2 ) 5/2 y distribuida en la región dada por 0 x 1, 0 y 1, 0 z Sea un cubo de lado 1mm uniformemente cargado con densidad de carga ρ = 10 6 C m -3 encerrado dentro de una esfera hueca de radio 1 m. Calcular el flujo del campo eléctrico a través de la superficie esférica. 2.8 Dadas tres distribuciones lineales de carga λ 1 = Cm -1 ; λ 2 = Cm -1 y λ 3 = Cm -1 situadas en (0,0), (3,0) y (0,4) respectivamente. Calcular E y la densidad de flujo del campo eléctrico en el punto (3,4) como suma de los campos eléctricos creados por cada una de las cargas. 2.9 Dada una superficie cilíndrica de radio a y altura h=1 en un campo E=E 0 (xu x +yu y +(z 2-1)u z ), donde E 0 es constante. Calcular el flujo de E por integración directa y por el teorema de la divergencia Calcular el campo eléctrico creado por tres distribuciones superficiales de carga paralelas e infinitas en las siguientes regiones: a) 0 < x < a; b) a < x < b; c) b < x <. 5

6 2.11 Considera un haz de electrones de forma cilíndrica con una densidad volumétrica de carga ρ = ρ 0 (1-(r/d) 2 ) Cm -3. Calcular E para d<r y d>r Determina la distribución de cargas que produce un campo eléctrico E=(r +1/r 2 ) U(r 0 -r)u r donde U(r 0 -r) es la función escalón definida por U(r 0 -r)=0 si r>r 0 y U(r 0 -r) = 1 si r<r 0 (nota: considerar δ (r 0 -r) como la derivada de U (r 0 -r) en r=r 0 ) a) En cierta región del espacio los componentes del campo eléctrico vienen dados por E x = ax, E y = ay, E z = 0. Determinar la forma de las líneas de campo y la cantidad de carga contenida en un cilindro de radio b y longitud L (con el eje z como eje de simetría). b) en otra región las componentes radial y transversal del campo eléctrico vienen dadas por E r =2p cos Θ/r 3 y E Θ =p sen Θ/r 3. Determinar la forma de las líneas de campo y la carga contenida dentro de una esfera de radio b con centro en el origen Una carga puntual Q está situada en el centro geométrico de un cubo. a) Calcular, aplicando Gauss, cuál es el flujo del campo E a través de cada una de las caras del cubo. b) Si la carga se desplaza a uno cualquiera de los vértices del cubo, cuál es ahora el flujo del campo E a través de cada una de las caras del cubo Una distribución volumétrica de carga uniforme ρ 0 tiene forma de tubo cilíndrico con radio interior a y exterior b. Se pide: a) Determinar el campo eléctrico en todas las regiones: r <a; a<r<b; r>b; b) Qué densidad de carga lineal debería situarse en r=0 para reducir el campo externo (r>b) a cero? ρ 0 b a λ 2.16 Comprobar si el campo existente en una cierta región del espacio, que viene dado por la expresión E = kx 2 u x + ky 2 u y + 10 u z, siendo k una constante, representa un campo electrostático y determinar, en su caso, la densidad de carga en dicha región. 6

7 2.17 Sea un cilindro hueco e infinito con radio interno a y radio externo b, con una densidad volumétrica de carga ρ = A r 2, siendo r la distancia al eje y A una constante. Calcular: a) El campo eléctrico E en las distintas regiones del espacio. b) La diferencia de potencial entre los puntos r = R 1 y r = R 2, siendo a < R 1 < b y R 2 >b. a b 2.18 Un alambre conductor uniformemente cargado con carga q tiene la forma de un arco de circunferencia de radio R y amplitud 2α. Calcular el campo eléctrico en el centro del círculo Sobre un plano infinito (xy) existen dos distribuciones superficiales de carga: una densidad superficial de carga uniforme -σ sobre un círculo de radio R y otra de signo contrario + σ sobre el resto del plano. Calcular el campo eléctrico E sobre el eje Z, supuesto éste que pasa por el centro del -σ círculo de la primera distribución (ver figura). NOTA: Se aconseja resolverlo mediante el principio de superposición de campos. R R α α z R φ σ d 2.20 Dos esferas conductoras y cargadas igualmente con carga Q y de y masa m se cuelgan mediante hilos de masa despreciable y aislantes, tal y como se muestra en la figura. Determinar la carga de las esferas en función de la masa m y la longitud del hilo l l α para que, cuando el sistema se encuentre en equilibrio, el ángulo formado sea α. (Tomar las esferas como cargas puntuales). Q x Q 2.21 Una carga Q está uniformemente distribuida a lo largo del perímetro de una circunferencia de radio R. Calcular la diferencia de potencial entre el centro del anillo y un punto sobre el eje del anillo que dista 3R Q R O 3R r del centro del anillo. 7

8 Tema 3.- CAMPOS ELECTROSTÁTICOS EN CONDUCTORES 3.1 La figura muestra un conductor (z<0) con una densidad superficial de carga uniforme σ = σ 0 en z=0 y una densidad volumétrica de carga ρ = ρ 0 exp (-αz) en z>0. Calcular el campo eléctrico debido a tal distribución de carga. 3.2 Considera una corona esférica conductora de radio interno a y radio externo b conteniendo una carga q en el centro. Calcular la densidad de carga inducida en las superficies esféricas interior y exterior y el potencial electrostático al que se encuentra el conductor. Repetir el problema con el conductor a potencial φ 0 en lugar de aislado. 3.3 Supóngase el sistema de la figura formado por una esfera metálica de radio R inicialmente descargada; una corteza esférica de radio 2R (concéntrica con la anterior) sobre la cual hay depositada una carga Q, distribuida uniformemente; y una corteza metálica, también concéntrica, de radio 4R que inicialmente se halla sin carga. De la esfera interior sale un cable que puede dejarse desconectado o conectarse a la cáscara exterior. Calcular los potenciales y densidades de carga de cada una de las esferas a) en el estado inicial (desconectado); b) Cuando el cable conecta la esfera interior con la cáscara exterior. 3.4 Tres láminas conductoras, paralelas de superficie S, están dispuestas como se indica en la figura. La lámina central, aislada, tiene una carga Q y las otras dos, unidas eléctricamente y separadas de la lámina central una distancia d, tienen en conjunto una carga 4Q. Determinar, suponiendo que en cada cara de cada placa la densidad de carga es uniforme, las distribuciones superficiales de carga en cada una de las dos superficies de cada lámina. 8

9 3.5 Se disponen dos láminas plano paralelas conductoras e infinitas, separadas una distancia d y conectadas eléctricamente. A una distancia d/3 de una de ellas se introduce una distribución superficial de carga positiva de espesor despreciable y densidad σ. Calcular el campo entre las dos regiones definidas entre las tres láminas. Calcular las densidades superficiales de carga inducidas en cada una de las caras de los planos conductores conectados. 3.6 Una esfera conductora contiene dos cavidades esféricas según se muestra en la figura. La esfera no está cargada, sin embargo en el centro de cada una de las cavidades esféricas hay una carga puntual q 1 y q 2 respectivamente. A una distancia r del centro de la esfera (con r>> radio esfera) está situada otra carga puntual q 3. a) Calcular la fuerza ejercida sobre la carga q 3, teniendo en cuenta que está a una distancia suficientemente grande del centro de la esfera. b) Qué se puede decir sobre las distribuciones superficiales de carga que aparecen en las superficies de la esfera conductora? q 2 q 1 r q Dos esferas conductoras, concéntricas y de radios a y b (a<b) tienen cargas q a y q b respectivamente. Calcular: a) Los potenciales de las dos esferas. b) Si la esfera de radio a se conecta a tierra, recalcular las nuevas cargas y los nuevos potenciales de las dos esferas. c) A continuación se conecta la esfera de radio b a una batería de potencial V 0, manteniéndose la de radio a unida a tierra. Calcular las cargas de las dos esferas en esta nueva configuración. 9

10 3.8 Tres esferas conductoras de radio R se sitúan alineadas con sus centros separados entre sí una distancia d (d>>r). Las esferas de los extremos están conectadas a tierra mientras que la esfera central tiene una carga Q. Calcular cuánto vale el potencial electrostático para la esfera central. R V d 3.9 Supóngase una lluvia formada por gotas de agua iguales, esféricas de 1 cm de diámetro, que tienen una carga de 3x 10-8 C cada una, repartida uniformemente por su superficie. Si las gotas se juntan unas con otras formando gotas más grandes, a) Averiguar cómo cambia el potencial y el campo eléctrico en la superficie cuando se juntan dos gotas en una sola. b) Si el campo eléctrico de ruptura del aire es de 2 x 10 7 V/m, cuántas gotas se pueden juntar antes de que salten chispas? 3.10 Tres superficies esféricas conductoras concéntricas de radios R 1, R 2 y R 3, donde R 1 < R 2 < R 3, están conectadas respectivamente a tres fuentes de potencial V 1, V 2 y V 3. a) Calcular la carga de cada una de las tres esferas. A continuación se desconectan las esferas de sus fuentes y posteriormente la esfera de radio R 2 se conecta a tierra. b) Qué carga ha pasado de la esfera de radio R 2 a tierra en esta nueva situación, respecto a la anterior configuración Una esfera conductora, descargada y de radio R 2 tiene un hueco concéntrico y de forma esférica de radio R 1. En el centro del hueco se sitúa una carga puntual +Q. a) Si la esfera está aislada, cuál será la distribución de cargas del sistema? b) Calcular el potencial y el campo eléctrico E en las distintas regiones del espacio. Si la esfera se conecta a tierra, cuál será la nueva distribución de cargas del sistema? 10

11 Tema 4.- ENERGÍA ELECTROSTÁTICA 4.1 Tres cargas puntuales de valores 1, 2 y 3 C se encuentran situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado 1m. Se pide calcular el trabajo necesario para mover tales cargas a los vértices de otro triángulo equilátero de lado 0.5 m. 4.2 Dada una esfera conductora aislada de radio R con una densidad de carga superficial σ. Calcular la energía potencial en términos de R. 4.3 Dado el campo eléctrico E=ay u x + ax u y con a = 100 voltios/m 2. Calcular a) el potencial eléctrico Φ, tomando Φ = 0 en el origen. b) el trabajo realizado por el campo cuando una carga q=10-8 C se mueve desde (-1,2) a (2,3). c) la densidad de carga en cualquier punto. 4.4 Dadas cuatro cargas puntuales en los vértices de un cuadrado de lado 6 m. según indica la figura Calcular la energía total de tal configuración con q= C. 4.5 Calcular la energía almacenada en el campo electrostático entre dos esferas concéntricas conductoras de radios R y 2R respectivamente. Las cargas en las dos esferas son iguales Q pero de signo opuesto. 11

12 4.6 Un condensador plano paralelo está cargado con carga Q. La distancia entre las placas es d y sus áreas es A. a) Calcular la energía almacenada en el condensador. b) Calcular la fuerza electrostática por unidad de área entre las placas. Desprecia los efectos de borde. 4.7 Sea una distribución esférica de carga de radio a y ρ uniforme. Si la carga total es Q calcular a) la energía necesaria para la formación del sistema mediante U=1/2 V ρφdτ. b) Repite el c álculo usando U=1/2 V ε 0 E 2 dτ. c) Si hacemos a=0, determina la energía necesaria para formar una carga puntual Q. d) Calcula la energía para traer desde el infinito la primera carga Q de un sistema de cargas. 4.8 Una esfera de radio 1 m tiene inicialmente una distribución uniforme de carga en todo su volumen de 2 μcm -3. Si en un instante dado la esfera se vuelve conductora, la carga emigra hacia la superficie. Calcular cuánto cambia la energía electrostática del sistema al pasar la esfera de aislante a conductora. 12

13 5.- MULTIPOLOS ELÉCTRICOS 5.1 Calcular el vector momento dipolar p de cada una de las distribuciones de carga representadas en las figuras a, b y c. 5.2 Cuál es la dirección y sentido de la fuerza sobre el dipolo central debida al campo de los otros dos dipolos? Hallar el módulo de la fuerza. 5.3 Un dipolo de módulo p=2/ C está situado en el origen en la dirección u z. A su campo se le añade un campo eléctrico uniforme de intensidad voltios/m en la dirección u y. En dónde será nulo el campo total? 5.4 Sea un dipolo p situado en un punto dado por r en el campo de una carga puntual q en el origen. Determinar: a) la energía de interacción del campo con p, b) el momento T correspondiente y c) la fuerza neta sobre él. 5.5 Sea un dipolo puntual p 1 en r 1 y otro p 2 en r 2. Determinar la energía de p 2 en el campo de p 1 debida a la energía de interacción dipolo-dipolo. Determinar la fuerza F 2 sobre p 2. Calcular F 2 si: a) p 1 y p 2 son paralelos entre sí pero perpendiculares a R=r 2 -r 1. b) p 1 y p 2 paralelos entre sí y paralelos a R. 13

14 5.6 Un modelo simplificado del átomo es suponer al núcleo como una carga puntual +q y a los electrones como una distribución de carga esférica uniforme de volumen τ en torno al mismo. Supongamos que un átomo así se coloca en presencia de un campo externo uniforme E 0. a) Calcular la separación de los centros de carga producida por el campo externo. b) Calcular el momento dipolar inducido en el átomo. c) Si los átomos son de un gas monoatómico con N átomos por unidad de volumen, calcular la susceptibilidad eléctrica χ y la constante dieléctrica ε. 5.7 Considérese que la molécula de amoníaco es rígida y tiene la forma de la figura, siendo l =1.5 Å y θ = 60. Los tres N átomos de hidrógeno forman un triángulo equilátero. Supóngase también que los iones son cargas puntuales que valen +e (hidrógeno) y 3e (nitrógeno). Determinar: a) el H θ l momento dipolar de la molécula de amoníaco y b) la fuerza H con que se atraerían dos moléculas separadas 1mm en la H dirección de su eje. 5.8 En un campo eléctrico uniforme E se coloca un dipolo y P eléctrico con momento dipolar p en un punto donde r el potencial es V 0. Si el dipolo es paralelo a E, a) Hallar en coordenadas polares la expresión del potencial eléctrico resultante. b) Encontrar las componentes radial y tangencial del Vo p E θ x campo eléctrico resultante. 14

15 5.9 Sean dos dipolos coplanarios p 1 y p 2 separados por el vector r 12 y orientados de forma arbitraria formando ángulos θ 1 y θ 2 con respecto a la línea que los une. Deducir la relación entre θ 1 y θ 2 en la posición de equilibrio considerando constante el valor de θ 1. Se considerarán positivos los ángulos formados en dirección contraria a las agujas del reloj. p 1 p 2 θ 1 θ Se tiene una distribución de cargas puntuales según la figura. P Calcular a) cuánto vale el momento monopolar, dipolar y el tensor cuadrupolar de la distribución de carga. b) el campo eléctrico en el punto P situado en el eje de la distribución con r>>a. r a a +q -2q +q λ = λ 0 (1-cos Φ) R Φ 5.11 Sobre un hilo metálico cuya sección es despreciable frente a su longitud y dispuesto en forma de circunferencia de radio R sobre el plano XY, se distribuye una densidad lineal de carga λ = λ 0 (1-cos Φ). Calcular los momentos monopolar, dipolar y cuadrupolar de la distribución de carga Se tiene una superficie esférica de radio R z con una densidad superficial de carga dada en coordenadas esféricas por: σ = σ 0 cos θ, σ = σ 0 cos θ donde σ 0 es una constante positiva. Calcular los momentos monopolar, dipolar y cuadrupolar de la distribución de carga. θ r y x 15

16 6. DIELÉCTRICOS 6.1 Calcular la polarización P y las densidades volumétrica y superficial de carga de polarización cuando se introduce un cilindro de radio a con carga λ (Q/m) en un medio dieléctrico l.i.h. 6.2 Un electrete tiene un momento dipolar eléctrico permanente incluso en ausencia de cargas libres. Dado un electrete esférico de radio R con vector polarización eléctrica P= P 0 r. Determinar la densidad de carga ligada ρ b, el vector desplazamiento D y el campo eléctrico E en función de r. 6.3 Sean un par de conductores coaxiales de longitud L con un dieléctrico de permitividad ε entre ellos mientras el resto del espacio esta ocupado por el aire. Suponiendo que el conductor interno esta cargado con carga +Q y el externo con carga neta 0: determinar en cada una de las regiones del sistema a) D; b) E; c) P y d) la densidad superficial de carga en los conductores y la densidad de carga de polarización en r = b y r = c. 6.4 Dada una carga puntual q en el centro de una corona esférica dieléctrica de radios externo e interno a y b respectivamente. Calcular a) D y E para r < a, a < r < b y b < r, b) la polarización eléctrica P y la densidad de carga ligada ρ b para r<a, a<r<b y r>b. 6.5 Una esfera conductora de radio a y con carga Q se introduce en un líquido dieléctrico de constante ε, quedando sumergida solo hasta su mitad. Calcular el campo eléctrico fuera de la esfera y la densidad de carga superficial en ella. 16

17 6.6 Un campo eléctrico en un medio cuya permitividad relativa ε/ε 0 es 7 pasa a otro medio de permitividad relativa 2. Si E forma un ángulo de 60 o respecto a la normal a la intercara entre ambos medios. Qué ángulo forma el campo en el segundo dieléctrico? 6.7 El espacio entre dos cilindros conductores coaxiales de longitud L= 25 cm esta relleno en su mitad con un dieléctrico de constante dieléctrica relativa ε/ε 0 = 8. Los cilindros tienen radios 0.5 y 2 cm respectivamente y están conectados a una batería de 100 V. Calcular a) los campos E y D en el aire y en el dieléctrico. b) la carga superficial inducida en el conductor interior en puntos adyacentes al aire y en puntos adyacentes al dieléctrico. c) la carga total en el conductor interior y la capacidad. 6.8 Dos placas planas, infinitas y paralelas al eje YZ están situadas en x=-d y x =+d. Si el espacio entre las placas, se rellena con un dieléctrico con permitividad dependiente del espaciado ε = 4ε 0 /(1+(x/d) 2 ) y la placa en x =+d se mantiene a potencial φ 0 con respecto a la placa en x = -d. Calcular a) el campo eléctrico y la distribución de potencial entre las placas. b) la polarización P y la densidad de carga de polarización ρ b. 6.9 Considerar un campo eléctrico uniforme E 0 en un medio de permitividad ε 1. Consideremos además una esfera dieléctrica descargada de permitividad ε 2 inmersa en el medio anterior. Calcular el campo dentro de la esfera (supuesta uniforme) si además del campo externo uniforme E 0 existe un dipolo p en el centro de la esfera. 17

18 6.10 Un cilindro dieléctrico infinito de radio b con un hueco circular en su centro de radio a se introduce en una región donde existe un campo eléctrico uniforme. Determinar el campo en la región hueca del dieléctrico Un condensador plano paralelo contiene dos dieléctricos de constantes respectivas ε 1 y ε 2 como se muestra en la figura. Calcular su capacidad El volumen comprendido entre dos superficies esféricas conductoras y concéntricas de radio a y b (a < b) está relleno con un dieléctrico no homogéneo de constante dieléctrica ε=ε 0 /(1+Kr), donde ε 0 y K son constantes y r es la coordenada radial, de manera que se cumple que D(r) = ε E(r). Si en la superficie interior se pone una carga Q mientras que la exterior se conecta a tierra, se pide calcular: a) El vector desplazamiento en la región a < r < b. b) La capacidad del sistema. c) La densidad de carga de polarización en a < r < b. d) La densidad superficial de carga de polarización en r = a y r = b Un cable coaxial de potencia tiene un conductor interno de radio a. La región comprendida entre el conductor interno y el externo está relleno con dos capas concéntricas de dieléctricos ε 1 = 1.5ε 0 y ε 2 = 4.5ε 0 y de radios r 1 y r 2 respectivamente, según se muestra en la figura. Si el conductor exterior está conectado a tierra y el interior está conectado a un potencial de forma que produce una densidad de carga lineal homogénea λ, calcular lo siguiente:a) Los campos E, D y P en las regiones 1, 2 y 3 b) La densidad superficial de carga ligada σ b para r = a y para r = r 1 c) La densidad volumétrica de carga ligada b ρen la región 2. 18

19 7.- PROBLEMAS DE CONTORNO 7.1 Sean dos cargas +q y -q situadas en (a,0,a) y (-a,0,a) sobre un plano conductor en z=0 a potencial cero. Calcular: a) La fuerza total sobre la carga +q. b) El trabajo realizado para la formación del sistema. c) La densidad de carga superficial en (a,0,0). 7.2 Sea un dipolo eléctrico p fijo a una distancia z 0 sobre el eje z y formando un ángulo θ respecto a tal eje (p.u z = p cos θ). Si el plano xy es un conductor a potencial cero, determinar la densidad de carga en el conductor inducida por el dipolo. 7.3 El plano xz se compone de cuatro planos cargados separados con los siguientes potenciales: primer cuadrante: (x>0,z>0) Φ = Φ 0 ; segundo cuadrante: (x<0,z>0) Φ = 0; tercer cuadrante: (x<0,z<0) Φ = -Φ 0 ; cuarto cuadrante: (x>0,z<0) Φ = 0; Calcular el campo eléctrico E(x,y,z). Tener en cuenta la equivalencia que se muestra en la figura. Φ=0 Φ=Φ 0 Φ=½Φ 0 Φ=-½Φ 0 Φ=½Φ 0 Φ=-Φ 0 Φ=0 Φ=-½Φ Sean dos placas conductoras de 1 m de lado y separadas 1 mm por aire. Calcular su capacidad. Si una de las placas se gira ligeramente respecto a un eje paralelo a su borde y que pasa por el centro de la placa hasta que la separación en uno de los bordes es 0.5 mm y en el otro 1.5 mm calcular la nueva capacidad del sistema. O 1 m

20 7.5 Calcular la capacidad entre un cono conductor con su vértice separado de un plano conductor por un espacio infinitesimal y con su eje perpendicular al plano. Resolver la ecuación de Laplace en esféricas considerando el potencial solo función de θ. θ 7.6 Un conductor esférico de radio a se encuentra inmerso en una campo eléctrico P uniforme de la forma E 0 = E 0 u z.. Determinar la distribución superficial del carga en la superficie del conductor. (Sugerencias: E 0 θ r z Considerar el potencial debido al campo externo en el infinito de la forma φ 0 = -E 0 z = - E 0 r cos θ; Tomar el origen de potenciales en la superficie de la esfera.) 7.7 Un analizador electrostático de electrones cilíndrico consiste en dos cilindros conductores concéntricos con una diferencia de potencial entre ellos. Si el radio del cilindro interior es a y el del exterior b, encontrar la función φ en el espacio comprendido entre ellos si, además el cilindro interior está a tierra y el exterior está conectado a una batería que suministra un voltaje φ 0. Encontrar también la expresión para el campo eléctrico E. 7.8 Una distribución de carga de densidad ρ=a(x 2 -d 2 /4) está limitada por dos planos paralelos separados una distancia d. El eje x es perpendicular a los planos y el origen está situado en el medio de la distribución. Calcular: a) El campo eléctrico E en un punto entre los planos situado a una distancia d/4 del origen de coordenadas (utilizar la ecuación de Poisson) b) El campo eléctrico E en cualquier punto del exterior de la distribución. y d/2 d/2 x 20