PÁGINA 149 PARA EMPEZAR. La mosca y la araña. La mosca de Descartes ha acabado posándose en un cuadro. Una araña la ve y va a por ella.

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1 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 19 Pág. 1 PARA EMPEZAR La mosca y la araña La mosca de Descartes ha acabado posándose en un cuadro. Una araña la ve y va a por ella. B C D M A Describe mediante sus coordenadas las posiciones de la araña, A, y la mosca, M, así como los puntos de la trayectoria de la araña, B, C y D. A (0, 6); M (10, 11) B (, 8); C (6, 9); D (8, 10) Comprueba que todos estos puntos responden a la ecuación y = x + 6. A: y = = 6 M: y = = + 6 = 11 B: y = + 6 = + 6 = 8 C : y = = + 6 = 9 D : y = = + 6 = 10

2 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Ley de Hooke Pág. De un muelle colgamos pesas. Cuanto mayor sea la pesa, más se estira el muelle. La siguiente tabla nos da los pesos colgados y los correspondientes alargamientos del muelle: M: MASA (g) A: ALARGAMIENTO (cm) Representa los puntos y observa que están alineados. ALARGAMIENTO (cm) MASA (g) Comprueba que responden, aproximadamente, a la fórmula A = 0,9M. (0, 0): A = 0,9 0 = 0 (0, 9): A = 0,9 0 = 8,7 9 (60, 17): A = 0,9 60 = 17, 17 (90, 6): A = 0,9 90 = 6,1 6 Se puede comprobar que los demás pares también cumplen, aproximadamente, la fórmula.

3 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 10 Pág. 1 1 Dibuja, sobre unos ejes cartesianos, en papel cuadriculado, dos rectas que pasen por el origen y que tengan pendientes positivas y otras dos con pendientes negativas. Respuesta abierta. Por ejemplo: 1 y = x y = x Y y = x 1 y = x 6 X

4 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 11 Pág. 1 Representa las funciones siguientes: a) y = x b) y = x c) y = x d) y = x e) y = 1 x f ) y = 1 x g) y = x h) y = x i) y = x c) d) h) Y b) g) a) i) f) e) X Halla las ecuaciones de las rectas siguientes: Y a Y c X X b d a: y = x b: y = x c : y = x d: y = 1 x

5 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 1 Pág. 1 1 Representa las rectas de ecuaciones: a) y = x b) y = 7 x c) y = x 1 d) y = x + e) y = f) y = d) b) Y a) c) e) X f) Un muelle pende del techo y mide 7 dm. Si colgamos pesas de él, se estira proporcionalmente al peso de estas. Con kg, se estira dm. Escribe la ecuación de la función peso colgado 8 longitud total, y represéntala. La ordenada en el origen es 7 (con 0 kg de peso, el muelle mide 7 dm). La pendiente es (al aumentar kg el peso, la longitud varía dm). Por tanto: y = 7 + x 1 LONGITUD (dm) PESO (kg)

6 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Escribe la ecuación de cada una de estas rectas: Pág. a b a: Ordenada en el origen. Pendiente = 7 y = 7 x b: Ordenada en el origen =. Pendiente =. y = + x

7 8 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 1 Pág. 1 1 Escribe, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por P y tiene pendiente m: a) P (, ), m = b) P (0, ), m = 1 c) P (, 1), m = d) P (0, 0), m = 1 En los cuatro apartados utilizamos la ecuación punto-pendiente. a) y = + (x ) b) y = 1 x c) y = 1 + (x + ) d) y = x Escribe la ecuación de las rectas a y b dadas mediante sus gráficas: Y b X a a) P (, ) m = b) P (, ) m = 8 y = (x ) = x + = x 8 y = x 8 y = + (x ) = + x 8 y = 1 + x

8 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 1 Pág. 1 1 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q: a) P (, ), Q (, 6) b) P (, ), Q (, 1) c) P ( 1, 0), Q (, ) d) P ( 7, 1), Q (, ) a) m = 6 = 1 8 y = 1 (x ) b) m = c) m = d) m = 1 ( ) = 8 y = (x ) 0 ( 1) = 6 8 y = (x + 1) 6 1 ( 7) = 10 8 y = 1 + (x + 7) 10

9 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 1 Pág. 1 1 Representa estas rectas: a) x + y = 0 b) x y = 6 c) x = 1 d) y = (x + ) 6 d) Y c) a) b) X

10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 16 Pág. 1 1 El servidor de internet GUAYANDÚ tiene la tarifa GUAY, que consiste en una cuota fija mensual de 0 y 0,01 por cada minuto. Calcula el gasto, G, en función de los minutos, t, de utilización de internet, y representa la función tiempo de uso 8 gasto. G = 0 + 0,01t 0 GASTO ( ) 0 G = 0 + 0,01 t TIEMPO (min) h 0 h 0 h 0 h

11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe El servidor de internet JOMEIL tiene la tarifa CHUPY sin cuota fija. En esta modalidad, solo hay que pagar 0,0 por minuto. Calcula el gasto, G, en función de los minutos, t, de utilización de internet y representa en una gráfica la función tiempo de uso 8 gasto. Pág. G = 0,0 t 0 GASTO ( ) 0 0 G' = 0,0 t TIEMPO (min) h 0 h 0 h 0 h

12 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 17 Pág. 1 1 En las actividades de la página anterior hemos obtenido las ecuaciones de dos funciones que nos daban el gasto producido por el uso de internet con dos tarifas de pago, GUAY y CHUPY. a) Con cuántos minutos de uso pagaremos lo mismo con las dos tarifas? b) A partir de cuántos minutos mensuales es más rentable GUAY que CHUPY? 0 GASTO ( ) 0 0 GUAY G = 0 + 0,01 t 0 1 CHUPY G = 0,0 t 10 TIEMPO (min) h 0 h 0 h 0 h a) Para ver cuándo pagaremos lo mismo, podemos actuar de dos maneras: Gráficamente vemos que este punto es ( 000, 0). Es decir, las dos tarifas cobran 0 si el uso de Internet ha sido de 000 min = h 0 min. Sin representación gráfica, resolvemos el sistema de dos ecuaciones: G = 0 + 0,01 t G = 0,0 t ,01t = 0,0t 8 0 = 0,01 t 8 t = 000 min Si t = 000 min, G( 000) = 0,0 ( 000) = 0. b) A partir de los 000 minutos mensuales, es más rentable GUAY que CHUPY. Esto se ve claramente en la gráfica, pues a partir de t = 000, la gráfica de GUAY está por debajo de la de CHUPY.

13 PÁGINA 18 Pág. 1 Practica Funciones lineales 1 La altura del agua de un depósito varía con el tiempo según la función a = (/)t (a en metros, t en segundos). a) Represéntala. Si la altura del depósito es m, cuál es el dominio de definición de la función? b) Es una función de proporcionalidad? c) Di cuál es la pendiente y explica su significado. a) ALTURA (m) 6 1 Dominio [0, ] 1 6 TIEMPO (s) b) Sí, porque su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. c) Pendiente: m =. Cada segundo, la altura del agua aumenta m. Esta tabla muestra la longitud de la sombra de unos postes en un momento determinado: ALTURA DEL POSTE (m) LONGITUD DE SU SOMBRA (m) 0, 1 1,, 1,,,7 6, a) Representa la función longitud del poste 8 longitud de la sombra. b) Escribe su ecuación y di cuál es la pendiente. a) SOMBRA (m) POSTE (m)

14 b) Como la recta pasa por el origen, la ecuación es de la forma y = mx. Según la tabla, si x = 1, tenemos que y =,. Por tanto, y =,x. Así, la pendiente es,. Pág. Una milla equivale, aproximadamente, a 1,6 km. a) Haz una tabla para convertir millas en kilómetros. b) Dibuja la gráfica y escribe su ecuación. a) MILLAS 1 KM 1,6,,8 6, 8 b) km millas Como pasa por el origen, la ecuación tiene la forma y = mx. Según la tabla, si x = 1, resulta que y = 1,6. Por tanto, y = 1,6x. Una receta para hacer helados recomienda poner 10 g de vainilla por cada 00 cm de leche. Encuentra la relación entre la cantidad de leche y de vainilla, y representa la función. Tenemos una relación de proporcionalidad, donde la ecuación es de la forma y = mx. Como a 00 cm de leche le corresponden 10 g de vainilla, tenemos: 10 = m 00 8 m = = 1 0 = 0,0 Por tanto, la ecuación es: y = 0,0x Y la gráfica es: VAINILLA (g) LECHE (cm )

15 El coste de una línea de telefonía móvil para internet es C = ,t (C, en ; t, en horas). a) Representa la función. b) Di cuál es la pendiente y explica su significado. Pág. a) C ( ) t (h) b) Como C = ,t, resulta que m = 1,. Significa que cada hora el coste aumenta 1,. 6 La tarifa de un técnico en reparación de electrodomésticos es de 0 por desplazamiento y 10 por hora de trabajo. a) Representa la función tiempo (h) 8 importe ( ). b) Escribe su ecuación. c) Di cuál es su pendiente y qué significa. a) I ( ) t (h) b) y c) Es una función lineal de la forma y = mx + n. Está claro que n es 0. Además, como cada hora de trabajo aumenta 10 el importe de la factura, resulta que m = 10. Por tanto, I = t.

16 7 La siguiente tabla muestra cómo varía la cantidad de agua que hay en un depósito cuando se abre un desagüe: Pág. t (min) 0 1 V ( l ) a) Representa la función tiempo 8 volumen. b) Escribe su ecuación y su dominio de definición. c) Di cuál es su pendiente y qué significa. a) V (l ) t (min) b) y c) El dominio de definición es [0, ]. La ecuación es de la forma y = mx + n. Es claro que n = 0, porque la función pasa por el punto (0, 0). Además, por la tabla vemos que cuando pasa 1 minuto, la cantidad de agua desciende en l. Por tanto, la pendiente, m, es. Así: V = 0 t. Rectas 8 Representa las rectas siguientes: a) y = x b) y =,x c) y = x d) y = a) Y b) Y c) Y d) Y X X X 1 X

17 9 Representa las rectas siguientes: Pág. a) y = x + 1 b) y = x + c) y = 8 d) y = x e) y =,x 1 f) y = x + 1 b) a) Y e) d) f) X c) 1 10 Hallar la pendiente y escribir la ecuación de las siguientes rectas: Y r 1 r A B 6 C r X Observa que r 1, r y r corresponden a funciones de proporcionalidad, por ser rectas que pasan por el origen de coordenadas. Pendiente de r 1 : las coordenadas del punto A son (1, ); por tanto, m = 1 =. La ecuación de una función de proporcionalidad adopta la forma y = mx: Ecuación de r 1 : y = x Pendiente de r : las coordenadas de B son (, ); por tanto, m =. Ecuación de r : y = x Pendiente de r : las coordenadas de C son (7, 1); por tanto, m = 1 7. Ecuación de r : y = 1 7 x

18 PÁGINA 19 Pág Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por P en cada caso: a) P (1, ) b) P ( 7, 1) a) m = 1 = 1 ; por tanto, y = 1 x. b) m = 1 = ; por tanto, y = x 7 1 Halla la ecuación de la función de proporcionalidad que pasa por el punto (, ). Por ser la ecuación de una función de proporcionalidad sabemos que la recta pasa por el origen de coordenadas. Además, por pasar por el punto (, ) la pendiente de la resta es: m = =. Por tanto, la ecuación de la recta es: y = x. 1 Escribe la ecuación de la recta de la que conocemos un punto y la pendiente, en cada caso: a) P (, ), m = b) P (0, ), m = c) P (0, 0), m = d) P (, ), m = En todos los casos, utilizamos la ecuación punto-pendiente de la recta: a) y = + (x + ) b) y = (x 0) = x c) y = x d) y = (x + ) 1 Escribe las rectas del ejercicio anterior en forma general. a) y = + (x + ) = + x + 6 = 11 + x 8 x y = 11 b) y = (x 0) = x 8 x + y = c) y = x 8 x y = 0 d) y = (x + ) 8 y = 1 (x + ) = 1 x = 16 x 8 8 x + y = 16 1 Resuelto en el libro del alumno.

19 16 a) Escribe la ecuación de cada recta: Pág. a Y 6 c b 6 X d b) Cuáles son funciones crecientes? Y decrecientes? Comprueba el signo de la pendiente en cada caso. a) a: Pasa por (, ) y (, ): m = Ecuación: y = 1 (x + ) b: Ordenada en el origen: 1. ( ) = 1 Pendiente: cuando x aumenta, y aumenta 1 8 m = 1 Ecuación: y = x c: Ordenada en el origen:. Pendiente: cuando x aumenta 1, y aumenta 8 m = 1 = Ecuación: y = + x d: Recta de pendiente 0 que pasa por (0, ). Ecuación: y = b) a: m = 1, pendiente negativa. Función decreciente. b: m = 1, pendiente positiva. Función creciente. c: m =, pendiente positiva. Función creciente. d: m = 0. Función constante, ni crece ni decrece. 17 Halla la pendiente de la recta que pasa por A y B, y escribe su ecuación en cada caso: a) A(, 1), B (, ) b) A(, ), B (, 1) c) A (, ), B ( 1, ) d) A ( 1, ), B ( 1, 1 ) a) Pendiente: m = ( 1) = b) Pendiente: m = 1 ( ) = 1 Ecuación: y = 1 + (x ) Ecuación: y = 1 (x + )

20 c) Pendiente: m = 1 = 1 = 8 d) Pendiente: m = 1 1 ( 1 ) = Ecuación: y = + 8 ( x ) Ecuación: y = + 10( x + 1 ) 1 6 = 10 Pág. 18 Asocia cada una de las rectas r, s, t, p y q a una de las ecuaciones: a) y = 1 x b) y = x + 1 Y q t r c) y = x d) y = x + e) y = p s X a) y = 1 x es la recta s. b) y = x + 1 es la recta q. c) y = x es la recta r. d) y = x + es la recta t. e) y = es la recta p. 19 Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas. Representa todas ellas en los mismos ejes y observa sus gráficas. Qué conclusión sacas? a) y = x b) y = x c) x y + 1 = 0 d) x y + = 0 a) m = b) m = c) m = d) m = Y d) c) a) b) X 1 Las cuatro rectas son paralelas. Concluimos que las rectas que tienen la misma pendiente o son paralelas o son coincidentes.

21 0 Escribe la ecuación de cada una de estas rectas y represéntalas: a) Pasa por (, ) y (1, ). b) Pasa por (/, 1) y su pendiente es 1/. c) Pasa por (, 1) y su ordenada en el origen es. d) Pasa por (, ) y es paralela a y = x. e) Es paralela al eje X y pasa por el punto (, ). f) Es paralela al eje Y y pasa por el punto (, ). Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. a) m = 1 ( ) = 6 = Pág. Ecuación de la recta: y = (x + ) b) Ecuación de la recta: y = 1 1 ( x ) c) m = 1 ( ) 0 = = Ecuación de la recta: y = + x d) Como es paralela a y = x, tenemos que m =. Ecuación de la recta: y = + (x ) e) Como es paralela al eje X, para cualquier valor de x, y tiene el mismo valor. Ecuación de la recta: y = f ) Como es paralela al eje Y, el valor de x permanece constante. Ecuación de la recta: x = a) f) Y c) d) b) X e)

22 PÁGINA 160 Pág. 1 Puntos de una recta 1 Resuelto en el libro del alumno. Comprueba que el punto (, 7) pertenece a la recta y = x 18. x = 8 y = 18 = 7 El punto (, 7) sí que pertenece a la recta y = x 18. Averigua si la recta siguiente pasa por el punto (0, 8): Y X Ecuación de la recta: y = + x x = 0 8 y = + 0 = 8 El punto (0, 8) sí que pertenece a la recta. Considera estas rectas: r : x y = 16 s : y = 7 x + 8 t : y = 7 + (x ) Cuál de ellas pasa por cada uno de estos puntos? P (1, ), Q (, 10 ), R( 0, ) r: P (1, ) 8 1 y = 16 8 y = 91? Q (, 10 ) 8 ( ) y = 16 8 y = 17? 10 R( 0, ) 8 ( 0) y = 16 8 y = La recta r pasa por el punto R( 0, ). s: P(1, ) 8 y = y = Q (, 10 ) 8 y = 7 ( ) y = 9? 10 R( 0, ) 8 y = 7 ( 0) y = 116? La recta s pasa por el punto P(1, ).

23 t: P(1, ) 8 y = 7 + (1 ) 8 y =? Pág. Q (, 10 ) 8 y = 7 + ( ) 8 y = 10 R( 0, ) 8 y = 7 + ( 0 ) 8 y = 9? La recta t pasa por el punto Q (, 10 ). Pendiente y ordenada en el origen Resuelto en el libro del alumno. 6 Halla la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de las rectas siguientes: a) x + 8y = b) x 7y = 8 c) y = 1 d) 6x y = 0 a) x + 8y = 8 8y = + x 8 y = x Pendiente: m = 8 Ordenada en el origen: n = 8 b) x 7y = 8 8 x + 8 = 7y 8 y = x Pendiente: m = 7 Ordenada en el origen: n = 8 7 c) y = 1 8 y = Pendiente: m = 0 Ordenada en el origen: n = d) 6x y = 0 8 6x = y 8 y = x Pendiente: m = Ordenada en el origen: n =

24 Aplica lo aprendido Pág. 7 Las gráficas siguientes muestran la distancia que recorre el sonido en función del tiempo, al propagarse a través de diferentes medios: DISTANCIA (km) GRANITO AGUA 1 AIRE 1 TIEMPO (s) a) Halla la pendiente de cada una y explica su significado. b) Escribe sus ecuaciones. a) Aire: Pendiente: m = 1 La pendiente indica que cada segundos, el sonido recorre 1 kilómetro. Es decir, la velocidad del sonido en el aire es de 0, ) km/s. Agua: Pendiente: m = 1, 1 = 1, La pendiente indica que cada segundo, el sonido recorre 1, kilómetros. Es decir, la velocidad del sonido en el agua es de 1, km/s. Granito: Pendiente: m = 1,7 0, = 17 =,) 6 La pendiente indica que cada segundos el sonido recorre 17 kilómetros. Es decir, la velocidad del sonido en el granito es de, 6 ) km/s. b) Aire: y = 1 x Agua: y = 1,x Granito: y = 17 x 8 Dos depósitos de agua, A y B, funcionan de la forma siguiente: a medida que A se vacía, B se va llenando. Estas son las gráficas: VOLUMEN (l ) TIEMPO (min)

25 a) Indica cuál es la gráfica de A, cuál la de B y escribe sus ecuaciones. Pág. b) Cuál es la velocidad de entrada y de salida del agua? c) En qué momento los dos depósitos tienen igual cantidad de agua? a) Función creciente: B. Ecuación: y = 10x Función decreciente: A. Ecuación: y = b) La velocidad coincide con la pendiente. x = 10 0 x Velocidad de entrada: v e = 0 Velocidad de salida: v s = 100 = 10 l/min = 0 l/min c) A los minutos los dos depósitos tienen 0 litros.

26 PÁGINA 161 Pág. 1 9 Esta es la gráfica del espacio que recorren tres montañeros que van a velocidad constante: ESPACIO (m) C B 00 A TIEMPO (min) a) Qué velocidad lleva cada uno? b) Escribe la expresión analítica de estas funciones. a) Montañero A: m = 100 Montañero B: m = 100 Montañero C: m = 00 b) Montañero A: y = 100 (x ) Montañero B: y = x Montañero C: y = 00 x Velocidad =, ) m/min. Velocidad =, ) m/min. Velocidad = 1, ) m/min. 0 Calcula c para que la recta x y = c pase por el punto (, ). El punto (, ) tiene que verificar la ecuación de la recta. Por tanto: ( ) = c 8 c = 6 1 Calcula b para que la recta x + by = 11 pase por el punto (, ). El punto (, ) tiene que verificar la ecuación de la recta. Por tanto: + b ( ) = 11 8 b = Resuelve problemas Israel y Susana, para su próximo viaje a Estados Unidos, han ido a cambiar euros por dólares. A Susana le han cambiado 189 dólares por 10 euros y a Israel le han cambiado 11, dólares por 10 euros. a) Halla la ecuación de la función que nos permite obtener cuántos dólares recibimos según los euros que entreguemos.

27 b) Cuántos dólares nos darían por 00 euros? Y por 0 euros? c) Cuántos euros tendríamos si nos hubieran dado 0, dólares? a) La función de cambio es una recta que pasa por los puntos (10; 189) y (10; 11,). Por tanto: m = , = 7,8 0 = = 6 0 Ecuación: y = (x 10) 8 y = x b) Por x = 00 : y = 6 0 Por x = 0 : y = y = dólares 0 8 y = 1 dólares c) Por y = 0, dólares: 0, = 6 x 8 x = 17 euros 0 Pág. En una agencia de alquiler de coches cobran, para un modelo concreto, 0 fijos más 0,0 por cada kilómetro recorrido. En otra agencia, por alquilar el mismo modelo, cobran 0 fijos más 0,0 por cada kilómetro recorrido. a) Obtén, en cada uno de los dos casos, la expresión analítica de la función que nos da el gasto total según los kilómetros recorridos. b) Representa, en los mismos ejes, las dos funciones anteriores. (Elige una escala adecuada, tomando los kilómetros de 100 en 100). c) Analiza cuál de las dos opciones es más ventajosa, según los kilómetros que vayamos a recorrer. a) Agencia 1: y = 0 + 0, x b) Agencia : y = 0 + 0,x 180 c) Si vamos a recorrer menos de 00 km es mejor elegir la agencia. Si vamos a recorrer más de 00 km es mejor elegir la agencia 1. Si vamos a recorrer 00 km exactos, nos da igual qué agencia elegir PRECIO ( ) Agencia 1 Agencia (00, 110) 0 DISTANCIA (km)

28 Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos siguientes: A(1, 1) B ( 1, ) C (6, 97) Para ello, halla la ecuación de la recta que pasa por A y por B, y prueba después si el punto C pertenece o no a esa recta. Ecuación de la recta que pasa por A y B: m = = Pág. Ecuación: y = 1 + (x 1) Vemos si el punto C pertenece a la recta, es decir, cumple la ecuación: y = 1 + (6 1) 8 y = 97 8 C sí que pertenece a la recta. Por tanto, los puntos A, B y C están alineados. En el contrato de trabajo, a un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas: A: Sueldo fijo mensual de B: Sueldo fijo mensual de 800 más el 0% de las ventas que haga. a) Haz una gráfica que muestre lo que ganaría en un mes según la modalidad del contrato. Toma, como x, las ventas que haga, y como y, el sueldo. b) Escribe la expresión analítica de cada función. c) A cuánto tienen que ascender sus ventas mensuales para ganar lo mismo con las dos modalidades del contrato? Qué ganancias obtendrá? a) SUELDO ( ) A B (1000, 1000) 00 VENTAS ( ) b) A: y = B: y = , x c) Sus ventas tienen que ascender a En ese momento, con cualquier alternativa cobrará

29 8 6 El precio de un viaje en tren depende de los kilómetros recorridos. Por un trayecto de 10 km, pagamos 17, y si se recorren 60 km, cuesta 9. Escribe y representa la ecuación de la recta que relaciona los kilómetros recorridos, x, con el precio del billete, y. Pág. m = = 1 10 Ecuación de la recta: y = (x 60) 10 y = x PRECIO ( ) 0 0 y = + 0,1x DISTANCIA (km) La temperatura de fusión del hielo en la escala centígrada es 0 C, y en la Fahrenheit es F. La ebullición del agua es 100 C, que equivale a 1 F. a) Encuentra la función lineal que nos da la relación entre las dos escalas y represéntala. b) Expresa en grados Fahrenheit las temperaturas siguientes: C; 6, C; 10 C. c) Pasa a grados centígrados 86 F y 6, F. a) Grados Fahrenheit ( y) Grados Centígrados (x) La recta pasa por (0, ) y (100, 1). m = = 9 Ecuación de la función: y = + 9 x

30 TEMPERATURA ( F) Pág (60, 10) (10, 0) TEMPERATURA ( C) b) x = 8 y = y = 77 8 C = 77 F x = 6, 8 y = + 9 6, 8 y = 97,7 8 6, C = 97,7 F x = 10 8 y = y = C = 0 F c) y = = + 9 x 8 x = F = 0 C y = 6, 8 6, = + 9 x 8 x = 17, 8 6, F = 17, C

31 PÁGINA 16 Pág. 1 8 En el recibo de la luz aparece esta información: CONSUMO: 1 00 kwh PRECIO DEL kwh: 0, a) Cuánto cobrarán por la energía consumida? b) Haz una gráfica y escribe la ecuación de la relación consumo-coste. Utiliza estas escalas: Eje horizontal 8 1 cuadradito = 100 kwh Eje vertical 8 1 cuadradito = 0 c) Si, además, nos cobran al mes 0 por el alquiler del equipo, cómo queda la relación consumo-coste? Represéntala junto a la anterior y escribe su ecuación. d) Qué transformación sufre el precio si añadimos el 18% de IVA? Cómo se transforma el alquiler del equipo? Representa, junto a las otras, la gráfica de la función resultante y escribe su ecuación. a) , = 80 Por 1 00 kwh cobrarán 80. b) y = 0, x 60 COSTE ( ) y =, + 0,x y = 0 + 0,x 0 y = 0,x CONSUMO (kwh) c) y = 0 + 0,x d) Coste de 1 kwh: 0, 1,16 = 0, Coste del alquiler del equipo: 0 1,16 =, Ecuación: y =, + 0, x

32 Problemas + Pág. 9 Un tornillo de 8 cm de longitud de rosca penetra 1, cm por cada tres vueltas que se le hace girar. Para colocar uno de estos tornillos en una viga de madera, se le ha dado, previamente, un martillazo, con el que ha penetrado 0, cm. a) Haz una tabla que relacione el número de vueltas que se le da al tornillo, x, con la longitud que penetra, y. Construye la gráfica de dicha relación. b) Cuál es la expresión analítica? Cuál es el paso de rosca del tornillo (longitud que penetra por cada vuelta? Cuántas vueltas habrá que darle hasta que todo el tornillo esté hundido en la viga? c) Supongamos que se ha seguido el mismo procedimiento para atravesar un listón de cm de grosor. Después de cuántas vueltas empezará el tornillo a asomar por el otro lado del listón? a) N.º DE VUELTAS (x) LONGITUD QUE ENTRA (y) 0,, l (cm) N.º DE VUELTAS b) y = 0, + 0x 8 En cada vuelta penetra 0, cm. Estará totalmente hundido para un número de vueltas x tal que: 7, = 0, + 0,x 8 x = 1 vueltas c) Después del martillazo quedan, cm de grosor por recorrer. Por tanto:, = 0, + 0,x 8 x = 8 vueltas 0 Una empresa que fabrica detergente líquido debe decidir sobre dos tipos de grifos para llenar los envases con su producto. Los envases son de paredes rectas, de 0 cm de altura, y se llenan de forma uniforme. El grifo A comienza a verter líquido en el mismo instante en que se abre el mecanismo, y llena el envase en unos 0 segundos. Recibe el siguiente envase, se completa en 0 segundos, y así sucesivamente. Cuando el grifo B recibe un envase, tarda segundos en abrirse, y lo llena en unos 10 segundos. Llega otro envase, hay una pausa de segundos y, de nuevo, 10 segundos hasta completarse.

33 a) Construye las gráficas que relacionan el tiempo de vertido, t, con la altura del líquido en el envase, a, para cada grifo, durante los 0 primeros segundos. Cuáles son las expresiones analíticas para ambas relaciones? b) En qué momento los dos grifos consiguen la misma altura del líquido en los envases? Qué altura es esa? c) Cuántos envases llena cada grifo por minuto? Qué grifo es más rentable? Pág. a) ALTURA (cm) 0 0 B) A) Grifo A: y = x Grifo B: Pasa por (, 0) y (1, 0) 0 10 m = 0 1 y = x 16 = 8 y = 0 + (x ) TIEMPO (s) b) Tendrán la misma altura cuando t = t 16. t = 8 (a los 8 segundos de abrirse el grifo A) La altura será y = 8 = 16 cm c) El grifo A llena envases por minuto ( 60 0 = ) El grifo B llena envases por minuto ( 60 1 =,8 ) Es más rentable el B. 1 Juan quiere contratar una póliza a todo riesgo para su vivienda. Estudia dos ofertas. La compañía A le cobraría 00 el primer año, con un descuento de 0 por año durante los cinco siguientes y, a partir de ahí, la cuota sería fija. La compañía B le cobraría 00 el primer año, con un descuento de por año, hasta el cuarto y, a partir de este, no habría más reducciones. Juan quiere investigar qué oferta le es más ventajosa para los próximos 10 años. a) Construye las tablas que relacionan el tiempo transcurrido, t, con el coste de la póliza, C, para los próximos 10 años. Dibuja las gráficas para ambos casos, en los mismos ejes. b) Encuentra la expresión analítica que relaciona t con C en ambos casos. En qué momento se igualan ambas cuotas? c) Calcula cuánto pagaría Juan durante los 10 primeros años en cada compañía. Cuál debe elegir?

34 a) t (años) C A ( ) Pág. t (años) C B ( ) COSTE ( ) t (años) b) C A = 00 0t si 0 t 10 si t > C B = 00 t si 0 t 00 si t > La cuota es igual cuando 00 0t = 00 t 8 t = años. A los años. c) En la compañía A pagará durante los 10 años 00. En la compañía B pagará durante los 10 años 0. Debe elegir la A.

35 PÁGINA 16 Pág. 1 En una prueba de natación, el campeón, A, ha cubierto los 0 metros en 18 segundos, mientras que el subcampeón, B, ha necesitado 0 segundos. Sin embargo, mientras B mantuvo siempre el mismo ritmo, para A la carrera tuvo dos fases. Salió muy mal, a un ritmo de un metro por segundo, y a partir de los 10 metros incrementó el ritmo de forma constante, llegando a alcanzar a B y ganando la carrera. a) Construye, en los mismos ejes, las gráficas que reflejan la relación entre el tiempo empleado, t, y la distancia recorrida, d, para ambos nadadores. b) Cuáles son las expresiones analíticas de estas relaciones? Ten en cuenta que para A tienes que distinguir entre si t está por encima o por debajo de 10 segundos. c) A qué distancia de la salida alcanzó A a B? Cuántos segundos de carrera llevaban hasta ese momento? a) e (m) 0 A B t (s) b) B 8 y = 0 0 t 8 y =,t A 8 y = 10t si 0 t 10 t 0 si 10 < t 18 La recta A pasa por (10, 10) y (18, 0). Su pendiente es: m = = 0 8 = c) Punto de alcance:,t = t 0 8 t = 16 s A alcanza a B a los 16 segundos; habrán recorrido 0 m. Al nivel del mar, el agua hierve a 100 ºC (punto de ebullición, PE). A medida que se asciende, el PE disminuye a razón de una décima de grado por cada 100 metros de elevación. a) Escribe la expresión analítica de la función que relaciona a (altura, en metros) con T (temperatura de ebullición). Construye la gráfica. b) A qué altura hervirá el agua en Ciudad de México ( 000 m de altura)? A qué altitud estaremos si el agua hierve a 90 ºC?

36 c) Juan es montañero, y sus padres viven en una ciudad costera. Ha coronado el Everest (8 80 m) y, en contacto por radio, quiere celebrar la hazaña con ellos, tomando todos una taza de té. Se sabe que, a la misma temperatura ambiente (unos 0 ºC), y aplicando el mismo tipo e intensidad de calor, el agua para una taza de té va aumentando su temperatura, hasta llegar al PE, a un ritmo de 16 ºC por minuto. Cuál será el PE del agua para la taza de té de Juan? Cuánto tiempo les llevará prepararla en cada sitio? Pág. a) T = 100 0,1 a 8 T = 100 0,001a T ( C) 1 ALTURA (km) b) Ciudad de México: T = 100 0, = 98º Si el agua hierve a 90º, la altura será: 90 = 100 0,001 a 8 a = m = 10 km c) Punto de ebullición en el Everest: T = 100 0, = 91,1º Tiempo de preparación en el Everest: (91,1 0) : 16 =, min 8 ' 6'' Tiempo de preparación en la costa: (100 0) : 16 = min Reflexiona sobre la teoría Pon un ejemplo de una función de proporcionalidad, halla tres puntos de ella y comprueba que el cociente entre la ordenada y la abscisa es constante. Cómo se llama esa constante? Respuesta abierta. La constante se llama constante de proporcionalidad. En la función y = mx + n, cómo debe ser m para que la función sea decreciente? Para que sea decreciente m tiene que ser negativa.

37 6 Representa cada una de estas rectas, e indica en cada caso si la gráfica corresponde a una función o no: a) y = b) x = c) y + = 0 d) x = 0 a) Sí, es una función constante. b) No es una función. c) Sí, es una función constante. d) No es una función. b) x = Y a) y = Pág. X c) y = d) x = 7 Escribe la ecuación de una recta paralela al eje vertical y que pase por el punto (, ). Paralela a x = 0, pasa por el punto (, ). Ecuación de la recta: x =. 8 Sean las rectas: a) y = x 1 b) x y + = 0 c) y = x + 1 d) y = x 1 Compara sus pendientes y di, sin dibujarlas, cuáles son paralelas. Después, represéntalas gráficamente y comprueba tus respuestas. Son paralelas las rectas a) y b). Y a) y = x 1 x 1 d) y = X b) y = x + c) y = x + 1

38 9 Justifica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas: a) La recta x = es paralela al eje de abscisas. b) La recta x = 0 es paralela al eje de ordenadas. c) La recta y = es paralela al eje de abscisas. d) Las rectas y = x e y = x son paralelas. a) Falsa. Porque x = es paralela al eje de ordenadas. b) Verdadera. c) Verdadera. d) Falsa. Porque la pendiente de la primera recta es y la pendiente de la segunda recta es. Pág. 0 Halla, sin representar las rectas, el punto de corte con el eje X y el punto de corte con el eje Y de cada una de estas rectas: a) x y = b) x y = 6 c) y = x d) y = x + 1 a) x 0 = 8 x = Punto de corte con el eje X: (, 0) 0 y = 8 y = Punto de corte con el eje Y: (0, ) b) x 0 = 6 8 x = Punto de corte con el eje X: (, 0) 0 y = 6 8 y = 6 Punto de corte con el eje Y: (0, 6) c) 0 = x 8 x = Punto de corte con el eje X: (, 0) y = 0 8 y = 1 Punto de corte con el eje Y: ( 0, 1 ) d) 0 = x x = Punto de corte con el eje X: (, 0 ) y = y = 1 Punto de corte con el eje Y: (0, 1)

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