TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

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1 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO EJERCICIO : Halla la tasa de variación media de la siguiente unción en el intervalo [, ] e indica si () crece o decrece en ese intervalo: T.V.M., Como la tasa de variación media es positiva, la unción es creciente en el intervalo [, ]. EJERCICIO : Dada la unción: Calcula la tasa de variación media en el intervalo [, ]. Es creciente o decreciente la unción en dico intervalo? T.V.M., Como la tasa de variación media es positiva, la unción es creciente en este intervalo. EJERCICIO : Calcula la tasa de variación media de esta unción, (), en los intervalos siguientes e indica si la unción crece o decrece en cada uno de dicos intervalos: a) b),, a) T.V.M., Como la tasa de variación media es positiva, la unción es creciente en [,]. (También se puede apreciar directamente en la gráica). b) T.V.M., La unción decrece en este intervalo. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO, APLICANDO LA DEFINICIÓN EJERCICIO : Halla la derivada de la siguiente unción en =, aplicando la deinición de derivada: ( ) ( ).( ) lim lim lim lim lim ( ) Calcula, utilizando la deinición de derivada, () para la unción lim lim lim EJERCICIO :. EJERCICIO : Halla la derivada de la unción ()=( ) en =, aplicando la deinición de derivada lim lim lim lim lim lim

2 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato EJERCICIO 7 : Aplicando la deinición de derivada, calcula ', siendo. lim lim lim FUNCIÓN DERIVADA, APLICANDO LA DEFINICIÓN lim EJERCICIO 8 : Halla (), aplicando la deinición de derivada : a) () ( ) lim lim ( ) b) c) d) e) a) lim lim lim lim lim lim lim lim b) c) d) lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim e) lim lim lim CÁLCULO DE DERIVADAS INMEDIATAS EJERCICIO : Halla la unción derivada de: a) e) i) m) b) e c) d) ln ) sen g) ) cos j) tg k) l) e n) sen ñ) o) ln p) e q) r) s) sen a) b) e c) ) d e) ) cos g) ) sen

3 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato i) k) m) ñ) tg cos j) l) e e e n) sen cos o) ln ln e e e q) p) r ) e 8 8 s) sen cos sen cos CÁLCULO DE DERIVADAS EJERCICIO : Halla la unción derivada de: a) e b) c) e e d) ln sen e) sen ) g) ) e i) m) p) t) w) z) ) ) 8 k) l) n) ln ñ) o) j) e cos 7 q) r) e sen s) u) e v) sen 7 ) y) e 7 ) 7 ) ln ) cos ) e 7) 8) a) b) c) ' e

4 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato d) e) cos cos 8 ) g) ) e e e i) e e e e j) k) l) m) n) ñ) o) p) cos cos cos cos q) r) e sen e cos sen cos s) t) u) v) w) e sen sen e sen 8 sen 8 e e e cos cos 7 8 cos cos

5 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato ) y) z) ) ) ) ) ) ) 7) 8) 8 e e cos sen cos sen e 8 e e ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EJERCICIO : Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y= + - en el punto de abscisa =. y () = ().( ) () = +. = () = + () = + = y y La recta será: EJERCICIO : Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = - que tenga pendiente 7. m = -7 = () () = = -7 = - y (-) = (-).( + ) (-) =.(-).(-) = + = (-) = -7 La recta será: y 7 y 7 EJERCICIO : Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y que sea paralela a. la recta y La pendiente de la recta es m La pendiente es igual a la derivada: y y y () = ()( - ) La recta será:

6 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato ESTUDIO DE LA MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN EJERCICIO : Estudia el crecimiento y el decrecimiento de las siguientes unciones: a) b) c) d) e) a) D() = R D( ') R () / Creciente (/,+) Decreciente (-,/) b) D() = R D() () R Mínimo (/,(/)) = (/,/) Creciente en todo R c) D() = R D( ') R () Creciente (-,) Decreciente (,+) Máimo (,()) = (,) d) D() = R ( ) D () R () Creciente (-,+) Decreciente (-,-) Mínimo (-,(-)) = (-,)

7 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato 7 e) D() = R D( ') R () / EJERCICIO : Dada la unción: Creciente (/,+) Decreciente (-,/) Mínimo (/,(/)) = (/,-/8) a) Es creciente o decreciente en =? Y en =? b) Halla los tramos en los que la unción crece y en los que decrece. 8 a) Decreciente en Creciente en b) D() = R 8 D( ') R () 8 / Creciente (/,+) Decreciente (-,/) Mínimo (/,(/)) = (/,/) EJERCICIO : Consideramos la unción: a) Crece o decrece en? Y en? b) Halla los tramos en los que la unción es creciente y en los que es decreciente. a) Decreciente en 7 Creciente en b) D() = R D( ') R () / Creciente (/,+) Decreciente (-,/) Mínimo (/,(/)) = (/,/) EJERCICIO 7 : Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la unción: 8 D() = R D( ') R 8 () 8

8 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato 8 Creciente (-,) Decreciente (,+) Máimo (,()) = (,) EJERCICIO 8 : Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente unción: D() = R D() R () / Creciente (/,+) EJERCICIO : Dada la siguiente unción: 7 Decreciente (-,/) Mínimo (/,(/)) = (/,-/) a) Es creciente o decreciente en =? Y en =? b) Halla los tramos en los que la unción es creciente y en los que es decreciente. a) Creciente en Decreciente en b) D() = R D( ') R () Creciente (-,) Decreciente (,+) Máimo (,()) = (,7) APLICACIONES DE LA DERIVADA EJERCICIO a) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva la abscisa. en? b) Es creciente o decreciente en el punto de a) y () = ()( ) () = + = - () = = - La recta será: y y Es creciente en. b) EJERCICIO : la unción : Dada a Escribe la ecuación de la recta tangente a la unción en =.

9 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato b Halla los tramos en los que la unción crece y en los que decrece. a) y () = ()( ) () = = () = = La recta será: y y b D() = R D() R () / Creciente (/,+) Decreciente (-,/) EJERCICIO : Consideremos la unción: Mínimo (/,(/)) = (/,-/) a) Obtén la ecuación de la recta tangente a en el punto de abscisa b) Halla los tramos en los que la unción crece y en los que decrece.. a) y () = ()( ) () = + = () = - = La recta será: y y b D() = R D( ') R () / Creciente (/,+) Decreciente (-,/) Mínimo (/,(/)) = (/,/) PUNTOS DE TANGENTE HORIZONTAL EJERCICIO : Halla y representa gráicamente los puntos de tangente orizontal de la unción: 8 8 s :, 7, y 8 Máimo en, 7 Mínimo en,.

10 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato EJERCICIO : alla sus puntos singulares y represéntalos, Dada la unción ', : en (,) Máimo EJERCICIO : y Averigua los puntos de tangente orizontal de la unción represéntalos ' : : 8,,.,, Máimo en Mínimo en EJERCICIO : Halla y representa gráicamente los puntos de tangente orizontal de la siguiente unción: ) ( ) ( () ', :, : ). Mínimo en (, ), ( en Máimo EJERCICIO 7 : Halla los puntos de tangente orizontal de la siguiente unción y, con ayuda de las ramas ininitas, decide si son máimos o mínimos: '

11 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato, 8, ; - 8). Mínimo en (, ) ( en Máimo, EJERCICIO 8 : Averigua los puntos de tangente orizontal de la unción: ' ',, EJERCICIO : Halla y representa gráicamente los máimos y mínimos de la unción: y D() = D( ) = R ' y,, ). - Mínimo en (, ) ( en Máimo, EJERCICIO : Determina los puntos de tangente orizontal de la unción: ' 7,, ' EJERCICIO : Halla y representa gráicamente los puntos singulares de la unción:,, ',

12 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato Máimo en (, ) Mínimo en (-,-) y (,-) REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES EJERCICIO : La siguiente gráica corresponde a la unción (). A partir de ella, indica: a Máimos y mínimos. b s de corte con los ejes. c Ramas ininitas. d Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. a) ' Hay un mínimo en ' Hay un máimo en, b),,,,, y,. c) lim ; lim, d) Decrece en, y en, ; crece en,. EJERCICIO : Dada la gráica de (), di cuáles son sus asíntotas e indica la posición de la curva respecto a ellas. Halla también los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la unción: Asíntota vertical: Posición de la curva: lim ; lim Asíntota orizontal: y Posición de la curva: La unción es decreciente en, y en,. Si Si,, y y

13 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato EJERCICIO : A partir de la gráica de (): a b c Cuáles son los puntos de corte con los ejes? Di cuáles son sus asíntotas. Indica la posición de la curva respecto a las asíntotas verticales. a (, ) b Asíntotas verticales:, Asíntota orizontal: y ) lim ; lim c lim ; lim EJERCICIO : Representa una unciónpolinómica, de la que sabemos que : lim ; lim Su derivada es en, y en,. Corta a los ejes en,,,,, y,. EJERCICIO : Representa una unción (), de la que sabemos lo siguiente: La derivada no se anula en ningún punto. La unción es decreciente. Corta a los ejes en (-, ) y en (,-) lim ; lim Tiene una asíntota orizontal en y. Además: EJERCICIO 7 : Representa gráicamente una unción (), de la que conocemos lo siguiente : Su derivada se anula en No corta a los ejes. lim ; lim, y en,.

14 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato Tiene una asíntota oblicua, que es y. Además: EJERCICIO 8 : Estudia y representa la siguiente unción: Dominio: D() = R s de corte con los ejes: Con el eje X Con el eje Y : y, (,) (, ) Ramas ininitas: lim ; lim Monotonía y etremos: D() = R D( ) R () ( ) (, ) (, ) Creciente: (-,-) (,) Decreciente: (-,) Máimo: (-,) Mínimo: (,) Curvatura y puntos de inleión: D() = D( ) = R D() R ' '() Cóncava: (-,-) Convea: (-,) de Inleión: (-,) Gráica:

15 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato EJERCICIO : Estudia y representa la unción: Dominio: D() = R s de corte con los ejes: Con el eje X Con el eje Y = y = (,) (, ) (, ) (, ) Ramas ininitas: lim ; lim Monotonía y etremos: D() = R D( ) R () ( ) Creciente: (-,) (,+) Decreciente: (-,-) (,) Máimo: (,) Mínimo: (-,-), (,-) Curvatura y puntos de inleión: D() = D( ) = R D() R ' '() Gráica: / Cóncava:, Convea:,, de Inleión:,

16 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato EJERCICIO : Estudia y representa la siguiente unción: Dominio R- {} s de corte con los ejes: Con el eje X y y Con el eje Y, Asíntota vertical: lim ; lim Asíntota orizontal: y Monotonía y etremos: D() = R {} lim, con lim, con D( y y ') R Creciente: (,), No tiene solución Decreciente: (-,) Curvatura y puntos de inleión: D() = D( ) = R {} ' Gráica:.( ) ( ).( ) ( ) ( ) No eiste ni máimo ni mínimo D() R {} '() ( ) Cóncava: (-,) Convea: (,+) No tiene solución de Inleión: No eiste

17 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato 7 EJERCICIO : Representa gráicamente la siguiente unción, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes: Dominio R {-} s de corte con los ejes: Con el eje X y, Con el eje Y y, Asíntotas verticales: lim ; lim Asíntota orizontal: lim () lim No eiste asíntota orizontal Asíntota oblicua: y = m + n () m lim lim lim n lim () m lim. lim lim () A sin t() y ( ) A sin t( ) Monotonía y etremos: D() = R {-} D( ') R ( ). ( ) Creciente: (-,-) (,+) Decreciente: (-,-) (-,) Máimo (-,-) y Mínimo (,) Curvatura y puntos de inleión: D() = D( ) = R {-} ' ( ).( ) ( ).( ) ( ).( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) D( ) R { } ' () ( ) No tiene solución Cóncava: (-,-) Convea: (-,+) de Inleión: No eiste Gráica:

18 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato 8 EJERCICIO : Estudia y representa la siguiente unción: Dominio R {} s de corte con los ejes: Con el eje X y Con el eje Y y, Asíntota vertical: lim ; lim Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el grado del denominador. lim ; lim, Monotonía y etremos: D() = R {} D( ) R Creciente: (,+) Decreciente: (-,) (,) (,+) Mínimo: (,7) ' Curvatura y puntos de inleión: D() = D( ) = R {} ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D( ') '() R {} ( ) ( ) ( ) Notienesolución Cóncava: (,) Convea: (-,) (,+) de Inleión: (,) Gráica:

19 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato EJERCICIO : Representa gráicamente la siguiente unción, estudiando los aspectos que consideres más relevantes: Dominio R - {} s de corte con los ejes: (-,;) lim ; Asíntota vertical: : lim Rama parabólica: lim ; lim Monotonía y etremos: Creciente (,+) Decreciente (-,) (,) Mínimo (,) Curvatura y puntos de inleión Cóncava: (-,;) Convea: (-;-,) (,+) de inleión: (-,;) Gráica: EJERCICIO : Estudia y representa la unción: Dominio R - {-} s de corte con los ejes: (,) lim Asíntota vertical: ; lim Rama parabólica lim ; lim Monotonía y etremos: Creciente (-,-) (-,+) Decreciente (-,-) Mínimo (-,7) Curvatura y puntos de inleión: a un número entre - y Cóncava: (-,a) Convea: (-;-) (a,+) de inleión: (a,(a)) Gráica: EJERCICIO : Estudia y representa la siguiente unción: Dominio R - {} s de corte con los ejes: (,) y (-,) lim ; Asíntota vertical: lim Rama ininitas: lim ; lim Monotonía y etremos: Creciente R {o} Curvatura y puntos de inleión: Cóncava: (-;-,8) (;,8) Convea: (--,8;) (,+) de inleión: (-,8;,) y (,8;-,) Gráica:

20 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato EJERCICIO : Estudia y representa la siguiente unción: Dominio R - {-,} s de corte con los ejes: (,) Asíntotas verticales:, lim ; lim lim ; lim () Asíntota orizontal: y ( ) Monotonía y etremos: Creciente (,) (,+) Decreciente (-,-) (-,) Máimo: (,) Curvatura y puntos de inleión: Cóncava: (-,-) (,+) Convea: (-,) de inleión: No eisten Gráica: EJERCICIO 7 : Representa gráicamente la siguiente unción, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes: Dominio R Gráica: s de corte con los ejes: (,) No tiene asíntotas verticales. () Asíntota orizontal: y ( ) Monotonía y etremos: Creciente (,+) Decreciente (-,) Mínimo: (,) Curvatura y puntos de inleión: Cóncava: (-;-,8) (,8;+) Convea: (-,8;,8) de inleión: (-,8;,) y (,8;,) EJERCICIO 8 : Dada la unción represéntala gráicamente. estudia sus aspectos más relevantes y Dominio R {} s de corte con los ejes: No eisten Asíntota vertical: lim ; lim () Asíntota orizontal: y ( ) Monotonía y etremos: Creciente (-,) Decreciente (,+) Máimo y Mínimo: No eisten Curvatura y puntos de inleión: Cóncava: R {} de inleión: No eiste Gráica:

21 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato EJERCICIO : Estudia y representa la siguiente unción: Dominio R s de corte con los ejes: (,) Asíntota vertical: No tiene () A sin t() Asíntota oblicua: y ( ) A sin t( ) Monotonía y etremos: Creciente R Máimo y Mínimo: No eisten Curvatura y puntos de inleión: Cóncava: (-,) Convea: (,+) de inleión: (,) Gráica: EJERCICIO : Dada la unción represéntala gráicamente. estudia sus aspectos más relevantes y Dominio R {} s de corte con los ejes: (-,;) Asíntota vertical: lim ; lim () A sin t() Asíntota oblicua: y ( ) A sin t( ) Monotonía y etremos: Creciente (-,) (,+) Decreciente: (,) Mínimo: (,) Curvatura y puntos de inleión: Convea: R {} de inleión: No tiene Gráica: EJERCICIO : Estudia y representa la unción: Dominio R {-} s de corte con los ejes: (;) Asíntota vertical: lim ; lim () A sin t() Asíntota oblicua: y - ( ) A sin t( ) Monotonía y etremos: Creciente (-,-) (-,+) Decreciente: (-,-) Máimo: (-,-7/) Curvatura y puntos de inleión: Cóncava: (-,-) (-,) Convea: (,+) de inleión: (,) Gráica:

22 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato EJERCICIO : Estudia y representa la siguiente unción: Dominio R {-,} s de corte con los ejes: (;) Asíntotas verticales:, lim ; lim lim ; lim () A sin t() Asíntota oblicua: y ( ) A sin t( ) Monotonía y etremos: Creciente (-;-,7) (,7;+) Decreciente (-,7;-) (-,) (;,7) Máimo (-,7;-,) Mínimo: (,7;,) Curvatura y puntos de inleión: Cóncava: (-,-) (,) Convea: (-,) (,+) de inleión: (,) Gráica: EJERCICIO : Estudia y representa la unción: Dominio R {} s de corte con los ejes: No tiene lim ; Asíntota vertical: lim Rama parabólica lim ; lim Monotonía y etremos: Creciente (-,) (,+) Decreciente (-,-) (,) Mínimo: (-,) y (,) Curvatura y puntos de inleión: Convea: R {} de inleión: No tiene Gráica: EJERCICIO : Estudia y representa la unción: Dominio R s de corte con los ejes: (,) Asíntotas verticales: No tiene. lim ; Rama parabólica lim Monotonía y etremos: Creciente (,+) Decreciente (-,) Mínimo: (,) Curvatura y puntos de inleión: Convea: R de inleión: No tiene Gráica:

23 Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato EJERCICIO : a) Dibuja la gráica de la unción: b) Ayúdate de la gráica para estudiar los siguientes aspectos de de crecimiento y de decrecimiento. : dominio,continuidad e intervalos a) Dominio R s de corte con los ejes: (,), (,8;) y (-,8;) Asíntotas verticales: No tiene. Rama parabólica lim ; lim Monotonía y etremos: Creciente (-,-) (,+) Decreciente (-,) Máimo (-,/) Mínimo: (,-) Curvatura y puntos de inleión: Cóncava: (-,-) Convea: (-,+) de inleión: (-,-/) Gráica: Y 8 X b) Dominio R Es una unción continua. Creciente en,, y decreciente en,.

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