Matemáticas Aplicadas a la Ciencias Sociales II SISTEMAS DE ECUACIONES. , a toda ecuación que pueda escribirse de la forma: ...

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1 Mtemátics Aplicds l Ciecis Sociles II SISTEMAS DE ECUACIONES Ecució liel Se llm ecució liel co icógits,,,,,, tod ecució que pued escriirse de l form: = dode,,,,, so úmeros reles El cojuto de úmeros ( α, α, α,, α ) es solució de l ecució si l sustituir ls icógits por ( α, α, α,, α ) l iguldd que result es ciert El cojuto solució de u ecució liel es el cojuto formdo por tods sus solucioes Diremos que dos ecucioes so equivletes si ls dos tiee el mismo cojuto solució Si los dos miemros de u ecució se multiplic o divide por el mismo úmero, distito de cero, l ecució resultte es equivlete l primer Sistem de ecucioes lieles Llmremos sistem de m ecucioes co icógits = = m + m + m + + m = U solució del sistem es u cojuto de úmeros ( α α, α,, α ) m, que so solució de tods ls ecucioes del sistem, es decir, so úmeros que verific simultáemete ls m ecucioes Y llmremos cojuto solució del sistem l cojuto formdo por tods ls solucioes del sistem Segú el úmero de solucioes, los sistems se puede clsificr e: SISTEMAS LINEALES COMPATIBLES Tiee solució INCOMPATIBLES No tiee solució DETERMINADOS Tiee solució úic INDETERMINADOS Tiee ifiits solucioes de 6

2 Mtemátics Aplicds l Ciecis Sociles II Dos sistems so equivletes cudo tiee el mismo cojuto solució Trsformcioes equivletes: Multiplicr o dividir todos los térmios de u ecució por u mismo úmero distito de cero Itercmir l posició de ls ecucioes Si dos ecucioes so igules o proporcioles se puede elimir u de ells Si u ecució es comició liel de otrs se puede elimir Sumr u ecució multiplicd por u costte k 0 otr Sistems homogéeos Si todos los térmios idepedietes so cero se dice que el sistem es homogéeo = = 0 m + m + m + + m = 0 Es evidete que u sistem homogéeo siempre tiee solució, y que por lo meos tiee l llmd solució trivil = = = = = 0 Por lo tto, los sistems homogéeos siempre so comptiles, y será determidos (si solo tiee l solució trivil) o idetermidos (si tiee ifiits solucioes) Ecucioes degeerds Diremos que u ecució es degeerd si es de l form: = ddo que el primer térmio de ests ecucioes es ulo, ests ecucioes solo puede ser de dos tipos: Trivil: Cudo = 0, e este cso l ecució se puede elimir Asurd: Cudo 0, e este cso l ecució o tiee solució, por tto, todo sistem que coteg u ecució surd o tiee solució, es icomptile Mtrices socids u sistem Si teemos u sistem = = m + m + m + + m = m y cosidermos ls mtrices A = m m, X =, B = m m etoces podemos escriir el sistem e otció mtricil como: de 6

3 Mtemátics Aplicds l Ciecis Sociles II m m = m m, es decir, A X = B Llmremos mtriz del sistem, A, l mtriz A = m llmremos mtriz mplid l mtriz A * = m m m m m, y m A cd sistem se le soci ls mtrices A y A* U sistem qued completmete descrito por su mtriz mplid A*, que puede verse como u form compct de escriir el sistem suprimiedo los omres de ls icógits Cd fil de A* correspode u ecució del sistem y cd colum los coeficietes de u icógit, slvo l últim que correspode los térmios idepedietes del sistem Pr recordr esto, l colum de térmios idepedietes suele escriirse seprd del resto por u rr verticl Como cd fil de l mtriz mplid represet u ecució del sistem, etre ls fils de l A* se podrá hcer ls misms opercioes que etre ls ecucioes de u sistem Ls opercioes elemetles etre fils que puede efecturse sore culquier mtriz so: - Multiplicr o dividir todos los térmios de l ecució por u mismo úmero - Itercmir l posició de ls ecucioes - Si dos ecucioes so igules ó proporcioles, elimir u de ells - Si u ecució es comició liel del resto de ls ecucioes, elimirl - Sumr ó restr u fil otr multiplicd por u úmero Cudo u mtriz se otiee de otr medite sucesivs opercioes elemetles etre fils, se dice que ms mtrices so equivletes por fils Es evidete que dos mtrices mplids equivletes por fils descrie sistems equivletes de 6

4 Mtemátics Aplicds l Ciecis Sociles II Método de Guss El método de Guss pr resolver sistems de ecucioes lieles es u reducció esclod pr oteer u sistem equivlete más secillo, cuy form permite verigur si se trt de u sistem comptile determido, comptile idetermido o icomptile y, e los csos de comptiilidd, resolverlo Podemos distiguir tres etps e el método de Guss: Etp Reducció del sistem, o de su mtriz mplid, form esclod Etp Clsificció del sistem esclodo oteido e l etp Etp Resolució del sistem esclodo cudo se comptile Etp Se dice que u mtriz es esclod si se cumple ls siguietes codicioes: - Tods ls fils de ceros, si ls hy, está e l prte iferior de l mtriz - El primer elemeto o ulo (de izquierd derech) de cd fil está situdo más l derech que el primer elemeto o ulo de l fil imedit superior Tod mtriz es equivlete por fils lgu mtriz esclod Es decir, medite opercioes elemetles etre fils, tod mtriz puede llevrse form esclod Se dice que u sistem es esclodo si su mtriz mplid es esclod Así pues, e u sistem esclodo l primer icógit de cd ecució está situd más l derech que l primer icógit de l ecució precedete Etps y Cosideremos u sistem esclodo co icógits Se r y r el úmero totl de ecucioes y el úmero de ecucioes o surds, respectivmete Etoces: Si r r el sistem es icomptile Si r = r el sistem es comptile: Determido si r = e idetermido si r < Los sistems esclodos si ecucioes surds y co el mismo úmero de ecucioes que de icógits se deomi sistems trigulres Por ejemplo, pr u sistem co ecucioes y icógits () tedrímos: Su solució se puede hllr por el método de sustitució hci rri Primero se resuelve l últim ecució pr l últim icógit: A cotiució, se sustituye el vlor hlldo de e l peúltim ecució y se resuelve pr l peúltim icógit: Después, se sustituye los vlores hlldos de y e l tepeúltim ecució y se resuelve pr l primer icógit: Sí el sistem tuvier más icógits, se resolverí de form álog 4 de 6

5 Mtemátics Aplicds l Ciecis Sociles II U sistem esclodo comptile idetermido de puede teer u de ests forms: comptile idetermido co u grdo de idetermició ó comptile idetermido co dos grdos de idetermició respectivmete Se defie como grdo de idetermició de u sistem comptile idetermido l difereci etre el úmero de icógits y el úmero de ecucioes lielmete idepedietes El grdo de idetermició idic el úmero de prámetros que se ecesit pr resolver el sistem El sistem se resuelve e fució de los prámetros de jo rri U sistem será icomptile cudo l trigulrizrlo, prezc u ecució surd Sistems de Crmer Se llm sistems de Crmer quellos que tiee igul úmero de ecucioes que de icógits y e los que el determite de l mtriz del sistem es distito de cero = = = Este tipo de sistems se puede resolver por l regl de Crmer, que dice que l solució será: =, =,, = co: = = = = 5 de 6

6 Mtemátics Aplicds l Ciecis Sociles II Teorem de Rouche Froeius U sistem de m ecucioes co icógits es comptile si y solo si los rgos de ls mtrices de coeficietes y mplid so igules, rg A = rg A* Además si el rgo es igul l úmero de icógits será determido y si es meor será idetermido Resolució de prolems medite sistems de ecucioes El leguje lgerico es u de ls herrmiets más potetes que os ofrece ls Mtemátics Esto se poe de mifiesto e l resolució de prolems medite l oteció y posterior resolució de sistems de ecucioes E todo prolem de crácter lgerico deemos de teer e cuet: Los dtos o vlores coocidos Los vlores descoocidos que deemos oteer, que llmmos icógits Ls relcioes etre dtos e icógits que d lugr ecucioes E l resolució de todo prolem de crácter lgerico coviee seguir los siguietes psos o etps: Fmilirizció co el prolem Ates de hcer d, trtremos de eteder co clridd l situció que propoe el eucido Deemos teer e cuet l situció de prtid, l de llegd y lo que deemos logrr Empleremos pr ello u o vris lecturs Búsqued de estrtegi E este tipo de prolems, el cmio recorrer será meos dificultoso si relizmos u ue elecció de icógits Es coveiete elegir ls meos posiles, y que muchs veces está relciods de form secill us co otrs Llevr delte l estrtegi Después de l elecció de icógits relizmos lo que se cooce como pltemieto del prolem, que cosiste e epresr, medite ecucioes, ls relcioes que eiste etre los dtos y ls icógits del prolem 4 Resolució del sistem de ecucioes pltedo 5 Revisr el proceso y scr coclusioes Compromos ls solucioes oteids e l resolució del sistem, sustituyedo los vlores uméricos oteidos e ls ecucioes y comprodo que qued stisfechs Por último, deemos relizr l discusió del prolem, cosistete e el eme de ls solucioes oteids e fució de ls codicioes que ofrece el eucido, es decir, compror si ls solucioes oteids tiee setido o o 6 de 6

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