MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD)

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1 MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD) Todo problema de programación lineal tiene asociado con él otro problema de programación lineal llamado DUAL. El problema inicial es llamado PRIMO y el problema asociado (sombra) es llamado el problema PRIMO. Los dos juntos son llamados problemas duales ya que ambos están formados por el mismo conjunto de datos. La solución básica factible óptima de estos problemas es tal que una puede fácilmente ser usada para la solución de la otra. La dimensión del problema de programación lineal influencia la elección del cálculo del primo o del dual. Si el primo tiene mas ecuaciones que variables, es frecuentemente mas fácil obtener la solución del dual ya que menor numero de iteraciones son requeridas. Además si el primo tiene solución, el dual tendrá solución. Una vez que el problema dual es formulado, el procedimiento de solución es exactamente el mismo que para cualquier problema de programación lineal. Mecánicamente el dual es formulado partiendo del problema primo en la siguiente forma: Si el primo es un problema de Maximización, el dual es un problema de Minimización y viceversa. 1. Los coeficientes de la función objetivo del primo se convierten en las restricciones constantes de las ecuaciones del dual. 2. Las restricciones de las ecuaciones del primo se convierten en los coeficientes de la función objetivo del dual. 3. Los coeficientes de las variables del dual en las ecuaciones restrictivas son obtenidas sacando la transpuesta de la matriz de coeficientes del primo ( los arreglos de los coeficientes en las columnas del primo se convierten en los coeficientes de las filas en el dual y viceversa ). 4. Los signos de la desigualdad son invertidos. 5. Las X n variables del primo son remplazadas por W m variables en el dual. Notación matemática: Dual Contiene m ecuaciones y n variables. Contiene n ecuaciones y m variables. La notación matricial del es: La notación matricial del Dual es: Max Z = CX Sujeto a : AX b x 0 Min Z = b t W Sujeto a : A t W C t W 0 Ultima actualización Julio M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS

2 RELACION DE LOS PROBLEMAS PRIMO Y DUAL INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I ) V a r i a b l e s R e s t r i c c i o n e s Problema de Minimización Problema de Maximización no restringida = = 0 no restringida. R e s t r i c c i o n e s V a r i a b l e s Min Z = 3X 1-2X 2 + X 3 Sujeto a : 2X 1-3X 2 + X 3 1 2X 1-3X 2 + X 3 1 2X 1-3X 2 + X X 1 + 3X 2 - X 3-1 2X 1 + 3X 2 - X 4 8 2X 1 + 3X 2 - X 4 8 2X 1 + 3X 2 - X 4 8-2X 1-3X 2 + X 4-8 x s 0 Dual Max Z = W 1 - W 2 + 8W 3-8W 4 Sujeto a : 2W 1-3W 2 + 2W 3-2W 4 3-3W 1 + 3W 2 + 3W 3-3W 4-2 W 1 - W W 3 - W 4 0 w s 0 Ultima actualización Julio M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS

3 : Min Z = 2X 1 + 3X 2 2X 1 + X 2 16 X 1 + 3X 2 20 X 1 + X 2 = 10 X s 0 Dual: Max Z=16W W 2 +10W 3 2W 1 + W 2 +W 3 2 W 1 + 3W 2 +W 3 3 W 1 0,, W 2 0, W 3 no restringida : Maximizar Z = 3X 1 - X 2 -X 1 + 2X 2 5 X 1 + 3X 2-2 X s 0 Dual: Max Z=5W 1-20W 2 -W 1 + W 2 3 2W 1 + 3W 2-1 W 1 0,, W 2 0 Ejemplo : : Min Z = -2X 1 +13X 2 +3X 3-2X 4 + X 5 + 5X 6 X 1 - X 2 + 4X 4 X 5 + X 6 = 16 X 1 + 7X 4-2X 5 + 3X 6-1 5X 2 + X 3 - X 4 + 2X 5 - X 6 5 X i 0, para 1=1,2,3 X 4 0 X 5, X 6 No restringidas Ultima actualización Julio M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS

4 Dual: Max Z=16W 1 - W 2 + 5W 3 W 1 + W W W W 3 3 4W 1 + 7W 2 - W 3-2 W 1-2W 2 +2W 3 = 1 5W 1 + 3W 2 - W 3 = 5 W 1 no restringida,, W 2 0, W 3 0 El valor óptimo en el primo, es siempre igual al valor óptimo del dual. Los valores absolutos de las variables del Dual (w`s) se encontraran en la tabla final (Optima) del primo en la fila Zj-Cj bajo las columnas de las variables que originalmente aportaron las columnas para formar la matriz identidad. De manera similar el valor absoluto de las variables del primo (x s) se encontrará en la tabla Optima del Dual en la fila Zj-Cj bajo las columnas de las variables que originalmente aportaron las columnas para formar la matriz identidad. Interpretación Económica de las variables del Dual. La solución del problema Dual representa la interpretación económica que es una forma de análisis marginal ( Que pasará si una entidad adicional del insumo es utilizada?). Las variables del Dual W m en un problema de Maximización de ganancias, son las ganancias marginales de cada insumo o producto adicional. Las variables del Dual son llamadas algunas veces costos marginales o precios sombra. Las variables del Dual W m en un problema primo de Minimización de costos, son los costos marginales de cada insumo ó producto adicional. La limitación b en las ecuaciones del determina si las variables del Dual se relacionan en insumos ó productos marginales. Si la limitación b restringe a los factores de producción, el análisis marginal se refiere al insumo. Si la limitación b en las ecuaciones restringe el producto el análisis marginal se refiere al producto. El conocimiento de cuanta ganancia o costo cambiarán con una unidad adicional de cada uno de los varios recursos, puede ser una información valiosa. Interpretación económica del Dual Dual Min Z = Cx Max Z = wb Sujeto a : sujeto a : Ax b wa Cb x 0 w 0 Si B es la base óptima para el problema primo y C B es el vector básico de costos, entonces sabemos que: Ultima actualización Julio M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS

5 Z* = C B B -1 b = C B X B = w*b del Dual z* =C -1 B B = W* b Por esto Wi* es la tasa de cambio de valor óptimo de la función objetivo, con el incremento de una unidad en b (limitación). Ya que w i * 0, Z se incrementará o permanecerá constante conforme b i se incremente. Económicamente, w* es un vector de precios sombra para el vector b. Así, si la i va ecuación representa la demanda para producir al menos b i unidades del producto i vo y Cx representa el costo total de producción, entonces w i * es el costo incremental de producir una unidad más del producto i vo. Una compañía fabrica 4 modelos de escritorios, cada escritorio es primero construido en el taller de carpintería y entonces es enviado al departamento de acabados, donde este es barnizado, encerado y pulido, se proporciona a continuación la siguiente información: 1. Los insumos (materia prima y accesorios) están disponibles en cantidades suficientes y todos los escritorios pueden ser vendidos. 2. La compañía desea determinar la mezcla óptima de productos tal que se maximice la ganancia. 3. Las limitaciones de capacidad por departamento par el próximo periodo de planeación son: 6000 H.H (Horas-Hombre) en el taller de carpintería y 4000 H.H en el de acabados. 4. Las horas hombre requeridas por tipo de escritorio y sus ganancias se dan a continuación ESCRITORIO Taller de carpintería (H.H) Depto. de acabados (H.H) Ganancias (en miles de pesos) Max Z=12+X 1 20+X 2 18X 3 +40X 4 Sujeto a: 4X 1 +9X 2 +7X X X 1 + X 2 + 3X X X s 0 Dual Min Z= 6000W W 2 Sujeto a: 4W 1 + W W 1 + W W 1 + 3W W W 2 40 W s 0 Ultima actualización Julio M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS

6 Tabla Inicial: XB X1 X2 X3 X4 X5 X6 LD Zj-Cj X X Tabla Final XB X1 X2 X3 X4 X5 X6 LD Zj-Cj 0 20/3 10/3 0 44/15 4/ /3 X1 1 7/3 5/3 0 4/15-1/ /3 X4 0-1/30 1/30 1-1/150 4/ /3 Las variables del dual o precios sombra se encuentran en la fila Z j C j bajo las columnas que aportaron en la tabla inicial las variables de holgura. ( 1ª. Restricción que aporto la 1ª columna de la matriz identidad, estará relacionada con W 1, 2ª restricción que aportó la 2ª columna de la matriz identidad, estará relacionada con W 2 y así sucesivamente. El precio sombra o W, indicará que por cada unidad uqe se incremente la disponibilidad del recurso i, la función objetivo Z mejorara en W unidades. Indicar: a) si W 0 en su ecuación correspondiente la variable de holgura es igual a cero, es decir se usan todos los recursos de esta restricción. b) Sí W=0, en su ecuación correspondiente la variable de holgura es diferente de cero, es decir no se usan todos los recursos de esta restricción. Para que adquirir más artículos ce cierto recurso si su precio sombra W es igual a cero, es decir que no se han usado todos los artículos de este recurso. Interpretando en este ejemplo: De la tabla: Por cada Hora-Hombre extra que se tenga en el departamento de acabados la ganancia se incrementará en 4/15 pesos Por cada Hora-Hombre extra que se tenga en el taller de carpintería la ganancia se reducirá en 44/15 pesos Dual Max Z = 15X X 2 Min Z = 1500w w w 3 Sujeto a : 2X 1 + X w 1 + w 2 + w 3 15 X 1 + X w 1 + w 2 10 X w 1 0 w 2 0 x s 0 w 3 0 Tabla Óptima Ultima actualización Julio M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS

7 C j C B X B b X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 b/y rj 10 X S X Z Z j Z j - C j INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I ) Por cada unidad que incremente la disponibilidad del recurso 1, la función objetivo Z se mejorara en 5 unidades. Por cada unidad que incremente la disponibilidad del recurso 2, la función objetivo Z se mejorara en 5 unidades. Por cada unidad que incremente la disponibilidad del recurso 3, la función objetivo Z se mejorara en 0 unidades. Tabla inicial XB X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 LD Zj Cj X X Tabla final XB X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 LD Zj-Cj 0 20/3 10/3 0 44/15 4/ /3 X 1 1 7/3 5/3 0 4/15-1/ /3 X 4 0-1/3 1/30 1-1/150 4/ /3 Por cada unidad que incremente la disponibilidad del recurso 1, la función objetivo Z se mejorara en 0 unidades. Por cada unidad que incremente la disponibilidad del recurso 2, la función objetivo Z se mejorara en 44/15 unidades. Por cada unidad que incremente la disponibilidad del recurso 3, la función objetivo Z se mejorara en 4/15 unidades. Ultima actualización Julio M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS

8 Teorema Fundamental de Dualidad. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I ) Considerando las posibilidades de Programación Lineal Dual y, exactamente 1 caso sucede; 1).- Ambos poseen soluciones óptimas x* y w* con Cx* = w*b. 2).- Un problema es no limitado; en tal caso el otro problema es factible. 3).- Ambos no son factibles. Propiedades de Separación de los Valores Objetivos Dual Valor factible wb Valor factible Cx Valor optimo de ambos objetivos Obteniendo la solución del Dual a partir de la solución del primo fije w* = C o B -1 para la ecuación del Dual w*a 0 optima factible C o B -1 C C o B -1 A-C 0 valor en w*b = C o B -1 b z j - c j 0 w* = C o B -1 Dual Max Z = 15X X 2 Min Z = 1500w w w 3 Sujeto a : 2X 1 + X w 1 + w 2 + w 3 15 X 1 + X w 1 + w 2 10 X w 1 0 w 2 0 x s 0 w 3 0 Tabla óptima C j C B X B b X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 b/y rj 10 X S X Z Z j Z j - C j Ultima actualización Julio M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS

9 Solución Optima ( X 2, S 3, X 1 ) = (900, 200, 300 ) y Z* = 13,500 de esto : Co = (10, 0, 15) B B = = entonces: w * = C o B -1 = ( 5, 5, 0 ) Relación - Dual Considere la forma canónica de dualidad y sea x o y w o soluciones factibles a los problemas del y del Dual respectivamente. Entonces Ax o b; x 0; w o A C; y w o O. Multiplicando Ax o b en la izquierda por w o O y a w o A C en el derecho por x o O obtenemos: Cx o w o Ax o w o b O Dualidad y las condiciones KUHN-TUCKER : Las condiciones de optimalidad par un problema de Programación Lineal estipula, que las condiciones suficientes y necesarias para que X sea un punto óptimo para Min Z=Cx, Ax b y x 0 son tal que exista un vector w* tal que : 1).- Ax* b, x* O 2).- w*a C, w* O 3).- w*(ax-b) = O > Cx* = w*b (C - w*a) x* = 0 Ultima actualización Julio M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS

10 Teorema de Holgura Complementaria: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I ) Sea x* y w* cualquiera par de soluciones ópticas para el problema y el Dual en forma canónica respectivamente. Entonces; Cx* w* Ax* w*b pero Cx* = w*b; por esto Cx* = w* Aw* = w*b dando como resultado w* (Ax*-b ) = 0 y (C-w*A) x* = 0 Teorema : ( c j -w*a j ) x j * = 0; para j=1,2,...,n w* i (a i x* - b i ) = 0, para i =1,2,...,m en le punto de optimalidad. Si una variable en un problema es diferente de cero, entonces la correspondiente ecuación en el otro problema debe ser ajustada (Ax-b=0) y si una ecuación en un problema no es ajustada (Ax-b 0), entonces la correspondiente variable en el otro problema debe ser cero. Dada la solución óptima del problema Dual, encontrar la solución óptima del problema utilizan el Teorema de Holgura Complementaria. : Min Z=2x 1 +3x 2 +5x 3 +2x 4 +3x 5 Sujeto a: x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 4 2x 1-2x 2 + 3x 3 + x 4 + x 5 3 x s O Dual: Max Z= 4w 1 +3w 2 Sujeto a: w 1 +2w 2 2 w 1-2w 2 3 2w 1 +3w 2 5 w s O w 1 + w 2 2 3w 1 + w 2 3 Solución óptima w 1 * = 4/5; w 2 *= 3/5 y Z* = 5 Ultima actualización Julio M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS

11 Utilizando el teorema de Holgura complementaria tenemos que al sustituir los valores de las w s en las restricciones del Dual encontramos que la restricciones 2,3 y 4 no son ajustadas por lo que x 2, x 3 y x 4 son iguales a cero y la restricción 1 y 5 son ajustadas por lo que x 1 y x 5 son diferentes de cero. Restricciones del Dual 1a. w 1 +2w 2 2 4/5 +2 ( 3/5 ) = 2 ; 2 2, ajustada por lo que x 1 O 2a. w 1-2w 2 3 4/5-2 (3/5 ) = -2/5 ; -2/5 3, no es ajustada por lo que x 2 = O. 3a. 2w 1 +3w (4/5) +3 ( 3/5 ) = 17/5; 17/5 5, no es ajustada por lo x 3 = O. 4a. w 1 + w 2 2 4/5 + 3/5= 7/5 ; 7/5 2, no es ajustada por lo que x 4 = O 5a. 3w 1 + w ( 4/5 ) + 3/5 = 3; 3 3, ajustada por lo que x 5 O. Sustituyendo los valores de las x s iguales a cero en las restricciones del primo obtenemos que; 1a. x 1 +x 2 + 2x 3 +x 4 +3x 5 4 x 1 +3x 5 4 2a. 2x 1-2x 2 +3x 3 +x 4 +x 5 3 2x 1 + x 5 = 3 Resolviendo este sistema de ecuaciones de 2x2 x 1 +3x 5 = 4 y 2x 1 + x 5 =3 Tenemos que: x 1 * = 1, x 5 * = 1 y Z* =5. NOTA: Dual- Se consideran únicamente las ecuaciones del que correspondan a las variables básicas del Dual. -Dual Se consideran únicamente las ecuaciones del Dual que correspondan a las variables básicas del. Ultima actualización Julio M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS

12 PRIMO DUAL Min Z = -x 1 + 2x 2-3x 3 Max Z = 6w + 4w w 3 Sujeto a ; Sujeto a ; w 1 -w 2-1 x 1 + x 2 + x 3 = 6 w 1 +w 2 2 -x 1 + x 2 +2x 3 = 4 w 1 +2w 2 +w 3-3 x 3 = 10. w 1, w 2 no restringidas en signo x 1, x 2, x 3 0 w 3 0. Tabla optima Z X 1 X 2 X 3 X 6 b Z /2-4 X /2 2 X /2 2 X B = [ ] B -1 = [ ½ ½ ½ ] ½ -3/2-3/ entonces : W = C B B -1 = ( 1/2, 3/2, -13/2 ) Z* = - 4 w 1 se asocia a la 1a. Ecuación del primo (Variable artificial x 5 ) w 2 se asocia a la 2a. Ecuación del primo (Variable artificial x 6 ) w 3 se asocia a la 3a. Ecuación del primo (Variable artificial x 4 ) Teorema de Holgura Complementaria w1(x1 + x2 + x3-6 ) = 0 ajustada w1 0 w2(-x1 + x2 + 2x3-4 ) = 0 ajustada w2 0 w3(x3-10 ) = 0 ajustada w3 = 0 Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 del Dual w 1 - w 2 = -1 w 1 + w 2 = 2 Se obtiene que w 1 = 1/2 y w 2 = 3/2, después sustituyendo en la 3a. Ecuación del Dual se tiene que w 3 = -13/2 Ultima actualización Julio M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS

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