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1 Universidd de Concepción Fcultd de Ciencis Veterinris Nivelción de Mtemátics(0) Unidd-I: Conjunto de los Números Rcionles Introducción: Al plnter l necesidd de dividir números enteros, surge un problem: El cuociente de dos números enteros, no siempre es otro número entero. Anlicemos l siguiente situción muy frecuente en los problems de PSU. Anhí quiere pintr un muro de 80 m. Los pintores Cristin y Pblo le ofrecen el siguiente presupuesto (trbjndo mbos 8 hors diris). Cristin demor dís y cobr $ 000 por m. Pblo demor dís y cobr $ 00 por m. Anhí quiere pintr el muro ntes de dos dís. Contrt los dos pintores? Pr resolver este problem debemos determinr Cuánto vnz cd pintor por dí? Pr Cristin como demor dís y lo que tiene que pintr es 80 m. en cd dí vnz un QUINTA prte de 80 m. es decir 6 m. Sin embrgo pr el cso de Pblo como pint el muro en dís en un dí vnz un TERCERA prte del totl (80 m.) en este cso no encontrmos un número entero que nos exprese su vnce dirio. Pr expresr esto utilizmos l notción 80. El símbolo se lee tercer prte o Un tercio o rzón uno es tres o dividido por. tmbién se escribe : y por un proceso de división ( recurso que se entreg en l enseñnz básic) result que 0. Luego Pblo pint en un dí m. Ahor podemos clculr lo que pintn Cristin y Pblo en un dí: (6 80) m de 80 m. (6 6.66) m , Por lo tnto mbos pintores pintn en dos dís más Respuest: Con este resultdo Anhí decide contrtr estos pintores. Debe hber notdo que hemos usdo el signo que signific proximdmente y el supuesto que se conoce como operr con los números de l form enque y b son enteros,b diferentede cero. Esto números se llmn rcionles o b frccionrios (recuerd que nos quiere expresr l tercer prte de ).

2 8, Z., Z El conjunto de los números rcionles se identific con l letr Q. Q = { b : Z, b Z y b 0 } Te sugerimos repces Cómo se opern ls frcciones: sums, rests, multiplicciones y divisiones). Te recordmos dos de ells que son muy importntes pr livirnos el trbjo. Equivlenci de Números Rcionles Dds dos frcciones b y d c, diremos que ells representn un mismo número rcionl, o se, son equivlentes entre sí, si y sólo si d = bc. de cuerdo est definición tenemos: b d c, pues d bc 6 = 6 En mtemátic se dopt por lo generl en el cso de un resultdo que es rcionl representrlo e en l form:, f 0, con m.c.d(e,f) = (m.c.d: máximo común divisor entre e y f) ( e y f se f dicen PRIMOS entre si cundo con m.c.d(e,f) = ). Vemos el siguiente ejemplo: Si l resolver un problem tu resultdo es es muy probble que este( ) no prezc como lterntiv, l opción deberí ser. Recordemos específicmente dos operciones con frcciones:.- Amplificción: Amplificr un frcción consiste en multiplicr el numerdor y denomindor por un mism cntidd NO nul. L frcción resultnte es equivlente l originl (Vlor no cmbi). Por ejemplo: 6 6 ) 6 0 b) 8 = 0

3 .- Simplificción Simplificr un frcción consiste en dividir el numerdor y denomindor por un mismo número distinto de cero. Su vlor NO se lter. Por ejemplo: : ) : : b ) : Relción de Orden en Q En Q definimos l relción myor que (>) del siguiente modo: b c d b c d c d - bc 0, es decir, 0 b d bd Como todo entero positivo es myor que culquier entero negtivo, se desprende de quí que culquier rcionl positivo es myor que un rcionl negtivo. Por lo tnto, efectumos ls comprciones solmente entre rcionles positivos o entre rcionles negtivos. Números Decimles ; : b = c donde c es un número deciml b : 8, : 8 = 0, 7 Todo número rcionl Q: Se puede expresr como frcción deciml. Frcción deciml: Su denomindor es un potenci de 0. : = 0, = 8 00

4 Clsificción de Decimles Si trnsformmos un frcción común número deciml puede suceder que l división teng resultdo un número deciml con un número fijo de cifrs (deciml finito) o bien, que el resultdo se un número deciml que no termine y se produzc l repetición de un o más cifrs en el cuociente. En éste último cso, decimos que estmos nte l presenci de un número deciml infinito periódico o infinito semiperiódico. FINITOS DECIMAL INFINITOS PERIODICOS SEMIPERIODICOS Deciml Finito: L división entre el numerdor y denomindor, se obtiene un número deciml con un número fijo de cifrs. : 0, Deciml Infinito: i) Deciml Infinito Periódico : 0,... = 0,, entonces, 0, = el período es el denomindor de l frcción. El denomindor est compuestos por tntos nueves como cifrs teng el período. ii) Deciml Infinito Semiperiódico : 0, = 0,6 entonces 0,6 = 00 6 = 00 el numerdor corresponde l prte deciml menos el nte período. El denomindor posee tntos nueves como cifrs teng el período y tntos ceros como cifrs teng el nteperíodo. Decimles Infinitos no Periódicos : Irrcionles (Estos números son reles pero no rcionles) L crcterístic de los números irrcionles es, precismente que su representción deciml no es de ninguno de los tipos nteriores s : =,6...

5 =,67...(Símbolo que se us por ejemplo pr representr l longitud de l digonl de un cudrdo de ldo ) / = 0, e =, Definición: Un número irrcionl es quel que no tiene representción deciml finit o infinit periódic o semiperiódic. Por lo tnto los números irrcionles no pueden escribirse en l form de frcción b de números con y b enteros con b 0. Este conjunto de los números Irrcionles se represent por I. Los conjuntos Q e I son disjuntos : Q I = L unión de estos conjuntos d origen un nuevo conjunto que se llm el conjunto de los números reles, el cul se represent por R. Q I = R L figur siguiente muestr un cudro resumen de los conjuntos numéricos: Números Irrcionles Números Reles Enteros Positivos Números Rcionles Números Enteros Cero Enteros Negtivos Aproximción de Números Decimles. Pr proximr un número deciml podemos proceder de dos mners diferentes: ) Por truncmiento, si considermos el número que result de suprimir ls cifrs prtir del orden de proximción. :, , proximción ls décims b) Por redondeo, cundo considermos l proximción deciml más cercn l vlor excto. En el ejemplo nterior,,7 y,8 son proximciones l décim por defecto y por exceso, respectivmente de, sin embrgo, este número es más cercno,8.

6 Pr obtener l proximción por redondeo de un número hst un determindo orden, observe l primer cifr que debemos suprimir: Si est cifr es menor que, proxim por defecto. Si est cifr es myor que, proxime por exceso, es decir, umente en un unidd l últim cifr que se conserv. Potencis de Bse Rel y Exponente Entero Si n es un entero positivo, l notción exponencil n que se define en l tbl de más bjo, represent el producto del número rel multiplicdo n veces por si mismo. L expresión n se lee l enésim potenci o simplemente l n. El entero positivo se llm exponente y el numero rel, bse. Notción exponencil Cso generl (n es culquier entero positivo) Csos especiles es importnte observr que si n es un entero positivo, entonces un expresión como n signific ( n ) pero no () n. El número rel se llm coeficiente de n en l expresión n. Ahor mplimos l definición de n exponentes no positivos. 8 Exponente cero y negtivo ( ) 8 Definición ( diferente de 0) 6

7 Si m y n son enteros positivos, entonces En vist de que el número totl de fctores de l derech es m+n, est expresión es igul m+n ; es decir, De est form se puede llegr ls leyes de exponentes que muestrn continución: Ley n n Simplificción Simplificr un expresión donde hy potencis de números reles, signific cmbirl otr en que cd número rel prece solo un vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo presente que los denomindores representn números reles diferentes de cero. Solución: 7

8 Ls igulddes siguientes son útiles pr l solución de problems con exponentes negtivos. Resolución de Ecuciones Exponenciles Se bs en l siguiente propiedd de ls potencis Dos potencis con un mism bse positiv y distint de l unidd son igules, si y sólo si son igules sus exponentes. : Si = b, entonces = b Muchs ecuciones exponenciles se resuelven por el método de reducción, que consiste en trnsformr l ecución originl en otr, donde sus miembros son potencis de igul bse. : x x x 8 8 x x x 6x x x x 6x 8

9 E J E R C I C I O S.- El pr ntecesor de m..- El impr ntecesor de K +.- Cuál es el sucesor de m +?.- L sum de tres números impres consecutivos es Cuáles son esos números?.- Qué cmbio experiment un rest si el minuendo ument uniddes y el sustrendo ument uniddes? 6.- Si x e y son dos números nturles. L expresión ( x + y ) represent un número pr si x es pr o y es pr. 7.- Si el doble de x es n, entonces el cuádruplo de n es: 8.- Si m es múltiplo de y n es múltiplo de 6 entonces cuál es el vlor de m + n?.- Cuál es l myor longitud de un regl con l que se puede medir exctmente un mes de 0 cm de lrgo y 0 cm de ncho? 0.- Si se cuentn de dos en dos ls polcs de Smuel, sobr un.lo mismo ps si se cuentn de tres en tres y de cinco en cinco Cuál es el menor número de polcs que se pueden tener?.- Seis hermnos reciben de herenci $680 cd uno, Si l mdre recibe el doble de lo que recibieron en conjunto sus hijos, Cuál es l herenci totl?.- Un comercinte compr dos piezs de género $.66 el metro. Un piez mide metros y l otr 86 metros. En cuánto compró ls dos piezs. Si vende el metro en $0, cuánto dinero gnó?.- Qué números son divisibles por dos?.- L sum de dos números pres es 6 y l diferenci entre ellos es. Cuál es el cuociente entre el myor y el menor?.- Determine el máximo común divisor (MCD ) y el mínimo común múltiplo(mcm ) de : ), 8 y b), 6 y 6.- Jun reprte sus bolits en nueve prtes igules, y su hermno recibe de ells, quedándose él con el resto. qué frcción de ls bolits corresponde Jun? 7.- Cuntos quintos hy en l sum entre,,? 8.- L edd de Mónic es l mitd de los dos curtos de Mrí. Cuántos ños tiene Mónic si Mrí tiene ños?.- Si en 0 minutos cmino los de un cudr, entonces en 0 cudrs cuánto cminre. 0.- L profesor entreg T cudernos cd uno de los 0 lumnos del curso. Luego se gregn lumnos más y decide juntr todos los cudernos y reprtirlos en prtes igules entre todos los niños. Cuántos cudernos recibe cd niño?

10 .- Si ls nueces se venden en bolss de de kilo, cuánts bolss se pueden obtener con, kilos?.- El deciml 0,76 es equivlente : ) b) c) d) 0 e) N.A..- el producto de 0,6 por 0, es igul : 0 6 ) b) c) d) 0 e) N.A..- Cuánts veces cbe l mitd de 0, en un entero? ) 0, b)0 c) d) e) 0,.- Qué vlor tiene ) b) p p si es igul? c) d) 6 e) 6.- Cuál de ls siguientes frcciones es equivlente 6 ) 0 b) c) 8? d) 0 e) N.A. 7.- cuánto le flt 0,777...pr obtener el entero? 8.- Cuál es l frcción que se form si se le sumn l numerdor y denomindor y respectivmente?.- Expresr en form deciml. 0.- Colocr los signos <,> ó = según correspond, entre los siguientes números. I 7 II 0 78 III 0 IV L curt potenci del doble de dos es?.- El vlor de =?.- Cuál es le vlor de =?.- L quint potenci del ntecesor del cudrdo de cutro es: 0

11 .- Si elevo cero l sum de., y 0.68, se obtiene: 6.- El cuociente de dos potencis de igul bse y diferentes exponentes es un potenci que Elevo l potenci y el resultdo lo igulo x, entonces x vle: 8.- El lrgo de un rectángulo es 0 6 y su ncho es 0, luego el áre del rectángulo es:.- El perímetro de un cudrdo de ldo m es: 0.- Resolver: ) (-) b) (-) c) d) ( ) e) - f) g) h) 0.6 i) ( m b n ) x j) (+b).- El producto de dos potenci de igul bse es....- L potenci de bse negtiv y exponente impr siempre es....- Cuál de ls siguientes figurs es (son) verdders? I) (0,) =0, II) (0,) =0, III).- Resolver: x+ = 6 =0, Resolver: 0, = x

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