Tema 5. Uso de las razones de ángulos para la resolución de problemas
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- Gloria Santos Lozano
- hace 7 años
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1 Tema 5. Uso de las razones de ángulos para la resolución de problemas Monumento a Pitágoras en Samos: sigloscuriosos Bajo licencia de Creative Commons En el siglo VI antes de Cristo y gracias a los conocimientos de la geometría del triángulo, se construyó el túnel de Eupalinos en Samos, ciudad natal de Pitágoras. Esta obra llevaba el agua desde las fuentes del monte Castro a la ciudad. El túnel tenía dos metros de diámetro y un kilómetro de longitud. Lo que hoy puede ser una obra de ingeniería común, hace casi 28 siglos sólo lo podía programar y ejecutar un experto en resolución de triángulos y conocedor de las razones trigonométricas.
2 1. Triángulo rectángulo. Características Fuente propia Figura 1.1 Fuente propia Figura 1.2 Repasamos Un triágulo rectágulo, como ya sabes, se caracteriza por tener dos lados perpendiculares. A los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos, al lado mas grande hipotenusa. Como has observado en el tema anterior se utilizan las letras griegas alfa ( ) y beta ( ) para nombrar los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (Figura 1.1) Fuente propia Figura 1.3 Otra forma muy utilizada es nombrar los vértices por letras mayúsculas y a los lados en minúsculas, de forma que, como aparece en la figura 1.3, el lado opuesto al vértice (el lado que no pasa por el vértice) coincida con la misma letra: el vértice que forman los catetos se le suele llamar A y por tanto a la hipotenusa a, a los otros B, b y C, c. También aprovechando esta forma de designar los lados y vértices, a sus ángulos llamarle la letra correspondiente de su vértice (figura 1.3) (se puede poner el angulito arriba para distinguirlo del vértice). Como ya sabes uno de ellos es recto, es decir, triángulo es de 180º nos queda que. y como la suma de los ángulos de un
3 Pregunta de Elección Múltiple 1) Un triángulo rectángulo uno de sus ángulos es de 35º. Cuánto mide los otros dos? a) 90º y 55º b) 90º y 65º c) 90º y 45º 2) Los lados de un triángulo rectángulo miden 6, 8 y 10 cm. Cúal es su área? a) 48 cm 2 b) 24 cm 2 c) 27 cm 2 Fuente propia
4 Repasamos las razones Es importante recordar las razones trigonométricas. De la misma forma para el otro ángulo fuente propia 1) Calcula las razones trigonométricas del ángulo 45 º 2)Un cazador acostado en el terreno ve una perdiz que vuela a 15 metros de altura. Por su experiencia calcula que la tiene a unos 30 metros de distancia. Cúal es el ángulo que deberá colocar su escopeta para poder alcanzar a la perdiz?
5 Fuente propia Pregunta de Elección Múltiple Un triángulo rectángulo tiene lados de 3, 4 y 5 cm respectivamente. Cuáles son las medidas de sus ángulos agudos? a) 36,87 º y 53,13 º b) 60 º y 30 º c) 63 º y 27 º Actividad En un triángulo rectángulo: Resumiendo
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7 2. Resolución de triágulos rectángulos Fuente propia Resolver un triángulo rectangulo es hallar sus ángulos y lados a partir de algún elemento conocido. Para ello vamos a distinguir dos casos (hay que tener en cuenta que siempre conocemos un ángulo: el de 90 º ) Caso 1º. Se conocen dos lados. Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el otro lado. Una vez conocidos los lados se aplica para uno de los ángulos, por ejemplo, las fórmulas del apartado anterior. El otro ángulo a conocer se puede calcular porque sabemos que la suma de los ángulos + = 90º (es decir que = 90- ) Veamos un ejemplo.
8 La escalera de un electricista mide 12 m. Para arreglar una avería de un poste que mide 6 m de alto la ha colocado contra el suelo y el poste (como indica la figura). Si el poste está vertical, calcula la distancia del pie de la escalera al poste, los ángulos que forman la escalera con el suelo y el poste. Caso 2º. Se conoce un lado y un ángulo (además del de 90º). El otro lado se calcula utilizando alguna de las razones trigonométricas del ángulo conocido. El otro ángulo se calcula puesto que ambos ángulos deben sumar 90º. Ya conocemos dos lados y por tanto se calcula el tercero como en el caso 1º (Por el teorema de Pitágoras o por alguna de las razones del ángulo).
9 La mayor cuesta del pueblo tiene de pendiente 25 grados. La longitud de la subida es de 12 metros. Qué diferencia de altura subimos en esos 12 metros? Cuantos metros en horizontal suponen esos 12 metros de pendiente? Pregunta de Elección Múltiple Fuente propia Para obtener una visión completa de la Torre Eiffel (325 m de altura) disponemos de una cámara que recoge hasta un ángulo de 47 grados (una cámara normal). 1) A qué distancia mínima del pie de la torre conseguiremos sacarla entera?
10 b) 303 metros c) 100 metros 2) Y si es una gran angular? (ángulo máximo de 65 º ) a) metros b) 240 metros c) 25 metros
11 3. Aplicaciones a problemas Metro Cuatro Caminos ritmodominicano.com Bajo licencia de creative commons Los cuadriláteros aparecen en nuestro espacio. El herrero que confeccionó el rótulo de la imagen formó un rectángulo en medio de un rombo. Si observas con mas detalle verás que lo formó con cinco piezas: Rectángulo (metro) Dos triángulos isósceles iguales (derecha e izquierda de metro) Dos triángulos isósceles (arriba y abajo de metro) En el apartado resolveremos un problema con el cartel de Cuatro Caminos.
12 3.1. Triángulos no rectángulos Aplicación a triángulos no rectángulos Cualquier triángulo no rectángulo se puede resolver dividiéndolo en triángulos rectángulos (acuérdate que resolver era calcular los lados y los ángulos que nos faltan). La forma de hacerlo es trazar una de las alturas y realizar los cálculos para los dos triángulos rectángulos que se forman. Para triángulos isósceles (dos lados iguales), la altura sobre el lado desigual divide al triángulo en dos triángulos rectángulos iguales. El ángulo que forman los lados iguales se divide en dos partes iguales. Pero, lo mejor es que lo veamos con un ejemplo práctico: Ejemplo 1. Un carpintero quiere construir una escalera cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60 grados (como en la figura de arriba). Una vez abierta la distancia entre sus pies es de 2 m. Cuánto ha de medir cada brazo? cuál es la altura de la escalera? Pregunta de Elección Múltiple Un compás de 20 cm de lado puede abrirse hasta formar un ángulo de 80º.
13 a) cm de radio b) cm c) 20 cm b) qué altura tendra totalmente abierto? a) 20 cm b) cm c) 18.9 cm Ejemplo 2. Cómo podemos medir la altura de la Pirámide de Keops? Obseva la fotografía Gran pirámide. filemon.upct.es Con licencia de creative commons Un viajero situado al pie de la pirámide veía la cúspide con un ángulo de 38 º Cuando se alejó 121 pies (36,88 metros), la veía con un ángulo de 32º. Cuántos pies mide la altura de la pirámide? Se trata de un triángulo que no es rectángulo, pero si consideramos la altura de la pirámide obtenemos dos triángulos rectágulos con el cateto en común.
14 Resolvemos este problema a continuación. Un viajero desde el pie de la pirámide veía la cúspide con un ángulo de 38 º Cuando se alejó 121 pies (36,88 metros), la veía con un ángulo de 32º. Cuántos pies mide la altura de la pirámide? Pregunta de Elección Múltiple Para medir la altura de mi piso lo observo desde la calle con un ángulo de 40º si avanzo 10 metros el ángulo aumenta a 50º. A qué altura del suelo vivo? a) 25 m b) 28,36 m c) 75 m
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16 3.2. Cuadriláteros CUADRILÁTEROS Escudo de la Infanta Leonor: Bajo licencia de Creative Commons En los escudos los rombos aparecen con gran frecuencia. En un rombo si trazamos sus diagonales, estas se cortan en un ángulo recto formando tres trángulos rectángulos. Utilizando esta propiedad vamos a resolver el siguiente problema. Ejemplo 1. Una ventana en forma de rombo tiene una altura de 90 cm y una anchura de 60 cm. Cuánto mide su perímetro? y sus ángulos? y su área?
17 Fuente propia E Fuente propia Ejemplo 1. Una ventana en forma de rombo tiene una altura de 90 cm y un ancho de 60 cm. cuánto mide su perímetro? y sus ángulos? y su área?
18 Ejemplo 2. Con un rombo de papel de 20 cm de lado, 34'8 de diagonal mayor y unos ángulos menores de 60º (A y D) queremos construir un sobre (como indica la figura). El ancho del sobre es 10 cm. Cuanto mide de longitud? Fuente propia Pregunta de Elección Múltiple
19 Bajo licencia de creative commons Como ya sabes la figura anterior indica la boca de metro de Cuatro Caminos (para tu información esta boca se remodeló). El largo de la figura es de 2 metros y ancho de 1 metro. El rectángulo (donde pone "metro") mide 1,20 m de largo. Con estos datos vamos a calcular: a) Su superficie. a) 1 m 2 b) 2 m 2 c) 0,5 m 2 b) La medida de su perímetro. a) 12 metros b) 4,47 metros c) 5,45 metros c) El área del rectangulo inscrito (metro). a) 0,204 m 2 b) 0,48 m 2 c) No se puede saber con estos datos.
20 a) 53,13º y 126,87º b) 50,25º y 129,75º c) 90º y 90º
21 3.3. Círculos y otras figuras Fuente propia A lo largo de la historia del hombre el interés por la medida de las distancias y el tamaño de los astros ha sido una constante. Aristarco de Samos (170 a C), Hiparco de Nicea (150 a C), entre otros utilizaron las razones de un triángulo para calcular las distancias y diametros de la luna y el sol. Veamos un ejemplo que nos permite hallar el diámetro de la luna.
22 Fuente propia Desde un punto de la tierra (D) se ve la luna con un ángulo de 0,51º. Se sabe que la distancia de la tierra a la luna (DA) es de km. cúal es el diámetro de la luna (CE) Pregunta de Elección Múltiple El ángulo bajo el que se ve el Sol desde un punto de la tierra es de 0.533º. Sabiendo que la distancia al Sol es de km. Cuál es el diámetro del Sol? a) km b) km (apox) c) km
23 Fuente propia Un símbolo muy conocido es la llamada estrella de David que tienes arriba. Si observas puedes ver un hexágono (CLMNOD) y seis triángulos equiláteros saliendo de cada uno de sus lados. Otra forma de verla es observando dos triángulos equiláteros invertidos IJK y PQR que superpuestos formarían el hexágono. El lado del hexágono es la tercera parte del lado del triángulo (grande) y los ángulos son todos de 60º salvo el del interior del hexágono que seria de 120º (observa que si doblas los triángulos que salen de los lados del hexágono los seis encajan perfectamente en el hexágono). Por eso el área del hexágono coincide con la suma de las áreas de los 6 triángulos equiláteros. Te propongo el siguiente ejercicio:
24 Fuente propia Qué mide la distancia RK (o PJ o IQ que es lo mismo) de una estrella que llevo en el pecho, si el lado del hexágono es de 1cm? Pregunta de Elección Múltiple Que superficie total tiene la estrella? a) 5,2 cm 2 b) 9,85 cm 2 c) 12,22 cm 2
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