CAPÍTULO 6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES 6.1. Introducción 6.2. Integrales irracionales simples 6.3. Integrales irracionales lineales 6.4.

Transcripción

1 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES.. Inroducción.. Inegrales irracionales simples.. Inegrales irracionales lineales.. Inegrales irracionales de polinomios de grado dos no compleos.. Inegrales irracionales de polinomios de grado dos compleos.. Inegrales irracionales compuesas

2 Capíulo Inegración de funciones irracionales R(, p / q, r / s,..., u / v ) a a

3 Capíulo Inegración de funciones irracionales.. Inroducción En ese capíulo raaremos de resolver inegrales de funciones irracionales de polinomios. En el caso más general de funciones irracionales que afecen a oras funciones cualesquiera, se podrán inenar primero procedimienos de inegración para reducir esas inegrales a esas que vamos a esudiar. En general, se raará de «eliminar» las raíces de la función a inegrar a ravés de algún camio de variale apropiado. Oviamene, algunas funciones con raíces en su formulación poseen una primiiva de manera inmediaa, en las que no será necesario «eliminar» dicha raí... Inegrales irracionales simples En primer lugar, vamos a conemplar el caso más sencillo, en el que las funciones irracionales afecen solamene a monomios en la variale, permiiendo además que las raíces que aparecan posean índices disinos. Así, p / q r / s u / v sea I R(,,,..., ), donde por R denoamos la función en la que van a aparecer las raíces de. Para que desaparecan odas las raíces de disinos índices a la ve, asa con realiar el camio de variale: N, donde N m.c.m.(q,s,...,v), y, por ano, N N d Ejemplo I En ese caso, el mínimo común múliplo de odos los índices disinos que aparecen en la función a inegrar es N, y, por lo ano, haciendo el camio de variale,, con lo que d, la inegral I queda de la forma:

4 00 Inroducción al cálculo inegral I 9 8 d La función que resula a inegrar es un cociene de polinomios donde el grado del numerador es esricamene mayor que el del denominador. El primer paso será, como vimos en el capíulo, realiar la división enera de polinomios. Una ve realiada, llegamos a que I queda: d d 7 I ( ) d Log / arcg C 7 / / / / / Log.. Inegrales irracionales lineales 7/ / / arcg( ) C Consideraremos ahora el caso en que la función a inegrar dependa de, y a lo sumo de cocienes de polinomios de grado uno (lineales), ano en el numerador como en el denominador. De nuevo, las raíces que afecen a esos érminos pueden poseer índices disinos. Es decir, a I R, c d p / q a, c d r / s a,..., c d u / v De forma similar al caso anerior, con el ojeo de ransformar la inegral original en ora donde la función a inegrar ya no conenga raíces, realiamos el camio de variale: a c d N, donde N m.c.m.(q,s,...,v)

5 Inegración de funciones irracionales 0 Al igual que en el caso anerior, ese camio garania que en la nueva inegral odas las raíces han desaparecido, llegando a una función racional de las del ipo esudiado en el capíulo. Nóese que, a diferencia del caso anerior, no hemos escrio la relación general que permie camiar por d, deido a su epresión demasiado engorrosa, en érminos de las consanes. Desde luego, en la prácica hará que enconrar esa relación, siendo asane sencilla de hallar. Ejemplos ) I / ( ) ( ) / En ese ejemplo, idenificamos a,, c 0, d, con lo que el camio de variale a realiar con N, será:, de donde se deduce de manera inmediaa que d. Con ese camio la inegral quedará: I d d De nuevo, el cociene de polinomios que resula para inegrar posee grado del numerador mayor que el del denominador, por lo que, realiando la división enera de polinomios y llevándola a la inegral, resula en: d d Log C I ( ) / ( ) / / ( ) Log ( ) ) I C En ese caso, enemos que a,, c 0, d, por lo que el camio que deemos realiar es de la forma:, y, así, d, quedando la inegral como:

6 0 Inroducción al cálculo inegral ( ) I d ( ) d ( ) 8 ( 8 8 ) d 8 ( 8 ) d 9 / 7 ( ) / 9 7 / C d 8 / ( ) ( ) ( ) ( ) ) I / Esa inegral iene la forma visa en el aparado.. Nóese que, si elegimos a, 0, c 0, d, cualquier inegral de la forma epresada en. se puede epresar en la forma visa en.. De hecho, el caso. no es nada más que un caso paricular y previo al caso más general enunciado aquí. De cualquiera de las formas, el camio de variale necesario es como sigue: d De ese modo, la inegral adopa la epresión: 7 I d d Realiando la división enera de polinomios, quedará reducida a: I ( ) d d ( )( ) Calculamos esa nueva inegral, que iene la forma visa en el capíulo, como función racional, por separado:

7 Inegración de funciones irracionales 0 I d ( )( ) Como veíamos en dicho capíulo, el primer paso es calcular los ceros del denominador (ya que el grado del numerador,, es menor esrico que el del denominador, ). Esos ceros resulan ser, real y simple, y una pareja de números complejos conjugados amién simples. Por ano, la descomposición a efecuar es a ravés del méodo de fracciones simples: ( )( ) A B C A A B ( )( ) B C C Colocando denominador común y oeniendo un sisema lineal de ecuaciones para calcular el valor de las consanes indeerminadas, resulan en: Así, A, B C I d d Log Log arcg C Llevando ese resulado a la inegral original I, enemos que: I / arcg C Log / Log Log / Log( ) / / / / / arcg ( ) C

8 0 Inroducción al cálculo inegral ) I Una ve más, el camio de variale a realiar en esa inegral es: d de donde oenemos que: I 9 8 d d que, realiando la división enera de polinomios, da: 7 I ( ) / 7/ 7 d d arcg C / / / / arcg( ) C ) I El camio de variale ahora queda: d, de modo que la inegral se conviere en: I d d d ( ) d Log C / / Log C una ve realiada la división enera de polinomios, y deshecho el camio de variale.

9 Inegración de funciones irracionales 0 ) I El camio de variale en ese caso queda: la inegral se ransforma en: d, con lo que I d d d ( ) / / / d Log C / / / Log C De nuevo hemos necesiado realiar la división enera de polinomios durane el proceso. 7) I ( ) Esa función a inegrar iene la forma más general dada en., donde idenificamos a,, c, d. Con esos valores, el camio de variale queda de la forma: que permie despejar a la variale en función de la nueva variale u: u u u

10 0 Inroducción al cálculo inegral Con esa úlima relación, el cálculo de resula más sencillo: u ( u ) du Llevando odo el camio compleo a la inegral original, oenemos: I u u u u u ( u ) u ( u ) du du u du u C 8 C.. Inegrales irracionales de polinomios de grado dos no compleos En ese aparado vamos a considerar el caso paricular en que sólo apareca una raí cuadrada afecando únicamene a polinomios de grado sin érmino de grado uno. Veremos ese caso en res posiilidades, según el signo que posean los dos érminos del polinomio de grado que esá afecado por la raí cuadrada. a) Supongamos, en primer lugar, que el signo del érmino de grado es negaivo y el de la consane, posiivo. Esa siuación se puede epresar como: I a o I a

11 Inegración de funciones irracionales 07 según la raí apareca muliplicando o dividiendo. En cualquiera de las dos posiilidades el camio de variale que nos permie pasar a una inegral de alguno de los ipos visos hasa ahora, es decir, sin raíces en ella, es de la forma: a sen de donde se deduce que cos d a Aplicando ese camio de variale a las dos posiilidades, llegamos a que: I ( / a) cos sen cos d d a cos a d a C a a arcsen C I sen cos d a cos a d cos d a sen C a a a arcsen a C sen sen cos a a Noemos que idénicos resulados se huieran oenido camiando el papel de la función sen por cos, es decir, realiando el camio de variale: a cos, con lo que a sen d ) En segundo lugar, consideremos el caso en que el signo del érmino de grado sea posiivo y el de la consane, negaivo, en cualquiera de las dos posiilidades análogas al caso anerior, es decir:

12 08 Inroducción al cálculo inegral I a o I a Con un raonamieno similar al del caso anerior, el camio de variale que aplicaremos aquí es: a sen de donde: cos d asen Aplicando ese camio de variale a amas inegrales, llegamos a que: I cos asen d ( ) sen a d sen que resula ser una inegral racional de funciones rigonoméricas, raada en el capíulo. I cos ( ) ( cos asen ) d d sen a sen que de nuevo iene la forma visa en el capíulo. Tamién en esa siuación se puede considerar como camio de variale: a cos oeniéndose resulados oalmene análogos. c) Por úlimo, veamos el caso en que el signo de los dos érminos del polinomio sean posiivos, es decir: I a o I a

13 Inegración de funciones irracionales 09 En esa siuación, el camio de variale orienado a conseguir el mismo efeco que en los casos aneriores será: que, diferenciando, da lugar a: a a g ( g ) d d Ese camio de variale aplicado a las dos formas en que puede aparecer la inegral resula en: cos I acos d g a d cos g d acos a d cos I En cualquiera de los dos casos, de nuevo llegamos a una inegral de las esudiadas en el capíulo. Noa Los camios de variale que hemos viso no son los únicos posiles para realiar en esas siuaciones. Camios análogos uiliando las funciones hiperólicas nos llevarían a siuaciones similares. Tamién pueden aplicarse los conocidos como camios de Euler, que consiguen llegar a la inegral de una función sin raíces en ella. Ejemplos ) I 8 { 8 sen 8 cos d } 8 cos d 8cos C arcsen C 8

14 0 Inroducción al cálculo inegral En ese ejemplo hemos aplicado el camio viso en a), deido a que el signo del coeficiene de grado es negaivo y el de la consane posiivo. ) I 9 ( ) { sen cos d } 9 9sen cos 9 9 sen C d 9 cos d 9 ( cos ) d sen sencos 9 Como se iene que ( ) I 9 9 arcsen arcsen ( ) ( ) C C Noemos aquí que el polinomio que aparece denro de la raí esá agrupado para que no apareca el érmino de grado, que es la hipóesis que esamos arajando en ese caso. Tal siuación se generaliará en el siguiene aparado. Por lo demás, el camio de variales elegido ha sido el propueso en el caso a) de nuevo. ) I ( ) 7 9 Al igual que en el ejemplo anerior, el polinomio de grado que esá afecado por la raí ya se encuenra agrupado, asociándose a la siuación propuesa en el caso ), donde el coeficiene del érmino de grado es posiivo y la consane, negaiva. Por lo ano, el camio de variale a realiar es:

15 Inegración de funciones irracionales 7 ( 9 ) sen cos sen 7 d con lo que oenemos: I 7 cos sen ( sen ) d d 7 sen Esa inegral resula ser del ipo esudiado en el capíulo. La función rigonomérica que aparece es impar en la variale sen, por lo que realiamos un nuevo camio de variale de la forma: cos u sen u, d du u Con ese nuevo camio se iene que: I du 7 u Ahora, la función a inegrar resula ser una función racional de las esudiadas en el capíulo. Como los ceros del denominador son reales simples, aplicaremos el méodo de descomposición de fracciones simples. Una ve calculadas las consanes indeerminadas, oenemos que: I du du 7 u 7 u Log u Log u C 7 7 u cos Log C Log C 7 u 7 cos

16 Inroducción al cálculo inegral Log 7 Log ( 9 ) ( 9 ) C ( 9 ) 7( 9 ) ( 9 ) 7( 9 ) C Ese resulado puede simplificarse si racionaliamos denro del Logarimo, quedando: I Log 7 7 ( 9 ) 7( 9 ) C Log 7 ( 9 ) 7( 9 ) C 7 En la úlima epresión hemos aplicado propiedades de la función Logarimo y hemos agrupado la consane de inegración C con el valor consane del Logarimo del denominador... Inegrales irracionales de polinomios de grado dos compleos En ese aparado vamos a considerar el caso más general, en el que los polinomios de grado dos que aparecen en la función a inegrar afecados por una raí cuadrada sean compleos, es decir, posean érmino de grado uno disino de cero. El proceso a realiar aquí será ransformar la función a inegrar en una del ipo esudiado en el aparado anerior, a ravés de algún camio de variale. La siuación ahora será, pues, calcular inegrales de funciones de la forma:

17 Inegración de funciones irracionales I a c o I a c donde a,,c son números reales. El ojeivo es pasar del polinomio compleo de segundo grado a oro de grado dos sin érmino de grado uno. Para conseguir ese propósio, reorganiamos el polinomio original compleando cuadrados, en forma de suma o diferencia de cuadrados, de la siguiene manera: a ac c a, si a > 0 a a Si a < 0, asa sacar facor común, para pasar a un polinomio donde el coeficiene direcor es posiivo y aplicar la descomposición anerior. Es decir, a c ( a c), donde a > 0, y ese úlimo polinomio lo epresamos como: ac a c a a a en definiiva, se oiene para a < 0: ac a c a a a En el primer caso, asa realiar el camio de variale: a a d a y, en el segundo, el análogo: a a d a

18 Inroducción al cálculo inegral para llegar a una inegral de las esudiadas en el aparado anerior. Resumiendo, ac si llamamos k, oenemos alguna de las siguienes inegrales, al a realiar los camio de variale señalados para cada caso. Osérvese que omiimos las consanes que aparecerán muliplicando o dividiendo y que saldrían fuera de la inegral por la propiedad de linealidad de la misma. d k, d k, d k k d, k d, k d que corresponden a alguno de los casos esudiados en el aparado anerior. Ejemplos ) I 9 ( / ) Ahora, realiamos el camio de variale cual la inegral I queda: d, con lo I d donde el érmino de grado uno ha desaparecido al complear los cuadrados. Esa nueva inegral es del ipo esudiado en el aparado anerior. Como vimos allí, el

19 Inegración de funciones irracionales camio de variale a efecuar ahora es: que llegamos a que: cosu d du, con lo senu sen u I cosu sen u cosu sen du ( ) du sen u cosu senu u du senu queda de la forma esudiada en el capíulo, como función racional de funciones rigonoméricas. Como dicha función es impar en la epresión senu, el camio de variale a realiar ahora será de la forma cosu, y, por ano, senu, y du d, con lo que I se ransforma en: I d d d Log Log C Nóese que la inegral a la que se llega, una ve realiado ese úlimo camio de variale, se reduce a una función racional, cociene de polinomios, esudiada en el capíulo. Aplicado el méodo de descomposición de fracciones simples, se oiene de manera sencilla el resulado mosrado. Por úlimo, es necesario deshacer odos los camios de variale efecuados durane el proceso, hasa dejar el resulado en función de la variale original. cosu sen u I Log C Log C Log C cosu sen u Log C Log C Log C Log C

20 Inroducción al cálculo inegral Log C Log C Log C ) I ( ) / ( ) que:, con el Realiamos el camio de variale ( ) d I d g u du du g u cosu Una ve realiado el camio de variale, gu d ( g u)du. De nuevo llegamos a una función racional de funciones rigonoméricas, que resula ser impar en el érmino cosu, por lo que realiamos un nuevo camio de variale de la forma: senu cosu, y du d

21 Inegración de funciones irracionales 7 I d d Log C d Por úlimo, deshacemos odos los camios de variales, oeniendo: senu cos u I Log C Log C u sen cos u Log ( ) ( ) C Log Log C Log C Log ( ) ( ) C Log ( ) C C Log ( ) C ) I 9

22 8 Inroducción al cálculo inegral arcsen C ) I ( ) Hacemos el camio de variale d, con lo que: I du d g u ( g u) du cos u una ve realiado un nuevo camio de variale de la forma: gu. La función a inegrar a la que se llega es racional de funciones rigonoméricas, impar en el érmino cosu, por lo que el camio de variale a realiar ahora será: senu cosu, y du d. De esa manera I d, que resula en un cociene de polinomios, al que, ( ) según el capíulo, podemos aplicar el méodo de descomposición en fracciones simples, resulando: A ( ) ( ) ( ) B Colocando denominador común y resolviendo el sisema lineal que nos proporciona el valor de las consanes indeerminadas, ésas oman los siguienes valores: A B C D C D

23 Inegración de funciones irracionales 9 Llevando esos valores a la inegral y aplicando la linealidad de la misma, se iene que: I ( ) ( ) d d d d C C Log Log Finalmene, deshacemos odos los camio de variales realiados durane el proceso de inegración para dar el resulado final en érminos de la variale original. I C C u u u u Log sen sen sen sen Log C Log C Log C Log C Log.. Inegrales irracionales compuesas Veremos en ese aparado algunas inegrales de funciones compuesas por la raí cuadrada de un polinomio compleo de grado dos, acompañada de algún

24 0 Inroducción al cálculo inegral oro polinomio colocado en la función de manera paricular. En concreo, vamos a esudiar dos casos pariculares: a) I a P ( ) c donde a,,c son números reales y P() es un polinomio de grado cualquiera. El ojeivo es enconrar una descomposición de esa función a ravés de la cual el prolema se reduca a calcular la inegral de alguna función esudiada aneriormene. En ese caso, uiliaremos la siguiene relación cuya demosración omiimos: ( ) P a c ( Q( ) a c ) a m c donde Q() es un polinomio de coeficienes indeerminados de grado conocido como grado Q() grado P(), y m es un número real consane amién a deerminar. Los coeficienes indeerminados de Q() y el valor de m se deerminarán a ravés de los méodos de coeficienes indeerminados que se vieron para el caso de la descomposición de funciones racionales. Ejemplo I 7 7 [ ] ( ) a a ( a )( ) m m Colocando denominador común e igualando los numeradores que resulan, llegamos a que:

25 Inegración de funciones irracionales 7 a a a a a m Igualando los coeficienes de los érminos del mismo grado, oenemos el siguiene sisema lineal, que nos dará el valor de las consanes indeerminadas: : a : a : 7 a m cuya solución única resula ser: Por ano, enemos: a, 9, m I 9 Llegamos así a una inegral del ipo esudiado en el aparado anerior: I ( ) d d Log C Noamos que ese resulado se ouvo en el ejemplo del aparado anerior. Por ano,

26 Inroducción al cálculo inegral 9 I 9 Log ( ) ( ) C Log ( ) C ) En ese caso, vamos a esudiar inegrales de la forma I ( A B) n a c con A,B,a,,c números reales y n naural. En esa siuación, el camio de variales que aplicaremos para conducir la inegral original o ien a una del caso a) que acaamos de ver, o ien a una de las esudiadas en el aparado anerior, es de la forma: Ejemplo AX d B A I Idenificando esa función a inegrar con la función general dada, oenemos que A, B 0, n, por lo que el camio de variale a realiar d queda de la forma:, y así d I d, que se clasifica en el ipo de inegrales esudiadas en el caso a) anerior. Procedemos a su descomposición:

27 Inegración de funciones irracionales ( ) [ ] a d d m ( ) m a a ( ) ( )( ) m a a Igualando los coeficienes de los érminos del mismo grado: : a : 0 9a : 0 a m cuya solución única es: 8, 9, m a con lo cual: I 9 8 d I C d d arcsen Con lo cual, enemos que: I 9 C arcsen 8

28 Inroducción al cálculo inegral Finalmene, deshaciendo el camio de variale, llegamos a que: 9 I 9 arcsen C 8 8 arcsen C Ejercicios propuesos ) Log ( ) C ) Log Log C ) ( - ) Log C ) Log C ) arcg C ( )